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पुनरावर्ती नियम से क्रमशः g_2=5, g_3=11, g_4=23 और g_5=47 प्राप्त होते हैं। अतः g_5:g_4=47:23, इसलिए सही विकल्प (47:23) है। विकल्प (46:23) में हर सही है, लेकिन अंश में 1 की त्रुटि है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती प्रश्नों में आवश्यक पदों तक क्रम से मान निकालें और अनुपात का क्रम न बदलें। / Using the recursive rule successively, we get g_2=5, g_3=11, g_4=23, and g_5=47. Therefore, g_5:g_4=47:23, so (47:23) is correct. In (46:23), the second term is correct but the first term is off by 1. Exam tip: calculate the terms in order up to the required position and do not reverse the ratio.
पहले चार पद (3), (8), (16), (27) हैं और उनका योग (54) है। परीक्षा में योग के लिए सभी आवश्यक पद जोड़ें। / The first four terms are (3), (8), (16), and (27), and their sum is (54). In exams, add all required terms for a sum.
\(e_3=9\) और \(e_4=23\), इसलिए अंतर (14) है। परीक्षा में अंतर निकालने से पहले दोनों पद सही निकालें। / \(e_3=9\) and \(e_4=23\), so the difference is (14). In exams, find both terms correctly before taking the difference.
\(d_5=58\) और \(d_6=82\), इसलिए पहली बार (n=6) पर मान (60) से अधिक होता है। परीक्षा में पहले से अधिक होने वाला पद चुनें। / \(d_5=58\) and \(d_6=82\), so the value first exceeds (60) at (n=6). In exams, choose the first term that becomes greater.
C. \(c_2=5\) और \(c_3=11\)/\(c_2=5\) and \(c_3=11\)
Explanation
Simple Explanation
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद से निकाला जाता है। n=2 रखने पर c_2=c_1+2(2-1)=3+2=5 मिलता है। फिर n=3 रखने पर c_3=c_2+3(3-1)=5+6=11 मिलता है। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प B में c_2 सही है, लेकिन c_3 निकालते समय 6 जोड़ने के बजाय गलत गणना की गई है। परीक्षा टिप: हर नए पद के लिए n का मान अलग से रखकर पहले पिछले पद का मान लिखें। / In a recursive rule, each new term is obtained from the preceding term. For n=2, c_2=c_1+2(2-1)=3+2=5. Then, for n=3, c_3=c_2+3(3-1)=5+6=11. Hence, option C is correct. In option B, c_2 is correct, but c_3 is calculated incorrectly because 6 must be added. Exam tip: substitute the value of n separately at every step and use the previous term carefully.
\(a_5=a_2+10+14+18\), इसलिए \(a_2=28\) है। परीक्षा में बीच के पद के लिए आगे की जोड़ घटाएँ। / \(a_5=a_2+10+14+18\), so \(a_2=28\). In exams, subtract the later additions to find a middle term.
समांतर श्रेणी में लगातार पदों का अंतर स्थिर होता है। यदि पुनरावर्ती नियम \(a_n=a_{n-1}+d\) है, तो हर बार वही नियत संख्या \(d\) जुड़ती है। ज्यामितीय श्रेणी में नियत संख्या जोड़ने के बजाय नियत अनुपात से गुणा होता है। परीक्षा में ‘स्थिर अंतर’ देखते ही समांतर श्रेणी पहचानें। / An arithmetic progression has a constant difference between consecutive terms. Its recursive form is \(a_n=a_{n-1}+d\), so the same fixed number \(d\) is added each time. A geometric progression uses a constant multiplier, not a fixed addition. Exam tip: “constant difference” identifies an AP.
पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=2\) रखने पर \(T_2=(2+2)\times2+2=10\) मिलता है। फिर \(n=3\) रखने पर \(T_3=(3+2)\times10+3=53\) होगा। इसलिए सही उत्तर \(53\) है। \(49\) जैसा विकल्प सामान्यतः \(n+2\) के स्थान पर गलत गुणक लेने से आ सकता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए पहले \(n\) का मान नियम में रखें, फिर पिछले पद का उपयोग करें। / Using the recursive rule, first put \(n=2\): \(T_2=(2+2)\times2+2=10\). Next, put \(n=3\): \(T_3=(3+2)\times10+3=53\). Therefore, the correct answer is \(53\). A value such as \(49\) can result from using an incorrect multiplier instead of \(n+2\). Exam tip: substitute the value of \(n\) into the rule first, then use the preceding term.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद के लिए उसी पद का घातांक लिया जाता है। अतः \(S_2=75-2^2=71\), \(S_3=71-2^3=63\), और \(S_4=63-2^4=47\)। इसलिए सही उत्तर 47 है। 49 तब मिलता है जब \(S_2\) निकालते समय गलती से \(2^2\) के स्थान पर 2 घटा दिया जाए। परीक्षा टिप: \(S_4\) तक पहुँचने के लिए \(n=2,3,4\) के मान क्रम से लगाइए। / In the recursive rule, use the exponent corresponding to the current term. Thus, \(S_2=75-2^2=71\), \(S_3=71-2^3=63\), and \(S_4=63-2^4=47\). Therefore, 47 is correct. The value 49 results if 2 is incorrectly subtracted instead of \(2^2\) while finding \(S_2\). Exam tip: To reach \(S_4\), substitute \(n=2,3,4\) in order.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद से निकाला जाता है। पहले, \(U_2=U_1^2-2=3^2-2=7\)। फिर, \(U_3=U_2^2-3=7^2-3=49-3=46\)। इसलिए सही उत्तर 46 है। 44 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब अंतिम चरण में 3 के स्थान पर 5 घटा दिया जाए। परीक्षा टिप: हर चरण में पद का क्रमांक \(n\) अलग से लिखकर घटाएँ। / In a recursive rule, each new term is calculated from the preceding term. First, \(U_2=U_1^2-2=3^2-2=7\). Then, \(U_3=U_2^2-3=7^2-3=49-3=46\). Therefore, the correct answer is 46. A value such as 44 could result from subtracting 5 instead of 3 in the final step. Exam tip: write the value of \(n\) separately at every step before subtracting it.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद उसके दो पिछले पदों तथा उस पद के अनुक्रमांक के वर्ग से बनता है। अतः \(Q_3=1+2+3^2=12\), \(Q_4=12+2+4^2=30\) और \(Q_5=30+12+5^2=67\) होगा। इसलिए सही उत्तर 67 है। 61 तब मिल सकता है जब पिछले दो पदों में से किसी एक को गलत लिया जाए। परीक्षा में हर चरण में वर्तमान अनुक्रमांक का वर्ग ही जोड़ें। / Under the recursive rule, each new term is formed using the previous two terms and the square of its own index. Thus, \(Q_3=1+2+3^2=12\), \(Q_4=12+2+4^2=30\), and \(Q_5=30+12+5^2=67\). Therefore, 67 is correct. A value such as 61 can result from using one of the preceding terms incorrectly. Exam tip: add the square of the current index at every step.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः मान निकालते हैं: \(P_2=P_1+3(2)^2-1=11\), \(P_3=11+3(3)^2-1=37\), और \(P_4=37+3(4)^2-1=84\)। इसलिए सही उत्तर \(84\) है। विकल्प \(81\) तब मिल सकता है जब \(3n^2-1\) के बजाय गलती से \(3n^2-2\) लिया जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए पहले \(3n^2-1\) ज्ञात करें, फिर पिछले पद में जोड़ें। / Apply the recursive rule successively: \(P_2=P_1+3(2)^2-1=11\), \(P_3=11+3(3)^2-1=37\), and \(P_4=37+3(4)^2-1=84\). Hence, the correct answer is \(84\). The option \(81\) may result from incorrectly using \(3n^2-2\) instead of \(3n^2-1\). Exam tip: evaluate \(3n^2-1\) for each value of \(n\) before adding it to the preceding term.
