\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है, फिर भी (p=3m) और (q=3n) मिलते हैं, तो कौन-सा निष्कर्ष सबसे सटीक है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), if \(\frac{p}{q}\) is in lowest form but (p=3m) and (q=3n) are obtained, which conclusion is most precise?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#lowest-form
A \(\frac{p}{q}\) सचमुच सरलतम है / \(\frac{p}{q}\) is truly in lowest form
B (p) और (q) दोनों (1) हैं / (p) and (q) are both (1)
C परिमेय मान्यता विरोधाभास देती है / The rational assumption gives a contradiction
D (q=0) सिद्ध हो गया / (q=0) is proved
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Correct Answer
C. परिमेय मान्यता विरोधाभास देती है / The rational assumption gives a contradiction
Step 1
Concept
(p=3m) और (q=3n) से (3) दोनों का साझा गुणनखंड है। / (p=3m) and (q=3n) show that (3) is a common factor of both.
Step 2
Why this answer is correct
यह सरलतम रूप की शर्त के विपरीत है। / This contradicts the lowest-form condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानना गलत सिद्ध होता है। / Therefore assuming \(\sqrt{3}\) rational is proved false.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(a^2=5b^2\) से (a) के (5) से विभाज्य होने के बाद कौन-सा निष्कर्ष तुरंत गलत होगा?
In the proof for \(\sqrt{5}\), after showing (a) is divisible by (5) from \(a^2=5b^2\), which conclusion would be immediately wrong?
#real-numbers
#root5
#overclaim
#error-analysis
A (a=5k) लिखा जा सकता है / (a=5k) can be written
B \(5\mid a\) है / \(5\mid a\)
C (a) (25) से अवश्य विभाज्य है / (a) is necessarily divisible by (25)
D (a) (5) का गुणज है / (a) is a multiple of (5)
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Correct Answer
C. (a) (25) से अवश्य विभाज्य है / (a) is necessarily divisible by (25)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) से \(5\mid a^2\) और इसलिए \(5\mid a\) मिलता है। / From \(a^2=5b^2\), \(5\mid a^2\), so \(5\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a) का (25) से विभाज्य होना जरूरी नहीं है। / This does not necessarily mean (a) is divisible by (25).
Step 3
Exam Tip
जितना सिद्ध हो, केवल उतना ही निष्कर्ष लिखें। / Write only the conclusion that is actually proved.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में कौन-सा कथन प्रमाण को अधूरा छोड़ देगा?
Which statement would leave the proof of \(\sqrt{2}\) incomplete?
#real-numbers
#root2
#incomplete-proof
#proof-writing
A \(p^2=2q^2\) से (p) सम है और यहीं रुक जाना / From \(p^2=2q^2\), (p) is even, and stopping there
B (p=2k) रखकर \(q^2=2k^2\) पाना / Putting (p=2k) and getting \(q^2=2k^2\)
C (q) सम सिद्ध करना / Proving (q) even
D दोनों सम होने से विरोधाभास लिखना / Writing contradiction because both are even
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Correct Answer
A. \(p^2=2q^2\) से (p) सम है और यहीं रुक जाना / From \(p^2=2q^2\), (p) is even, and stopping there
Step 1
Concept
(p) सम होना केवल आधा प्रमाण है। / Proving (p) even is only half of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
आगे (p=2k) रखकर (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। / We must next put (p=2k) and show (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
अंतिम विरोधाभास तक पहुँचे बिना उत्तर पूरा नहीं माना जाएगा। / Without reaching the final contradiction, the answer is incomplete.
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यदि (r) एक अभाज्य संख्या है और \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना जाए, तो \(p^2=rq^2\) से कौन-सा पहला सामान्य निष्कर्ष निकलेगा?
If (r) is a prime number and \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form, what is the first general conclusion from \(p^2=rq^2\)?
#real-numbers
#general-proof
#prime-root
#divisibility
A (q=0)
B \(r\mid p\)
C (p=q)
D \(r\mid q\) तुरंत / \(r\mid q\) immediately
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Correct Answer
B. \(r\mid p\)
Step 1
Concept
\(p^2=rq^2\) से \(r\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=rq^2\), we get \(r\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(r) अभाज्य है, इसलिए \(r\mid p\) होगा। / Since (r) is prime, \(r\mid p\).
Step 3
Exam Tip
इसके बाद (p=rk) रखकर \(r\mid q\) दिखाया जाता है। / After this, put (p=rk) to show \(r\mid q\).
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) से (p=3k) तक जाने में कौन-सा गलत छोटा रास्ता है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), which shortcut from \(p^2=3q^2\) to (p=3k) is wrong?
#real-numbers
#root3
#error-analysis
#variables
A पहले \(3\mid p^2\), फिर \(3\mid p\), फिर (p=3k) / First \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\), then (p=3k)
B \(p^2\) (3) से विभाज्य है, इसलिए अभाज्य नियम लगाएँ / \(p^2\) is divisible by (3), so apply the prime rule
C \(p^2=3q^2\) देखकर सीधे (p=3q) लिख देना / Looking at \(p^2=3q^2\) and directly writing (p=3q)
D (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) / (3) is prime, so \(3\mid p\)
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Correct Answer
C. \(p^2=3q^2\) देखकर सीधे (p=3q) लिख देना / Looking at \(p^2=3q^2\) and directly writing (p=3q)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है, न कि सीधे (p=3q)। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\), not directly (p=3q).
