A. सहअभाज्य होने की शर्त/The condition of being coprime
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both (a) and (b) are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
This is the contradiction in the proof. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हों तो साझा गुणनखंड (3) है। चरण 3: यही प्रमाण का विरोधाभास है।
A. क्योंकि भिन्न को सरलतम रूप में लिया जाता है/Because the fraction is taken in lowest form
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
In the proof, it is taken in lowest form, so (m) and (n) are coprime.
Step 3
Exam Tip
Later, finding a common factor gives the contradiction. चरण 1: परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। चरण 2: प्रमाण में उसे सरलतम रूप में लेते हैं, इसलिए (m) और (n) सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलने पर यही बात विरोधाभास देती है।
A. ताकि भिन्न \(\frac{p}{q}\) सबसे सरल रूप में रहे/So that the fraction \(\frac{p}{q}\) is in lowest form
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\) in its lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, (p) and (q) have no common factor except (1).
Step 3
Exam Tip
Later, finding both even creates the contradiction. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के सबसे सरल रूप में लिखा जाता है। चरण 2: सबसे सरल रूप में (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। चरण 3: बाद में दोनों सम मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है।
If both are divisible by (5), then (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
This creates the contradiction in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हैं तो (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। चरण 3: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यही विरोधाभास बनता है।
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड होगा/Both will have (3) as a common factor
Step 1
Concept
Being divisible by (3) means both have (3) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
Therefore it gives a contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\). चरण 1: (3) से विभाज्य होने का अर्थ है कि दोनों में (3) गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए यह \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में विरोधाभास देता है।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा/Because both will have (2) as a common factor
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers do not have a common factor other than (1). चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता।
A. क्योंकि परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में लिखा जाता है/Because a rational number is written in its simplest form
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\) in its simplest form.
Step 2
Why this answer is correct
In simplest form, (p) and (q) have only (1) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Getting another common factor later contradicts this condition. चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में सबसे सरल रूप में लिखी जाती है। चरण 2: सबसे सरल रूप में (p) और (q) का साझा गुणनखंड (1) ही होता है। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं/Both (p) and (q) turn out divisible by (5)
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This makes both (p) and (q) divisible by (5), contradicting that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
Finding a common factor is the key contradiction in the proof. चरण 1: \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने से \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और फिर (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। चरण 3: प्रमाण में साझा गुणनखंड मिलना ही मुख्य विरोध है।
This makes both (p) and (q) divisible by (3), contradicting that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
In such proofs, finding a common factor creates the contradiction. चरण 1: \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और फिर (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे। चरण 3: ऐसे प्रमाण में समान गुणनखंड मिलना ही विरोध बनाता है।
A. (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं/Both (p) and (q) turn out even
Step 1
Concept
Coprime means (p) and (q) have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
In the proof of \(\sqrt{2}\), both (p) and (q) turn out even, so they have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves that \(\sqrt{2}\) is not rational. चरण 1: सहअभाज्य मानने का अर्थ है कि (p) और (q) में (1) के अलावा कोई समान गुणनखंड नहीं है। चरण 2: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं, यानी उनमें (2) समान गुणनखंड है। चरण 3: यही विरोध सिद्ध करता है कि \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है।
Since (ab=1736), \(b=\frac{1736}{56}=31\), and (56) and (31) are coprime.
Step 3
Exam Tip
Use the coprime condition to verify the final answer. चरण 1: \(a=2^3\times7=56\) है। चरण 2: (ab=1736), इसलिए \(b=\frac{1736}{56}=31\), और (56) तथा (31) सहाभाज्य हैं। चरण 3: सहाभाज्य शर्त से अंतिम उत्तर की जाँच करें।
Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (1517).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (1517) है। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है।
(ab=2496), so \(b=\frac{2496}{48}=52\), but (48) and (52) are not coprime.
Step 3
Exam Tip
The coprime condition is essential for checking the answer. चरण 1: \(a=2^4\times3=48\) है। चरण 2: (ab=2496), इसलिए \(b=\frac{2496}{48}=52\), पर (48) और (52) सहाभाज्य नहीं हैं। चरण 3: सहाभाज्य शर्त उत्तर की जाँच में बहुत जरूरी है।
Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (1147).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (1147) है। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है।
Since (ab=1720), \(b=\frac{1720}{40}=43\), and (40) and (43) are coprime.
