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दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-2(k-2)\) और \(c=k^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(k-2)^2-4k^2=16(1-k)\)। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) होना चाहिए, इसलिए \(16(1-k)<0\), अर्थात् \(k>1\)। ध्यान दें कि \(k=1\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) का अर्थ है कि मूल वास्तविक नहीं हैं। / For the given quadratic equation, \(a=1\), \(b=-2(k-2)\), and \(c=k^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(k-2)^2-4k^2=16(1-k)\). No real roots require \(D<0\), so \(16(1-k)<0\), which gives \(k>1\). At \(k=1\), however, \(D=0\), giving two equal real roots. Exam tip: for a quadratic equation, \(D<0\) indicates that the roots are non-real.
A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=57))/Two real irrational and distinct ((D=57))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-5)2-4(4)(-2)=57) है। (57) धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए मूल अपरिमेय असमान हैं। / Here (D=(-5)2-4(4)(-2)=57). (57) is positive but not a perfect square, so the roots are irrational and distinct.
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल (\(\Delta=1\))/Two real, rational and distinct roots (\(\Delta=1\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-19\) और \(c=90\) हैं। अतः विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-19)^2-4(1)(90)=361-360=1\) है। चूँकि \(\Delta\) धनात्मक और पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न होंगे; वास्तव में मूल 9 और 10 हैं। विकल्प B के लिए \(\Delta=0\) होना आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(\Delta>0\) से भिन्न वास्तविक मूल और पूर्ण वर्ग विविक्तकर से परिमेयता जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=-19\), and \(c=90\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-19)^2-4(1)(90)=361-360=1\). Since \(\Delta\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct; in fact, they are 9 and 10. Option B would require \(\Delta=0\). Exam tip: \(\Delta>0\) indicates distinct real roots, and a perfect-square discriminant indicates that they are rational.
यहाँ \(a=5, b=-14, c=11\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-14)^2-4(5)(11)=196-220=-24\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प D में \(D=24\) लिया गया है, जो गणना में चिह्न की गलती के कारण आता है। परीक्षा-टिप: \(D<0\) होने पर मूल अवास्तविक होते हैं, \(D=0\) पर समान और \(D>0\) पर असमान वास्तविक मूल होते हैं। / Here, \(a=5, b=-14, c=11\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-14)^2-4(5)(11)=196-220=-24\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option D results from a sign error that gives \(D=24\). Exam tip: \(D<0\) means no real roots, \(D=0\) means equal real roots, and \(D>0\) means distinct real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=12, c=37\), इसलिए \(D=12^2-4(1)(37)=144-148=-4\)। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। ध्यान रखें: \(D=0\) होने पर ही दो समान वास्तविक मूल प्राप्त होते हैं। परीक्षा में पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचकर मूलों की प्रकृति निर्धारित करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1, b=12, c=37\), so \(D=12^2-4(1)(37)=144-148=-4\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. The condition \(D=0\), given in option B, would instead indicate two equal real roots. In an exam, first check the sign of the discriminant to determine the nature of the roots.
A. दो भिन्न वास्तविक परिमेय मूल \(D=1\)/Two distinct real rational roots \(D=1\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-21\) और \(c=110\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-21)^2-4(1)(110)=441-440=1\) है। चूँकि \(D>0\) और 1 एक पूर्ण वर्ग है, समीकरण के दो भिन्न वास्तविक परिमेय मूल होंगे। अतः विकल्प A सही है; \(D=0\) होने पर ही मूल समान होते। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से मूल भिन्न और वास्तविक, जबकि पूर्ण वर्ग विविक्तकर से उनकी परिमेयता पहचानी जाती है। / Here, \(a=1\), \(b=-21\), and \(c=110\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-21)^2-4(1)(110)=441-440=1\). Since \(D>0\) and 1 is a perfect square, the equation has two distinct real rational roots. Therefore, option A is correct; equal roots occur only when \(D=0\). Exam tip: \(D>0\) indicates distinct real roots, and a perfect-square discriminant indicates that the roots are rational.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं/No real roots \((D=-20)\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-10\) और \(c=30\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(30)=100-120=-20\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B तब सही होता जब \(D=0\) होता। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का चिह्न देखकर मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित की जा सकती है। / For the given quadratic equation, \(a=1\), \(b=-10\), and \(c=30\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(30)=100-120=-20\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option B would be correct only if \(D=0\). Exam tip: the sign of the discriminant directly determines the nature of the roots.
