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पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद पिछले पद का \(\frac14\) होता है। अतः \(a_2=\frac{96}{4}=24\) और \(a_3=\frac{24}{4}=6\)। इसलिए सही उत्तर 6 है। विकल्प 24, \(a_2\) है, \(a_3\) नहीं। परीक्षा टिप: \(a_3\) ज्ञात करने के लिए \(a_1\) से नियम को दो बार लागू करें। / The recursive rule makes each new term one-fourth of the preceding term. Thus, \(a_2=\frac{96}{4}=24\) and \(a_3=\frac{24}{4}=6\). Therefore, the correct answer is 6. Option 24 is \(a_2\), not \(a_3\). Exam tip: to find \(a_3\) from \(a_1\), apply the rule twice.
विकल्प A में पहला पद दिया है और प्रत्येक अगला पद पिछले पद में 4 जोड़कर बनता है, इसलिए यह पुनरावर्ती नियम है। विकल्प B प्रत्यक्ष सूत्र है। परीक्षा टिप: recursive rule में पिछले पद का संकेत देखें। / Option A gives an initial term and forms every next term by adding 4 to the previous term, so it is recursive. Option B is an explicit formula. Exam tip: look for a reference to the previous term in a recursive rule.
पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद पिछले पद का आधा है: \(a_2=24\), \(a_3=12\), \(a_4=6\), और \(a_5=3\)। इसलिए सही उत्तर 3 है। 6 वास्तव में \(a_4\) है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(a_1\) से शुरू करके पदों की क्रम संख्या सावधानी से गिनें। / By the recursive rule, each new term is half of the preceding term: \(a_2=24\), \(a_3=12\), \(a_4=6\), and \(a_5=3\). Therefore, the correct answer is 3. The value 6 is \(a_4\), so it is a close but incorrect option. Exam tip: start from \(a_1\) and count the term positions carefully.
पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद अपने पिछले दो पदों का योग है। इसलिए \(a_3=4+1=5\) और \(a_4=5+4=9\)। अतः सही उत्तर 9 है। 10 तब मिलता यदि गलत पदों को जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: पहले \(a_3\) निकालें, फिर उसी का उपयोग करके \(a_4\) ज्ञात करें। / By the recursive rule, each new term is the sum of the two preceding terms. Thus, \(a_3=4+1=5\) and \(a_4=5+4=9\). Therefore, the correct answer is 9. A value such as 10 results from adding incorrect terms. Exam tip: find \(a_3\) first, then use it to calculate \(a_4\).
दिया है \(a_n=2n^3-n\)। अतः \(a_6=2(6)^3-6=432-6=426\) और \(a_4=2(4)^3-4=128-4=124\)। इसलिए \(a_6-a_4=426-124=302\)। विकल्प 304 प्राप्त करने में घटाव या घन की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा में पहले प्रत्येक पद का मान अलग-अलग निकालकर फिर अंतर ज्ञात करें। / Given \(a_n=2n^3-n\), \(a_6=2(6)^3-6=432-6=426\) and \(a_4=2(4)^3-4=128-4=124\). Therefore, \(a_6-a_4=426-124=302\). The value 304 may result from an error in subtraction or in evaluating a cube. In an exam, calculate each term separately before finding their difference.
दिया गया नियम है: अगला पद = (पिछला पद × 3) + 3। अंतिम दिया गया पद 282 है, इसलिए अगला पद \((282\times3)+3=846+3=849\) होगा। 846 केवल 282 का तीन गुना है; उसमें आवश्यक 3 जोड़ना शेष है। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में अंतिम पद पर दिया गया पुनरावर्ती नियम क्रम से लागू करें। / The rule is: next term = (previous term × 3) + 3. The last given term is 282, so the next term is \((282\times3)+3=846+3=849\). Option 846 is only three times 282 and misses the required addition of 3. Exam tip: apply the stated recurrence rule step by step to the last term.
दिया है कि \(a_n=n^2+kn\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=3^2+3k=30\), अर्थात \(9+3k=30\)। इसलिए \(k=7\)। अब \(n=6\) रखने पर \(a_6=6^2+6(7)=36+42=78\)। अतः सही विकल्प C है। \(84\) तब मिलता यदि \(6^2+7\times 6\) के बजाय गणना में त्रुटि की जाए। परीक्षा टिप: पहले दी गई पद-शर्त से अज्ञात नियतांक ज्ञात करें, फिर आवश्यक \(n\) का मान रखें। / Given \(a_n=n^2+kn\). Substituting \(n=3\), \(a_3=3^2+3k=30\), so \(9+3k=30\). Hence, \(k=7\). Now, for \(n=6\), \(a_6=6^2+6(7)=36+42=78\). Therefore, option C is correct. The value \(84\) would result from an incorrect calculation. Exam tip: first use the given term to find the unknown constant, then substitute the required value of \(n\).
