Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(k_2=42\), \(k_3=24\), \(k_4=16\) और \(k_5=13\) है। परीक्षा में आधा करने के बाद (n) जोड़ें। / \(k_2=42\), \(k_3=24\), \(k_4=16\), and \(k_5=13\). In exams, add (n) after halving the previous term.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद पिछले पद से निकाला जाता है। पहले \(h_2=(2-1)\times2+3=5\)। फिर \(h_3=(3-1)\times5+3=13\) और \(h_4=(4-1)\times13+3=42\)। इसलिए सही उत्तर 42 है। 45 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब \(n-1\) के स्थान पर गलती से \(n\) या कोई गलत गुणक लिया जाए। परीक्षा टिप: हर नए पद के लिए पहले \(n\) का मान रखें, फिर पिछले पद का उपयोग करें। / In a recursive rule, each term is calculated from the preceding term. First, \(h_2=(2-1)\times2+3=5\). Then \(h_3=(3-1)\times5+3=13\), and \(h_4=(4-1)\times13+3=42\). Therefore, the correct answer is 42. A value such as 45 may result from incorrectly using \(n\) instead of \(n-1\), or from using the wrong multiplier. Exam tip: substitute the value of \(n\) first and then use the previous term carefully.
\(g_2=14\), \(g_3=5\), \(g_4=21\) और \(g_5=-4\) है। परीक्षा में बदलते हुए चिह्न को सावधानी से लगाएँ। / \(g_2=14\), \(g_3=5\), \(g_4=21\), and \(g_5=-4\). In exams, apply the alternating sign carefully.
\(f_5=109\) और \(f_6=221\), इसलिए पहली बार (n=6) पर शर्त पूरी होती है। परीक्षा में सीमा पार करने वाला पहला पद चुनें। / \(f_5=109\) and \(f_6=221\), so the condition is first satisfied at (n=6). In exams, choose the first term that crosses the limit.
D. नियम \(u_n=2u_{n-1}+2\)/Rule \(u_n=2u_{n-1}+2\)
Explanation
Simple Explanation
हर नया पद पिछले पद के दोगुने में (2) जोड़ने से मिलता है। परीक्षा में नियम को लगातार दो जगह जाँचें। / Each new term is obtained by doubling the previous term and adding (2). In exams, test the rule at two consecutive places.
\(d_5=d_1+9+14+19+24\), इसलिए \(d_1=13\) है। परीक्षा में उल्टी दिशा में जोड़ी गई राशियाँ घटाएँ। / \(d_5=d_1+9+14+19+24\), so \(d_1=13\). In exams, subtract the added quantities when working backward.
\(b_2=18\), \(b_3=49\) और \(b_4=140\) है। परीक्षा में गुणा के बाद पूरी घटाई गई राशि जाँचें। / \(b_2=18\), \(b_3=49\), and \(b_4=140\). In exams, check the full subtracted amount after multiplication.
\(a_2=12\), \(a_3=29\), \(a_4=64\) और \(a_5=135\) मिलता है। परीक्षा में (n) का वर्तमान मान सही जोड़ें। / \(a_2=12\), \(a_3=29\), \(a_4=64\), and \(a_5=135\). In exams, add the current value of (n) correctly.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद निकालने के लिए उसके पिछले पद में उस n के लिए n-2-n जोड़ा जाता है। अतः p_2=1+\(2^2-2\)=3, p_3=3+\(3^2-3\)=9, p_4=9+\(4^2-4\)=21 और p_5=21+\(5^2-5\)=41। इसलिए सही उत्तर 41 है। 43 प्राप्त हो सकता है यदि पहले जोड़ 2 को गलती से अलग ढंग से जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: p_5 निकालते समय n=2 से n=5 तक क्रमशः मान रखकर तालिका बनाएं। / In the recursive rule, add n-2-n to the preceding term for each value of n. Thus, p_2=1+\(2^2-2\)=3, p_3=3+\(3^2-3\)=9, p_4=9+\(4^2-4\)=21, and p_5=21+\(5^2-5\)=41. Therefore, the correct answer is 41. A value such as 43 can result from incorrectly handling the first increment, 2. Exam tip: To find p_5, list the successive values from n=2 to n=5 systematically.
