\(\sqrt{3}\) को \(\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिला। इससे (p) के बारे में सही निष्कर्ष कौन-सा है?
After assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) and squaring, \(p^2=3q^2\) is obtained. What is the correct conclusion about (p)?
#real-numbers
#root3
#divisibility
#proof-step
A (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
B (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
C (p) शून्य है / (p) is zero
D (p) (q) के बराबर है / (p) equals (q)
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Correct Answer
A. (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) होगा। / Since (3) is prime, \(3\mid p\).
Step 3
Exam Tip
यहाँ समपन नहीं, बल्कि (3) से विभाज्यता मुख्य है। / Here divisibility by (3), not evenness, is the main point.
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यदि \(\sqrt{5}\) परिमेय है, तो उसे सही रूप में कैसे लिखा जाना चाहिए?
If \(\sqrt{5}\) is rational, how should it be correctly written?
#real-numbers
#root5
#rational-form
#definition
A \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) हैं / \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime integers and \(b\neq0\)
B \(\sqrt{5}=\frac{a}{0}\)
C \(\sqrt{5}=a+b\)
D \(\sqrt{5}=5a\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) हैं / \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime integers and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या का रूप दो पूर्णांकों का अनुपात होता है। / A rational number is a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
हर शून्य नहीं हो सकता और भिन्न सरलतम रूप में ली जाती है। / The denominator cannot be zero, and the fraction is taken in lowest form.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण की शुरुआत में यह पूरा रूप लिखना चाहिए। / Write this complete form at the start of the proof.
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कौन-सा सामान्य कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों पर लागू होता है?
Which general statement applies to the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#general-proof
#prime-roots
#irrationality
A अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) को परिमेय मानने से (r) अंश और हर दोनों को भाग देता है / For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator
B हर प्रमाण में केवल (2) साझा गुणनखंड होता है / In every proof only (2) is the common factor
C हर प्रमाण में दशमलव विस्तार देखा जाता है / In every proof the decimal expansion is checked
D हर प्रमाण में वर्गमूल पूर्णांक सिद्ध होता है / In every proof the square root is proved an integer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) को परिमेय मानने से (r) अंश और हर दोनों को भाग देता है / For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator
Step 1
Concept
(2,3,5) अभाज्य हैं। / (2,3,5) are prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) मानने पर अंत में \(r\mid p\) और \(r\mid q\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) finally gives \(r\mid p\) and \(r\mid q\).
Step 3
Exam Tip
यही साझा ढाँचा तीनों प्रमाणों को जोड़ता है। / This common structure connects all three proofs.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेने के बाद (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। यह किस बात को गलत ठहराता है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), after taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form, both (p) and (q) turn out even. What does this disprove?
#real-numbers
#root2
#lowest-form
#contradiction
A \(\frac{p}{q}\) का सरलतम रूप होना / The fraction \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
B \(\sqrt{2}\) का धनात्मक होना / \(\sqrt{2}\) being positive
C (2) का अभाज्य होना / (2) being prime
D \(q\neq0\) होना / \(q\neq0\)
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) का सरलतम रूप होना / The fraction \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / In lowest form, numerator and denominator have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बन जाता है। / If both are even, (2) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सरलतम रूप की शर्त टूटती है। / So the lowest-form condition fails.
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यदि \(p^2=5q^2\) और (p=5t), तो (q) के बारे में अंतिम निष्कर्ष कौन-सा सही है?
If \(p^2=5q^2\) and (p=5t), which final conclusion about (q) is correct?
#real-numbers
#root5
#substitution
#final-step
A \(5\mid q\)
B (q=1)
C (q) (2) से विभाज्य है / (q) is divisible by (2)
D (q) अवश्य अभाज्य है / (q) must be prime
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Correct Answer
A. \(5\mid q\)
Step 1
Concept
(p=5t) रखने पर \(25t^2=5q^2\) होगा। / Putting (p=5t) gives \(25t^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(q^2=5t^2\) और फिर \(5\mid q\) मिलता है। / Hence \(q^2=5t^2\), so \(5\mid q\).
Step 3
Exam Tip
यह (p) और (q) दोनों में (5) साझा करता है। / This makes (5) common to both (p) and (q).
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कौन-सा कथन \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए पर्याप्त तर्क का हिस्सा नहीं है?
Which statement is not part of a sufficient argument for proving \(\sqrt{2}\) irrational?
