\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों की तुलना में कौन-सा अंतर सही है?
Which difference is correct when comparing the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root3
#root5
#comparison
A \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) मिलता है / The common factor is (3) for \(\sqrt{3}\) and (5) for \(\sqrt{5}\)
B \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (2) और \(\sqrt{5}\) में (3) मिलता है / The common factor is (2) for \(\sqrt{3}\) and (3) for \(\sqrt{5}\)
C दोनों में दशमलव विस्तार ही प्रमाण है / In both, decimal expansion is the proof
D दोनों में हर शून्य लिया जाता है / In both, denominator is taken zero
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Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) मिलता है / The common factor is (3) for \(\sqrt{3}\) and (5) for \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में समीकरण \(p^2=3q^2\) बनता है। / For \(\sqrt{3}\), the equation is \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) में समीकरण \(p^2=5q^2\) बनता है। / For \(\sqrt{5}\), the equation is \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
दोनों का ढाँचा समान है, केवल अभाज्य गुणनखंड बदलता है। / The structure is the same; only the prime factor changes.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण को सबसे अधिक कमजोर बना देगा?
Which statement would weaken the proof of \(\sqrt{2}\) the most?
#real-numbers
#root2
#lowest-form
#proof-logic
A \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में न लेना / Not taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form
B \(p^2=2q^2\) लिखना / Writing \(p^2=2q^2\)
C (p=2r) लिखना / Writing (p=2r)
D \(q^2=2r^2\) लिखना / Writing \(q^2=2r^2\)
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में न लेना / Not taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form
Step 1
Concept
विरोधाभास इसी बात पर निर्भर करता है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। / The contradiction depends on (p) and (q) being coprime.
Step 2
Why this answer is correct
यदि सरलतम रूप नहीं लिया गया, तो साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा। / If lowest form is not taken, getting a common factor will not be a contradiction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए शुरुआत में सरलतम रूप जरूरी है। / Therefore lowest form is essential at the start.
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यदि \(3\mid p\), तो (p) को किस रूप में लिखना उचित है?
If \(3\mid p\), in which form is it proper to write (p)?
#real-numbers
#divisibility
#root3
#multiple-form
A (p=3k), जहाँ (k) पूर्णांक है / (p=3k), where (k) is an integer
B (p=k+3), जहाँ (k) पूर्णांक है / (p=k+3), where (k) is an integer
C \(p=\frac{3}{k}\)
D \(p=3+k^2\)
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Correct Answer
A. (p=3k), जहाँ (k) पूर्णांक है / (p=3k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
\(3\mid p\) का अर्थ है कि (p) (3) का गुणज है। / \(3\mid p\) means (p) is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p=3k) लिखा जाता है, जहाँ (k) पूर्णांक है। / So we write (p=3k), where (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता को गुणज के रूप में बदलना प्रमाण में मदद करता है। / Converting divisibility into a multiple form helps in the proof.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) से (p) के (5) से विभाज्य होने के बाद अगला सही कदम क्या है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after proving from \(p^2=5q^2\) that (p) is divisible by (5), what is the next correct step?
#real-numbers
#root5
#next-step
#proof-writing
A (p=5k) रखकर (q) के (5) से विभाज्य होने को सिद्ध करना / Put (p=5k) and prove that (q) is divisible by (5)
B तुरंत (p=q) लिखना / Immediately write (p=q)
C \(\sqrt{5}=5\) लिखना / Write \(\sqrt{5}=5\)
D (q=0) रखना / Put (q=0)
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Correct Answer
A. (p=5k) रखकर (q) के (5) से विभाज्य होने को सिद्ध करना / Put (p=5k) and prove that (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(5\mid p\) से (p=5k) लिखना उचित है। / From \(5\mid p\), it is proper to write (p=5k).
Step 2
Why this answer is correct
इसे मूल समीकरण में रखने पर \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Substituting it into the original equation gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
फिर \(5\mid q\) दिखाकर विरोधाभास पूरा करें। / Then prove \(5\mid q\) and complete the contradiction.
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किस कथन से पता चलता है कि \(\sqrt{2}\) पूर्णांक नहीं हो सकता?
Which statement shows that \(\sqrt{2}\) cannot be an integer?
