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लगातार पदों का अंतर (20-14=6) है। समान अंतर निकालने के लिए दूसरे पद से पहला पद घटाएं। / The difference between consecutive terms is (20-14=6). To find the common difference subtract the first term from the second term.
समानांतर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=9\), \(d=4\) और \(n=8\) है, इसलिए \(a_8=9+(8-1)\times4=9+28=37\)। अतः सही उत्तर 37 है। 35 प्राप्त करने पर पदों की संख्या या \((n-1)\) का उपयोग जाँचें। परीक्षा टिप: nवें पद में अंतर को हमेशा \(n-1\) से गुणा करें। / The nth term of an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Here, \(a=9\), \(d=4\), and \(n=8\), so \(a_8=9+(8-1)\times4=9+28=37\). Therefore, 37 is the correct answer. An answer such as 35 usually results from using the wrong number of differences. Exam tip: multiply the common difference by \(n-1\), not by \(n\).
पहला पद (35) और अंतर (-4) है इसलिए (a_n=35+(n-1)(-4)=39-4n)। घटती श्रेढ़ी में समान अंतर ऋणात्मक होता है। / The first term is (35) and the difference is (-4), so (a_n=35+(n-1)(-4)=39-4n). In a decreasing progression the common difference is negative.
A. क्योंकि अंतर (3,4,5) बराबर नहीं हैं/Because the differences (3,4,5) are not equal
Explanation
Simple Explanation
लगातार अंतर (3,4,5) हैं जो समान नहीं हैं। समानांतर श्रेढ़ी में हर बार समान अंतर होना चाहिए। / The consecutive differences are (3,4,5), which are not equal. An arithmetic progression must have the same difference each time.
समानांतर श्रेणी का nवाँ पद का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) है। अतः \(a_5=6+(5-1)\times7=6+28=34\)। इसलिए सही उत्तर 34 है। 35 लेने पर एक अतिरिक्त नहीं, बल्कि गलत अंतर जुड़ जाता है; पाँचवें पद तक प्रारम्भिक पद में केवल चार बार समान अंतर जोड़ा जाता है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए अंतर की संख्या हमेशा \(n-1\) होती है। / The formula for the nth term of an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(a_5=6+(5-1)\times7=6+28=34\). Hence, 34 is correct. The common difference is added only four times to reach the fifth term from the first term, so 35 does not follow the AP rule. Exam tip: for the nth term, use \(n-1\) common differences.
यहाँ प्रथम पद \(a=8\) और सार्वांतर \(d=5\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(8+(n-1)\times5=48\) से \(5(n-1)=40\), इसलिए \(n=9\)। इसलिए 48, 9वाँ पद है। 8वाँ पद \(43\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए उसे \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / Here, the first term is \(a=8\) and the common difference is \(d=5\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). So, \(8+(n-1)\times5=48\) gives \(5(n-1)=40\), hence \(n=9\). Therefore, 48 is the 9th term. The 8th term is \(43\), so it is not correct. Exam tip: To find the position of a given term, equate it to \(a_n\) and solve for \(n\).
दिया है कि \(a_n=3n+2\)। \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(a_1=5\), \(a_2=8\), \(a_3=11\) और \(a_4=14\) मिलते हैं। इसलिए पहले चार पद \((5,8,11,14)\) हैं। विकल्प C में 2 से शुरू किया गया है, जो \(n=0\) रखने पर मिलता है, जबकि पहले पद के लिए \(n=1\) लिया जाता है। परीक्षा टिप: पदों की सूची बनाते समय हमेशा \(a_1\) से गणना शुरू करें। / Given \(a_n=3n+2\), substitute \(n=1,2,3,4\). This gives \(a_1=5\), \(a_2=8\), \(a_3=11\), and \(a_4=14\). Hence, the first four terms are \((5,8,11,14)\). Option C starts with 2, which is obtained by using \(n=0\), but the first term is found using \(n=1\). Exam tip: when a sequence is defined by \(a_n\), begin listing terms from \(a_1\).
