\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में कौन-सा कथन \(p^2\) से (p) तक सही ढंग से पहुँचाता है?
Which statement correctly moves from \(p^2\) to (p) in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#parity
#even-square
A यदि \(p^2\) सम है, तो (p) भी सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is also even
B यदि \(p^2\) सम है, तो (p) विषम है / If \(p^2\) is even, then (p) is odd
C यदि \(p^2\) सम है, तो (p=1) / If \(p^2\) is even, then (p=1)
D यदि \(p^2\) सम है, तो (q=0) / If \(p^2\) is even, then (q=0)
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Correct Answer
A. यदि \(p^2\) सम है, तो (p) भी सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is also even
Step 1
Concept
किसी विषम पूर्णांक का वर्ग विषम होता है। / The square of an odd integer is odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि \(p^2\) सम है, तो (p) विषम नहीं हो सकता और (p) सम होगा। / So if \(p^2\) is even, (p) cannot be odd and must be even.
Step 3
Exam Tip
यह सम-विषम नियम प्रमाण में मुख्य कदम है। / This parity rule is a key step in the proof.
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यदि \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p\) मिला, तो (p=3k) लिखते समय (k) के बारे में क्या सही है?
If \(3\mid p\) is obtained from \(p^2=3q^2\), what is correct about (k) when writing (p=3k)?
#real-numbers
#root3
#helper-variable
#divisibility
A (k) कोई पूर्णांक है / (k) is some integer
B (k=q) अवश्य है / (k=q) necessarily
C (k=0) ही है / (k=0) only
D (k) अपरिमेय है / (k) is irrational
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Correct Answer
A. (k) कोई पूर्णांक है / (k) is some integer
Step 1
Concept
\(3\mid p\) का अर्थ है कि (p) (3) का गुणज है। / \(3\mid p\) means (p) is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p=3k) लिखा जाता है, जहाँ (k) कोई पूर्णांक है। / Therefore (p=3k), where (k) is some integer.
Step 3
Exam Tip
(k) को बिना कारण (q) के बराबर न मानें। / Do not assume (k=q) without reason.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य होना किस प्रारंभिक शर्त को तोड़ता है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), both (a) and (b) being divisible by (5) breaks which initial condition?
#real-numbers
#root5
#coprime
#initial-condition
A दोनों धनात्मक हैं / Both are positive
B दोनों सहअभाज्य हैं / Both are coprime
C दोनों पूर्णांक हैं / Both are integers
D \(b\neq0\) है / \(b\neq0\)
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Correct Answer
B. दोनों सहअभाज्य हैं / Both are coprime
Step 1
Concept
शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। / At the beginning, \(\frac{a}{b}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (a) और (b) सहअभाज्य हैं। / This means (a) and (b) are coprime.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (5) साझा होना इसी शर्त को तोड़ता है। / (5) being common to both breaks this condition.
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\(\sqrt{2}\) का प्रमाण लिखते समय यदि कोई \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानता है पर सरलतम रूप नहीं लिखता, तो क्या समस्या होगी?
While writing the proof for \(\sqrt{2}\), if someone assumes \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) but does not mention lowest form, what problem occurs?
#real-numbers
#root2
#lowest-form
#proof-logic
A वर्ग करना असंभव हो जाएगा / Squaring will become impossible
B (2) अभाज्य नहीं रहेगा / (2) will not remain prime
C साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा / Finding a common factor will not become a decisive contradiction
D (q) अपने आप शून्य हो जाएगा / (q) will automatically become zero
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Correct Answer
C. साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा / Finding a common factor will not become a decisive contradiction
Step 1
Concept
विरोधाभास इस बात पर निर्भर करता है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। / The contradiction depends on (p) and (q) being coprime.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप न लिखने पर दोनों सम मिलना जरूरी विरोधाभास नहीं कहलाएगा। / Without stating lowest form, both being even is not a decisive contradiction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए शुरू में सरलतम रूप अवश्य लिखें। / Therefore mention lowest form at the start.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का अंतिम वाक्य सबसे ठीक है?
Which option gives the most appropriate final sentence for the proof of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#final-statement
#proof-writing
A अतः (3) अपरिमेय है / Hence (3) is irrational
B अतः \(\sqrt{3}=3\) / Hence \(\sqrt{3}=3\)
C अतः परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Hence the rational assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
D अतः (p=q) / Hence (p=q)
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Correct Answer
C. अतः परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Hence the rational assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर शुरुआत की जाती है। / The proof starts by assuming \(\sqrt{3}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
उस मान्यता से सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। / That assumption gives a common factor against coprimality.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अंतिम निष्कर्ष यही होगा कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational.
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यदि \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर \(a^2=5b^2\) मिला, तो \(a^2\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If assuming \(\sqrt{5}\) rational gives \(a^2=5b^2\), which statement about \(a^2\) is correct?