#real-numbers
#root2
#integer-square
#concept
A ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है जिसका वर्ग (2) हो / There is no integer whose square is (2)
B (2) ऋणात्मक है / (2) is negative
C \(\sqrt{2}=2\) है / \(\sqrt{2}=2\)
D हर वर्गमूल पूर्णांक होता है / Every square root is an integer
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Correct Answer
A. ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है जिसका वर्ग (2) हो / There is no integer whose square is (2)
Step 1
Concept
पूर्णांकों के वर्ग (0,1,4,9) जैसे होते हैं। / Squares of integers are like (0,1,4,9).
Step 2
Why this answer is correct
कोई पूर्णांक ऐसा नहीं जिसका वर्ग (2) हो। / No integer has square (2).
Step 3
Exam Tip
फिर भी अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए परिमेय रूप वाला पूरा प्रमाण चाहिए। / Still, to prove irrationality, the full rational-form proof is needed.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न के बारे में क्या कहा जाएगा?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\), if both (p) and (q) are divisible by (3), what will be said about the fraction?
#real-numbers
#root3
#fraction
#lowest-form
A भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी / The fraction was not in lowest form
B भिन्न अवश्य शून्य थी / The fraction was necessarily zero
C भिन्न अवश्य पूर्णांक थी / The fraction was necessarily an integer
D भिन्न का हर शून्य था / The denominator of the fraction was zero
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Correct Answer
A. भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी / The fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता था। / So the fraction could be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की मान्यता से सीधा विरोधाभास है। / This directly contradicts the lowest-form assumption.
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यदि \(2\mid q^2\), तो \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (q) पर क्या निष्कर्ष लिया जाता है?
If \(2\mid q^2\), what conclusion about (q) is taken in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#even-square
#final-step
A (q) सम है / (q) is even
B (q) विषम है / (q) is odd
C (q=1) है / (q=1)
D (q) अपरिमेय है / (q) is irrational
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Correct Answer
A. (q) सम है / (q) is even
Step 1
Concept
\(2\mid q^2\) का अर्थ है कि \(q^2\) सम है। / \(2\mid q^2\) means \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। / If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (q) सम है और विरोधाभास पूरा होता है। / Therefore (q) is even and the contradiction is completed.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य क्यों असंभव है?
Why is it impossible for both (p) and (q) to be divisible by (5) in the irrationality proof of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#coprime
#impossibility
A क्योंकि (p) और (q) सरलतम रूप में सहअभाज्य लिए गए थे / Because (p) and (q) were taken coprime in lowest form
B क्योंकि (5) सम संख्या है / Because (5) is an even number
C क्योंकि (p) और (q) दशमलव हैं / Because (p) and (q) are decimals
D क्योंकि (q=0) है / Because (q=0)
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Correct Answer
A. क्योंकि (p) और (q) सरलतम रूप में सहअभाज्य लिए गए थे / Because (p) and (q) were taken coprime in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। / Both being divisible by (5) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह स्थिति आरंभिक शर्त के विरुद्ध है। / So this situation goes against the starting condition.
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किस विकल्प में \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण का सही अंतिम वाक्य है?
Which option gives the correct final sentence for proving the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#final-statement
#proof-writing
A अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{2}\) is irrational
B अतः \(\sqrt{2}\) परिमेय है / Hence \(\sqrt{2}\) is rational
C अतः (2) अपरिमेय है / Hence (2) is irrational
D अतः (p) और (q) दोनों शून्य हैं / Hence (p) and (q) are both zero
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Correct Answer
A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिला। / The proof gets a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधाभास मिलने पर वही मान्यता गलत होती है। / When a contradiction occurs, that assumption is false.
Step 3
Exam Tip
अंतिम वाक्य में साफ लिखें कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / In the final sentence, clearly write that \(\sqrt{2}\) is irrational.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि (p=3r), तो \(p^2\) का सही मान कौन-सा है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), if (p=3r), what is the correct value of \(p^2\)?
#real-numbers
#root3
#algebra
#squaring
A \(9r^2\)
B \(3r^2\)
C (6r)
D \(r^2+3\)
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Correct Answer
A. \(9r^2\)
Step 1
Concept
(p=3r) का वर्ग लेते समय (3) और (r) दोनों का वर्ग होगा। / When squaring (p=3r), both (3) and (r) are squared.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p-2 =(3r)2 =9r-2 )। / Therefore (p-2 =(3r)2 =9r-2 ).
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग न भूलें, नहीं तो आगे का प्रमाण गलत हो जाएगा। / Do not forget to square the coefficient, or the proof will go wrong.
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