समानांतर श्रेणी के लिए \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। अतः \(32=12+(6-1)d=12+5d\)। इसलिए \(5d=20\), जिससे \(d=4\) मिलता है। यहाँ \(a_1\) और \(a_6\) के बीच 5 अंतराल होते हैं, 6 नहीं। परीक्षा टिप: दो पदों के बीच समान अंतर निकालते समय हमेशा पदों के क्रमांकों का अंतर लें। / For an arithmetic progression, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Thus, \(32=12+(6-1)d=12+5d\). Hence \(5d=20\), so \(d=4\). There are 5 gaps, not 6, between \(a_1\) and \(a_6\). Exam tip: while finding the common difference from two terms, use the difference between their term numbers.
पहले (5) पद (5,12,19,26,33) हैं और योग (95) है। कम पद हों तो सीधे लिखकर जोड़ना सरल है। / The first (5) terms are (5,12,19,26,33), and their sum is (95). For a small number of terms direct listing and addition is simple.
रैखिक रूप में (n) का गुणांक (-6) है इसलिए समान अंतर (-6) है। गुणांक का चिह्न जरूर देखें। / In the linear form the coefficient of (n) is (-6), so the common difference is (-6). Always check the sign of the coefficient.
\(7,11,15,19,\ldots\) में समान अंतर (4) है। समानांतर श्रेढ़ी में लगातार अंतर बराबर होते हैं। / In \(7,11,15,19,\ldots\), the common difference is (4). In an arithmetic progression consecutive differences are equal.
समानांतर श्रेणी में चौथा पद पहले पद से तीन समान अंतरों के बाद आता है। इसलिए \(a_4=a_1+3d\)। यहाँ \(30=18+3d\), अतः \(3d=12\) और \(d=4\)। विकल्प 3 लेने पर चौथा पद \(18+3\times3=27\) होता, जो 30 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद तक पहले पद के बाद \(n-1\) अंतर होते हैं। / In an arithmetic progression, the fourth term is reached after three equal gaps from the first term. Thus, \(a_4=a_1+3d\). Here, \(30=18+3d\), so \(3d=12\) and \(d=4\). If the common difference were 3, the fourth term would be \(18+3\times3=27\), not 30. Exam tip: from the first term to the \(n\)th term, there are \(n-1\) common differences.
इस समानांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद \(a=11\) और सार्वांतर \(d=17-11=6\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_{12}=11+(12-1)\times6=11+66=77\)। 73 प्राप्त करने पर सामान्यतः \(n-1\) के स्थान पर गलत संख्या ली जाती है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय प्रथम पद के बाद केवल \(n-1\) बार सार्वांतर जोड़ा जाता है। / The first term is \(a=11\) and the common difference is \(d=17-11=6\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_{12}=11+(12-1)\times6=11+66=77\). Getting 73 usually results from using an incorrect number of common differences. Exam tip: from the first term to the \(n\)th term, the common difference is added \(n-1\) times.
एक अंकगणितीय प्रगति का पहला पद 7 और सार्वांतर 4 है। एक विद्यार्थी कहता है कि इसका 10वाँ पद 43 है, क्योंकि 4 को 10 बार जोड़ना होता है। विद्यार्थी के कथन के बारे में कौन-सा विकल्प सही है?
B. विद्यार्थी का उत्तर सही है, पर तर्क गलत है; पहले पद से 10वें पद तक 4 को 9 बार जोड़ा जाता है।/The student's answer is correct, but the reasoning is wrong; 4 is added 9 times from the first term to the 10th term.
Explanation
Simple Explanation
10वें पद के लिए सूत्र \(a_{10}=a+(10-1)d\) है। अतः \(7+9\times4=43\)। उत्तर 43 सही है, लेकिन 4 को 10 नहीं, 9 बार जोड़ा जाता है। परीक्षा में पद संख्या से हमेशा 1 घटाएँ। / For the 10th term, use \(a_{10}=a+(10-1)d\). Thus, \(7+9\times4=43\). The answer is correct, but 4 is added 9 times, not 10 times. Exam tip: always subtract 1 from the term number.
यहाँ (a=28) और (d=-4), इसलिए (a_9=28+8(-4)=-4)। घटती श्रेढ़ी में पद ऋणात्मक भी हो सकते हैं। / Here (a=28) and (d=-4), so (a_9=28+8(-4)=-4). In a decreasing progression terms can become negative.
