Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
क्योंकि \(2^2<8<3^2\), इसलिए \(\sqrt{8}\), (2) और (3) के बीच है। पहले पास के पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since \(2^2<8<3^2\), \(\sqrt{8}\) lies between (2) and (3). First identify nearby perfect squares.
क्योंकि \(3^2<10<4^2\), इसलिए \(\sqrt{10}\), (3) और (4) के बीच है। हमेशा (n) को पास के पूर्ण वर्गों के बीच रखें। / Since \(3^2<10<4^2\), \(\sqrt{10}\) lies between (3) and (4). Always place (n) between nearby perfect squares.
क्योंकि \(1^2<3<2^2\), इसलिए \(\sqrt{3}\), (1) और (2) के बीच है। वर्गमूल के लिए नजदीकी पूर्ण वर्ग देखें। / Since \(1^2<3<2^2\), \(\sqrt{3}\) lies between (1) and (2). For square roots, check nearby perfect squares.
क्योंकि (9<15<16), इसलिए \(3<\sqrt{15}<4\) है और \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है। परीक्षा में वर्गों के बीच तुलना करें। / Since (9<15<16), \(3<\sqrt{15}<4\) and \(\sqrt{15}\) is irrational. In exams compare between squares.
क्योंकि \(2<\frac{5}{2}<3\), इसलिए \(\sqrt{2}<\sqrt{\frac{5}{2}}<\sqrt{3}\) और यह अपरिमेय है। परीक्षा में वर्ग करके तुलना करें। / Since \(2<\frac{5}{2}<3\), \(\sqrt{2}<\sqrt{\frac{5}{2}}<\sqrt{3}\), and it is irrational. In exams compare by squaring.
क्योंकि (9<13<16), इसलिए \(3<\sqrt{13}<4\) और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। परीक्षा में वर्गों के बीच तुलना करें। / Since (9<13<16), \(3<\sqrt{13}<4\), and \(\sqrt{13}\) is irrational. In exams compare between squares.
A. (p(x)) के शून्यक परिमेय और (q(x)) के अपरिमेय वास्तविक हैं/(p(x)) has rational zeroes and (q(x)) has irrational real zeroes
Explanation
Simple Explanation
(p(x)) के लिए (D=121-96=25) पूर्ण वर्ग है। (q(x)) के लिए (D=121-92=29) धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। / For (p(x)), (D=121-96=25), a perfect square. For (q(x)), (D=121-92=29), positive and not a perfect square.
A. (p(x)) के शून्यक परिमेय हैं और (q(x)) के शून्यक अपरिमेय वास्तविक हैं/(p(x)) has rational zeroes and (q(x)) has irrational real zeroes
Explanation
Simple Explanation
(p(x)) के लिए (D=4+32=36) पूर्ण वर्ग है। (q(x)) के लिए (D=4+28=32) धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। / For (p(x)), (D=4+32=36), a perfect square. For (q(x)), (D=4+28=32), positive and not a perfect square.
A. पहले के परिमेय, दूसरे के अपरिमेय वास्तविक/First are rational, second are irrational real
Explanation
Simple Explanation
पहले में (D=64-28=36) पूर्ण वर्ग है, दूसरे में (D=64-40=24) पूर्ण वर्ग नहीं है। विविक्तकर से शून्यकों का प्रकार तुरंत पता चलता है। / For the first, (D=64-28=36) is a perfect square; for the second, (D=64-40=24) is not. The discriminant quickly tells the type of zeroes.
दोनों पक्ष धनात्मक हैं और (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)2=5+2\sqrt{6}>5) है। इसलिए पहला पक्ष बड़ा है। / Both sides are positive and (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)2=5+2\sqrt{6}>5). So the first side is larger.
धनात्मक संख्याओं में जड़ के अंदर बड़ी संख्या हो तो वर्गमूल भी बड़ा होता है। (48<75<108) है। / For positive numbers a larger value inside the root gives a larger square root. Here (48<75<108).
A. \(\sqrt{361}\) परिमेय है और \(\sqrt{362}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{361}\) is rational and \(\sqrt{362}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{361}=19\) है लेकिन (362) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए पहली जड़ परिमेय और दूसरी अपरिमेय है। / \(\sqrt{361}=19\), but (362) is not a perfect square. So the first root is rational and the second is irrational.
धनात्मक संख्याओं में अंदर की संख्या बड़ी हो तो वर्गमूल भी बड़ा होता है। (145>130) है। / For positive numbers a larger number inside the square root gives a larger root. Here (145>130).
A. \(\sqrt{289}\) परिमेय है और \(\sqrt{290}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{289}\) is rational and \(\sqrt{290}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{289}=17\) है लेकिन (290) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए पहली जड़ परिमेय और दूसरी अपरिमेय है। / \(\sqrt{289}=17\), but (290) is not a perfect square. So the first root is rational and the second is irrational.
घनमूल (square root) का मान नॉन-नेगेटिव वास्तविक संख्याओं पर बढ़ते हुए फ़ंक्शन होता है: यदि \(a>b\ge0\) तो \(\sqrt{a}>\sqrt{b}\)। यहाँ \(99>90\), अतः \(\sqrt{99}>\sqrt{90}\)। संख्यात्मक रूप से \(\sqrt{90}\approx9.4868\) और \(\sqrt{99}\approx9.9499\)। विकल्प B उल्टा क्रम दर्शाता है और गलत है; C गलत है क्योंकि अंदर की संख्याएँ समान नहीं; D भी गलत है क्योंकि तुलना बिल्कुल संभव और स्पष्ट है। परीक्षा सुझाव: ऐसे मामलों में अंदर की संख्याओं की सीधे तुलना करें या दोनों ओर का वर्ग लेकर निर्णय आसान हो जाता है। / The square-root function is increasing for non‑negative real numbers: if \(a>b\ge0\) then \(\sqrt{a}>\sqrt{b}\). Since \(99>90\), we have \(\sqrt{99}>\sqrt{90}\). Numerically \(\sqrt{90}\approx9.4868\) and \(\sqrt{99}\approx9.9499\). Option B reverses the order, C is false because the radicands are different, and D is wrong because the comparison is definite. Exam tip: either compare the radicands directly or compute approximate square roots to decide quickly.