#real-numbers
#root5
#equation-analysis
#divisibility
A \(a^2\) (5) से विभाज्य है / \(a^2\) is divisible by (5)
B \(a^2\) (2) से अवश्य विभाज्य है / \(a^2\) is necessarily divisible by (2)
C \(a^2=0\) है / \(a^2=0\)
D \(a^2=b^2\) है / \(a^2=b^2\)
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Correct Answer
A. \(a^2\) (5) से विभाज्य है / \(a^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) में दायाँ पक्ष (5) का गुणज है। / In \(a^2=5b^2\), the right side is a multiple of (5).
Step 2
Why this answer is correct
बराबरी के कारण \(a^2\) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since both sides are equal, \(a^2\) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
फिर अभाज्य नियम से \(5\mid a\) मिलता है। / Then the prime rule gives \(5\mid a\).
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) मिलने पर (q) को सम कहने का कारण क्या है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), why is (q) called even after getting \(q^2=2k^2\)?
#real-numbers
#root2
#q-even
#proof-step
A क्योंकि \(q^2\) सम है और सम वर्ग का आधार सम होता है / Because \(q^2\) is even and the base of an even square is even
B क्योंकि (k=0) है / Because (k=0)
C क्योंकि (q) हमेशा (2) है / Because (q) is always (2)
D क्योंकि (q) और (p) बराबर हैं / Because (q) and (p) are equal
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Correct Answer
A. क्योंकि \(q^2\) सम है और सम वर्ग का आधार सम होता है / Because \(q^2\) is even and the base of an even square is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। / If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
इस तरह (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। / Thus both (p) and (q) are found even.
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\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में कौन-सा विचार समान है?
Which idea is common in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root3
#root5
#comparison
A दोनों में दशमलव विस्तार से निष्कर्ष मिलता है / Both use decimal expansion for the conclusion
B दोनों में संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देती है / In both, the related prime number divides both numerator and denominator
C दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिलता है / In both, (2) is the common factor
D दोनों में हर शून्य लिया जाता है / In both, denominator is taken zero
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Correct Answer
B. दोनों में संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देती है / In both, the related prime number divides both numerator and denominator
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है। / In \(\sqrt{3}\), the common factor is (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है। / In \(\sqrt{5}\), the common factor is (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में अभाज्य गुणनखंड बदलता है, लेकिन विरोधाभास का ढाँचा समान है। / The prime factor changes, but the contradiction structure is the same.
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यदि कोई कहे कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि (2) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो विशेषज्ञ स्तर पर कौन-सा सुधार उचित है?
If someone says \(\sqrt{2}\) is irrational because (2) is not a perfect square, what correction is appropriate at expert level?
#real-numbers
#root2
#perfect-square
#proof-depth
A यह समझ के लिए ठीक संकेत है, पर पूर्ण प्रमाण में परिमेय मानकर विरोधाभास दिखाना चाहिए / It is a useful hint for understanding, but a full proof should assume rationality and show contradiction
B यह पूरी तरह गलत है क्योंकि \(\sqrt{2}\) परिमेय है / It is completely wrong because \(\sqrt{2}\) is rational
C यह सिद्ध करता है कि \(\sqrt{2}=2\) / It proves \(\sqrt{2}=2\)
D यह सिद्ध करता है कि (2) अपरिमेय है / It proves that (2) is irrational
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Correct Answer
A. यह समझ के लिए ठीक संकेत है, पर पूर्ण प्रमाण में परिमेय मानकर विरोधाभास दिखाना चाहिए / It is a useful hint for understanding, but a full proof should assume rationality and show contradiction
Step 1
Concept
(2) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{2}\) पूर्णांक नहीं है। / Since (2) is not a perfect square, \(\sqrt{2}\) is not an integer.
Step 2
Why this answer is correct
पर अपरिमेयता के लिए यह भी सिद्ध करना होता है कि वह कोई परिमेय भिन्न नहीं है। / But irrationality needs proving it is not any rational fraction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य भिन्न वाला विरोधाभास प्रमाण लिखें। / Therefore write the contradiction proof using a coprime fraction.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a=5k) रखने पर \(25k^2=5b^2\) मिलता है। इससे \(b^2\) क्या होगा?
In the proof for \(\sqrt{5}\), putting (a=5k) gives \(25k^2=5b^2\). What will \(b^2\) be?
#real-numbers
#root5
#algebra
#simplification
A \(25k^2\)
B \(5k^2\)
C \(k^2\)
D \(\frac{k^2}{5}\)
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Correct Answer
B. \(5k^2\)
Step 1
Concept
\(25k^2=5b^2\) में दोनों पक्षों को (5) से भाग दें। / Divide both sides of \(25k^2=5b^2\) by (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(5k^2=b^2\), यानी \(b^2=5k^2\)। / We get \(5k^2=b^2\), that is \(b^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
यही \(5\mid b^2\) और फिर \(5\mid b\) देता है। / This gives \(5\mid b^2\) and then \(5\mid b\).
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