Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(n_2=6\), \(n_3=3\) और \(n_4=-10\) है। परीक्षा में ऋणात्मक उत्तर आने पर भी गणना न छोड़ें। / \(n_2=6\), \(n_3=3\), and \(n_4=-10\). In exams, do not stop the calculation when a negative answer appears.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद के लिए वर्तमान सूचकांक का मान रखा जाता है। अतः \(m_2=2+3(2)=8\), \(m_3=8+3(3)=17\) और \(m_4=17+3(4)=29\)। इसलिए सही उत्तर 29 है। 32 तब मिलता यदि अंतिम चरण में \(3n\) के स्थान पर कोई गलत वृद्धि जोड़ी जाए। परीक्षा टिप: \(m_1\) दिया हो तो अगला पद निकालते समय \(n=2\) से शुरुआत करें। / In the recursive rule, substitute the current index each time. Thus, \(m_2=2+3(2)=8\), \(m_3=8+3(3)=17\), and \(m_4=17+3(4)=29\). Therefore, 29 is correct. A value such as 32 would result from using an incorrect increment in the final step instead of \(3n\). Exam tip: when \(m_1\) is given, begin finding the next term with \(n=2\).
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद से निकाला जाता है। \(k_2=\frac{64}{2}+2=34\), \(k_3=\frac{34}{2}+3=20\), और \(k_4=\frac{20}{2}+4=14\)। इसलिए सही उत्तर \(14\) है। \(12\) जैसे विकल्प में अक्सर \(k_3\) से \(4\) जोड़ने से पहले 2 से भाग देने की प्रक्रिया छूट जाती है। परीक्षा टिप: हर चरण में पहले पिछले पद को 2 से भाग दें, फिर वर्तमान सूचकांक \(n\) जोड़ें। / In a recursive rule, each new term is calculated from the preceding term. \(k_2=\frac{64}{2}+2=34\), \(k_3=\frac{34}{2}+3=20\), and \(k_4=\frac{20}{2}+4=14\). Hence, the correct answer is \(14\). A choice such as \(12\) can result from missing the division by 2 before adding 4. Exam tip: at every step, first divide the previous term by 2 and then add the current index \(n\).
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद निकालने के लिए उसके सूचकांक से पिछले पद का गुणा किया जाता है। अतः \(h_2=2\times3=6\), \(h_3=3\times6=18\), और \(h_4=4\times18=72\)। इसलिए सही उत्तर 72 है। 64 जैसे विकल्प में नियम के अनुसार क्रमशः 2, 3 और 4 से गुणा नहीं किया गया है। परीक्षा में \(h_4\) तक पहुँचने के लिए \(n=2,3,4\) के चरण अलग-अलग लिखें। / Under the recursive rule, each term is found by multiplying the previous term by its index. Thus, \(h_2=2\times3=6\), \(h_3=3\times6=18\), and \(h_4=4\times18=72\). Therefore, 72 is correct. An option such as 64 does not follow the required successive multiplications by 2, 3, and 4. Exam tip: write the steps for \(n=2,3,4\) separately to avoid using the wrong index.
क्रमशः (3), (5), (7), (9) जोड़ने पर \(g_5=26\) मिलता है। परीक्षा में जोड़ी गई राशियों को अलग लिखें। / Adding (3), (5), (7), and (9) gives \(g_5=26\). In exams, write the added quantities separately.
\(f_2=8\), \(f_3=5\), \(f_4=1\) और \(f_5=-4\) है। परीक्षा में शून्य से नीचे जाने वाला पहला पद देखें। / \(f_2=8\), \(f_3=5\), \(f_4=1\), and \(f_5=-4\). In exams, find the first term that goes below zero.
B. नियम \(e_n=2e_{n-1}+1\)/Rule \(e_n=2e_{n-1}+1\)
Explanation
Simple Explanation
हर नया पद पिछले पद के दोगुने में (1) जोड़ने से मिलता है। परीक्षा में नियम को दो पदों पर जाँचें। / Each new term is obtained by doubling the previous term and adding (1). In exams, test the rule on two terms.