A. \(k\leq-3\) या \(k\geq1\)/\(k\leq-3\) or \(k\geq1\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(k+1)2-4(k+5)) है। \(D\geq0\) से \(k^2+k-4\geq0\) नहीं, सही सरल रूप \(k^2+k-4\geq0\) देता है। / Here (D=4(k+1)2-4(k+5)). \(D\geq0\) gives \(k^2+k-4\geq0\), so solve the resulting inequality carefully.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a=p\), \(b=-18\) और \(c=9\), इसलिए \((-18)^2-4(p)(9)=0\), अर्थात \(324-36p=0\)। अतः \(p=9\)। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले द्विघात समीकरण में सबसे पहले \(D=0\) रखें। / For equal roots, the discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=p\), \(b=-18\), and \(c=9\), so \((-18)^2-4(p)(9)=0\), giving \(324-36p=0\) and hence \(p=9\). Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
द्विघात समीकरण के समान वास्तविक मूल होने की शर्त विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=0\\) है। यहाँ \\(a=4, b=-9, c=q\\) हैं, इसलिए \\(D=(-9)^2-4(4)(q)=81-16q\\)। अतः \\(81-16q=0\\), जिससे \\(q=\\frac{81}{16}\\) प्राप्त होता है। परीक्षा में समान मूलों के लिए सीधे \\(D=0\\) लगाएँ। / A quadratic equation has two real and equal roots when its discriminant satisfies \\(D=b^2-4ac=0\\). Here, \\(a=4, b=-9, c=q\\), so \\(D=(-9)^2-4(4)(q)=81-16q\\). Setting this equal to zero gives \\(q=\\frac{81}{16}\\). Exam tip: for equal roots, immediately use the condition \\(D=0\\).
A. \(k\leq\frac{-1-2\sqrt{10}}{2}\) या \(k\geq\frac{-1+2\sqrt{10}}{2}\)/\(k\leq\frac{-1-2\sqrt{10}}{2}\) or \(k\geq\frac{-1+2\sqrt{10}}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए ((2k+1)2-40\geq0) चाहिए। इसलिए \(2k+1\leq-2\sqrt{10}\) या \(2k+1\geq2\sqrt{10}\)। / For real roots, ((2k+1)2-40\geq0) is needed. Hence \(2k+1\leq-2\sqrt{10}\) or \(2k+1\geq2\sqrt{10}\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k-5)\) और \(c=36\) हैं। इसलिए \(D=4(k-5)^2-144=0\), अर्थात \((k-5)^2=36\)। अतः \(k-5=\pm6\), जिससे \(k=11\) या \(k=-1\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2(k-5)\), and \(c=36\). Thus, \(D=4(k-5)^2-144=0\), which gives \((k-5)^2=36\). Therefore, \(k-5=\pm6\), so \(k=11\) or \(k=-1\). Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set the discriminant directly equal to zero.
A. मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग हैं/The roots are real, rational, and distinct
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(\Delta=144\) एक धनात्मक पूर्ण वर्ग है। \(\Delta>0\) होने से दोनों मूल वास्तविक और अलग-अलग होते हैं, जबकि पूर्ण वर्ग होने से, परिमेय गुणांकों वाले समीकरण में, मूल परिमेय होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \(\Delta=0\) पर सही होता है। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta>0\), \(\Delta=0\) और \(\Delta<0\) से पहले वास्तविकता तथा पूर्ण वर्ग होने से परिमेयता जाँचें। / The discriminant \(\Delta=144\) is a positive perfect square. Since \(\Delta>0\), the two roots are real and distinct; because the coefficients are rational and the discriminant is a perfect square, the roots are rational. Hence, option A is correct. Option B is true only when \(\Delta=0\). Exam tip: first use the sign of \(\Delta\) to determine whether the roots are real and distinct, and then check whether it is a perfect square to determine rationality.
