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\(640\times15625=10000000\), इसलिए \( \frac{57}{640}=0.0890625 \) है। हर को (10) की घात बनाकर दशमलव निकालें। / \(640\times15625=10000000\), so \( \frac{57}{640}=0.0890625 \). Convert the denominator into a power of (10) to find the decimal.
\(0.0003125=\frac{3125}{10000000}=\frac{1}{3200}\) है। दशमलव स्थान गिनकर भिन्न को सरल करें। / \(0.0003125=\frac{3125}{10000000}=\frac{1}{3200}\). Count decimal places and simplify the fraction.
हर में (11) है जो (2) और (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The denominator has (11), a factor other than (2) and (5). So the rational number will have a non-terminating recurring decimal.
\( \frac{84}{210}=\frac{2}{5} \) और हर में केवल (5) है। इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत होगा। / \( \frac{84}{210}=\frac{2}{5} \), and the denominator has only (5). Therefore, its decimal expansion is terminating.
दशमलव में 25 के बाद अंक-समूह 06 बार-बार आता है: 0.25 06 06 06 \(\ldots\)। इसलिए बार केवल आवर्ती समूह 06 पर लगाया जाता है, अर्थात \(0.25\overline{06}\)। विकल्प C में केवल 6 आवर्ती है, जबकि विकल्प D में 506 आवर्ती माना गया है। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले दशमलव के अंकों को अलग-अलग समूहों में लिखकर दोहराने वाला सबसे छोटा समूह पहचानें। / In the decimal, the block 06 repeats after 25: 0.25 06 06 06 \(\ldots\). Therefore, the bar must be placed only over the repeating block 06, giving \(0.25\overline{06}\). In option C, only 6 repeats, while option D incorrectly treats 506 as the repeating block. Exam tip: Write the decimal digits in groups first and identify the shortest block that repeats.
बार केवल (25) पर है, इसलिए (41) के बाद (25) बार-बार आएगा। बार वाले भाग को लगातार दोहराएं। / The bar is only over (25), so after (41), (25) repeats. Repeat the barred part continuously.
\(19\div26=0.730769230769\ldots\) होता है। लंबी भाग विधि में शेष दोहरने पर आवर्ती भाग मिलता है। / \(19\div26=0.730769230769\ldots\). In long division, the recurring part appears when a remainder repeats.
\( \frac{7}{12}=0.58333\ldots \), जो (0.5834) से थोड़ा छोटा है। तुलना के लिए सभी को दशमलव रूप में सोचें। / \( \frac{7}{12}=0.58333\ldots \), which is slightly less than (0.5834). Think of all numbers in decimal form for comparison.
दसवें स्थान समान हैं और सौवें स्थान पर (a<4) होना चाहिए। इसलिए सबसे बड़ा मान (3) है। / The tenths digits are equal and the hundredths digit must satisfy (a<4). So the greatest value is (3).
इसमें (7) के बीच शून्यों की संख्या बदलती रहती है, इसलिए निश्चित आवर्ती भाग नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती है। / The number of zeros between (7)'s keeps changing, so there is no fixed recurring part. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
\(128\times78125=10000000\), इसलिए \( \frac{13}{128}=0.1015625 \) है। (2) की घात वाला हर सांत दशमलव देता है। / \(128\times78125=10000000\), so \( \frac{13}{128}=0.1015625 \). A denominator that is a power of (2) gives a terminating decimal.
\(0.000875=\frac{875}{1000000}=\frac{7}{8000}\) नहीं बल्कि \(\frac{7}{8000}\) है। दशमलव स्थान और सरलीकरण दोनों ध्यान से करें। / \(0.000875=\frac{875}{1000000}=\frac{7}{8000}\), not \( \frac{7}{800} \). Count decimal places and simplify carefully.
\(28=2^2\times7\) में (7) है और भिन्न सरल रूप में है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \(28=2^2\times7\) has (7), and the fraction is in simplest form. Therefore, the decimal will be non-terminating recurring.