विकल्प C में पहला पद 6 है। क्रमागत पदों का अंतर 3 - 6 = -3, 0 - 3 = -3 और -3 - 0 = -3 है, इसलिए इसका समान अंतर -3 है। विकल्प D में अंतर -3 तो है, लेकिन उसका पहला पद 9 है। परीक्षा टिप: किसी समानांतर श्रेढ़ी में समान अंतर ज्ञात करने के लिए दूसरे पद में से पहला पद घटाएँ। / In option C, the first term is 6. The differences between consecutive terms are 3 - 6 = -3, 0 - 3 = -3, and -3 - 0 = -3, so its common difference is -3. Option D has common difference -3, but its first term is 9. Exam tip: To find the common difference of an AP, subtract the first term from the second term.
पहला पद ज्ञात करने के लिए n=1 रखते हैं। अतः a₁=7(1)-2=5। इसलिए सही उत्तर 5 है। 7 गुणांक है, पहला पद नहीं। परीक्षा टिप: किसी भी अनुक्रम में पहला पद निकालने के लिए n के स्थान पर 1 रखें। / To find the first term, put n=1. Thus, a₁=7(1)-2=5. Therefore, the correct answer is 5. The number 7 is the coefficient of n, not the first term. Exam tip: To find the first term of a sequence, substitute n=1.
इस समानांतर श्रेढ़ी में प्रथम पद \(a=16\) और सार्वांतर \(d=5\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(16+(n-1)\times5=56\) से \(n-1=8\), इसलिए \(n=9\)। इसलिए 56, 9वाँ पद है। निकटतम विकल्प 8वाँ पद नहीं है, क्योंकि 8वाँ पद \(16+7\times5=51\) होगा। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए पहले \(a_n=a+(n-1)d\) लिखें। / Here, the first term is \(a=16\) and the common difference is \(d=5\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). So, \(16+(n-1)\times5=56\) gives \(n-1=8\), hence \(n=9\). Therefore, 56 is the 9th term. The close distractor, the 8th term, is incorrect because the 8th term is \(16+7\times5=51\). Exam tip: To find the position of a given term in an AP, start with \(a_n=a+(n-1)d\).
दिए गए समानांतर श्रेढ़ी के पहले 4 पद 9, 15, 21 और 27 हैं। अतः उनका योग \(9+15+21+27=72\) होगा। इसलिए सही उत्तर 72 है। 78 एक पद के गलत योग या गणना-त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: कम पदों के लिए सीधे जोड़ना सबसे तेज़ विधि है; अधिक पदों के लिए \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) का प्रयोग करें। / The first four terms of the arithmetic progression are 9, 15, 21, and 27. Their sum is \(9+15+21+27=72\). Therefore, 72 is the correct answer. A value such as 78 can result from an incorrect addition. Exam tip: For a small number of terms, direct addition is quickest; for more terms, use \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\).
समांतर श्रेणी का nवाँ पद ज्ञात करने का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) है। अतः \(a_7=25+(7-1)(-5)=25-30=-5\)। इसलिए सही उत्तर \(-5\) है। \(0\) तब प्राप्त होता यदि 6 के स्थान पर 5 बार अंतर घटाया जाता। परीक्षा टिप: ऋणात्मक \(d\) होने पर प्रत्येक अगला पद घटता है। / The nth-term formula for an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_7=25+(7-1)(-5)=25-30=-5\). Hence, \(-5\) is correct. \(0\) would result from subtracting the common difference only 5 times instead of 6 times. Exam tip: when \(d\) is negative, each successive term decreases.
पहला पद (4) और (d=7) है इसलिए (a_n=4+(n-1)7=7n-3)। विकल्प को (n=1) रखकर भी जांच सकते हैं। / The first term is (4) and (d=7), so (a_n=4+(n-1)7=7n-3). You can also check an option by putting (n=1).
तीसरे से छठे पद तक (3) अंतर हैं और वृद्धि (15) है, इसलिए (d=5)। अंतरालों की संख्या सही गिनें। / From the third to the sixth term there are (3) gaps and the increase is (15), so (d=5). Count the number of gaps correctly.