#real-numbers
#root2
#decimal-error
#proof
A \(\sqrt{2}\) का दशमलव लगभग (1.414) है / The decimal of \(\sqrt{2}\) is approximately (1.414)
B \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानते हैं / Assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\)
C \(p^2=2q^2\) मिलता है / We get \(p^2=2q^2\)
D (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out even
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) का दशमलव लगभग (1.414) है / The decimal of \(\sqrt{2}\) is approximately (1.414)
Step 1
Concept
दशमलव का छोटा अनुमान अपरिमेयता सिद्ध नहीं करता। / A short decimal approximation does not prove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
ठोस प्रमाण में परिमेय मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। / A solid proof assumes rationality and derives a contradiction.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अनुमान की जगह तार्किक प्रमाण लिखें। / In exams, write logical proof instead of approximation.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में कौन-सी बात (3) के अभाज्य होने पर निर्भर करती है?
Which point in the proof of \(\sqrt{3}\) depends on (3) being prime?
#real-numbers
#root3
#prime-property
#proof-detail
A \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) लेना / Concluding \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\)
B \(\sqrt{3}\) को वर्ग करना / Squaring \(\sqrt{3}\)
C \(q\neq0\) लिखना / Writing \(q\neq0\)
D भिन्न को \(\frac{p}{q}\) लिखना / Writing the fraction as \(\frac{p}{q}\)
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Correct Answer
A. \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) लेना / Concluding \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\)
Step 1
Concept
\(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) तभी सीधे मिलता है क्योंकि (3) अभाज्य है। / \(3\mid p\) follows from \(3\mid p^2\) because (3) is prime.
Step 2
Why this answer is correct
यह गुण सामान्य भाज्य संख्याओं के लिए ऐसे नहीं लिखा जाता। / This cannot be stated the same way for every composite number.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य शब्द को प्रमाण में जरूर जोड़ें। / Mention the word prime in the proof.
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यदि (x) और (y) सहअभाज्य हैं, तो कौन-सी स्थिति असंभव है?
If (x) and (y) are coprime, which situation is impossible?
#real-numbers
#coprime
#root3
#common-factor
A (x) और (y) दोनों (3) से विभाज्य हों / Both (x) and (y) are divisible by (3)
B (x) विषम और (y) सम हो / (x) is odd and (y) is even
C (x) और (y) अलग-अलग हों / (x) and (y) are different
D (x) धनात्मक और (y) ऋणात्मक हो / (x) is positive and (y) is negative
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Correct Answer
A. (x) और (y) दोनों (3) से विभाज्य हों / Both (x) and (y) are divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड (3) देता है। / If both are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है। / This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{3}\).
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\(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने के बाद कौन-सा क्रम सबसे सही है?
After assuming \(\sqrt{5}\) rational, which sequence is most correct?
#real-numbers
#root5
#proof-order
#sequence
A \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\), \(p^2=5q^2\), \(5\mid p\), \(5\mid q\)
B \(\sqrt{5}=p+q\), (p=5q), (q=0)
C \(p^2=q^2\), (p=q), \(\sqrt{5}=1\)
D (5=0), इसलिए विरोधाभास / (5=0), so contradiction
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Correct Answer
A. \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\), \(p^2=5q^2\), \(5\mid p\), \(5\mid q\)
Step 1
Concept
सही क्रम परिमेय रूप से शुरू होता है। / The correct order begins with the rational form.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) आता है, फिर (5) पहले (p) और फिर (q) को भाग देता है। / Squaring gives \(p^2=5q^2\), then (5) divides first (p) and then (q).
Step 3
Exam Tip
क्रम याद रखने से प्रमाण साफ और पूरा बनता है। / Remembering the order makes the proof clear and complete.
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किस कारण से \(\sqrt{2}\) का प्रमाण केवल यह लिखकर पूरा नहीं होता कि \(p^2\) सम है?
Why is the proof for \(\sqrt{2}\) not complete by only writing that \(p^2\) is even?
#real-numbers
#root2
#incomplete-proof
#contradiction
A क्योंकि (q) के सम होने और विरोधाभास तक पहुँचना भी जरूरी है / Because proving (q) even and reaching contradiction is also necessary
B क्योंकि \(p^2\) सम होना गलत है / Because \(p^2\) being even is wrong
C क्योंकि (q) को शून्य बनाना जरूरी है / Because (q) must be made zero
D क्योंकि \(\sqrt{2}\) को दशमलव में लिखना जरूरी है / Because \(\sqrt{2}\) must be written as a decimal
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Correct Answer
A. क्योंकि (q) के सम होने और विरोधाभास तक पहुँचना भी जरूरी है / Because proving (q) even and reaching contradiction is also necessary
Step 1
Concept
\(p^2\) सम होने से केवल (p) सम मिलता है। / From \(p^2\) even, we only get that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण विरोधाभास के लिए (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। / For the full contradiction, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण को बीच में न छोड़ें, अंतिम टकराव तक लिखें। / Do not stop the proof midway; write until the final conflict.
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