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\(1250\times8=10000\), इसलिए \( \frac{73}{1250}=\frac{584}{10000}=0.0584 \) है। हर को (10) की घात बनाना सटीक तरीका है। / \(1250\times8=10000\), so \( \frac{73}{1250}=\frac{584}{10000}=0.0584 \). Making the denominator a power of (10) is an exact method.
\(0.00015625=\frac{15625}{100000000}=\frac{1}{6400}\) है। पहले दशमलव स्थान गिनें और फिर भिन्न को सरल करें। / \(0.00015625=\frac{15625}{100000000}=\frac{1}{6400}\). First count decimal places and then simplify the fraction.
हर में (13) है, जो (2) और (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The denominator has (13), a factor other than (2) and (5). So the rational number will have a non-terminating recurring decimal.
\( \frac{144}{225}=\frac{16}{25} \) और \(25=5^2\) है। इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। / \( \frac{144}{225}=\frac{16}{25} \) and \(25=5^2\). Therefore, the decimal expansion will be terminating.
दशमलव के अंक हैं: 3, 4, 0, 9, 0, 9, \(\ldots\)। यहाँ 34 के बाद 09 का समूह बार-बार दोहराया जाता है, इसलिए सही संकेतन \(0.34\overline{09}\) है। \(0.\overline{3409}\) में 3409 को शुरू से आवर्ती माना गया है, जो गलत है। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले दशमलव अंकों में सबसे छोटा दोहरने वाला समूह पहचानें। / The decimal digits are 3, 4, 0, 9, 0, 9, \(\ldots\). After 34, the block 09 repeats continuously, so the correct notation is \(0.34\overline{09}\). In \(0.\overline{3409}\), the entire block 3409 is incorrectly treated as repeating from the beginning. Exam tip: Before placing a bar, identify the smallest block of digits that repeats indefinitely.
बार केवल (36) पर है, इसलिए (07) के बाद (36) बार-बार आएगा। बार वाले भाग को लगातार दोहराते हैं। / The bar is only over (36), so after (07), (36) repeats. The barred part repeats continuously.
\(\frac{7}{48}\) के हर का गुणनखंडन \(48=2^4\times3\) है। सरलतम रूप में हर में 2 और 5 के अलावा 3 भी होने पर दशमलव प्रसार अनंत आवर्ती होता है। अन्य हर केवल 2 और/या 5 के गुणनखंडों से बने हैं। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरल करें, फिर हर जाँचें। / For \(\frac{7}{48}\), the denominator is \(48=2^4\times3\). A fraction in simplest form has a non-terminating recurring decimal when its denominator contains a prime factor other than 2 or 5. The other denominators contain only 2 and/or 5. Exam tip: simplify first, then factorise the denominator.
\( \frac{17}{24}=0.70833\ldots \), जो (0.7084) से छोटा है। तुलना के लिए सभी संख्याओं को दशमलव रूप में देखें। / \( \frac{17}{24}=0.70833\ldots \), which is less than (0.7084). View all numbers in decimal form for comparison.
दसवें स्थान समान हैं और सौवें स्थान पर (a>7) होना चाहिए। इसलिए सबसे छोटा मान (8) है। / The tenths digits are equal and the hundredths digit must satisfy (a>7). So the smallest value is (8).
इसमें (9) के बीच शून्यों की संख्या बदलती रहती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती भाग नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / The number of zeros between (9)'s keeps changing, so there is no fixed recurring part. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
\(256\times390625=100000000\), इसलिए \( \frac{23}{256}=0.08984375 \) है। (2) की घात वाले हर का दशमलव सांत होता है। / \(256\times390625=100000000\), so \( \frac{23}{256}=0.08984375 \). A denominator that is a power of (2) gives a terminating decimal.
\(0.0021875=\frac{21875}{10000000}=\frac{7}{3200}\) है। दशमलव स्थान गिनकर अंतिम भिन्न को सरल करें। / \(0.0021875=\frac{21875}{10000000}=\frac{7}{3200}\). Count decimal places and simplify the final fraction.