पुनरावर्ती नियम से पीछे चलें: \(d_4=d_3+8\), \(d_3=d_2+6\) और \(d_2=d_1+4\)। अतः \(d_4=d_1+4+6+8=d_1+18\)। चूँकि \(d_4=25\), इसलिए \(d_1=25-18=7\)। विकल्प 8 लेने पर \(d_4=26\) आता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी पुनरावर्ती अनुक्रम में दिया गया बाद का पद हो तो नियम को क्रमशः पीछे की ओर लागू करें। / Work backward using the recursive rule: \(d_4=d_3+8\), \(d_3=d_2+6\), and \(d_2=d_1+4\). Hence, \(d_4=d_1+4+6+8=d_1+18\). Since \(d_4=25\), \(d_1=25-18=7\). If \(d_1=8\), then \(d_4\) would be 26, not 25. Exam tip: when a later term is given in a recursive sequence, apply the rule step by step backward.
पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद पिछले पद के दोगुने और उससे पहले वाले पद के योग के बराबर है। अतः \(c_3=2(3)+1=7\), \(c_4=2(7)+3=17\), और \(c_5=2(17)+7=41\)। इसलिए सही उत्तर 41 है। 39 जैसा निकट विकल्प तब मिल सकता है जब पिछले दो पदों में गलत पद लिया जाए। परीक्षा टिप: हर चरण में पिछले दो सही पद लिखकर ही अगला पद निकालें। / By the recursive rule, each new term equals twice the preceding term plus the term before it. Thus, \(c_3=2(3)+1=7\), \(c_4=2(7)+3=17\), and \(c_5=2(17)+7=41\). Therefore, the correct answer is 41. A close distractor such as 39 can result from using an incorrect previous term. Exam tip: write the two preceding terms at every step before calculating the next one.
\(b_2=16\), \(b_3=45\) और \(b_4=131\) मिलता है। परीक्षा में गुणा और घटाव दोनों ध्यान से करें। / We get \(b_2=16\), \(b_3=45\), and \(b_4=131\). In exams, handle both multiplication and subtraction carefully.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद के लिए उसी पद का सूचकांक लेना होता है। \(a_2=2(3)+2+1=9\), \(a_3=2(9)+3+1=22\), और \(a_4=2(22)+4+1=49\)। अतः सही उत्तर \(49\) है। \(46\) जैसा उत्तर प्रायः \(n+1\) वाले भाग में सूचकांक गलत रखने से मिलता है। परीक्षा टिप: हर चरण में \(n\) का नया मान लिखकर ही गणना करें। / In a recursive rule, use the index of the term currently being found. \(a_2=2(3)+2+1=9\), \(a_3=2(9)+3+1=22\), and \(a_4=2(22)+4+1=49\). Therefore, the correct answer is \(49\). An answer such as \(46\) can result from using an incorrect value of the index in the \(n+1\) part. Exam tip: write the new value of \(n\) at every step before calculating.
पहले \(a_2=7\), फिर \(a_3=15\) और अंत में \(a_4=31\) मिलता है। परीक्षा में पुनरावर्ती नियम को क्रम से लागू करें। / First \(a_2=7\), then \(a_3=15\), and finally \(a_4=31\). In exams, apply the recursive rule step by step.
पुनरावर्ती नियम में पहले n=1 रखने पर a_2=4a_1-(1+1)=4×3-2=10 मिलता है। फिर n=2 रखने पर a_3=4a_2-(2+1)=4×10-3=37। इसलिए सही विकल्प 37 है। 39 तब मिलता यदि दूसरे चरण में 3 घटाने के बजाय 1 घटा दिया जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए n का वर्तमान मान अलग से लिखकर ही प्रतिस्थापित करें। / Using n=1 in the recursive rule, a_2=4a_1-(1+1)=4×3-2=10. Then, using n=2, a_3=4a_2-(2+1)=4×10-3=37. Hence, 37 is the correct option. The value 39 would result from incorrectly subtracting 1 instead of 3 in the second step. Exam tip: write the current value of n before substituting it at each step.