पुनरावर्ती संबंध को क्रमशः लागू करें: \(a_2=3(2)-1=5\), \(a_3=3(5)-1=14\), \(a_4=3(14)-1=41\)। इसलिए \(a_5=3(41)-1=122\) होगा। विकल्प 116 तब मिल सकता है जब अंतिम चरण में गुणा या घटाव में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक नया पद पिछले पद से ही निकालें और बीच के पद लिखते चलें। / Apply the recurrence step by step: \(a_2=3(2)-1=5\), \(a_3=3(5)-1=14\), and \(a_4=3(14)-1=41\). Therefore, \(a_5=3(41)-1=122\). The value 116 can result from an error in multiplication or subtraction in the final step. Exam tip: write each intermediate term before finding the required term.
क्रमागत पदों के अंतर 3, 4, 7, 12 हैं। इन अंतरों के अंतर क्रमशः 1, 3, 5 हैं, इसलिए अगला अंतर 7 होगा। अतः अगला प्रथम अंतर 12+7=19 और अगला पद 28+19=47 होगा। 45 लेने पर अंतर केवल 17 होगा, जो अपेक्षित 19 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले प्रथम अंतर, फिर द्वितीय अंतर लिखकर पैटर्न जाँचें। / The differences between consecutive terms are 3, 4, 7, and 12. Their second differences are 1, 3, and 5, so the next second difference is 7. Hence, the next first difference is 12+7=19, and the next term is 28+19=47. If 45 were chosen, the difference would be only 17, not the required 19. Exam tip: For such sequences, list first differences and then second differences to identify the pattern.
क्रमागत पदों के अंतर हैं: \(10-7=3\), \(16-10=6\), \(28-16=12\) और \(52-28=24\)। प्रत्येक अंतर पिछले अंतर का दोगुना है, इसलिए अगला अंतर \(48\) होगा। अतः अगला पद \(52+48=100\) है। \(96\) तब मिलता यदि अगला अंतर 44 लिया जाता, लेकिन यह दिए गए दोगुने होने के नियम का पालन नहीं करता। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में पहले क्रमागत पदों के अंतर लिखकर उनका पैटर्न जाँचें। / The consecutive differences are \(10-7=3\), \(16-10=6\), \(28-16=12\), and \(52-28=24\). Each difference is twice the preceding one, so the next difference is \(48\). Therefore, the next term is \(52+48=100\). Option 96 would require a next difference of 44, which does not follow the doubling rule. Exam tip: For such sequences, first list consecutive differences and check their pattern.
नियम है: अगला पद = पिछले पद का दोगुना + 1। अतः 47 के बाद का पद \(2\times47+1=94+1=95\) होगा। 94 केवल 47 का दोगुना है; उसमें आवश्यक 1 नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में अंतिम दिए गए पद पर नियम को सीधे लागू करके उत्तर जाँचें। / The rule is: next term = twice the previous term + 1. Therefore, the term after 47 is \(2\times47+1=94+1=95\). Option 94 is only twice 47; it misses the required addition of 1. Exam tip: apply the stated rule directly to the last given term to verify the answer.
क्रमागत पदों के अंतर क्रमशः \(8,16,24,32\) हैं। ये अंतर हर बार \(8\) से बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला अंतर \(40\) होगा। अतः अगला पद \(90+40=130\) है। \(126\) चुनना गलत होगा, क्योंकि वह अगले अंतर को \(36\) मानने पर मिलेगा। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में पहले पदों के अंतर लिखकर उनके पैटर्न की जाँच करें। / The successive differences are \(8,16,24,32\). Each difference increases by \(8\), so the next difference is \(40\). Therefore, the next term is \(90+40=130\). Choosing \(126\) would incorrectly use \(36\) as the next difference. Exam tip: for such sequences, first list consecutive differences and check their pattern.
नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद उससे पहले के दो पदों का योग है: 11 = 2 + 9, 20 = 9 + 11 और 31 = 11 + 20। इसलिए अगला पद 20 + 31 = 51 होगा। 52 सही नहीं है, क्योंकि वह पिछले दो पदों का योग नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रम में अगला पद निकालने से पहले दिए गए पदों से नियम की जाँच अवश्य करें। / By the given rule, each new term is the sum of the two preceding terms: 11 = 2 + 9, 20 = 9 + 11, and 31 = 11 + 20. Therefore, the next term is 20 + 31 = 51. Option 52 is incorrect because it is not the sum of the previous two terms. Exam tip: In a sequence question, first verify the rule using the given terms before finding the next term.
क्रमागत पदों के अंतर हैं: \(18-12=6\), \(27-18=9\) और \(39-27=12\)। ये अंतर हर बार 3 बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला अंतर \(15\) होगा। अतः अगला पद \(39+15=54\) है। 51 लेने पर अंतर केवल 12 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले क्रमागत पदों का अंतर लिखकर उसका पैटर्न जाँचें। / The differences between consecutive terms are \(18-12=6\), \(27-18=9\), and \(39-27=12\). Since these differences increase by 3 each time, the next difference is \(15\). Therefore, the next term is \(39+15=54\). Choosing 51 would give a difference of only 12, so it does not continue the pattern. Exam tip: Write the consecutive differences first, then identify their pattern.
क्रम के क्रमागत अंतरों को देखें: \(11-6=5\), \(21-11=10\), \(36-21=15\) और \(56-36=20\)। अंतर प्रत्येक बार \(5\) बढ़ रहा है, इसलिए अगला अंतर \(25\) होगा। अतः अगला पद \(56+25=81\) है। विकल्प 84 लेने पर अंतर \(28\) होगा, जो इस पैटर्न के अनुसार नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में पहले क्रमागत पदों के अंतर लिखकर पैटर्न जाँचें। / Look at the differences between consecutive terms: \(11-6=5\), \(21-11=10\), \(36-21=15\), and \(56-36=20\). The difference increases by \(5\) each time, so the next difference is \(25\). Hence, the next term is \(56+25=81\). Choosing 84 would give a difference of \(28\), which does not follow the pattern. Exam tip: for such sequences, first list the consecutive differences to identify the pattern.
यहाँ सामान्य पद \(a_n=3^n-1\) है। \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(3^1-1=2\), \(3^2-1=8\), \(3^3-1=26\) और \(3^4-1=80\) मिलते हैं। इसलिए सही क्रम \((2, 8, 26, 80)\) है। विकल्प B में केवल \(3\) की घातें हैं; उसमें प्रत्येक पद से 1 नहीं घटाया गया है। परीक्षा टिप: पहले चार पद निकालने के लिए सामान्य पद में \(n=1\) से \(4\) तक मान रखें। / The general term is \(a_n=3^n-1\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(3^1-1=2\), \(3^2-1=8\), \(3^3-1=26\), and \(3^4-1=80\). Hence, the correct sequence is \((2, 8, 26, 80)\). Option B lists only the powers of 3 and does not subtract 1 from each term. Exam tip: To find initial terms from a general term, substitute consecutive values of \(n\), beginning with 1.
इस क्रम में तीसरे पद से प्रत्येक पद अपने ठीक पहले के दो पदों का योग है: \(3+4=7\), \(4+7=11\) और \(7+11=18\)। इसलिए अगला पद \(11+18=29\) होगा। 27 केवल अंतर बढ़ाने के एक अलग अनुमान से आ सकता है, पर वह दिए गए योग-नियम का पालन नहीं करता। परीक्षा टिप: क्रम में पहले पदों के बीच का संबंध जाँचें, फिर उसी नियम को अगले पद पर लागू करें। / From the third term onward, each term is the sum of the two immediately preceding terms: \(3+4=7\), \(4+7=11\), and \(7+11=18\). Therefore, the next term is \(11+18=29\). Although 27 may result from guessing a pattern in the differences, it does not follow the given sum rule. Exam tip: first check the relation among consecutive terms, then apply the same rule to find the next term.
क्रमागत पदों के अंतर हैं: \(6-2=4\), \(12-6=6\), \(20-12=8\) और \(30-20=10\)। ये अंतर प्रत्येक बार 2 से बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला अंतर \(12\) होगा। अतः अगला पद \(30+12=42\) है। \(40\) लेने पर अंतर केवल 10 होगा, जबकि अंतर का क्रम आगे नहीं बढ़ेगा। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में पहले क्रमागत पदों के अंतर लिखकर उनका पैटर्न जाँचें। / The differences between consecutive terms are \(6-2=4\), \(12-6=6\), \(20-12=8\), and \(30-20=10\). These differences increase by 2 each time, so the next difference is \(12\). Therefore, the next term is \(30+12=42\). Choosing \(40\) would repeat a difference of 10 instead of continuing the pattern. Exam tip: For such sequences, first list the consecutive differences and look for their pattern.