Step 3
Exam Tip
Use the coprime condition to verify the final answer. चरण 1: \(a=2^3\times5=40\) है। चरण 2: (ab=1720), इसलिए \(b=\frac{1720}{40}=43\), और (40) तथा (43) सहाभाज्य हैं। चरण 3: सहाभाज्य शर्त से अंतिम उत्तर की जाँच करें।
Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (899).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, the LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (899) है। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं में लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है।
Product (=) HCF \(\times\) LCM, so product \(=1\times667=667\).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, the LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए गुणनफल \(1\times667=667\) है। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं में लघुत्तम समापवर्त्य ही गुणनफल होता है।
Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (437).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (437) है। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं में लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है।
Since (ab=420), \(b=\frac{420}{20}=21\), and (20) and (21) are coprime.
Step 3
Exam Tip
The coprime condition helps verify the final answer. चरण 1: \(a=2^2\times5=20\) है। चरण 2: (ab=420), इसलिए \(b=\frac{420}{20}=21\) है, और (20) तथा (21) सहाभाज्य भी हैं। चरण 3: सहाभाज्य शर्त अंतिम उत्तर की जाँच में मदद करती है।
Product equals HCF times LCM, so product \(=1\times221=221\).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर है, इसलिए गुणनफल \(1\times221=221\) होगा। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं में लघुत्तम समापवर्त्य ही गुणनफल होता है।
A. उनका महत्तम समापवर्तक (1) होगा/Their HCF will be (1)
Step 1
Concept
HCF contains only common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
If there is no common prime factor, the only common divisor is (1).
Step 3
Exam Tip
Treat such numbers as coprime to solve quickly. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंड ही आते हैं। चरण 2: यदि कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, तो केवल (1) साझा भाजक बचता है। चरण 3: ऐसी संख्याओं को सहाभाज्य समझकर प्रश्न जल्दी हल करें।
Since product (=) HCF \(\times\) LCM, the LCM is (391).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (391) है। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है।
Therefore, the LCM will be 12673. चरण 1: सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है। चरण 2: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 3: इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य 12673 होगा।
The prime factors of the first number are 2, 3, and 13.
Step 2
Why this answer is correct
The prime factors of the second number are 5, 7, and 11.
Step 3
Exam Tip
There is no common prime factor, so they are co-prime. चरण 1: पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 13 हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के अभाज्य गुणनखंड 5, 7 और 11 हैं। चरण 3: कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए वे सह-अभाज्य हैं।
Therefore, the LCM will be 7429. चरण 1: सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है। चरण 2: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 3: इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य 7429 होगा।
The prime factors of the first number are 2, 3, and 13.
Step 2
Why this answer is correct
The prime factors of the second number are 5, 7, and 11.
Step 3
Exam Tip
There is no common prime factor, so they are co-prime. चरण 1: पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 13 हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के अभाज्य गुणनखंड 5, 7 और 11 हैं। चरण 3: कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए वे सह-अभाज्य हैं।
Therefore, the LCM will be 4199. चरण 1: सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है। चरण 2: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 3: इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य 4199 होगा।
The prime factors of the first number are 2, 3, and 11.
Step 2
Why this answer is correct
The prime factors of the second number are 5, 7, and 13.
Step 3
Exam Tip
There is no common prime factor, so they are co-prime. चरण 1: पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 11 हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के अभाज्य गुणनखंड 5, 7 और 13 हैं। चरण 3: कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए वे सह-अभाज्य हैं।
Therefore, the LCM will be 2431. चरण 1: सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है। चरण 2: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 3: इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य 2431 होगा।
There is no common prime factor, so they are co-prime. चरण 1: पहली संख्या में अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। चरण 2: दूसरी संख्या में अभाज्य गुणनखंड 5 और 7 हैं। चरण 3: कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए वे सह-अभाज्य हैं।