A. \(a_1=2\) और \(a_{n+1}=a_n+3\), जहाँ \(n\geq1\)/\(a_1=2\) and \(a_{n+1}=a_n+3\), where \(n\geq1\)
Explanation
Simple Explanation
विकल्प A में प्रारम्भिक पद \(a_1=2\) और अगला पद पाने का नियम दोनों दिए हैं, इसलिए अनुक्रम अद्वितीय है। जैसे \(a_2=2+3=5\)। परीक्षा में जाँचें कि प्रारम्भिक पद अवश्य दिया हो। / Option A gives both an initial term, \(a_1=2\), and a rule for obtaining each next term, so it determines one unique sequence. For example, \(a_2=2+3=5\). Exam tip: a recursive definition needs a starting value.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद उसके ठीक पहले के दो पदों से बनता है। अतः \(a_3=2\times7+2=16\), \(a_4=2\times16+7=39\), और \(a_5=2\times39+16=94\)। इसलिए सही उत्तर 94 है। 96 एक संभावित गणना-त्रुटि हो सकती है, क्योंकि \(a_5\) निकालते समय \(a_4\) और \(a_3\) दोनों का उपयोग करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: हर नया पद निकालते ही उसे क्रम में लिखें, ताकि पिछले दो पद सही चुने जाएँ। / In this recursive rule, each new term is formed using the two immediately preceding terms. Thus, \(a_3=2\times7+2=16\), \(a_4=2\times16+7=39\), and \(a_5=2\times39+16=94\). Therefore, 94 is correct. A value such as 96 can result from an arithmetic error; both \(a_4\) and \(a_3\) must be used to find \(a_5\). Exam tip: write each term in order before applying the recurrence again.
पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=1\) रखकर \(a_2\) ज्ञात करें: \(a_2=6+\frac{6}{2}+1=10\)। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=10+\frac{10}{2}+2=17\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 17 है। 15 तब मिलता है जब \(n\) वाला पद छोड़ दिया जाए, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) निकालते समय क्रमशः \(n=1,2,\ldots\) का मान अवश्य बदलें। / Use the recursive rule first with \(n=1\): \(a_2=6+\frac{6}{2}+1=10\). Then use \(n=2\): \(a_3=10+\frac{10}{2}+2=17\). Hence, 17 is correct. The value 15 would result from omitting the \(n\) term, so it is not correct. Exam tip: while finding successive terms from \(a_{n+1}\), update the value of \(n\) as \(1,2,\ldots\).
गुणोत्तर अनुक्रम में प्रत्येक पद पिछले पद को समान अनुपात से गुणा करके मिलता है। यहाँ अनुपात 2 है, इसलिए \(a_{n+1}=2a_n\)। जाँचें: दूसरा पद \(2\times5=10\) होगा। परीक्षा में ‘दोगुना’ को गुणा 2 मानें, जोड़ 2 नहीं। / In a geometric sequence, each term is obtained by multiplying the preceding term by a fixed ratio. Here the ratio is 2, so \(a_{n+1}=2a_n\). Check: the second term is \(2\times5=10\). In exams, “twice” means multiply by 2, not add 2.
पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=1\) रखने पर \(a_2=150-(4\times1+3)=143\) मिलता है। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=143-(4\times2+3)=143-11=132\) होगा। अतः सही उत्तर 132 है। 129 तब मिलता यदि दूसरे चरण में घटाई जाने वाली मात्रा का गलत मान लिया जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक नया पद निकालते समय \(n\) का मान एक-एक करके बढ़ाएँ। / Using the recursive rule with \(n=1\), \(a_2=150-(4\times1+3)=143\). Then, with \(n=2\), \(a_3=143-(4\times2+3)=143-11=132\). Therefore, 132 is correct. A value such as 129 can result from using an incorrect amount in the second subtraction. Exam tip: increase the value of \(n\) step by step while finding successive terms.