पहला (7) दसवें और अंतिम (7) लाखवें स्थान पर है। शून्य वाले स्थानों का मान अलग से नहीं लिखते। / The first (7) is in tenths and the last (7) is in hundred-thousandths. Zero-value places are not written separately.
दोनों को (10000) से गुणा करने पर \(2160\div8=270\) मिलता है। भाग में दोनों संख्याओं को समान गुणा कर सकते हैं। / Multiplying both by (10000) gives \(2160\div8=270\). In division, both numbers can be multiplied by the same number.
घटाने के लिए 5.004 को 5.0040 लिखते हैं, ताकि दोनों संख्याओं में दशमलव के बाद चार अंक हों। अब \(5.0040-2.0785=2.9255\)। इसलिए सही उत्तर 2.9255 है। 2.9355 जैसा विकल्प दशमलव अंकों के घटाव में गलती से मिल सकता है। परीक्षा टिप: दशमलव संख्याओं को हमेशा दशमलव बिंदु एक के नीचे एक रखकर घटाएँ। / Write 5.004 as 5.0040 so that both numbers have four digits after the decimal point. Then \(5.0040-2.0785=2.9255\). Therefore, 2.9255 is correct. A value such as 2.9355 can result from an error while subtracting the decimal digits. Exam tip: always align decimal points vertically before subtracting decimals.
समान दशमलव स्थान लिखने पर (0.062500+0.031250+0.000625=0.094375) मिलता है। जोड़ में दशमलव बिंदु सीध में रखें। / Writing equal decimal places gives (0.062500+0.031250+0.000625=0.094375). Align decimal points while adding.
मान लें कि बार-बार आने वाले 9 के भाग को अलग करें: \(0.0999\ldots = 0.1\)। अतः \(2.3999\ldots = 2.3 + 0.0999\ldots = 2.4\)। विकल्प 2.399 में केवल तीन 9 हैं, जबकि प्रश्न में 9 अनंत बार आ रहे हैं। परीक्षा टिप: किसी अंक के बाद अनंत 9 हों, तो उसे अगले स्थान के मान में बदलकर सरल करें। / Separate the repeating part: \(0.0999\ldots = 0.1\). Therefore, \(2.3999\ldots = 2.3 + 0.0999\ldots = 2.4\). The option 2.399 has only three 9s, whereas the question has infinitely many 9s. Exam tip: Replace an infinite tail of 9s by an increase of 1 in the preceding decimal place.
\( \frac{13}{25}=0.52 \) और \( \frac{47}{90}=0.5222\ldots \), इसलिए (0.521) बीच में है। सीमाओं को दशमलव में बदलें। / \( \frac{13}{25}=0.52 \) and \( \frac{47}{90}=0.5222\ldots \), so (0.521) lies between them. Convert the boundaries into decimals.
दशमलव के बाद पहले दो अंक 9 और 2 दोनों संख्याओं में समान हैं। इसलिए तुलना हजारवें स्थान के अंक से होगी। असमानता के लिए b को 7 से बड़ा होना चाहिए। अंक के रूप में b केवल 8 या 9 हो सकता है, अतः 2 मान संभव हैं। निकटतम भ्रम यह है कि 7 को भी गिन लिया जाए, पर b = 7 होने पर दोनों संख्याएँ बराबर होंगी, बड़ी नहीं। परीक्षा टिप: समान शुरुआती अंकों वाले दशमलवों में बाएँ से पहला भिन्न अंक तुलना तय करता है। / The first two digits after the decimal point, 9 and 2, are the same in both numbers. Therefore, the comparison depends on the thousandths digit. For the inequality to hold, b must be greater than 7. Since b is a digit, it can only be 8 or 9, so there are 2 possible values. A common mistake is to include 7, but b = 7 makes the two decimals equal, not greater. Exam tip: when initial decimal digits are the same, the first differing digit from the left determines the comparison.
