किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p=3r) लिखने का सही आधार है?
Which option gives the correct basis for writing (p=3r) in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#proof-basis
#divisibility
A \(3\mid p\) सिद्ध हो चुका है / \(3\mid p\) has been proved
B (p) सम सिद्ध हो चुका है / (p) has been proved even
C (p=q) सिद्ध हो चुका है / (p=q) has been proved
D (q=3) सिद्ध हो चुका है / (q=3) has been proved
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Correct Answer
A. \(3\mid p\) सिद्ध हो चुका है / \(3\mid p\) has been proved
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य नियम से \(3\mid p\), इसलिए (p=3r) लिखा जा सकता है। / By the prime rule, \(3\mid p\), so (p=3r) can be written.
Step 3
Exam Tip
कोई रूप लिखने से पहले उसका कारण जरूर दें। / Give the reason before writing such a form.
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यदि कोई छात्र \(\sqrt{5}=\frac{5}{1}\) लिखता है, तो सबसे सही सुधार क्या है?
If a student writes \(\sqrt{5}=\frac{5}{1}\), what is the most correct correction?
#real-numbers
#root5
#misconception
#square-root
A \(\frac{5}{1}\) का मान (5) है, \(\sqrt{5}\) नहीं / \(\frac{5}{1}\) equals (5), not \(\sqrt{5}\)
B \(\sqrt{5}\) का मान (1) है / \(\sqrt{5}\) equals (1)
C \(\sqrt{5}\) हमेशा (5) होता है / \(\sqrt{5}\) is always (5)
D हर वर्गमूल को उसी संख्या के बराबर मानते हैं / Every square root is equal to the same number
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Correct Answer
A. \(\frac{5}{1}\) का मान (5) है, \(\sqrt{5}\) नहीं / \(\frac{5}{1}\) equals (5), not \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
\(\frac{5}{1}=5\) होता है। / \(\frac{5}{1}=5\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) वह संख्या है जिसका वर्ग (5) हो, इसलिए वह (5) नहीं है। / \(\sqrt{5}\) is the number whose square is (5), so it is not (5).
Step 3
Exam Tip
संख्या और उसके वर्गमूल में फर्क समझना जरूरी है। / Distinguish a number from its square root.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में परिमेय मान्यता किस रूप में ली जाती है?
In the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\), in what form is the rational assumption taken?
#real-numbers
#general-method
#rational-form
#irrationality
A \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं / \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
B \(\sqrt{r}=p+q\), जहाँ (p,q) कोई भी संख्या हैं / \(\sqrt{r}=p+q\), where (p,q) are any numbers
C \(\sqrt{r}=\frac{p}{0}\)
D \(\sqrt{r}=r\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं / \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता हमेशा अनुपात के रूप में ली जाती है। / The rational assumption is always taken as a ratio.
Step 2
Why this answer is correct
(p,q) को सहअभाज्य और \(q\neq0\) लिखना जरूरी है। / It is necessary to write (p,q) coprime and \(q\neq0\).
Step 3
Exam Tip
यही मानक रूप तीनों प्रमाणों में काम आता है। / This standard form works in all three proofs.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) किस कारण (3) से विभाज्य है?
In the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), why is \(p^2\) divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)?
#real-numbers
#root3
#equation
#divisibility
A क्योंकि दाएँ पक्ष में (3) गुणक के रूप में है / Because (3) appears as a factor on the right side
B क्योंकि (q) हमेशा (3) है / Because (q) is always (3)
C क्योंकि (p) हमेशा (q) है / Because (p) is always (q)
D क्योंकि (3) सम है / Because (3) is even
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Correct Answer
A. क्योंकि दाएँ पक्ष में (3) गुणक के रूप में है / Because (3) appears as a factor on the right side
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) में दायाँ पक्ष (3) का गुणज है। / In \(p^2=3q^2\), the right side is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
बराबरी के कारण \(p^2\) भी (3) का गुणज होगा। / Since both sides are equal, \(p^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
पहले वर्ग की विभाज्यता समझें, फिर मूल संख्या की। / Understand divisibility of the square first, then of the original number.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{5}\) के प्रमाण के अंत में सही विरोधाभास बताता है?
Which statement gives the correct contradiction at the end of the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#contradiction
#coprime
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (5) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (5)
B (p) और (q) दोनों विषम हैं / (p) and (q) are both odd
C (p) और (q) दोनों धनात्मक हैं / (p) and (q) are both positive
D (p) और (q) दोनों पूर्णांक हैं / (p) and (q) are both integers
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Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (5) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (5)
Step 1
Concept
सहअभाज्य होने का अर्थ है कि साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime means there should be no common factor.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड दिखाता है। / Both being divisible by (5) shows a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास \(\sqrt{5}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This contradiction proves \(\sqrt{5}\) irrational.