पुनरावर्ती नियम में हर पद निकालते समय उस पद का क्रमांक रखना आवश्यक है। \(R_2=(2+2)\times1-1=3\), \(R_3=(3+2)\times3-1=14\), और \(R_4=(4+2)\times14-1=83\)। अतः सही उत्तर तिरासी है। उन्यासी जैसा विकल्प तब आ सकता है जब गुणक \(n+2\) को प्रत्येक चरण पर सही ढंग से न बदला जाए। परीक्षा टिप: \(R_4\) के लिए पहले \(R_2\) और \(R_3\) क्रम से निकालें। / In a recursive rule, use the index of the term being calculated at every step. \(R_2=(2+2)\times1-1=3\), \(R_3=(3+2)\times3-1=14\), and \(R_4=(4+2)\times14-1=83\). Therefore, the correct answer is eighty-three. A distractor such as seventy-nine may result from not changing the factor \(n+2\) correctly at each step. Exam tip: calculate \(R_2\) and \(R_3\) in order before finding \(R_4\).
पुनरावर्ती नियम में पहले पिछले पद से अगला पद निकालते हैं। \(M_2=4M_1-2=4\times2-2=6\)। फिर \(M_3=4M_2-3=4\times6-3=21\)। अतः सही उत्तर 21 है। 25 तब मिलता यदि अंतिम चरण में 3 घटाना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए नियम में उसी पद का वर्तमान सूचकांक \(n\) रखें। / In a recursive rule, first find the next term from the previous one. \(M_2=4M_1-2=4\times2-2=6\). Then \(M_3=4M_2-3=4\times6-3=21\). Therefore, the correct answer is 21. The value 25 would result from forgetting to subtract 3 in the final step. Exam tip: use the current index \(n\) each time you apply the rule.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद में उस n के लिए (5n-4) जोड़कर मिलता है। अतः L_2=4+6=10, L_3=10+11=21, L_4=21+16=37 और L_5=37+21=58। इसलिए सही उत्तर 58 है। 55 लेने पर अंतिम वृद्धि 21 के स्थान पर गलत मान ली जाती है। परीक्षा टिप: L_5 ज्ञात करने के लिए n=2 से n=5 तक की वृद्धियाँ ही क्रम से जोड़ें। / The recursive rule forms each new term by adding (5n-4) to the preceding term. Thus, L_2=4+6=10, L_3=10+11=21, L_4=21+16=37, and L_5=37+21=58. Therefore, 58 is correct. The option 55 can result from using an incorrect final increment instead of 21. Exam tip: To find L_5, apply the increments successively for n=2 through n=5.
\(K_3=13\), \(K_4=34\) और \(K_5=89\) है। परीक्षा में पिछले पद का (3) गुना लेकर उससे पहले वाला पद घटाएँ। / \(K_3=13\), \(K_4=34\), and \(K_5=89\). In exams, triple the previous term and subtract the term before it.
\(J_2=37\), \(J_3=30\), \(J_4=19\) और \(J_5=4\) है। परीक्षा में घटाव और अंत में (1) जोड़ना दोनों करें। / \(J_2=37\), \(J_3=30\), \(J_4=19\), and \(J_5=4\). In exams, handle both the subtraction and final addition of (1).