B. वह अनुक्रम जिसमें प्रत्येक नया पद पिछले एक या अधिक पदों के आधार पर ज्ञात हो
Explanation
Simple Explanation
पुनरावर्ती नियम में अगला पद पहले के पद या पदों से बनाया जाता है; जैसे \(a_{n+1}=a_n+3\)। विकल्प A स्पष्ट (explicit) नियम बताता है, जहाँ पद सीधे \(n\) से मिलता है। परीक्षा में “पिछला पद” दिखे तो recursive rule पहचानें। / In a recursive rule, a new term is obtained from one or more earlier terms, for example \(a_{n+1}=a_n+3\). Option A describes an explicit rule, where a term is given directly in terms of \(n\). Exam tip: look for a previous-term relation.
विकल्प A में प्रत्येक नया पद पिछले पद \(a_{n-1}\) से बनाया जाता है और आरंभिक पद \(a_1\) भी दिया है; इसलिए यह पुनरावृत्ति नियम है। \(a_n=2n+1\) जैसे नियम प्रत्यक्ष होते हैं। परीक्षा में \(a_{n-1}\) पहचानें। / In option A, each new term is formed from the previous term \(a_{n-1}\), and an initial term \(a_1\) is given, so it is recursive. Rules such as \(a_n=2n+1\) are explicit. Exam tip: look for a previous-term reference.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1, 2, 3, 4 रखने पर प्राप्त होता है: a_2=9+2(1)-2=9, a_3=9+2(2)-2=11, a_4=11+2(3)-2=15 और a_5=15+2(4)-2=21। इसलिए सही उत्तर 21 है। 23 जैसी संख्या तब आ सकती है जब वृद्धि 2n-2 को गलत तरीके से लागू किया जाए। परीक्षा टिप: हर नया पद निकालते समय n का मान पिछले पद की क्रम संख्या के बराबर लें। / Using the recursive rule successively for n=1, 2, 3, and 4: a_2=9+2(1)-2=9, a_3=9+2(2)-2=11, a_4=11+2(3)-2=15, and a_5=15+2(4)-2=21. Therefore, the correct answer is 21. A value such as 23 can result from applying the increment 2n-2 incorrectly. Exam tip: while finding each next term, use n equal to the position of the preceding term.
हर अगले पद में पिछले पद में 5 जोड़ा जाता है, इसलिए \(a_{n+1}-a_n=5\) स्थिर है। अतः यह समांतर श्रेणी है। गुणोत्तर श्रेणी में अनुपात स्थिर होता है। परीक्षा टिप: अंतर जाँचें। / Each new term is obtained by adding 5, so \(a_{n+1}-a_n=5\) is constant. Hence it is an arithmetic progression. A geometric progression requires a constant ratio. Exam tip: check consecutive differences first.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1, 2, 3 रखने पर घटाई जाने वाली संख्याएँ 1(3)=3, 2(4)=8 और 3(5)=15 मिलती हैं। अतः a_2=100-3=97, a_3=97-8=89 और a_4=89-15=74। इसलिए सही उत्तर 74 है। 76 तब मिल सकता है जब अंतिम घटाव को गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए नियम को तीन बार लागू करें। / Using n=1, 2, and 3 in the recursive rule, the values subtracted are 1(3)=3, 2(4)=8, and 3(5)=15. Thus, a_2=100-3=97, a_3=97-8=89, and a_4=89-15=74. Therefore, 74 is correct. A value such as 76 would result from an incorrect final subtraction. Exam tip: to find a_4 from a_1, apply the rule three times.
पुनरावर्ती नियम में n के क्रमिक मान रखने पर a₂=5+1=6, a₃=6−2=4, a₄=4+3=7 और a₅=7−4=3 मिलता है। अतः सही उत्तर 3 है। 4 निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि वह a₃ का मान है, a₅ का नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में चिन्ह बदलने के लिए पहले (-1) की घात का सम-विषम होना जाँचें। / Substituting successive values of n in the recursive rule gives a₂=5+1=6, a₃=6−2=4, a₄=4+3=7, and a₅=7−4=3. Therefore, the correct answer is 3. Option 4 is a close distractor because it is the value of a₃, not a₅. Exam tip: check whether the exponent of (-1) is even or odd before deciding the sign.