\(60=2^2\times3\times5\) में (3) है और भिन्न सरल रूप में है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \(60=2^2\times3\times5\) has (3), and the fraction is in simplest form. Therefore, the decimal will be non-terminating recurring.
पहला (2) दसवें और अंतिम (2) लाखवें स्थान पर है। शून्य वाले स्थानों का मान अलग से नहीं लिखते। / The first (2) is in tenths and the last (2) is in hundred-thousandths. Zero-value places are not written separately.
दोनों को (10000) से गुणा करने पर \(2970\div9=330\) मिलता है। भाग में दोनों संख्याओं को समान गुणा कर सकते हैं। / Multiplying both by (10000) gives \(2970\div9=330\). In division, both numbers can be multiplied by the same number.
दशमलव बिंदुओं को एक के नीचे एक रखकर 7.003 को 7.00300 लिखते हैं। तब \(7.00300-4.05875=2.94425\), इसलिए सही उत्तर 2.94425 है। 2.95425 में सौवें स्थान पर घटाव की त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: दशमलव संख्याओं के घटाव में पहले दोनों संख्याओं के दशमलव स्थानों की संख्या समान कर लें। / Write 7.003 as 7.00300 so that both numbers have the same number of decimal places. Then \(7.00300-4.05875=2.94425\), so 2.94425 is correct. The option 2.95425 results from an error in subtraction at the hundredths place. Exam tip: Before subtracting decimals, align the decimal points and add trailing zeros if needed.
समान दशमलव स्थान लिखने पर (0.0781250+0.0156250+0.0003125=0.0940625) मिलता है। जोड़ में दशमलव बिंदु सीध में रखें। / Writing equal decimal places gives (0.0781250+0.0156250+0.0003125=0.0940625). Align decimal points while adding.
यहाँ 4.12999\ldots में दशमलव के बाद 9 अनंत बार आ रहे हैं। क्योंकि 0.00999\ldots = 0.01, इसलिए 4.12999\ldots = 4.12 + 0.01 = 4.13। विकल्प 4.129 केवल दशमलव को बीच में रोक देता है, इसलिए वह सही मान नहीं है। परीक्षा टिप: अनंत आवर्ती 9 के स्थान पर अगले स्थान पर 1 जोड़कर सांत दशमलव लिखें। / In 4.12999\ldots, the digit 9 continues indefinitely after the decimal point. Since 0.00999\ldots = 0.01, we get 4.12999\ldots = 4.12 + 0.01 = 4.13. Option 4.129 merely truncates the decimal and is therefore not equal to the given number. Exam tip: A decimal ending in infinitely recurring 9s can be written by adding 1 to the preceding decimal place.
\( \frac{17}{32}=0.53125 \) और \( \frac{8}{15}=0.5333\ldots \), इसलिए (0.5328) इनके बीच है। सीमाओं को दशमलव में बदलें। / \( \frac{17}{32}=0.53125 \) and \( \frac{8}{15}=0.5333\ldots \), so (0.5328) lies between them. Convert the boundaries into decimals.
B. यह परिमेय है और \(\frac{3}{11}\) के बराबर है/It is rational and equal to \(\frac{3}{11}\)
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(x=0.272727\ldots\)। तब \(100x=27.272727\ldots\) और घटाने पर \(99x=27\), अतः \(x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\)। आवर्ती दशमलव परिमेय होता है; केवल अनंत होना अपरिमेय होने का प्रमाण नहीं है। परीक्षा में दोहराए जाने वाले अंकों का खंड पहचानें। / Let \(x=0.272727\ldots\). Then \(100x=27.272727\ldots\); subtracting gives \(99x=27\), so \(x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\). A repeating decimal is rational, so option A is incorrect. Exam tip: identify the repeating block before converting it to a fraction.