पुनरावृत्ति नियम को क्रमशः लागू करें: \(h_3=2(7)-2+3=15\), \(h_4=2(15)-7+3=26\), और \(h_5=2(26)-15+3=40\)। इसलिए सही उत्तर 40 है। 38 जैसा उत्तर प्रायः पिछले दोनों पदों के चिन्ह या \(+3\) को गलत लेने से मिलता है। परीक्षा टिप: हर नए पद के लिए पहले \(h_{n-1}\) और फिर \(h_{n-2}\) लिखकर मान रखें। / Apply the recursive rule successively: \(h_3=2(7)-2+3=15\), \(h_4=2(15)-7+3=26\), and \(h_5=2(26)-15+3=40\). Therefore, the correct answer is 40. A value such as 38 can result from mishandling the signs of the previous terms or the \(+3\) term. Exam tip: before substituting, write down \(h_{n-1}\) and \(h_{n-2}\) separately for each new term.
पुनरावर्ती नियम से \(g_2=3(1)-1=2\), \(g_3=3(2)-1=5\) और \(g_4=3(5)-1=14\) प्राप्त होता है। अतः \(g_4:g_3=14:5\), इसलिए विकल्प B सही है। \(12:5\) जैसे विकल्प गलत पदों के उपयोग से बन सकते हैं। परीक्षा टिप: आवश्यक पद तक क्रमवार मान निकालें और अनुपात में पदों का क्रम \(g_4:g_3\) ही रखें। / Using the recursive rule, \(g_2=3(1)-1=2\), \(g_3=3(2)-1=5\), and \(g_4=3(5)-1=14\). Hence, \(g_4:g_3=14:5\), so option B is correct. A ratio such as \(12:5\) results from using an incorrect term value. Exam tip: calculate the terms in order up to the required term and keep the ratio in the stated order \(g_4:g_3\).
पहले चार पद (2), (6), (12), (20) हैं और योग (40) है। परीक्षा में योग पूछने पर सभी पद जोड़ें। / The first four terms are (2), (6), (12), and (20), and their sum is (40). In exams, add all terms when the sum is asked.
पुनरावर्ती नियम से क्रमशः \(e_2=2(3)+2=8\), \(e_3=2(8)+3=19\), \(e_4=2(19)+4=42\) और \(e_5=2(42)+5=89\) मिलता है। अतः \(e_5-e_4=89-42=47\)। विकल्प 49 तब नहीं मिलेगा, क्योंकि \(e_5\) ज्ञात करने में \(2e_4\) लेना आवश्यक है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती अनुक्रम में आवश्यक पदों को क्रम से लिखकर निकालें। / Using the recursive rule, \(e_2=2(3)+2=8\), \(e_3=2(8)+3=19\), \(e_4=2(19)+4=42\), and \(e_5=2(42)+5=89\). Therefore, \(e_5-e_4=89-42=47\). The value 49 does not result because finding \(e_5\) requires using \(2e_4\). Exam tip: In a recursive sequence, calculate the required terms one by one in order.
\(d_4=28\) और \(d_5=43\), इसलिए पहली बार (n=5) पर शर्त पूरी होती है। परीक्षा में सीमा पार करने वाला पहला पद चुनें। / \(d_4=28\) and \(d_5=43\), so the condition is first satisfied at (n=5). In exams, choose the first term that crosses the limit.