अपरिमेय असमान मूलों के लिए (D>0) और (D) पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। (15) यह शर्त पूरी करता है। / For irrational distinct roots, (D>0) and (D) must not be a perfect square. (15) satisfies this condition.
A. दो वास्तविक, अपरिमेय और असमान मूल/Two real, irrational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=2\), \(b=-7\) और \(c=1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-7)^2-4(2)(1)=41\)। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और असमान हैं; तथा 41 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए वे अपरिमेय भी हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि उसके लिए विविक्तकर धनात्मक पूर्ण वर्ग होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और अपूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, असमान और अपरिमेय होते हैं। / Here, \(a=2\), \(b=-7\), and \(c=1\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-7)^2-4(2)(1)=41\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; because 41 is not a perfect square, they are also irrational. Option B is incorrect because rational roots in this test require a positive perfect-square discriminant. Exam tip: when \(D>0\) and is not a perfect square, the roots are real, distinct, and irrational.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=(-19)^2-4(10)(6)=121\\) है। चूँकि \\(D>0\\), दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। साथ ही, \\(121\\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल परिमेय हैं। वास्तव में, समीकरण के मूल \\(x=\frac{2}{5}\\) और \\(x=\frac{3}{2}\\) हैं। अतः विकल्प A सही है; विकल्प D गलत है क्योंकि विविक्तकर पूर्ण वर्ग है। परीक्षा-टिप: \\(D>0\\) से असमान वास्तविक मूल और पूर्ण वर्ग विविक्तकर से परिमेय मूल निर्धारित करें। / The discriminant is \\(D=b^2-4ac=(-19)^2-4(10)(6)=121\\). Since \\(D>0\\), the roots are real and distinct. Also, \\(121\\) is a perfect square, so both roots are rational. In fact, the roots are \\(x=\frac{2}{5}\\) and \\(x=\frac{3}{2}\\). Therefore, option A is correct; option D is incorrect because the discriminant is a perfect square. Exam tip: Use \\(D>0\\) for distinct real roots, and check whether \\(D\\) is a perfect square to decide if they are rational.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं/No real roots \((D=-47)\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3, b=1, c=4\), इसलिए \(D=1^2-4(3)(4)=1-48=-47\)। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। ध्यान रखें: \(D<0\) का अर्थ वास्तविक मूलों का न होना, जबकि \(D=0\) का अर्थ दो समान वास्तविक मूल होना है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3, b=1, c=4\), so \(D=1^2-4(3)(4)=1-48=-47\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Exam tip: \(D<0\) indicates no real roots, whereas \(D=0\) indicates two equal real roots.
A. (D=9)�, दो भिन्न वास्तविक परिमेय मूल/�(D=9)�, two distinct real rational roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण �\(ax^2+bx+c=0\)� के लिए विविक्तकर �D=b-2-4ac� होता है। यहाँ �a=1,b=15,c=54� हैं, इसलिए �D=152-4(1)(54)=225-216=9�। चूँकि �D>0� और 9 एक पूर्ण वर्ग है, दोनों मूल वास्तविक, भिन्न और परिमेय होंगे। वास्तव में समीकरण �(x+6)(x+9)=0� है, जिससे मूल �-6� और �-9� प्राप्त होते हैं। परीक्षा-युक्ति: �D>0� पर मूल भिन्न वास्तविक होते हैं; यदि �D� पूर्ण वर्ग हो, तो वे परिमेय भी होते हैं। / For a quadratic equation �\(ax^2+bx+c=0\)�, the discriminant is �D=b-2-4ac�. Here, �a=1,b=15,c=54�, so �D=152-4(1)(54)=225-216=9�. Since �D>0� and 9 is a perfect square, the roots are real, distinct, and rational. In fact, �(x+6)(x+9)=0�, giving the roots �-6� and �-9�. Exam tip: �D>0� indicates distinct real roots, and a perfect-square discriminant indicates rational roots.