Step 2
Why this answer is correct
सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है और फिर (p=3k) लिखा जाता है। / The correct conclusion is \(3\mid p\), then (p=3k).
Step 3
Exam Tip
वर्ग हटाते समय मन से बराबरी न बना दें। / Do not create an unsupported equality while removing squares.
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\(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर \(a^2=5b^2\) मिलने पर (a) और (b) में साझा गुणनखंड कैसे बनता है?
After assuming \(\sqrt{5}\) rational and getting \(a^2=5b^2\), how does a common factor appear in (a) and (b)?
#real-numbers
#root5
#common-factor
#proof-flow
A पहले \(5\mid a\), फिर (a=5k) रखने से \(5\mid b\) / First \(5\mid a\), then substituting (a=5k) gives \(5\mid b\)
B पहले (b=0), फिर (a=0) / First (b=0), then (a=0)
C पहले (a=b), फिर (5=1) / First (a=b), then (5=1)
D पहले \(\sqrt{5}=5\), फिर (a=b) / First \(\sqrt{5}=5\), then (a=b)
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Correct Answer
A. पहले \(5\mid a\), फिर (a=5k) रखने से \(5\mid b\) / First \(5\mid a\), then substituting (a=5k) gives \(5\mid b\)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) से \(5\mid a\) मिलता है। / From \(a^2=5b^2\), \(5\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
(a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\)। / Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
अब (5) दोनों में साझा गुणनखंड बनकर विरोधाभास देता है। / Now (5) becomes a common factor and gives the contradiction.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में कौन-सी बात बदलती है, जबकि प्रमाण की विधि समान रहती है?
In the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\), what changes while the proof method remains the same?
#real-numbers
#root2
#root3
#root5
#comparison
A संबंधित अभाज्य गुणनखंड (2,3,5) बदलता है / The related prime factor (2,3,5) changes
B हर बार हर शून्य होता है / The denominator is zero every time
C हर बार दशमलव विस्तार लिया जाता है / The decimal expansion is used every time
D हर बार वर्गमूल पूर्णांक होता है / The square root is an integer every time
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Correct Answer
A. संबंधित अभाज्य गुणनखंड (2,3,5) बदलता है / The related prime factor (2,3,5) changes
Step 1
Concept
तीनों में पहले परिमेय मान्यता ली जाती है। / In all three proofs, the rational assumption is made first.
Step 2
Why this answer is correct
फिर संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों में साझा बनती है। / Then the related prime number becomes common to numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
ढाँचा समान है, केवल अभाज्य गुणनखंड बदलता है। / The structure is the same; only the prime factor changes.
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यदि \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होते हैं, तो \(\frac{p}{q}\) को किससे घटाया जा सकता है?
If both (p) and (q) are proved even in the proof for \(\sqrt{2}\), by what can \(\frac{p}{q}\) be reduced?
#real-numbers
#root2
#fraction-reduction
#coprime
A (3) से / by (3)
B (2) से / by (2)
C (5) से / by (5)
D (q) से ही / by (q) itself
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Correct Answer
B. (2) से / by (2)
Step 1
Concept
सम होने का अर्थ (2) से विभाज्य होना है। / Even means divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
यदि अंश और हर दोनों (2) से विभाज्य हैं, तो भिन्न (2) से घट सकती है। / If both numerator and denominator are divisible by (2), the fraction can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है। / This contradicts the lowest-form assumption.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय \(q\neq0\) लिखना क्यों आवश्यक है?
Why is it necessary to write \(q\neq0\) while proving the irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#denominator
#rational-form
A क्योंकि हर शून्य होगा तो \(\frac{p}{q}\) परिभाषित नहीं होगा / Because if the denominator is zero, \(\frac{p}{q}\) is not defined
B क्योंकि (q) को (3) के बराबर होना चाहिए / Because (q) must equal (3)
C क्योंकि (q) शून्य होने पर प्रमाण आसान हो जाता है / Because the proof becomes easier if (q) is zero
D क्योंकि (p) और (q) दोनों दशमलव हैं / Because (p) and (q) are decimals
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Correct Answer
A. क्योंकि हर शून्य होगा तो \(\frac{p}{q}\) परिभाषित नहीं होगा / Because if the denominator is zero, \(\frac{p}{q}\) is not defined
Step 1
Concept
परिमेय संख्या का रूप \(\frac{p}{q}\) तभी मान्य है जब \(q\neq0\)। / The rational form \(\frac{p}{q}\) is valid only when \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
हर शून्य होने पर भिन्न परिभाषित नहीं रहती। / If the denominator is zero, the fraction is not defined.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण की शुरुआत में यह शर्त लिखना जरूरी है। / This condition must be written at the beginning of the proof.
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किस विकल्प में \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (b) की विभाज्यता का सही आधार दिया गया है?
Which option gives the correct basis for divisibility of (b) in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#b-divisibility
#proof-step
A (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\) / Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)
B (a=5k) रखने पर (b=5) / Putting (a=5k) gives (b=5)
C (a=5k) रखने पर (b=a) / Putting (a=5k) gives (b=a)
D (a=5k) रखने पर (b=0) / Putting (a=5k) gives (b=0)
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Correct Answer
A. (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\) / Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)
Step 1
Concept
(a=5k) को \(a^2=5b^2\) में रखने से \(25k^2=5b^2\) मिलता है। / Substituting (a=5k) in \(a^2=5b^2\) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। / Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
यह अंतिम साझा गुणनखंड दिखाता है। / This shows the final common factor.
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