A. यह सतत है और \(-\infty\) से \(\infty\) तक मान लेता है/It is continuous and takes values from \(-\infty\) to \(\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+x\) is defined and continuous for all real (x).
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Continuity plus end behavior shows onto over \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^3+x\) हर वास्तविक (x) पर परिभाषित और सतत है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) जाता है। चरण 3: सततता और सिरों का व्यवहार मिलकर \(\mathbb{R}\) पर आच्छादिता दिखाते हैं।
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As \(x\to\infty\), its value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), its value goes to \(-\infty\), so all real values occur.
Step 3
Exam Tip
For odd degree continuous polynomials, check end behavior. चरण 1: \(x^3-3x\) एक विषम घात वाला बहुपद है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) जाता है, इसलिए सभी वास्तविक मान मिलते हैं। चरण 3: विषम घात वाले सतत बहुपदों में आच्छादिता जाँचते समय सिरों का व्यवहार देखें।
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B. यह सर्वाच्छादक है क्योंकि प्रमुख घात विषम है और फलन सतत है/It is onto because the leading degree is odd and the function is continuous
Step 1
Concept
This is a continuous polynomial and its leading term is \(x^3\).
Step 2
Why this answer is correct
For very large positive (x), the value tends to \(\infty\), and for very large negative (x), it tends to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Lower-degree terms do not change the end behavior. चरण 1: यह सतत बहुपद है और इसका प्रमुख पद \(x^3\) है। चरण 2: बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान \(\infty\) और बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: निचली घातों के पद अंत व्यवहार नहीं बदलते।
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A. यह सर्वाच्छादक है क्योंकि हर वास्तविक (y) के लिए सततता और अंत व्यवहार से कोई (x) मिलता है/It is onto because continuity and end behavior ensure some (x) for every real (y)
Step 1
Concept
\(x^5+x\) is a continuous odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
It tends to \(\infty\) as \(x\to\infty\) and to \(-\infty\) as \(x\to-\infty\).
Step 3
Exam Tip
At expert level, combine continuity with end behavior to conclude. चरण 1: \(x^5+x\) सतत और विषम घात वाला बहुपद है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: विशेषज्ञ स्तर पर सततता और अंत व्यवहार को साथ में जोड़कर निष्कर्ष निकालें।
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B. (f) सर्वाच्छादक है क्योंकि यह सतत है और दोनों दिशाओं में असीमित फैलता है/(f) is onto because it is continuous and unbounded in both directions
Step 1
Concept
This is a continuous odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), so every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
Do not be confused by turning points; end behavior is very useful for onto property. चरण 1: यह विषम घात का सतत बहुपद है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है, इसलिए बीच के सभी वास्तविक मान मिलते हैं। चरण 3: स्थानीय मोड़ देखकर घबराएँ नहीं, अंत व्यवहार सर्वाच्छादकता में बहुत उपयोगी होता है।
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A. हाँ क्योंकि यह विषम घात का सतत बहुपद है और दोनों दिशाओं में असीमित जाता है/Yes because it is a continuous odd-degree polynomial and is unbounded in both directions
Step 1
Concept
\(x^3-3x\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Even with turning points, end behavior can show onto property. चरण 1: \(x^3-3x\) सतत है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: स्थानीय मोड़ होने पर भी अंत व्यवहार सर्वाच्छादकता दिखा सकता है।
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A. यह सतत है और \(x\to\infty\) पर (f(x)\to\infty), \(x\to-\infty\) पर (f(x)\to-\infty)/It is continuous and (f(x)\to\infty) as \(x\to\infty\), (f(x)\to-\infty) as \(x\to-\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+x\) is a continuous polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
For very large positive (x), its value is very large positive, and for very large negative (x), its value is very large negative.
Step 3
Exam Tip
The end behavior of a continuous odd-degree polynomial supports onto over \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^3+x\) सतत बहुपद है। चरण 2: बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत बड़ा धनात्मक और बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर बहुत बड़ा ऋणात्मक होता है। चरण 3: सतत बहुपद के अंत व्यवहार से पूरे वास्तविक परास का संकेत मिलता है।
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As \(x\to\infty\), \(x^3-x\to\infty\), and as \(x\to-\infty\), \(x^3-x\to-\infty\).
Step 2
Why this answer is correct
The polynomial is continuous, so it takes every real value in between.
Step 3
Exam Tip
For cubic polynomials, end behavior is very useful for onto checking. चरण 1: \(x\to\infty\) पर \(x^3-x\to\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(x^3-x\to-\infty\)। चरण 2: बहुपद सतत है, इसलिए बीच के सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 3: घन बहुपद में सिरों का व्यवहार आच्छादी जाँच में बहुत उपयोगी है।
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As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Even with turning points, continuity and end behavior can cover all of \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^5-x\) सतत विषम घात बहुपद है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) जाता है। चरण 3: बीच में मोड़ हों तो भी सततता और अंत व्यवहार पूरे \(\mathbb{R}\) को ढक सकते हैं।
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\(\cos x\) is bounded, while (x) grows without bound in both directions.
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(x-\cos x\) also goes without bound in both directions and is continuous.
Step 3
Exam Tip
Continuity plus end behavior can prove onto. चरण 1: \(\cos x\) सीमित है और (x) असीम दिशा में बढ़ता या घटता है। चरण 2: इसलिए \(x-\cos x\) का मान भी दोनों दिशाओं में असीम जाता है और फलन सतत है। चरण 3: सततता और अंत व्यवहार मिलकर आच्छादकता सिद्ध कर सकते हैं।
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As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), because the (x)-term dominates.
Step 3
Exam Tip
When a bounded trigonometric term is added to (x), check end behavior. चरण 1: \(x+\sin x\) सतत फलन है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर यह \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है क्योंकि (x) वाला भाग प्रमुख है। चरण 3: सीमित त्रिकोणमितीय भाग के साथ (x) जुड़ा हो तो अंत व्यवहार देखें।
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This is an odd-degree polynomial with positive leading coefficient.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), so every real target value is obtained.
Step 3
Exam Tip
In hard questions, first check the end behavior of odd-degree polynomials. चरण 1: यह विषम घात का बहुपद है जिसका अग्र गुणांक धनात्मक है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है इसलिए हर वास्तविक लक्ष्य मान मिल जाता है। चरण 3: कठिन प्रश्नों में भी विषम घात बहुपद का अंत व्यवहार जल्दी पहचानें।
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A. हाँ, क्योंकि इसका परास \(\mathbb{R}\) है/Yes, because its range is \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
This is a continuous polynomial with an odd leading degree.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\). Hence it takes every real value in between and is onto.
Step 3
Exam Tip
Use the end behavior of continuous cubic polynomials to judge onto nature. चरण 1: यह विषम घात के प्रमुख पद वाला सतत बहुपद है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए बीच के हर वास्तविक मान को लेता है और आच्छादी है। चरण 3: सतत घन बहुपद के दूर के व्यवहार से आच्छादीपन समझें।
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