A. दो वास्तविक और समान मूल \((D=0)\)/Two real and equal roots \((D=0)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=12\), \(b=-12\) और \(c=3\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-12)^2-4(12)(3)=144-144=0\)। जब \(D=0\) होता है, तब दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में, समीकरण \(3(2x-1)^2=0\) है, इसलिए समान मूल \(x=\frac{1}{2}\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(D>0\) होने पर मूल असमान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D=0\) को देखते ही समान वास्तविक मूल चुनें। / Here, \(a=12\), \(b=-12\), and \(c=3\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-12)^2-4(12)(3)=144-144=0\). When \(D=0\), the roots are real and equal. In fact, the equation can be written as \(3(2x-1)^2=0\), giving the repeated root \(x=\frac{1}{2}\). Option B is incorrect because \(D>0\) gives two distinct real roots. Exam tip: For a quadratic equation, \(D=0\) always indicates equal real roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं/No real roots \((D=-47)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=7\), \(b=3\) और \(c=2\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=3^2-4(7)(2)=9-56=-47\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \(D=0\) होता, जबकि यहाँ विविक्तकर ऋणात्मक है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले \(D=b^2-4ac\) का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=7\), \(b=3\), and \(c=2\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=3^2-4(7)(2)=9-56=-47\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option B would be correct only if \(D=0\), but the discriminant here is negative. Exam tip: To determine the nature of the roots, first calculate the sign of \(D=b^2-4ac\).
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \\(a=8, b=2, c=-3\\) हैं। अतः विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=2^2-4(8)(-3)=100\\)। चूँकि \\(D>0\\), दोनों मूल वास्तविक और असमान हैं; तथा \\(100\\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल परिमेय भी हैं। वास्तव में मूल \\(\frac{1}{2}\\) और \\(-\frac{3}{4}\\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \\(D>0\\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, असमान और परिमेय होते हैं। / Here, \\(a=8, b=2, c=-3\\). Therefore, the discriminant is \\(D=b^2-4ac=2^2-4(8)(-3)=100\\). Since \\(D>0\\), the roots are real and distinct; since \\(100\\) is a perfect square, they are also rational. In fact, the roots are \\(\frac{1}{2}\\) and \\(-\frac{3}{4}\\). Exam tip: If \\(D>0\\) and the discriminant is a perfect square, the roots are real, distinct, and rational.
A. कथन गलत है, कारण सही है/Assertion is wrong, reason is correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-6)2-4(1)(11)=-8) है। (D<0) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते, इसलिए कथन गलत है। / Here (D=(-6)2-4(1)(11)=-8). Since (D<0), real roots do not exist, so the assertion is wrong.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण कथन की सही व्याख्या करता है/Both the assertion and the reason are correct, and the reason correctly explains the assertion
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=7\), \(b=-14\) और \(c=7\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-14)^2-4(7)(7)=196-196=0\)। द्विघात समीकरण में \(D=0\) होने पर दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। इसलिए कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण कथन की सही व्याख्या करता है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले \(D=b^2-4ac\) का मान निकालें। / Here, \(a=7\), \(b=-14\), and \(c=7\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-14)^2-4(7)(7)=196-196=0\). For a quadratic equation, \(D=0\) means that the two roots are real and equal. Hence, both the assertion and the reason are correct, and the reason correctly explains the assertion. Exam tip: Calculate \(D=b^2-4ac\) first to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=2\), \(b=-3\) और \(c=5\) हैं, इसलिए \(D=(-3)^2-4(2)(5)=9-40=-31\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। ऋणात्मक विविक्तकर यह भी बताता है कि समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: \(b\) ऋणात्मक हो तो भी \(b^2\) धनात्मक होगा। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=2\), \(b=-3\), and \(c=5\), so \(D=(-3)^2-4(2)(5)=9-40=-31\). Therefore, option A is correct. Since the discriminant is negative, the equation has no real roots. Exam tip: even when \(b\) is negative, \(b^2\) is positive.
विकल्प (A) में (D=(-17)2-4(1)(72)=1) है। धनात्मक पूर्ण वर्ग (D) परिमेय असमान मूल देता है। / In option (A), (D=(-17)2-4(1)(72)=1). A positive perfect-square (D) gives rational distinct roots.