यह असांत है और इसमें निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकता है। / It is non-terminating and has no fixed repetition. Such a decimal can be the form of an irrational number.
\(x=0.5625\div10000=0.00005625\) है। (10000) से भाग देने पर दशमलव चार स्थान बाईं ओर जाता है। / \(x=0.5625\div10000=0.00005625\). On dividing by (10000), the decimal moves four places left.
संख्या 15.00405 में दशमलव के बाद अंक क्रमशः दसवें, सौवें, हजारवें, दस हजारवें और लाखवें स्थान पर हैं। अंक 4 तीसरे स्थान पर है, इसलिए उसका स्थानीय मान \(4 \times \frac{1}{1000}=\frac{4}{1000}\) है। ध्यान रखें कि दशमलव के बाद पहला अंक दसवाँ और तीसरा अंक हजारवाँ स्थान दर्शाता है। / In 15.00405, the digits after the decimal point represent the tenths, hundredths, thousandths, ten-thousandths and hundred-thousandths places, respectively. The digit 4 is in the third decimal place, so its place value is \(4 \times \frac{1}{1000}=\frac{4}{1000}\). Exam tip: count decimal places from left to right; the third place is the thousandths place.
तुलना के लिए सभी संख्याओं को चार दशमलव स्थानों तक लिखें: \(6.0060, 6.0066, 6.0606, 6.6000\)। इनमें \(6.0060<6.0066<6.0606<6.6000\) है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में \(6.0606\) और \(6.0066\) का क्रम गलत है; सौवाँ स्थान क्रमशः 6 और 0 है। परीक्षा टिप: दशमलव संख्याओं की तुलना करते समय आवश्यक हो तो अंत में शून्य लगाकर दशमलव स्थान समान कर लें। / Write all the numbers up to four decimal places: \(6.0060, 6.0066, 6.0606, 6.6000\). Thus, \(6.0060<6.0066<6.0606<6.6000\), so option A is correct. In option D, \(6.0606\) and \(6.0066\) are placed in the wrong order: their hundredths digits are 6 and 0 respectively. Exam tip: Add trailing zeros when needed to make the decimal places equal before comparing decimals.
\(2500\times4=10000\), इसलिए \( \frac{71}{2500}=\frac{284}{10000}=0.0284 \) है। हर को (10) की घात बनाएं। / \(2500\times4=10000\), so \( \frac{71}{2500}=\frac{284}{10000}=0.0284 \). Make the denominator a power of (10).
अनुपात ज्ञात करने के लिए बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दें: \(0.075 \div 0.00075 = 100\)। इसलिए \(0.075\), \(0.00075\) का 100 गुना है। 10 गुना चुनना गलत है, क्योंकि दशमलव बिंदु को तीन स्थान नहीं बल्कि दो स्थान प्रभावी रूप से बदलने पर अनुपात 100 बनता है। परीक्षा-युक्ति: दशमलवों को समान स्थानों तक लिखकर शून्य हटाने से तुलना सरल हो जाती है—\(0.075 = 75000\times10^{-6}\) और \(0.00075 = 750\times10^{-6}\)। / To find the ratio, divide the larger number by the smaller number: \(0.075 \div 0.00075 = 100\). Therefore, \(0.075\) is 100 times \(0.00075\). The 10-times option is incorrect because the ratio is determined by the quotient, not merely by counting the visible decimal places. Exam tip: Express both decimals with a common place value; \(0.075 = 75000\times10^{-6}\) and \(0.00075 = 750\times10^{-6}\), giving a ratio of 100.
