Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=57))/Two real irrational and distinct ((D=57))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-5)2-4(4)(-2)=57) है। (57) धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए मूल अपरिमेय असमान हैं। / Here (D=(-5)2-4(4)(-2)=57). (57) is positive but not a perfect square, so the roots are irrational and distinct.
A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=28))/Two real irrational and distinct ((D=28))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-4)2-4(3)(-1)=28) है। (28) धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए मूल अपरिमेय असमान हैं। / Here (D=(-4)2-4(3)(-1)=28). (28) is positive but not a perfect square, so the roots are irrational and distinct.
A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=5))/Two real irrational and distinct ((D=5))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-5)2-4(1)(5)=5) है। (D) धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए मूल अपरिमेय हैं। / Here (D=(-5)2-4(1)(5)=5). (D) is positive but not a perfect square, so the roots are irrational.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=49))/Two real rational and distinct ((D=49))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=32-4(2)(-5)=49) है। यह धनात्मक पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=32-4(2)(-5)=49). It is a positive perfect square, so the roots are rational and distinct.
A. दो वास्तविक और असमान ((D=16))/Two real and distinct ((D=16))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-2)2-4(1)(-3)=16) है। धनात्मक पूर्ण वर्ग (D) से दो परिमेय असमान मूल मिलते हैं। / Here (D=(-2)2-4(1)(-3)=16). A positive perfect-square (D) gives two rational distinct roots.
A. दो वास्तविक और असमान ((D=1))/Two real and distinct ((D=1))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-5)2-4(1)(6)=1) है, इसलिए मूल वास्तविक और असमान हैं। पूर्ण वर्ग (D) से मूल परिमेय होते हैं। / Here (D=(-5)2-4(1)(6)=1), so the roots are real and distinct. A perfect-square (D) gives rational roots.
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=\frac{9}{4}\) है। (\(\alpha-\beta\)2=25-9=16), इसलिए धनात्मक अंतर (4) है। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=\frac{9}{4}\). Since (\(\alpha-\beta\)2=25-9=16), the positive difference is (4).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) लगाएँ। \(\alpha+\beta=\frac{13}{3}\) और \(\alpha\beta=\frac{4}{3}\), इसलिए धनात्मक अंतर \(\frac{11}{3}\) है। / Use (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). With \(\alpha+\beta=\frac{13}{3}\) and \(\alpha\beta=\frac{4}{3}\), the positive difference is \(\frac{11}{3}\).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) लगाएँ। \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) और \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), इसलिए धनात्मक अंतर \(\frac{5}{2}\) है। / Use (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). With \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), the positive difference is \(\frac{5}{2}\).
समीकरण को गुणनखंडों में लिखें: \(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\). इससे दोनों गुणनखंड शून्य होने पर \(x=3\) या \(x=4\) आते हैं, इसलिए मूल 3 और 4 हैं। विकल्प B (−3 और −4) का गुणनफल 12 जरूर है पर उनका योग −7 है, जबकि यहाँ मूलों का योग \(7\) होना चाहिए (कारण: किसी भी द्विघात \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) होता है)। परीक्षा टिप: जल्दी के लिए गुणनफल 12 के ऐसे दो मान खोजें जो जोड़ में 7 दें — वही मूल होंगे। / Factorise the quadratic: \(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\). Setting each factor to zero gives \(x=3\) or \(x=4\), so the roots are 3 and 4. Option B (−3 and −4) also gives product 12 but their sum is −7, not +7; for \(ax^2+bx+c=0\) the sum of roots is \(-b/a\) and product is \(c/a\). Exam tip: find two numbers whose product is 12 and whose sum is 7 — those are the roots.
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) है इसलिए यहां (-7) होगा। गुणनखंड न बनाकर भी यह जल्दी निकलता है। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}\) so here it is (-7). This can be found quickly without factorising.
(x=2) रखने पर (4-10+6=0) मिलता है इसलिए यह मूल है। परीक्षा में मान रखने के बाद अंतिम योग जरूर देखें। / Putting (x=2) gives (4-10+6=0) so it is a root. In exams always check the final sum after substitution.