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद निकालने के लिए वर्तमान मान से उस पद के सूचकांक के अनुसार राशि घटाई जाती है। अतः \(F_2=90-2(3)=84\), \(F_3=84-3(4)=72\), और \(F_4=72-4(5)=52\)। इसलिए सही उत्तर 52 है। 56 जैसा उत्तर तब आ सकता है जब \(4(5)\) के बजाय गलत राशि घटाई जाए। परीक्षा टिप: \(F_4\) निकालते समय नियम में \(n=2,3,4\) क्रमशः रखकर एक-एक पद लिखें। / The recursive rule requires subtracting the value based on the current index at every step. Thus, \(F_2=90-2(3)=84\), \(F_3=84-3(4)=72\), and \(F_4=72-4(5)=52\). Therefore, the correct answer is 52. A value such as 56 may result from subtracting an incorrect value instead of \(4(5)\). Exam tip: to find \(F_4\), substitute \(n=2,3,4\) in order and write each intermediate term.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद निकालने के लिए उससे पहले के दो पदों और वर्तमान सूचकांक n का योग लिया जाता है। अतः E_3=2+4+3=9, E_4=4+9+4=17 और E_5=9+17+5=31। इसलिए सही उत्तर 31 है। 29 जैसा विकल्प तब मिल सकता है, जब अंतिम चरण में +5 को छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: हर चरण में n का मान पद के उपसूचक के बराबर ही लें। / In the recursive rule, each new term is obtained by adding the previous two terms and the current index n. Thus, E_3=2+4+3=9, E_4=4+9+4=17, and E_5=9+17+5=31. Therefore, the correct answer is 31. A value such as 29 may result from omitting +5 in the last step. Exam tip: use the subscript of the term as the value of n at each step.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद में संबंधित n(n+2) जोड़कर मिलता है। C_2=4+2(4)=12, C_3=12+3(5)=27 और C_4=27+4(6)=51। इसलिए सही उत्तर 51 है। 54 तब मिल सकता है जब पदों के लिए गलत n मान लिया जाए। परीक्षा टिप: C_4 निकालते समय n=2, 3 और 4 के लिए नियम को क्रमशः लागू करें। / The recursive rule gives each new term by adding n(n+2) to the preceding term. Thus, C_2=4+2(4)=12, C_3=12+3(5)=27, and C_4=27+4(6)=51. Therefore, the correct answer is 51. A value such as 54 can result from using an incorrect value of n for a step. Exam tip: To find C_4, apply the rule successively for n=2, 3, and 4.
पुनरावर्ती नियम को क्रमशः लागू करें: \(B_2=11+(2^2-2)=13\), \(B_3=13+(2^3-3)=18\), और \(B_4=18+(2^4-4)=30\)। इसलिए सही उत्तर 30 है। 32 जैसे विकल्प में किसी चरण पर \(2^n-n\) का मान गलत लेने की संभावना होती है। परीक्षा टिप: \(n=2,3,4\) के लिए पद एक-एक करके निकालें; \(B_1\) से सीधे \(B_4\) पर न जाएँ। / Apply the recursive rule step by step: \(B_2=11+(2^2-2)=13\), \(B_3=13+(2^3-3)=18\), and \(B_4=18+(2^4-4)=30\). Hence, the correct answer is 30. A value such as 32 can result from calculating \(2^n-n\) incorrectly at one of the steps. Exam tip: find the terms successively for \(n=2,3,4\) rather than jumping directly from \(B_1\) to \(B_4\).
पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=2\) रखने पर \(A_2=(2+1)\times 2+2=8\) मिलता है। फिर \(n=3\) रखने पर \(A_3=(3+1)\times 8+2=34\) होगा। इसलिए सही उत्तर 34 है। 32 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब अंतिम \(+2\) जोड़ना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद निकालते समय \(n\) का मान अलग से लिखकर गुणक जाँचें। / Using the recursive rule, first put \(n=2\): \(A_2=(2+1)\times 2+2=8\). Then put \(n=3\): \(A_3=(3+1)\times 8+2=34\). Therefore, the correct answer is 34. The option 32 may result from forgetting the final \(+2\). Exam tip: write the value of \(n\) separately at each step before applying the multiplier.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले दो पदों के गुणनफल में उसका पद-क्रम जोड़कर मिलता है। अतः \(z_3=(3\times1)+3=6\), \(z_4=(6\times3)+4=22\), और \(z_5=(22\times6)+5=137\)। इसलिए सही उत्तर \(137\) है। \(145\) जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब पिछले पदों या पद-क्रम को गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: हर चरण में पहले पिछले दो पद लिखें, फिर गुणा करके वर्तमान \(n\) जोड़ें। / Under the recursive rule, each new term is found by multiplying the previous two terms and adding its term number. Thus, \(z_3=(3\times1)+3=6\), \(z_4=(6\times3)+4=22\), and \(z_5=(22\times6)+5=137\). Therefore, the correct answer is \(137\). A value such as \(145\) can result from using an incorrect previous term or term number. Exam tip: write the two preceding terms at every step before multiplying and adding the current \(n\).