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यदि (n) विषम है, तो \(n^2\) विषम होता है। यह तथ्य किस प्रमाण में सीधे प्रयोग होता है?
If (n) is odd, then \(n^2\) is odd. In which proof is this fact used directly?
#real-numbers
#root2
#parity
#odd-square
A \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में / In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{5}\) को पूर्णांक सिद्ध करने में / In proving \(\sqrt{5}\) an integer
C \(\sqrt{3}\) को सम सिद्ध करने में / In proving \(\sqrt{3}\) even
D (5) को परिमेय सिद्ध करने में / In proving (5) rational
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में / In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम मिलता है। / In the proof for \(\sqrt{2}\), \(p^2\) is found even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (p) विषम होता तो \(p^2\) विषम होता, इसलिए (p) सम है। / If (p) were odd, \(p^2\) would be odd, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
सम-विषम का यह नियम \(\sqrt{2}\) में बहुत उपयोगी है। / This parity rule is very useful for \(\sqrt{2}\).
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(q\neq0\) की शर्त क्यों आवश्यक है?
Why is the condition \(q\neq0\) necessary in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#denominator
#rational-form
A क्योंकि \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता / Because the denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
B क्योंकि (q) हमेशा (3) होता है / Because (q) is always (3)
C क्योंकि (p) शून्य होना चाहिए / Because (p) must be zero
D क्योंकि \(\sqrt{3}\) शून्य है / Because \(\sqrt{3}\) is zero
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Correct Answer
A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता / Because the denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
Step 1
Concept
किसी भिन्न में हर शून्य होने पर रूप मान्य नहीं रहता। / A fraction is not valid if the denominator is zero.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परिमेय रूप \(\frac{p}{q}\) में \(q\neq0\) लिखना जरूरी है। / So in the rational form \(\frac{p}{q}\), writing \(q\neq0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण की शर्तें पूरी लिखने से उत्तर मजबूत बनता है। / Complete conditions make the proof stronger.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के लिए केवल अधूरा संकेत है, पूर्ण प्रमाण नहीं?
Which option is only an incomplete hint for the irrationality of \(\sqrt{5}\), not a full proof?
#real-numbers
#root5
#decimal
#proof-quality
A \(\sqrt{5}\) का दशमलव समाप्त नहीं दिखता / The decimal of \(\sqrt{5}\) does not seem to terminate
B मानें \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) / Assume \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\)
C \(p^2=5q^2\)
D (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out divisible by (5)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) का दशमलव समाप्त नहीं दिखता / The decimal of \(\sqrt{5}\) does not seem to terminate
Step 1
Concept
दशमलव को देखकर केवल अनुमान बनता है। / Looking at the decimal only gives an idea.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण प्रमाण में परिमेय मानकर साझा गुणनखंड का विरोधाभास दिखाते हैं। / A complete proof assumes rationality and shows the common-factor contradiction.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अनुमान नहीं, प्रमाण लिखें। / In exams, write a proof, not a guess.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं और फिर \(2\mid p\), \(2\mid q\) सिद्ध होता है, तो यह किस प्रकार का परिणाम है?
If (p) and (q) are coprime and then \(2\mid p\), \(2\mid q\) are proved, what type of result is this?
#real-numbers
#root2
#contradiction
#coprime
A विरोधाभासी परिणाम / Contradictory result
B सामान्य परिणाम / Ordinary result
C परिभाषा मात्र / Definition only
D दशमलव विस्तार / Decimal expansion
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Correct Answer
A. विरोधाभासी परिणाम / Contradictory result
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime numbers should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\mid p\) और \(2\mid q\) बताता है कि दोनों में (2) साझा है। / \(2\mid p\) and \(2\mid q\) show that (2) is common.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह विरोधाभासी परिणाम है। / Therefore this is a contradictory result.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने पर \(2q^2=p^2\) लिखा गया। इस समीकरण का सही उपयोग क्या है?
After assuming \(\sqrt{2}\) rational, \(2q^2=p^2\) is written. What is the correct use of this equation?
#real-numbers
#root2
#equation-use
#even-square
A यह दिखाता है कि \(p^2\) सम है / It shows that \(p^2\) is even
B यह दिखाता है कि (q=0) है / It shows that (q=0)
C यह दिखाता है कि (p=q) है / It shows that (p=q)
D यह दिखाता है कि (p) विषम है / It shows that (p) is odd
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Correct Answer
A. यह दिखाता है कि \(p^2\) सम है / It shows that \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(2q^2\) स्पष्ट रूप से सम संख्या है। / \(2q^2\) is clearly even.
Step 2
Why this answer is correct
\(p^2=2q^2\) होने से \(p^2\) भी सम होगा। / Since \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is also even.
Step 3
Exam Tip
फिर सम वर्ग से सम आधार का निष्कर्ष लिया जाता है। / Then an even square gives an even base.
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