Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(\alpha\beta=25-\(2\sqrt{6}\)2=25-24=1) है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन में वर्ग सही करें। / (\alpha\beta=25-\(2\sqrt{6}\)2=25-24=1). In exams square terms correctly in conjugate multiplication.
(\alpha\beta=\(\sqrt{5}+2\)\(\sqrt{5}-2\)=5-4=1) है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन से परिमेय उत्तर मिलता है। / (\alpha\beta=\(\sqrt{5}+2\)\(\sqrt{5}-2\)=5-4=1). Conjugate multiplication often gives a rational answer.
शून्यकों का योग (0) और गुणनफल (-7) है, इसलिए बहुपद \(x^2-7\) है। \(शून्यकों से बहुपद बनाते समय (x^2-\)योगx+गुणनफल) प्रयोग करें। \(/ The sum of zeroes is (0) and product is (-7), so the polynomial is (x^2-7). Use (x^2-\)sumx+product) to form a polynomial from zeroes.
दो शून्यक दिए होने पर हम द्विघात बहुपद मान सकते हैं। अग्रगुणांक 1 (monic) होने पर स्थिर पद शून्यकों के गुणनफल के बराबर होता है। गणना: \((2\sqrt{2})(3\sqrt{2})=2\times3\times(\sqrt{2}\times\sqrt{2})=6\times2=12\)。 विकल्प C (\(6\sqrt{2}\)) गलत है क्योंकि वहाँ \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) को शामिल नहीं किया गया। परीक्षा टिप: सामान्यतः एक मोनिक (leading coefficient = 1) डिग्री \(n\) बहुपद का स्थिर पद = \((-1)^n\)×(सभी शून्यकों का गुणनफल) होता है; द्विघात के लिए यह सीधे शून्यकों का गुणनफल है। / With two zeros we treat the polynomial as a quadratic. For a monic polynomial (leading coefficient 1) the constant term equals the product of the zeros. Compute: \((2\sqrt{2})(3\sqrt{2})=2\cdot3\cdot(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})=6\cdot2=12\). Option C (\(6\sqrt{2}\)) is a common mistake where the factor \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\) was not applied. Exam tip: For a monic polynomial of degree \(n\), the constant term = \((-1)^n\) times the product of the roots; for quadratics this equals the product directly.
(\alpha\beta=\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2) है। संयुग्मी गुणनफल से अपरिमेय भाग कट जाता है। / (\alpha\beta=\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2). The irrational part cancels in conjugate multiplication.
दो द्विघात सदिशों का गुणन अंतर वर्ग के सूत्र से किया जा सकता है: \((\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})= (\sqrt{7})^2-(\sqrt{2})^2=7-2=5\)। इसलिए सही उत्तर 5 है। निकटभ्रांत उत्तर \(9\) इसलिए गलत है क्योंकि \(9\) \(7+2\) का योग है — यह कटौरे का वर्गों का योग है, न कि दोनोन का गुणन। \(\sqrt{14}\) गलत है क्योंकि \(\sqrt{7}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{14}\) सही है पर वह केवल व्यक्तिगत गुणन के लिए है, पूरे अभिव्यंजक के गुणन के लिए नहीं। परीक्षा सुझाव: संगत जोड़-घटाव में कॉन्जुगेट ढूँढें और सीधे अंतर-चौकोर \(x^2-y^2\) का उपयोग करें; इससे शीघ्र और शुद्ध उत्तर मिलता है। / Multiply the conjugates using the difference of squares: \((\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{2})^2=7-2=5\). Hence the value is 5. The closest distractor 9 is wrong because it is the sum \(7+2\), i.e. sums of squares, not the product of conjugates. \(\sqrt{14}\) is incorrect since \(\sqrt{7}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{14}\) holds for the product of the individual radicals, but not for the product of the summed expressions. \(9+2\sqrt{14}\) is the expansion of \((\sqrt{7}+\sqrt{2})^2\), not the product with its conjugate. Exam tip: spot conjugate pairs and apply \(x^2-y^2\) to avoid extra algebraic expansion.
संयुग्मी गुणन से (pq=72-\(\sqrt{11}\)2=49-11=38) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में \(a^2-b^2\) लगाएँ। / Conjugate multiplication gives (pq=72-\(\sqrt{11}\)2=49-11=38). Use \(a^2-b^2\) in such questions.
शून्यक (-12) और (12) हैं, इसलिए गुणनफल (-144) और योग (0) है। टिप: विपरीत शून्यकों का योग (0) होता है। / The zeroes are (-12) and (12), so the product is (-144) and the sum is (0). Tip: opposite zeroes have sum (0).
x-अक्ष के छेदन बिंदु के x-कोऑर्डिनेट ही बहुपद के शून्यक होते हैं, यहाँ शून्यक हैं 0, d और −d। उनका गुणनफल 0\times d\times(−d)=0 होगा क्योंकि शून्य किसी भी गुणनफल को 0 बना देता है। ध्यान दें कि \(d\neq0\) होने से अन्य दोनों शून्यक शून्य नहीं हैं, पर फिर भी एक शून्यक 0 होने से संपूर्ण गुणनफल 0 हो जाता है। सबसे नजदीकी भ्रामक विकल्प \(-d^2\) है जो केवल d और −d के गुणनफल को दर्शाता है पर वह 0 को नजरअंदाज करता — इस कारण वह गलत है। परीक्षात्मक सुझाव: शून्यक बताने के लिये पहले x-छेदन बिंदु के x-कोऑर्डिनेट पहचानें और तुरंत जाँचें क्या उनमें 0 शामिल है। / The x-coordinates of the x-intercepts are the polynomial's zeros: 0, d and −d. Their product is 0\times d\times(−d)=0 because any product containing 0 equals 0. Note that \(d\neq0\) ensures the other two zeros are nonzero, but the presence of the zero root makes the whole product zero. The closest distractor, \(-d^2\), would be the product of d and −d alone and is wrong because it ignores the zero root. Exam tip: always check intercepts for a root equal to 0 first — it instantly gives the product as 0.
शून्यक (-10) और (10) हैं, इसलिए गुणनफल (-100) और योग (0) है। टिप: विपरीत शून्यकों का योग (0) होता है। / The zeroes are (-10) and (10), so the product is (-100) and the sum is (0). Tip: opposite zeroes have sum (0).
शून्यक (a), (b), (c) हैं, इसलिए गुणनफल (abc) है। टिप: प्रतीकात्मक बिंदु में भी पहला निर्देशांक शून्यक है। / The zeroes are (a), (b), (c), so their product is (abc). Tip: even in symbolic points, the first coordinate is the zero.
शून्यक (m) और (n) हैं, इसलिए गुणनफल (mn) है। टिप: कटान बिंदु का पहला निर्देशांक ही शून्यक है। / The zeroes are (m) and (n), so the product is (mn). Tip: the first coordinate of the intersection point is the zero.
दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। / The product of two numbers equals the product of their HCF and LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(16\times240=3840\)। / \(16\times240=3840\).
Step 3
Exam Tip
संबंध लिखकर फिर गणना करने से गलती कम होती है। / Writing the relation first reduces calculation mistakes.
दो संख्याओं का गुणनफल उनके महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। / The product of two numbers equals the product of their HCF and LCM.
दो संख्याओं का गुणनफल उनके महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। / The product of two numbers equals the product of their HCF and LCM.
दो संख्याओं के लिए गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। / For two numbers, the product equals HCF multiplied by LCM.