D. \(c_2=6\) और \(c_3=15\)/\(c_2=6\) and \(c_3=15\)
Explanation
Simple Explanation
पुनरावर्ती नियम में \(n=2\) रखने पर \(c_2=c_1+2^2=2+4=6\) मिलता है। फिर \(n=3\) के लिए \(c_3=c_2+3^2=6+9=15\) होगा। इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प C में \(c_2\) सही है, लेकिन \(c_3\) निकालते समय \(3^2=9\) सही ढंग से नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: हर नया पद निकालने के लिए पिछले पद में वर्तमान सूचकांक का वर्ग जोड़ें। / Using the recursive rule with \(n=2\), \(c_2=c_1+2^2=2+4=6\). Then, for \(n=3\), \(c_3=c_2+3^2=6+9=15\). Therefore, option D is correct. In option C, \(c_2\) is correct, but \(3^2=9\) has not been added correctly to find \(c_3\). Exam tip: to obtain each new term, add the square of the current index to the previous term.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद निकालते समय उसी पद का सूचकांक n रखा जाता है। अतः \(T_2=3\times2-2=4\), \(T_3=4\times4-3=13\), और \(T_4=5\times13-4=61\)। इसलिए सही उत्तर \(61\) है। \(59\) जैसा निकट विकल्प सामान्यतः अंतिम चरण में 4 घटाने या 5 से गुणा करने में गलती से आ सकता है। परीक्षा टिप: \(T_4\) ज्ञात करने के लिए पहले क्रम से \(T_2\) और \(T_3\) अवश्य निकालें। / In the recursive rule, substitute the index n for each term being calculated. Thus, \(T_2=3\times2-2=4\), \(T_3=4\times4-3=13\), and \(T_4=5\times13-4=61\). Therefore, the correct answer is \(61\). A close option such as \(59\) can result from an error in multiplying by 5 or subtracting 4 in the final step. Exam tip: To find \(T_4\), calculate \(T_2\) and \(T_3\) in order first.
पुनरावर्ती नियम में पहले पिछले पद से अगला पद निकालते हैं। R_2=R_12+2=12+2=3। फिर R_3=R_22+3=32+3=12। इसलिए सही उत्तर 12 है। 10 तब मिलता यदि R_2 का वर्ग लेने के बाद सही पद संख्या न जोड़ी जाए। परीक्षा टिप: हर चरण में n का नया मान लिखकर गणना करें। / In a recursive rule, first find each next term from the preceding term. R_2=R_12+2=12+2=3. Then R_3=R_22+3=32+3=12. Therefore, 12 is correct. A value such as 10 can result from not adding the correct term number after squaring R_2. Exam tip: write the new value of n at every step.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले दो पदों से निकाला जाता है। Q_3=5+2(2)+3=12, फिर Q_4=12+2(5)+4=26 और Q_5=26+2(12)+5=55। इसलिए सही उत्तर 55 है। 57 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब 2Q_{n-2} या जोड़ने वाले n को गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: हर चरण में n का मान 3, 4, 5 क्रम से लिखकर प्रतिस्थापित करें। / Each new term is obtained from the previous two terms using the recursive rule. Q_3=5+2(2)+3=12, then Q_4=12+2(5)+4=26, and Q_5=26+2(12)+5=55. Hence, the correct answer is 55. A value such as 57 can result from incorrectly handling 2Q_{n-2} or the added n. Exam tip: substitute n=3, 4, and 5 step by step.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=2,3,4,5 रखने पर जोड़ 5, 9, 13 और 17 मिलते हैं। अतः P_2=8, P_3=17, P_4=30 और P_5=47। इसलिए सही उत्तर 47 है। 45 जैसा विकल्प अंतिम चरण में 17 के स्थान पर गलत जोड़ करने से मिल सकता है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती अनुक्रम में प्रत्येक पद को पिछले पद से क्रमवार निकालें। / Substituting n=2,3,4,5 in the recursive rule gives increments of 5, 9, 13, and 17. Thus, P_2=8, P_3=17, P_4=30, and P_5=47. Therefore, 47 is correct. A value such as 45 may result from an incorrect final increment. Exam tip: in a recursive sequence, calculate each term successively from the preceding term.