दिया है कि \(y_1=2\)। इसलिए \(y_2=2+(2\times2-1)^2=2+9=11\), \(y_3=11+(2\times3-1)^2=11+25=36\) और \(y_4=36+(2\times4-1)^2=36+49=85\)। अतः सही उत्तर पचासी है। इक्यासी तब मिलता यदि अंतिम पद में सही वर्ग न लिया जाए। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती अनुक्रम में प्रत्येक अगले पद के लिए \(n\) का मान अलग-अलग रखें। / Given \(y_1=2\), we get \(y_2=2+(2\times2-1)^2=2+9=11\), \(y_3=11+(2\times3-1)^2=11+25=36\), and \(y_4=36+(2\times4-1)^2=36+49=85\). Hence, the correct answer is eighty-five. Eighty-one can result from not applying the square correctly in the final step. Exam tip: in a recursive sequence, substitute each value of \(n\) step by step.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=2, 3 और 4 रखें। x_2=2(4)+22-2=10, x_3=2(10)+32-3=26 और x_4=2(26)+42-4=64। इसलिए सही उत्तर 64 है। 68 जैसा विकल्प अंतिम चरण में 42-4=12 के स्थान पर गलत मान लेने से आ सकता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद निकालते समय पहले n का मान रखकर अतिरिक्त पद को अलग से सरल करें। / Apply the recursive rule successively for n=2, 3, and 4. x_2=2(4)+22-2=10, x_3=2(10)+32-3=26, and x_4=2(26)+42-4=64. Hence, the correct answer is 64. A value such as 68 can result from evaluating 42-4 incorrectly in the final step. Exam tip: substitute the value of n first and simplify the added term separately at every step.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद में वर्तमान अनुक्रमांक का घन जोड़कर मिलता है। अतः \(v_2=3+2^3=11\), \(v_3=11+3^3=38\) और \(v_4=38+4^3=38+64=102\) होगा। इसलिए सही उत्तर 102 है। 108 जैसा उत्तर घनों को जोड़ने या पिछले पद का उपयोग करने में त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: प्रारम्भिक पद के बाद n=2 से क्रमशः पद निकालें। / In the recursive rule, each new term is obtained by adding the cube of the current index to the previous term. Thus, \(v_2=3+2^3=11\), \(v_3=11+3^3=38\), and \(v_4=38+4^3=38+64=102\). Therefore, 102 is correct. An answer such as 108 may result from an error while adding the cubes or using the previous term. Exam tip: Start from n=2 after the initial term and calculate each term in order.
C. नियम \(v_n=2v_{n-1}+3\)/Rule \(v_n=2v_{n-1}+3\)
Explanation
Simple Explanation
हर नया पद पिछले पद के दोगुने में (3) जोड़ने से मिलता है। परीक्षा में केवल अंतर नहीं, नियम भी जाँचें। / Each new term is obtained by doubling the previous term and adding (3). In exams, check the rule, not only the difference.
\(s_2=2\), \(s_3=7\), \(s_4=0\) और \(s_5=9\) है। परीक्षा में विषम जोड़ और घटाव के चिह्न अलग रखें। / \(s_2=2\), \(s_3=7\), \(s_4=0\), and \(s_5=9\). In exams, keep the signs of odd additions and subtractions separate.
\(r_3=11\), \(r_4=20\) और \(r_5=34\) मिलता है। परीक्षा में घटाए जाने वाले पुराने पद का क्रम न बदलें। / \(r_3=11\), \(r_4=20\), and \(r_5=34\). In exams, do not change the order of the older term being subtracted.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद के लिए उसके पिछले पद का उपयोग करें: \(N_2=2(8)-2(1)=14\), \(N_3=2(14)-3(2)=22\), और \(N_4=2(22)-4(3)=32\)। इसलिए सही उत्तर \(32\) है। \(34\) जैसा निकट विकल्प तब आ सकता है जब \(4(3)\) को गलत गिना जाए। परीक्षा टिप: हर चरण में पहले \(n(n-1)\) का मान निकालकर उसे घटाइए। / Apply the recursive rule using the preceding term each time: \(N_2=2(8)-2(1)=14\), \(N_3=2(14)-3(2)=22\), and \(N_4=2(22)-4(3)=32\). Hence, the correct answer is \(32\). A close distractor such as \(34\) can result from evaluating \(4(3)\) incorrectly. Exam tip: calculate \(n(n-1)\) separately at every step before subtracting it.