यह असांत है और इसमें निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकता है। / It is non-terminating and has no fixed repetition. Such a decimal can be the form of an irrational number.
\(x=1.1875\div10000=0.00011875\) है। (10000) से भाग देने पर दशमलव चार स्थान बाईं ओर जाता है। / \(x=1.1875\div10000=0.00011875\). On dividing by (10000), the decimal moves four places left.
दशमलव संख्या 18.07006 में दशमलव के बाद अंक क्रमशः दसवें, सौवें, हजारवें, दस-हजारवें और लाखवें स्थान पर होते हैं। इसलिए 6 पाँचवें स्थान अर्थात् लाखवें स्थान पर है और उसका स्थानीय मान \(\frac{6}{100000}\) है। ध्यान रखें: दशमलव के बाद प्रत्येक स्थान का हर 10 की अगली घात होता है। / In 18.07006, the digits after the decimal point occupy the tenths, hundredths, thousandths, ten-thousandths and hundred-thousandths places, respectively. Therefore, 6 is in the fifth decimal place, so its place value is \(\frac{6}{100000}\). Exam tip: the denominator increases by a factor of 10 for each place to the right of the decimal point.
तुलना के लिए सभी संख्याओं को चार दशमलव स्थानों तक लिखें: \(8.0080, 8.0808, 8.0088, 8.8000\)। दशमलव के बाद पहले स्थान पर \(0,0,0,8\) हैं, इसलिए \(8.8000\) सबसे बड़ा है। शेष में \(8.0080<8.0088<8.0808\), अतः सही बढ़ता क्रम \(8.008<8.0088<8.0808<8.800\) है। विकल्प D में \(8.0808\) और \(8.0088\) का क्रम गलत है। परीक्षा टिप: दशमलव संख्याओं की तुलना करते समय अंत में शून्य लगाकर दशमलव स्थानों की संख्या बराबर कर लें। / Write all numbers up to four decimal places: \(8.0080, 8.0808, 8.0088, 8.8000\). The first decimal digits are \(0,0,0,8\), so \(8.8000\) is the greatest. Among the remaining numbers, \(8.0080<8.0088<8.0808\). Hence, the ascending order is \(8.008<8.0088<8.0808<8.800\). Option D incorrectly places \(8.0808\) before \(8.0088\). Exam tip: append trailing zeros to make the decimal places equal before comparing decimals.
\(5000\times2=10000\), इसलिए \( \frac{89}{5000}=\frac{178}{10000}=0.0178 \) है। हर को (10) की घात बनाएं। / \(5000\times2=10000\), so \( \frac{89}{5000}=\frac{178}{10000}=0.0178 \). Make the denominator a power of (10).
यहाँ बड़े दशमलव को छोटे दशमलव से विभाजित करना है: \(0.0625 \div 0.000625 = 100\)। इसलिए \(0.0625\), \(0.000625\) का 100 गुना है। विकल्प C गलत है, क्योंकि 1000 गुना करने पर मान \(0.625\) होगा। परीक्षा-युक्ति: ‘कितने गुना’ पूछे जाने पर सामान्यतः बड़े मान को छोटे मान से भाग दें। / Divide the larger decimal by the smaller one: \(0.0625 \div 0.000625 = 100\). Therefore, \(0.0625\) is 100 times \(0.000625\). Option C is incorrect because multiplying \(0.000625\) by 1000 gives \(0.625\). Exam tip: For a ‘how many times’ comparison, divide the larger quantity by the smaller quantity.
\(0.00\overline{72}\) में बार केवल 72 पर है, इसलिए दशमलव के बाद पहले दो अंक 0 और 0 रहेंगे तथा उसके बाद 72 बार-बार आएगा: \(0.00727272\ldots\)। विकल्प B में 72 एक स्थान बाद शुरू होता है, जबकि विकल्प D में पुनरावृत्ति को समाप्त मान लिया गया है। परीक्षा टिप: बार के नीचे आने वाले अंकों को ही क्रमशः दोहराएँ; बार से पहले के अंक नहीं दोहरते। / In \(0.00\overline{72}\), the bar is over 72 only. Hence, the first two digits after the decimal point are 0 and 0, followed by the repeated block 72: \(0.00727272\ldots\). In option B, 72 starts one place later, while option D incorrectly treats the repetition as terminating. Exam tip: Repeat only the digits covered by the bar; digits before the bar do not repeat.