दशमलव में रेखा केवल 45 के ऊपर है, इसलिए प्रारम्भ के दो शून्यों के बाद 45 लगातार दोहराया जाता है: \(0.00\overline{45}=0.00454545\ldots\)। विकल्प B में 45 की पुनरावृत्ति एक स्थान बाद से शुरू होती है, इसलिए उसका मान अलग है। परीक्षा टिप: रेखा के नीचे आने वाले अंकों को ही बार-बार लिखें; रेखा से पहले के अंक केवल एक बार लिखे जाते हैं। / The bar is over 45 only, so after the initial two zeros, 45 repeats continuously: \(0.00\overline{45}=0.00454545\ldots\). In option B, the repeating block begins one decimal place later, so it represents a different number. Exam tip: Repeat only the digits under the bar; digits before the bar are written only once.
रिया कहती है, “यदि किसी सरल भिन्न के हर में 2 या 5 के अतिरिक्त कोई अभाज्य गुणनखंड हो, तो उसका दशमलव प्रसार दशमलव बिंदु के तुरंत बाद से आवर्ती होता है।” निम्नलिखित में से कौन-सा भिन्न रिया के कथन को गलत सिद्ध करता है?
\(\frac{7}{12}=\frac{7}{2^2\times3}=0.58\overline{3}\) में आवृत्ति 3 से शुरू होती है, दशमलव के तुरंत बाद से नहीं। इसलिए यह कथन का प्रतिवाद है। परीक्षा टिप: 2 या 5 के साथ अन्य अभाज्य होने पर आरंभ में अनावर्ती अंक आ सकते हैं। / \(\frac{7}{12}=\frac{7}{2^2\times3}=0.58\overline{3}\), so repetition begins only after 58, not immediately after the decimal point. Thus it disproves Riya’s claim. Exam tip: with 2 or 5 plus another prime factor, a non-repeating beginning may occur.
\( \frac{63}{231}=\frac{3}{11} \) है और हर में (11) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \( \frac{63}{231}=\frac{3}{11} \), and the denominator has (11). So the decimal will be non-terminating recurring.
सही उत्तर 5.75 है। क्योंकि 0.00999\ldots = 0.01, इसलिए 5.74999\ldots = 5.74 + 0.00999\ldots = 5.75। 5.749 केवल पहले तीन दशमलव स्थानों तक संख्या को रोक देता है, जबकि दिए गए दशमलव में 9 अनंत बार दोहराया जा रहा है। परीक्षा टिप: किसी अंक के बाद अनंत 9 हों, तो उसे अगले स्थान तक बढ़ाकर सांत दशमलव में लिखा जा सकता है। / The correct answer is 5.75. Since 0.00999\ldots = 0.01, we get 5.74999\ldots = 5.74 + 0.00999\ldots = 5.75. The number 5.749 simply stops after three decimal places, whereas the given decimal has infinitely repeating 9s. Exam tip: when infinitely many 9s follow a digit, the decimal can be written by increasing the preceding place by 1.
दशमलव बिंदु के बाद अंक क्रमशः दसवाँ, सौवाँ, हजारवाँ और दस-हजारवाँ स्थान दर्शाते हैं। संख्या 3.090800 में 8 दशमलव के बाद चौथे स्थान पर है, इसलिए उसका स्थानीय मान \(\frac{8}{10000}\), अर्थात 0.0008 है। \(\frac{8}{1000}\) तीसरे स्थान पर स्थित अंक का मान होता। परीक्षा-युक्ति: दशमलव के बाद स्थानों की गिनती हमेशा बिंदु के ठीक बाद से करें। / After the decimal point, the places represent tenths, hundredths, thousandths and ten-thousandths, respectively. In 3.090800, 8 is the fourth digit after the decimal point, so its place value is \(\frac{8}{10000}\), or 0.0008. \(\frac{8}{1000}\) would represent the value of a digit in the third decimal place. Exam tip: Count decimal places from immediately after the decimal point.
\( \frac{3}{16}=0.1875 \) और \(0.18\overline{7}=0.18777\ldots\) है। इसलिए आवर्ती संख्या बड़ी है। / \( \frac{3}{16}=0.1875 \) and \(0.18\overline{7}=0.18777\ldots\). Therefore, the recurring number is greater.