दिया है कि \(a_n=5n+6\)। अतः \(a_3=5(3)+6=21\) और \(a_5=5(5)+6=31\)। इसलिए \(a_3+a_5=21+31=52\)। 48 जैसा विकल्प तब आ सकता है जब किसी पद में \(+6\) को गलत तरीके से जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: सूत्र में प्रत्येक पद के लिए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर पहले पद ज्ञात करें। / Given \(a_n=5n+6\), \(a_3=5(3)+6=21\) and \(a_5=5(5)+6=31\). Therefore, \(a_3+a_5=21+31=52\). An option such as 48 may result from incorrectly handling the \(+6\) term. Exam tip: substitute the value of \(n\) separately to find each required term before adding.
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=70\) और सार्वांतर \(d=62-70=-8\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(14=70+(n-1)(-8)\) से \(n-1=7\), इसलिए \(n=8\)। इसलिए 14, 8वाँ पद है। 7वाँ पद 22 होता है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: घटती समांतर श्रेणी में सार्वांतर ऋणात्मक लेना न भूलें। / Here, the first term is \(a=70\) and the common difference is \(d=62-70=-8\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(14=70+(n-1)(-8)\) gives \(n-1=7\), so \(n=8\). Therefore, 14 is the 8th term. The 7th term is 22, so it is a close but incorrect option. Exam tip: use a negative common difference for a decreasing AP.
\(a_5=a+4d\) इसलिए (27=a+12) और (a=15)। दिए पद से पीछे जाने के लिए समान अंतर घटाएं। / \(a_5=a+4d\), so (27=a+12) and (a=15). To move backward from a given term subtract common differences.
समानांतर श्रेणी का समान अंतर किसी पद में से उसके ठीक पहले वाले पद को घटाकर मिलता है। यहाँ प्रत्येक क्रमागत पद के लिए \(3-3=0\) है, इसलिए समान अंतर \(0\) है। \(3\) पद का मान है, समान अंतर नहीं। परीक्षा टिप: दो क्रमागत पदों का अंतर निकालकर समान अंतर जाँचें। / The common difference of an arithmetic progression is found by subtracting a term from the next term. Here, for every pair of consecutive terms, \(3-3=0\); therefore, the common difference is \(0\). The number \(3\) is the value of each term, not the common difference. Exam tip: subtract any term from its next term to check the common difference.
पहले (6) पद (10,12,14,16,18,20) हैं और योग (90) है। छोटे (n) में पद लिखकर जोड़ना आसान है। / The first (6) terms are (10,12,14,16,18,20), and their sum is (90). For small (n), writing and adding terms is easy.
पहला पद (19) और (d=4) है इसलिए (a_n=19+(n-1)4=4n+15)। सामान्य पद बनाते समय (n-1) का ध्यान रखें। / The first term is (19) and (d=4), so (a_n=19+(n-1)4=4n+15). Remember (n-1) while forming the general term.
\(a_4\) से \(a_9\) तक (5) अंतर हैं, इसलिए (a_9=22+5(6)=52)। पास के पद से आगे बढ़ना तेज तरीका है। / From \(a_4\) to \(a_9\), there are (5) gaps, so (a_9=22+5(6)=52). Moving forward from a nearby term is a quick method.
पहला पद (13) है और हर बार (5) जोड़ने पर (13,18,23,28) मिलते हैं। दिए (a) और (d) से सीधे पद बनाएं। / The first term is (13), and adding (5) each time gives (13,18,23,28). Form the terms directly from the given (a) and (d).
समानांतर श्रेढ़ी में (2(x+6)=x+2x), इसलिए (x=12)। बीच का पद दोनों ओर के पदों का औसत होता है। / In an arithmetic progression (2(x+6)=x+2x), so (x=12). The middle term is the average of the two surrounding terms.
\(a_8=3\) और \(a_9=-3\), इसलिए पहला ऋणात्मक पद (9)वाँ है। शून्य से नीचे जाने वाला पहला पद जांचें। / \(a_8=3\) and \(a_9=-3\), so the first negative term is the (9)th. Check the first term that goes below zero.
तीसरे पद के लिए n=3 रखें: \(a_3=11-2(3)=11-6=5\)। अतः सही उत्तर 5 है। 7 दूसरा पद है, क्योंकि \(a_2=11-2(2)=7\)। परीक्षा टिप: किसी भी nवें पद के सूत्र में मांगे गए पद का क्रमांक n के स्थान पर रखें। / For the third term, substitute n=3: \(a_3=11-2(3)=11-6=5\). Therefore, the correct answer is 5. Note that 7 is the second term, since \(a_2=11-2(2)=7\). Exam tip: In an nth-term formula, substitute the position number of the required term for n.