A. यह परिमेय है, क्योंकि \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\)।/It is rational because \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\).
Explanation
Simple Explanation
\(0.\overline{27}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), इसलिए यह परिमेय है। केवल असांत दशमलव होने से संख्या अपरिमेय नहीं होती; हर आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। परीक्षा में दोहराए जाने वाले अंक पहचानें। / Since \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), it is rational. A non-terminating decimal is not necessarily irrational; every repeating decimal is rational. Exam tip: identify the repeating block first.
\( \frac{72}{198}=\frac{4}{11} \) है और हर में (11) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \( \frac{72}{198}=\frac{4}{11} \), and the denominator has (11). So the decimal will be non-terminating recurring.
यहाँ 6.24999... में दशमलव के बाद 9 अनंत बार आ रहे हैं। क्योंकि 0.00999... = 0.01, इसलिए 6.24999... = 6.24 + 0.01 = 6.25। विकल्प 6.249 केवल वहीं तक सीमित है और उसमें आगे आने वाले अनंत 9 शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी अंक के बाद अनंत 9 हों, तो उस अंक को 1 बढ़ाकर आगे के 9 हटाए जा सकते हैं। / In 6.24999..., the digit 9 continues infinitely after the decimal point. Since 0.00999... = 0.01, we get 6.24999... = 6.24 + 0.01 = 6.25. The option 6.249 is only a finite decimal and does not include the infinitely repeating 9s. Exam tip: When infinitely many 9s follow a digit, increase that digit by 1 and remove the repeating 9s.
दशमलव संख्या 4.080700 में दशमलव के बाद अंक क्रमशः दसवाँ, सौवाँ, हजारवाँ, दस-हजारवाँ, लाखवाँ और दस-लाखवाँ स्थान दर्शाते हैं। 7 दशमलव के बाद चौथे स्थान पर है, इसलिए उसका स्थानीय मान \(7 \times \frac{1}{10000}=\frac{7}{10000}\) है। अतः विकल्प C सही है। ध्यान रखें कि दशमलव के बाद प्रत्येक स्थान का मान पिछले स्थान से 10 गुना छोटा होता है; इसलिए \(\frac{7}{1000}\) तीसरे स्थान के लिए होता। / In 4.080700, the digits after the decimal point represent tenths, hundredths, thousandths, ten-thousandths, hundred-thousandths and millionths, respectively. The digit 7 is in the fourth decimal place, so its place value is \(7 \times \frac{1}{10000}=\frac{7}{10000}\). Therefore, option C is correct. Exam tip: each place to the right of the decimal point has one-tenth the value of the preceding place; \(\frac{7}{1000}\) would correspond to the third decimal place.
\( \frac{5}{16}=0.3125 \) और \(0.31\overline{2}=0.31222\ldots\) है। इसलिए (0.3125) बड़ा है। / \( \frac{5}{16}=0.3125 \) and \(0.31\overline{2}=0.31222\ldots\). Therefore, (0.3125) is greater.