क्रम के क्रमागत पदों के अंतर हैं: \(7-5=2\), \(10-7=3\), \(14-10=4\) और \(19-14=5\)। अंतर हर बार 1 से बढ़ रहा है, इसलिए अगला अंतर \(6\) होगा। अतः अगला पद \(19+6=25\) है। विकल्प 24 तब मिलता यदि अगला अंतर 5 ही रहता, जो दिए गए पैटर्न के अनुसार नहीं है। परीक्षा टिप: क्रम में पहले पदों के बीच का अंतर लिखकर पैटर्न पहचानें। / The differences between consecutive terms are \(7-5=2\), \(10-7=3\), \(14-10=4\), and \(19-14=5\). Since the difference increases by 1 each time, the next difference is \(6\). Therefore, the next term is \(19+6=25\). Option 24 would result if the next difference remained 5, which does not follow the pattern. Exam tip: Write the consecutive differences first to identify a sequence pattern.
क्रमागत पदों के अंतर क्रमशः 2, 3, 4 और 5 हैं। ये अंतर हर बार 1 से बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला अंतर 6 होगा। अतः अगला पद \(15+6=21\) है। 20 लेने पर अंतर 5 मिलता है, जबकि अगला अंतर 6 होना चाहिए। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में पहले क्रमागत पदों के अंतर लिखकर उनका पैटर्न जाँचें। / The differences between consecutive terms are 2, 3, 4, and 5. Since each difference increases by 1, the next difference is 6. Therefore, the next term is \(15+6=21\). Choosing 20 would give a difference of 5, but the required next difference is 6. Exam tip: For such sequences, list consecutive differences first and look for their pattern.
क्रमागत पदों के अंतर क्रमशः 2, 3, 4 और 5 हैं। ये अंतर हर बार 1 से बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला अंतर 6 होगा। अतः अगला पद \(16+6=22\) है। 21 लेने पर अंतर केवल 5 होगा, जबकि अंतर का क्रम 2, 3, 4, 5, 6 होना चाहिए। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में पहले क्रमागत पदों के अंतर लिखकर उनका पैटर्न जाँचें। / The differences between consecutive terms are 2, 3, 4, and 5. Since each difference increases by 1, the next difference is 6. Therefore, the next term is \(16+6=22\). Choosing 21 would give a difference of only 5, whereas the differences should follow 2, 3, 4, 5, 6. Exam tip: For such sequences, first write the consecutive differences and identify their pattern.
इस क्रम में प्रत्येक पद अपने से पहले के दो पदों का योग है: \(2+3=5\), \(3+5=8\) और \(5+8=13\)। इसलिए अगला पद \(8+13=21\) होगा। 20 जैसे विकल्प गलत हैं क्योंकि वह पिछले दो पदों का योग नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में लगातार पदों के अंतर या पिछले पदों के योग को जाँचें। / In this sequence, each term is the sum of the two preceding terms: \(2+3=5\), \(3+5=8\), and \(5+8=13\). Therefore, the next term is \(8+13=21\). An option such as 20 is incorrect because it is not the sum of the previous two terms. Exam tip: For such sequences, check differences between consecutive terms or sums of preceding terms.
लगातार पदों का अंतर निकालें: \(5-2=3\), \(10-5=5\) और \(17-10=7\)। इसलिए अंतरों का क्रम \((3, 5, 7, \ldots)\) है। विकल्प A में अंतर 2 से शुरू होता है, जबकि पहले दो पदों का वास्तविक अंतर 3 है। परीक्षा टिप: किसी क्रम के लगातार अंतर पाने के लिए प्रत्येक पद में से उसके ठीक पहले वाला पद घटाइए। / Subtract each term from the next term: \(5-2=3\), \(10-5=5\), and \(17-10=7\). Hence, the sequence of consecutive differences is \((3, 5, 7, \ldots)\). Option A is incorrect because the actual difference between the first two terms is 3, not 2. Exam tip: To find consecutive differences, subtract each term from the term immediately following it.