पहले तीन पदों का औसत \(\frac{6+14+22}{3}=14\) है। समानांतर श्रेढ़ी में तीन क्रमिक पदों का औसत बीच वाला पद होता है। / The average of the first three terms is \(\frac{6+14+22}{3}=14\). In an arithmetic progression the average of three consecutive terms is the middle term.
समांतर श्रेणी में nवाँ पद का सूत्र \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। अतः \(50=5+(10-1)d=5+9d\)। इसलिए \(9d=45\), जिससे \(d=5\) प्राप्त होता है। विकल्प 4 गलत है, क्योंकि पहले से 10वें पद तक 9 अंतर होते हैं, 10 नहीं। परीक्षा टिप: nवें पद के सूत्र में हमेशा \((n-1)d\) लें। / In an arithmetic progression, the nth-term formula is \(a_n=a_1+(n-1)d\). Thus, \(50=5+(10-1)d=5+9d\). Hence \(9d=45\), so \(d=5\). Option 4 is incorrect because there are 9 common-difference gaps from the first term to the tenth term, not 10. Exam tip: always use \((n-1)d\) in the nth-term formula.
इस समानांतर श्रेढ़ी में प्रथम पद \(a=2\) तथा सार्वांतर \(d=10-2=8\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_{15}=2+(15-1)\times 8=2+112=114\)। इसलिए सही उत्तर \(114\) है। \(118\) पाने में \(15\times 8\) लेने की गलती हो सकती है; सूत्र में \((n-1)\) होता है। परीक्षा टिप: पहले प्रथम पद और सार्वांतर अलग से लिखें, फिर \(n-1\) का प्रयोग करें। / In this arithmetic progression, the first term is \(a=2\) and the common difference is \(d=10-2=8\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_{15}=2+(15-1)\times 8=2+112=114\). Hence, \(114\) is correct. \(118\) can result from incorrectly using \(15\times 8\); the formula uses \((n-1)\). Exam tip: identify the first term and common difference before substituting in the nth-term formula.
\(9,18,27,36,\ldots\) में हर बार (9) जुड़ता है। समान अंतर निकालने में लगातार दो पदों का अंतर देखें। / In \(9,18,27,36,\ldots\), (9) is added each time. To find the common difference check the difference of two consecutive terms.
(6n+1=49) से (6n=48) और (n=8)। पद का स्थान निकालने के लिए \(a_n\) को दिए मान के बराबर रखें। / From (6n+1=49), (6n=48) and (n=8). To find the position set \(a_n\) equal to the given value.
पहले (5) पद (30,25,20,15,10) हैं और योग (100) है। घटती श्रेढ़ी में भी पद क्रम से लिखकर जोड़ें। / The first (5) terms are (30,25,20,15,10), and their sum is (100). In a decreasing progression also list the terms in order and add.
\(a_6\) से \(a_3\) तक (3) अंतर पीछे जाना है, इसलिए (a_3=41-3(7)=20)। पीछे जाते समय समान अंतर घटाएं। / From \(a_6\) to \(a_3\), move back (3) gaps, so (a_3=41-3(7)=20). When moving backward subtract the common difference.
इस श्रेणी का प्रथम पद \(a=24\) और सार्वांतर \(d=-6\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होगा। अतः \(0=24+(n-1)(-6)\) से \(n=5\) प्राप्त होता है। इसलिए 0 पाँचवाँ पद है। चौथा पद 6 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करने के लिए \(a_n\) में दिया गया पद रखकर \(n\) हल करें। / The first term is \(a=24\) and the common difference is \(d=-6\). Using \(a_n=a+(n-1)d\), we get \(0=24+(n-1)(-6)\), so \(n=5\). Hence, 0 is the fifth term. The fourth term is 6, so it is not correct. Exam tip: To find a term’s position, substitute the given value for \(a_n\) and solve for \(n\).