पुनरावर्ती नियम में पहले पिछले पद का मान निकालते हैं। \(M_2=3M_1+2=3\times1+2=5\)। फिर \(M_3=3M_2+3=3\times5+3=18\)। अतः सही उत्तर 18 है। 16 जैसा उत्तर तब आ सकता है जब \(M_2\) या \(n\) का मान गलत रखा जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक चरण में वर्तमान सूचकांक \(n\) को अलग से जोड़ना न भूलें। / For a recursive rule, first calculate the preceding term. \(M_2=3M_1+2=3\times1+2=5\). Then \(M_3=3M_2+3=3\times5+3=18\). Therefore, 18 is correct. An answer such as 16 can result from using an incorrect value of \(M_2\) or of \(n\). Exam tip: remember to add the current index \(n\) at every step.
\(K_3=3\), \(K_4=7\) और \(K_5=17\) है। परीक्षा में पिछले पद का दोगुना लेकर उससे पहले वाला पद जोड़ें। / \(K_3=3\), \(K_4=7\), and \(K_5=17\). In exams, double the previous term and add the term before it.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद के लिए वर्तमान n का मान रखें: J_2=50-3(1)=47, J_3=47-3(2)=41, J_4=41-3(3)=32 और J_5=32-3(4)=20। इसलिए सही उत्तर 20 है। 23 तब मिल सकता है जब अंतिम चरण में 3(n-1) के स्थान पर केवल 3 घटा दिया जाए, जो नियम के अनुसार गलत है। परीक्षा टिप: J_1 से J_5 तक पहुँचने के लिए n=2,3,4,5 के चार चरण लिखें। / Apply the recursive rule using the current value of n: J_2=50-3(1)=47, J_3=47-3(2)=41, J_4=41-3(3)=32, and J_5=32-3(4)=20. Therefore, the correct answer is 20. The value 23 may result from subtracting only 3 in the last step instead of 3(n-1), which does not follow the rule. Exam tip: To move from J_1 to J_5, write the four steps for n=2,3,4,5.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद पिछले पद से निकाला जाता है। \(H_2=2+2(3)=8\), \(H_3=8+3(4)=20\), और \(H_4=20+4(5)=40\)। इसलिए सही उत्तर \(40\) है। \(38\) जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब अंतिम चरण में \(4(5)\) के बजाय गलत वृद्धि जोड़ी जाए। परीक्षा टिप: \(H_1\) से शुरू करके \(n=2,3,4\) के लिए क्रमशः पद लिखें। / In a recursive rule, each term is found from the previous term. \(H_2=2+2(3)=8\), \(H_3=8+3(4)=20\), and \(H_4=20+4(5)=40\). Hence, the correct answer is \(40\). A value such as \(38\) can result from using an incorrect increase instead of \(4(5)\) in the final step. Exam tip: Start with \(H_1\) and calculate the terms successively for \(n=2,3,4\).
\(F_2=17\), \(F_3=12\), \(F_4=5\) और \(F_5=-4\) है। परीक्षा में घटाई जाने वाली राशि (2n-1) समझें। / \(F_2=17\), \(F_3=12\), \(F_4=5\), and \(F_5=-4\). In exams, understand the subtracted amount as (2n-1).