दशमलवों की तुलना के लिए उन्हें समान दशमलव स्थानों तक लिखें: a = 0.4070, b = 0.4700 और c = 0.4007। दशांश स्थान पर b में 4 है, जबकि a और c में 4 है; फिर शतांश स्थान पर b में 7 है, इसलिए b सबसे बड़ा है। a और c में शतांश स्थान 0 समान है, लेकिन सहस्रांश स्थान पर a में 7 और c में 0 है, अतः a > c। इसलिए घटता क्रम b > a > c है। परीक्षा टिप: आवश्यकता होने पर दशमलव के दाईं ओर शून्य लगाकर स्थान-मूल्य की तुलना करें। / Write the decimals to the same number of decimal places: a = 0.4070, b = 0.4700, and c = 0.4007. At the tenths place, all have 4; at the hundredths place, b has 7, so b is the greatest. For a and c, the hundredths digits are both 0, but at the thousandths place a has 7 while c has 0. Hence a > c. Therefore, the descending order is b > a > c. Exam tip: Add zeros to the right of decimals when needed before comparing place values.
\( \frac{17}{125}=0.136 \) और \( \frac{11}{80}=0.1375 \), इसलिए योग (0.2735) है। पहले भिन्नों को दशमलव में बदलें। / \( \frac{17}{125}=0.136 \) and \( \frac{11}{80}=0.1375 \), so the sum is (0.2735). First convert the fractions into decimals.
\( \frac{21}{64}=0.328125 \), इसलिए (0.328125-0.203125=0.125) है। भिन्न को दशमलव में बदलकर घटाएं। / \( \frac{21}{64}=0.328125 \), so (0.328125-0.203125=0.125). Convert the fraction into decimal and subtract.
दोनों को (1000) से गुणा करने पर \(567\div21=27\) मिलता है। दशमलव हटाकर भाग देना आसान होता है। / Multiplying both by (1000) gives \(567\div21=27\). Removing decimals makes division easier.
दशमलव विस्तार \(0.0646464\ldots\) में दशमलव के बाद पहला अंक \(0\) केवल एक बार आता है। उसके बाद \(64\) का क्रम बार-बार दोहरता है: \(64,64,64,\ldots\)। इसलिए बार केवल \(64\) पर लगेगा और सही रूप \(0.0\overline{64}\) है। \(0.\overline{64}\) गलत है, क्योंकि उसमें \(64\) दशमलव के तुरंत बाद शुरू हो जाता है। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले उन अंकों को पहचानें जो वास्तव में लगातार दोहर रहे हैं। / In the decimal expansion \(0.0646464\ldots\), the first digit after the decimal point, \(0\), occurs only once. After it, the block \(64\) repeats continuously: \(64,64,64,\ldots\). Hence, the bar is placed only over \(64\), giving \(0.0\overline{64}\). \(0.\overline{64}\) is incorrect because it makes \(64\) start immediately after the decimal point. Exam tip: Identify the exact block that repeats continuously before placing the bar.
सबसे सरल रूप में हर में 2 या 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड होने पर दशमलव समाप्य नहीं होता। संख्या परिमेय है, इसलिए प्रसार आवर्ती होगा। परीक्षा में पहले हर का अभाज्य गुणनखंडन करें। / In lowest form, a denominator containing a prime other than 2 or 5 cannot produce a terminating decimal. Since \(\frac{p}{q}\) is rational, its decimal repeats. Exam tip: factorise the denominator first.
\(2^8\) को \(10^8\) बनाने के लिए \(5^8\) से गुणा करना पड़ेगा। इसलिए अधिकतम (8) दशमलव स्थान होंगे। / To make \(2^8\) into \(10^8\), we multiply by \(5^8\). So there will be at most (8) decimal places.
(2) और (5) की घातों में बड़ी घात (6) है। इसलिए सांत दशमलव में अधिकतम (6) स्थान होंगे। / The larger exponent among (2) and (5) is (6). So the terminating decimal will have at most (6) places.
इसमें (7) के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / The number of zeros between (7)'s increases, so there is no fixed repetition. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
प्रतिशत में बदलने के लिए दशमलव संख्या को 100 से गुणा किया जाता है: \(0.0024 \times 100 = 0.24\)। इसलिए सही उत्तर \(0.24\%\) है। ध्यान रखें कि 100 से गुणा करने पर दशमलव दो स्थान दाईं ओर खिसकता है; अतः 0.024% दस गुना कम और 2.4% दस गुना अधिक है। / To convert a decimal into a percentage, multiply it by 100: \(0.0024 \times 100 = 0.24\). Therefore, the correct answer is \(0.24\%\). Remember that multiplying by 100 shifts the decimal point two places to the right; hence, 0.024% is ten times too small and 2.4% is ten times too large.