A. \(\sqrt{225}\) परिमेय है और \(\sqrt{226}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{225}\) is rational and \(\sqrt{226}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{225}=15\) है लेकिन (226) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए पहली जड़ परिमेय और दूसरी अपरिमेय है। / \(\sqrt{225}=15\), but (226) is not a perfect square. So the first root is rational and the second is irrational.
धनात्मक संख्याओं में अंदर की संख्या बड़ी हो तो वर्गमूल भी बड़ा होता है। (72>50) इसलिए \(\sqrt{72}>\sqrt{50}\)। / For positive numbers a larger number inside the root gives a larger square root. Since (72>50), \(\sqrt{72}>\sqrt{50}\).
कारण: \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{4}\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)। इसलिए विकल्प A सही है।
क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: विकल्प B \(\sqrt{12}=4\sqrt{3}\) और विकल्प C \(\sqrt{12}=3\sqrt{2}\) दोनों गलत हैं क्योंकि 12 का सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड 4 है (न कि 9 या 16), इसीलिए केवल \(\sqrt{4}\) को बाहर निकाला जा सकता है। विकल्प D छोटा मान देता है और स्पष्ट रूप से गलत है।
परीक्षा सुझाव: किसी भी समूलक को सरल करने के लिए उसके घनत्व (factor) में से सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग निकालें — तत्काल तुलना आसान हो जाएगी। / Reason: \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{4}\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}\). Hence option A is correct.
Why others are wrong: Option B (\(\sqrt{12}=4\sqrt{3}\)) and option C (\(\sqrt{12}=3\sqrt{2}\)) are incorrect because the largest perfect square factor of 12 is 4 (not 9 or 16), so only \(\sqrt{4}\) can be taken out. Option D yields a much smaller value and is clearly wrong.
Exam tip: To compare or simplify surds, factor the radicand and pull out the largest perfect square; this makes direct comparison trivial.
A. \(\sqrt{256}\) परिमेय है और \(\sqrt{257}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{256}\) is rational and \(\sqrt{257}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{256}=16\) है लेकिन (257) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए पहली जड़ परिमेय और दूसरी अपरिमेय है। / \(\sqrt{256}=16\), but (257) is not a perfect square. So the first root is rational and the second is irrational.
\(448=2^6\cdot 7\) है इसलिए आवर्ती भाग से पहले (6) अनावर्ती अंक आएँगे। तुलना में (2) और (5) की बड़ी घात देखें। / \(448=2^6\cdot 7\), so (6) non-repeating digits appear before the recurring part. For comparison, check the larger power of (2) and (5).
\(224=2^5\cdot 7\) है इसलिए आवर्ती भाग से पहले (5) अनावर्ती अंक आएँगे। तुलना में (2) और (5) की बड़ी घात देखें। / \(224=2^5\cdot 7\), so (5) non-repeating digits appear before the recurring part. For comparison, check the larger power of (2) and (5).
\(112=2^4\cdot 7\), इसलिए आवर्ती भाग से पहले (4) अनावर्ती अंक आएँगे। तुलना में (2) और (5) की बड़ी घात देखें। / \(112=2^4\cdot 7\), so (4) non-repeating digits appear before the recurring part. For comparison, check the larger power of (2) and (5).
हर में (2) और (5) की बड़ी घात आवर्ती भाग शुरू होने की देरी बताती है। / The larger power of (2) or (5) in the denominator tells the delay before the recurring part starts.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3\cdot 3^2\), इसलिए इसमें देरी (3) स्थानों की होगी। बाकी में बड़ी घात (1) या (2) है। / \(72=2^3\cdot 3^2\), so it has a delay of (3) places. The others have larger exponent (1) or (2).
Step 3
Exam Tip
असांत आवर्ती दशमलव में आरंभिक अनावर्ती भाग को भी समझें। / Understand the initial non-repeating part in non-terminating recurring decimals.
\(128=2^7\), इसलिए \(\frac{7}{128}\) में (7) दशमलव स्थान होंगे। / \(128=2^7\), so \(\frac{7}{128}\) has (7) decimal places.
Step 2
Why this answer is correct
\(625=5^4\), \(40=2^3\cdot 5\), और \(160=2^5\cdot 5\) हैं, इसलिए इनके स्थान क्रमशः (4), (3), और (5) हैं। / \(625=5^4\), \(40=2^3\cdot 5\), and \(160=2^5\cdot 5\), giving (4), (3), and (5) places.
Step 3
Exam Tip
तुलना में हर का अभाज्य रूप जल्दी निकालें। / For comparison, factorise the denominators quickly.
B. दोनों असमाप्त आवर्ती हैं/Both are non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(14=2\times7\) और \(28=2^2\times7\) हैं। / \(14=2\times7\) and \(28=2^2\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों हरों में (7) बचता है, इसलिए दोनों दशमलव समाप्त नहीं होंगे। / Factor (7) remains in both denominators, so both decimals do not terminate.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: तुलना वाले प्रश्नों में दोनों हरों का अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडन करें। / Exam tip: In comparison questions, prime-factorise both denominators separately.