हर पद पिछले पद से 3 अधिक है। \(a_1=5\) लेने पर \(a_2=a_1+3=8\) और फिर \(a_3=11\) मिलता है, इसलिए B सही है। परीक्षा में पहले दो पदों के बीच का अंतर जाँचें। / Each term is 3 more than the preceding term. With \(a_1=5\), \(a_2=a_1+3=8\) and then \(a_3=11\), so B is correct. In exams, check the difference between the first two terms.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक चरण पर वर्तमान n का मान लें। a_2=3+1(2)=5, a_3=5+2(3)=11 और a_4=11+3(4)=23। अतः सही उत्तर 23 है। 21 तब मिलता यदि अंतिम वृद्धि को 10 मान लिया जाए, जबकि n=3 पर वृद्धि 3×4=12 होती है। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए नियम को क्रमशः n=1, 2 और 3 के लिए लागू करें। / Apply the recursive rule using the current value of n at each step. a_2=3+1(2)=5, a_3=5+2(3)=11, and a_4=11+3(4)=23. Therefore, the correct answer is 23. The value 21 would result from incorrectly taking the final increment as 10; for n=3, the increment is 3×4=12. Exam tip: To find a_4, apply the rule successively for n=1, 2, and 3.
विकल्प B में \(a_n\) ज्ञात करने के लिए पहले \(a_{n-1}\) चाहिए, इसलिए यह पुनरावर्ती नियम है। जैसे \(a_2=3+4=7\)। परीक्षा में पिछले पद वाला संकेत देखें। / In option B, finding \(a_n\) requires \(a_{n-1}\), so it is recursive. For example, \(a_2=3+4=7\). In exams, look for a rule involving an earlier term.
विकल्प B में आरम्भिक पद \(a_1=4\) दिया है और प्रत्येक नया पद पिछले पद \(a_{n-1}\) से बनता है, इसलिए यह पुनरावर्ती नियम है। A, C और D में पद सीधे \(n\) से मिलते हैं। परीक्षा में आरम्भिक पद और पिछले पद का संकेत देखें। / Option B gives an initial term, \(a_1=4\), and forms each new term from the preceding term \(a_{n-1}\), so it is recursive. In A, C, and D, terms are obtained directly from \(n\). Exam tip: look for an initial value and a previous-term relation.
क्रमागत पदों का अंतर देखें: \(18-9=9\), \(27-18=9\) और \(36-27=9\)। अतः प्रत्येक नया पद पाने के लिए पिछले पद में 9 जोड़ा जाता है, इसलिए पुनरावर्ती नियम \(a_{n+1}=a_n+9\) है। 18 अनुक्रम का एक पद है, पर वह प्रत्येक बार जोड़ी जाने वाली स्थिर संख्या नहीं है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम में जोड़ने वाली संख्या ज्ञात करने के लिए दो क्रमागत पदों का अंतर निकालें। / Check the difference between consecutive terms: \(18-9=9\), \(27-18=9\), and \(36-27=9\). Thus, 9 is added to the previous term each time, so the recursive rule is \(a_{n+1}=a_n+9\). Although 18 is a term of the sequence, it is not the constant amount added each time. Exam tip: To find the number added in a recursive rule, subtract two consecutive terms.
पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद पिछले पद का एक-तिहाई है। अतः \(a_2=\frac{45}{3}=15\) और \(a_3=\frac{15}{3}=5\) होगा। विकल्प 15, \(a_2\) है, \(a_3\) नहीं। परीक्षा टिप: \(a_3\) निकालने के लिए \(a_1\) से नियम को दो बार लागू करें। / The recursive rule makes each new term one-third of the preceding term. Thus, \(a_2=\frac{45}{3}=15\) and \(a_3=\frac{15}{3}=5\). Option 15 is \(a_2\), not \(a_3\). Exam tip: to find \(a_3\) from \(a_1\), apply the rule twice.