(1000000) से गुणा करने पर दशमलव बिंदु छह स्थान दाईं ओर जाता है। इसलिए उत्तर (3906.25) है। / On multiplying by (1000000), the decimal point moves six places to the right. Therefore, the answer is (3906.25).
\(\frac{21}{88}\) सरलतम रूप में है और \(88=2^3\times11\) है। हर में 11 होने पर दशमलव असांत आवर्ती होता है। अन्य भिन्नों के सरल हर केवल 2 और 5 के घात हैं। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरल करें। / \(\frac{21}{88}\) is already in lowest form, and \(88=2^3\times11\). Since the denominator contains 11, its decimal expansion is non-terminating recurring. The other fractions reduce to denominators with only 2s and 5s. Exam tip: simplify first.
\( \frac{11}{16}=0.6875 \), इसलिए (0.6865), (0.686) से बड़ा और (0.6875) से छोटा है। सीमा मानों को दशमलव में बदलें। / \( \frac{11}{16}=0.6875 \), so (0.6865) is greater than (0.686) and less than (0.6875). Convert boundary values into decimals.
\(\frac{17}{360}\) के हर में \(360=2^3\times3^2\times5\) है। इसमें 3 का गुणनखंड है, इसलिए दशमलव प्रसार अनंत आवर्ती होगा। \(\frac{21}{150}=\frac{7}{50}\) समाप्त होता है। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरल करें। / For \(\frac{17}{360}\), \(360=2^3\times3^2\times5\). Since the denominator has a factor other than 2 or 5, its decimal expansion is non-terminating recurring. \(\frac{21}{150}=\frac{7}{50}\) terminates. Exam tip: reduce first.
\(4000\times25=100000\), इसलिए \( \frac{97}{4000}=\frac{2425}{100000}=0.02425 \) है। हर को (10) की घात में बदलकर दशमलव निकालें। / \(4000\times25=100000\), so \( \frac{97}{4000}=\frac{2425}{100000}=0.02425 \). Convert the denominator into a power of (10) to find the decimal.
\(0.0015625=\frac{15625}{10000000}=\frac{1}{640}\) है। दशमलव स्थान गिनकर भिन्न को सबसे सरल रूप में लिखें। / \(0.0015625=\frac{15625}{10000000}=\frac{1}{640}\). Count decimal places and write the fraction in simplest form.
दोनों दशमलव संख्याओं में दशमांश स्थान पर 4 और शतांश स्थान पर 5 समान हैं। इसलिए तुलना हजारवाँ स्थान देखकर होगी। असमानता 0.45a < 0.456 के लिए a < 6 होना चाहिए। अतः a के मान 0, 1, 2, 3, 4, 5 हैं, यानी कुल 6 मान। 6 लेने पर दोनों संख्याएँ बराबर हो जाएँगी, इसलिए वह मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: समान प्रारम्भिक अंकों वाले दशमलवों में बाएँ से पहला अलग अंक तुलना तय करता है। / The tenths digit (4) and hundredths digit (5) are the same in both decimals, so compare the thousandths digits. For 0.45a < 0.456, we need a < 6. Thus, a can be 0, 1, 2, 3, 4, or 5, giving 6 possible values. If a = 6, the two decimals are equal, so it is not allowed. Exam tip: when initial decimal digits are equal, the first differing digit from the left determines the comparison.
पहले (00) के बाद (25) का समूह बार-बार दोहरता है। बार केवल वास्तविक आवर्ती भाग पर लगाएं। / After the first (00), the block (25) repeats again and again. Put the bar only over the actual recurring part.