तुलना के लिए सभी संख्याओं को चार दशमलव स्थानों तक लिखें: \(b=0.3600\), \(a=0.3060\) और \(c=0.3006\)। पहले दशमलव स्थान पर \(b\) का अंक 3 है, लेकिन अगले स्थान पर 6 होने के कारण वह सबसे बड़ा है। \(a=0.3060\), \(c=0.3006\) से बड़ा है क्योंकि सौंवें स्थान पर \(a\) में 6 और \(c\) में 0 है। अतः \(b>a>c\)। विकल्प \(b>c>a\) गलत है क्योंकि \(0.3006<0.3060\)। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना करते समय अंत में शून्य जोड़कर उनके स्थानों की संख्या समान कर लें। / Write all the numbers to four decimal places: \(b=0.3600\), \(a=0.3060\), and \(c=0.3006\). Thus, \(b\) is the greatest. Also, \(a=0.3060\) is greater than \(c=0.3006\) because at the hundredths place, \(a\) has 6 while \(c\) has 0. Therefore, the descending order is \(b>a>c\). Option \(b>c>a\) is wrong because \(0.3006<0.3060\). Exam tip: Add trailing zeros to make the decimal places equal before comparing decimals.
\( \frac{11}{125}=0.088 \) और \( \frac{9}{80}=0.1125 \), इसलिए योग (0.2005) है। पहले भिन्नों को दशमलव में बदलें। / \( \frac{11}{125}=0.088 \) and \( \frac{9}{80}=0.1125 \), so the sum is (0.2005). First convert the fractions into decimals.
\( \frac{13}{32}=0.40625 \), इसलिए (0.40625-0.15625=0.25) है। भिन्न को दशमलव में बदलकर घटाएं। / \( \frac{13}{32}=0.40625 \), so (0.40625-0.15625=0.25). Convert the fraction into decimal and subtract.
दोनों को (1000) से गुणा करने पर \(432\div16=27\) मिलता है। दशमलव हटाकर भाग देना आसान होता है। / Multiplying both by (1000) gives \(432\div16=27\). Removing decimals makes division easier.
दिया गया दशमलव \(0.0767676\ldots\) में दशमलव के बाद पहला अंक \(0\) केवल एक बार आता है। इसके बाद \(76\) का क्रम बार-बार आता है: \(0.0\,76\,76\,76\ldots\)। इसलिए बार केवल \(76\) पर लगाया जाता है, अर्थात \(0.0\overline{76}\)। विकल्प A में \(076\) को आवर्ती माना गया है, जो गलत है। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले उन अंकों को पहचानें जो बिना बदले लगातार दोहरते हैं। / In \(0.0767676\ldots\), the first digit after the decimal point, \(0\), occurs only once. After that, the block \(76\) repeats: \(0.0\,76\,76\,76\ldots\). Therefore, the bar is placed only over \(76\), giving \(0.0\overline{76}\). Option A incorrectly treats \(076\) as the repeating block. Exam tip: Before placing a bar, identify the shortest block of digits that repeats continuously.
A. जब \(q=2^m5^n\), जहाँ \(m,n\) शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में हर \(q\) के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों, अर्थात \(q=2^m5^n\), तभी दशमलव सांत होता है। अन्य अभाज्य गुणनखंड होने पर प्रसार अनंत आवर्ती होगा। परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में करें। / A decimal terminates only when the denominator \(q\), in lowest form, has no prime factors other than 2 and 5; hence \(q=2^m5^n\). Any other prime factor gives a non-terminating recurring decimal. Exam tip: reduce the fraction first.
\(5^8\) को \(10^8\) बनाने के लिए \(2^8\) से गुणा करना पड़ेगा। इसलिए अधिकतम (8) दशमलव स्थान होंगे। / To make \(5^8\) into \(10^8\), we multiply by \(2^8\). So there will be at most (8) decimal places.