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद उसके ठीक पहले के दो पदों के योग में 2 जोड़कर मिलता है। अतः E_3=1+4+2=7, E_4=4+7+2=13 और E_5=7+13+2=22। इसलिए सही उत्तर 22 है। 20 तब मिलता यदि अंतिम चरण में पिछले दो पदों का सही योग न लिया जाए। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में E_3 से शुरू करके प्रत्येक पद क्रमवार लिखें। / In the recursive rule, each new term is obtained by adding 2 to the sum of the two immediately preceding terms. Thus, E_3=1+4+2=7, E_4=4+7+2=13, and E_5=7+13+2=22. Therefore, the correct answer is 22. The value 20 can result from not using the correct two previous terms in the final step. Exam tip: Write the terms one by one, starting from E_3.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद पिछले पद से निकाला जाता है। अतः \(D_2=2\times2+1=5\), \(D_3=2\times5+2=12\), और \(D_4=2\times12+3=27\)। इसलिए सही उत्तर 27 है। 25 जैसा उत्तर तब आ सकता है जब \(n-1\) वाले पद को गलत जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: \(D_4\) निकालने के लिए पहले \(D_2\) और \(D_3\) क्रम से लिखें। / Each term is found from the previous term using the recursive rule. Thus, \(D_2=2\times2+1=5\), \(D_3=2\times5+2=12\), and \(D_4=2\times12+3=27\). Therefore, the correct answer is 27. An answer such as 25 can result from adding the \(n-1\) term incorrectly. Exam tip: To find \(D_4\), calculate \(D_2\) and \(D_3\) in order first.
पुनरावर्ती नियम को क्रमशः लागू करें: \(C_2=5+2(2-1)=7\), \(C_3=7+3(3-1)=13\), और \(C_4=13+4(4-1)=25\)। इसलिए सही उत्तर \(25\) है। \(27\) जैसी निकटतम त्रुटि सामान्यतः \(4(4-1)=12\) को गलत जोड़ने से होती है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए पहले \(n(n-1)\) निकालें, फिर पिछले पद में जोड़ें। / Apply the recursive rule step by step: \(C_2=5+2(2-1)=7\), \(C_3=7+3(3-1)=13\), and \(C_4=13+4(4-1)=25\). Hence, the correct answer is \(25\). A close distractor such as \(27\) can result from adding \(4(4-1)=12\) incorrectly. Exam tip: calculate \(n(n-1)\) first for each term, then add it to the preceding term.
पुनरावर्ती नियम को क्रमशः लागू करें: \(w_2=0+2^1=2\), \(w_3=2+2^2=6\), \(w_4=6+2^3=14\) और \(w_5=14+2^4=30\)। इसलिए सही उत्तर 30 है। 28 तब मिलता यदि अंतिम वृद्धि को गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: \(w_1\) से \(w_5\) तक जाने के लिए नियम चार बार लागू होता है। / Apply the recursive rule step by step: \(w_2=0+2^1=2\), \(w_3=2+2^2=6\), \(w_4=6+2^3=14\), and \(w_5=14+2^4=30\). Therefore, the correct answer is 30. A value such as 28 can result from using the final increment incorrectly. Exam tip: from \(w_1\) to \(w_5\), apply the rule four times.
सही नियम \(a_1=2\) और \(a_n=3a_{n-1}\) है, क्योंकि प्रत्येक पद अपने पिछले पद का 3 गुना है: \(2\times3=6\), \(6\times3=18\), और \(18\times3=54\)। विकल्प B से दूसरा पद 6 मिलता है, लेकिन अगला पद \(2\times6+2=14\) होगा, 18 नहीं। परीक्षा टिप: लगातार दो पदों का अनुपात समान हो तो गुणात्मक पुनरावर्ती नियम जाँचें। / The correct rule is \(a_1=2\) and \(a_n=3a_{n-1}\), because every term is three times the preceding term: \(2\times3=6\), \(6\times3=18\), and \(18\times3=54\). Option B gives the second term as 6, but its next term would be \(2\times6+2=14\), not 18. Exam tip: when ratios of consecutive terms are equal, check for a multiplicative recursive rule.
\(s_2=5\), \(s_3=2\), \(s_4=6\) और \(s_5=1\) है। परीक्षा में चिह्न बदलने वाले नियम को सावधानी से पढ़ें। / \(s_2=5\), \(s_3=2\), \(s_4=6\), and \(s_5=1\). In exams, read alternating-sign rules carefully.