समांतर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=17\), \(d=0\) और \(n=10\) रखने पर \(a_{10}=17+9\times0=17\) मिलता है। इसलिए प्रत्येक पद 17 ही होगा। 170, पहले पद को 10 से गुणा करने पर मिलता है, जो nवाँ पद ज्ञात करने का नियम नहीं है। परीक्षा टिप: यदि \(d=0\) हो, तो समांतर श्रेणी के सभी पद प्रथम पद के बराबर होते हैं। / The nth term of an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Substituting \(a=17\), \(d=0\), and \(n=10\) gives \(a_{10}=17+9\times0=17\). Hence, every term is 17. The value 170 comes from multiplying the first term by 10, which is not the rule for finding the nth term. Exam tip: when \(d=0\), every term of an AP equals its first term.
\(a_{11}\) और \(a_5\) के बीच (6) अंतर हैं और (d=6), इसलिए अंतर (36) है। समानांतर श्रेढ़ी में पदों का अंतर पद-संख्या के अंतर पर निर्भर करता है। / There are (6) gaps between \(a_{11}\) and \(a_5\), and (d=6), so the difference is (36). In an arithmetic progression term difference depends on the difference of positions.
दिया गया नियम है \(a_n=10-3n\)। \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(a_1=7\), \(a_2=4\), \(a_3=1\) और \(a_4=-2\) मिलते हैं। अतः सही क्रम \((7, 4, 1, -2)\) है। विकल्प B में \((10,7,4,1)\) है, जो \(n=0\) से शुरू करने पर मिलता है, जबकि पहले पद के लिए सामान्यतः \(n=1\) लिया जाता है। परीक्षा टिप: पदों की सूची बनाने से पहले सूचकांक का प्रारम्भिक मान अवश्य जाँचें। / The rule is \(a_n=10-3n\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(a_1=7\), \(a_2=4\), \(a_3=1\), and \(a_4=-2\), respectively. Hence, the required terms are \((7, 4, 1, -2)\). Option B, \((10,7,4,1)\), would result if counting started from \(n=0\), whereas the first term is normally obtained using \(n=1\). Exam tip: always check the starting value of the index before listing terms.
पहले (6) पद (10,16,22,28,34,40) हैं और योग (150) है। पद सही क्रम में लिखकर जोड़ें। / The first (6) terms are (10,16,22,28,34,40), and their sum is (150). Write the terms in correct order and add.
\(a_2\) से \(a_8\) तक (6) अंतर में वृद्धि (30) है इसलिए (d=5), अतः (a_5=9+3(5)=24)। पहले समान अंतर निकालें। / From \(a_2\) to \(a_8\), the increase over (6) gaps is (30), so (d=5), hence (a_5=9+3(5)=24). Find the common difference first.
समान अंतर (4) है इसलिए (14) के बाद (18) और (22) आएंगे। अगले पदों के लिए समान अंतर जोड़ते रहें। / The common difference is (4), so after (14) the next terms are (18) and (22). Keep adding the common difference for next terms.
\(a_6\) और \(a_2\) के बीच (4) अंतर हैं इसलिए अंतर \(4\times11=44\) है। पदों के अंतर के लिए पद-संख्या का अंतर देखें। / There are (4) gaps between \(a_6\) and \(a_2\), so the difference is \(4\times11=44\). For term difference look at the difference of positions.
इस समानांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=27\) तथा सार्वांतर \(d=30-27=3\) है। सामान्य पद का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_n=27+(n-1)\times3=3n+24\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(n=1\) रखने पर 30 मिलता है, जबकि पहला पद 27 होना चाहिए। परीक्षा में सूत्र लगाने के बाद \(n=1\) रखकर प्रथम पद अवश्य जाँचें। / For this arithmetic progression, the first term is \(a=27\) and the common difference is \(d=30-27=3\). Using \(a_n=a+(n-1)d\), we get \(a_n=27+(n-1)\times3=3n+24\). Hence, option A is correct. In option C, putting \(n=1\) gives 30, not the first term 27. Exam tip: always test a general term with \(n=1\) to verify the first term.
\(a_7=2\) और \(a_8=-3\), इसलिए पहला ऋणात्मक पद (8)वाँ है। शून्य से नीचे जाने वाला पहला पद ध्यान से जांचें। / \(a_7=2\) and \(a_8=-3\), so the first negative term is the (8)th. Check carefully for the first term that goes below zero.