(2) और (5) की घातों में बड़ी घात (5) है। इसलिए सांत दशमलव में अधिकतम (5) स्थान होंगे। / The larger exponent among (2) and (5) is (5). So the terminating decimal will have at most (5) places.
इसमें (5) के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती है। / The number of zeros between (5)'s increases, so there is no fixed repetition. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
दशमलव संख्या को प्रतिशत में बदलने के लिए उसे 100 से गुणा किया जाता है: \(0.0016\times100=0.16\)। इसलिए प्राप्त प्रतिशत \(0.16\%\) है। विकल्प A में दशमलव स्थान गलत है, क्योंकि 100 से गुणा करने पर दशमलव दो स्थान दाईं ओर खिसकता है। परीक्षा-युक्ति: किसी दशमलव को प्रतिशत में बदलने के लिए दशमलव बिंदु दो स्थान दाईं ओर खिसकाएँ और प्रतिशत चिह्न लगाएँ। / To convert a decimal into a percentage, multiply it by 100: \(0.0016\times100=0.16\). Therefore, the percentage is \(0.16\%\). Option A results from shifting the decimal by only one place, whereas multiplication by 100 shifts it two places to the right. Exam tip: For decimal-to-percentage conversion, move the decimal point two places to the right and add the percent sign.
(1000000) से गुणा करने पर दशमलव बिंदु छह स्थान दाईं ओर जाता है। इसलिए उत्तर (7812.5) है। / On multiplying by (1000000), the decimal point moves six places to the right. Therefore, the answer is (7812.5).
B. जब \(q\) में 2 और 5 के अतिरिक्त कम-से-कम एक अभाज्य गुणनखंड हो
Explanation
Simple Explanation
सबसे सरल रूप में \(q\) में 2 या 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड होने पर वह \(10^n\) को विभाजित नहीं कर सकता, इसलिए दशमलव अनंत आवर्ती होता है। केवल 2 और 5 होने पर दशमलव समाप्त होता है। परीक्षा में पहले भिन्न को सरल करें। / In lowest terms, if \(q\) has a prime factor other than 2 or 5, it cannot divide any \(10^n\), so the decimal is non-terminating recurring. A denominator containing only 2 and 5 gives a terminating decimal. Exam tip: reduce the fraction first.
\( \frac{5}{8}=0.625 \), इसलिए (0.6245), (0.624) से बड़ा और (0.625) से छोटा है। सीमा मानों को दशमलव में बदलें। / \( \frac{5}{8}=0.625 \), so (0.6245) is greater than (0.624) and less than (0.625). Convert boundary values into decimals.
\( \frac{96}{180}=\frac{8}{15} \) और हर में (3) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \( \frac{96}{180}=\frac{8}{15} \), and the denominator has (3). Therefore, the decimal will be non-terminating recurring.
\(3200\times3125=10000000\), इसलिए \( \frac{83}{3200}=0.0259375 \) है। हर को (10) की घात बनाकर सटीक दशमलव निकालें। / \(3200\times3125=10000000\), so \( \frac{83}{3200}=0.0259375 \). Convert the denominator into a power of (10) to get the exact decimal.
पहले (0) के बाद (18) का समूह बार-बार दोहरता है। बार केवल वास्तविक आवर्ती भाग पर लगाएं। / After the first (0), the block (18) repeats again and again. Put the bar only over the actual recurring part.
दसवें स्थान समान हैं और सौवें स्थान पर \(a\leq4\) होना चाहिए। इसलिए (a=0,1,2,3,4) यानी (5) मान संभव हैं। / The tenths digits are equal and the hundredths digit must satisfy \(a\leq4\). So (a=0,1,2,3,4), giving (5) possible values.
(2) और (5) की घातों में बड़ी घात (9) है। इसलिए सांत दशमलव में अधिकतम (9) स्थान होंगे। / The larger exponent among (2) and (5) is (9). So the terminating decimal will have at most (9) places.