यदि परिमेय गुणांकों वाले किसी द्विघात समीकरण का परवलय x-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है और उसका विविक्तकर \(D\) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो उसके मूल कैसे होंगे?
A. दो वास्तविक, अपरिमेय और असमान मूल/Two real, irrational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
परवलय का x-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटना \(D>0\) दर्शाता है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और असमान हैं। परिमेय गुणांकों वाले द्विघात समीकरण में \(D\) यदि पूर्ण वर्ग नहीं है, तो सूत्र \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) के कारण मूल अपरिमेय होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B तब सही होता जब \(D\) पूर्ण वर्ग होता। परीक्षा-टिप: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) क्रमशः असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / A parabola intersecting the x-axis at two distinct points means \(D>0\), so the roots are real and distinct. For a quadratic equation with rational coefficients, if \(D\) is not a perfect square, then \(\sqrt{D}\) is irrational; hence, from \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\), both roots are irrational. Therefore, option A is correct. Option B would apply when \(D\) is a perfect square. Exam tip: \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) indicate distinct real, equal real, and non-real roots, respectively.
A. परवलय (x)-अक्ष को नहीं काटता/The parabola does not cut the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
(D<0) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। ग्राफ में इसका अर्थ है (x)-अक्ष से कोई कटाव नहीं। / When (D<0), there are no real roots. In graph form it means no intersection with the (x)-axis.
A. दो भिन्न वास्तविक अपरिमेय मूल/Two distinct real irrational roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में \(\Delta>0\) होने पर दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं। यहाँ \(\Delta=27\) धनात्मक है, इसलिए मूल भिन्न और वास्तविक होंगे। चूँकि \(27\) पूर्ण वर्ग नहीं है और गुणांक परिमेय हैं, मूल अपरिमेय होंगे। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta>0\), \(\Delta=0\) और \(\Delta<0\) क्रमशः भिन्न वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / For a quadratic equation, \(\Delta>0\) means that the roots are real and distinct. Since \(\Delta=27\) is positive, the roots are distinct and real. Also, 27 is not a perfect square; with rational coefficients, the roots are therefore irrational. Hence, option A is correct. Exam tip: \(\Delta>0\), \(\Delta=0\), and \(\Delta<0\) indicate distinct real, equal real, and non-real roots, respectively.
A. \\(k<2-4\\sqrt{3}\\) या/or \\(k>2+4\\sqrt{3}\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=3\\), \\(b=k-2\\) और \\(c=4\\), इसलिए \\(D=(k-2)^2-48\\)। दो असमान वास्तविक मूलों के लिए \\(D>0\\) आवश्यक है, अतः \\((k-2)^2>48\\)। इससे \\(|k-2|>4\\sqrt{3}\\), यानी \\(k<2-4\\sqrt{3}\\) या \\(k>2+4\\sqrt{3}\\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में विविक्तकर ऋणात्मक होता है, जबकि सीमांत मानों पर मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \\(D>0\\) जाँचें। / For a quadratic equation, the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=3\\), \\(b=k-2\\), and \\(c=4\\), so \\(D=(k-2)^2-48\\). Two distinct real roots require \\(D>0\\), which gives \\((k-2)^2>48\\). Hence \\(|k-2|>4\\sqrt{3}\\), so \\(k<2-4\\sqrt{3}\\) or \\(k>2+4\\sqrt{3}\\). Therefore, option A is correct. In option B, the discriminant is negative, and at the boundary values the roots are equal. Exam tip: for distinct real roots, always check \\(D>0\\).
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=(k+2)^2-4(1)(9)=(k+2)^2-36\) है। अतः \((k+2)^2<36\), जिससे \(-6<k+2<6\) और इसलिए \(-8<k<4\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(D>0\) होता है, इसलिए वहाँ दो वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=(k+2)^2-4(1)(9)=(k+2)^2-36\). Thus, \((k+2)^2<36\), giving \(-6<k+2<6\), and hence \(-8<k<4\). In option B, \(D>0\), so the equation has two distinct real roots. Exam tip: For ‘no real roots’, always apply the condition \(D<0\).
