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\( \frac{7}{40}=\frac{175}{1000}=0.175 \) है। हर को (1000) बनाने से दशमलव जल्दी मिलता है। / \( \frac{7}{40}=\frac{175}{1000}=0.175 \). Making the denominator (1000) gives the decimal quickly.
\(80\times125=10000\), इसलिए \( \frac{19}{80}=\frac{2375}{10000}=0.2375 \) है। हर को (10) की घात बनाएं। / \(80\times125=10000\), so \( \frac{19}{80}=\frac{2375}{10000}=0.2375 \). Make the denominator a power of (10).
\(0.3125=\frac{3125}{10000}=\frac{5}{16}\) है। दशमलव को भिन्न में बदलकर सरल करें। / \(0.3125=\frac{3125}{10000}=\frac{5}{16}\). Convert the decimal to a fraction and simplify it.
\(150=2\times3\times5^2\) में (3) भी है। परिमेय संख्या होने से यह असांत आवर्ती दशमलव देगी। / \(150=2\times3\times5^2\) also has (3). Since it is rational, it will give a non-terminating recurring decimal.
(4) सौवें और (5) हजारवें स्थान पर है। इसलिए \(2.045=2+\frac{4}{100}+\frac{5}{1000}\) है। / (4) is in the hundredths place and (5) is in the thousandths place. So \(2.045=2+\frac{4}{100}+\frac{5}{1000}\).
\(5\div12=0.41666\ldots\) होता है। भाग देते समय दोहराने वाले शेष को पहचानें। / \(5\div12=0.41666\ldots\). While dividing, identify the repeating remainder.
(0.565), (0.560) से बड़ा और (0.570) से छोटा है। तुलना में दशमलव स्थान समान करें। / (0.565) is greater than (0.560) and less than (0.570). Make decimal places equal while comparing.
\(125=5^3\) है, इसलिए हर में केवल (5) है। ऐसे हर वाली भिन्न सांत दशमलव देती है। / \(125=5^3\), so the denominator has only (5). A fraction with such a denominator gives a terminating decimal.
\(3.125=\frac{3125}{1000}=\frac{25}{8}\) है। अंतिम उत्तर को सरल रूप में लिखें। / \(3.125=\frac{3125}{1000}=\frac{25}{8}\). Write the final answer in simplest form.
(08) का समूह लगातार दोहर रहा है। बार पूरे दोहराने वाले समूह (08) पर लगेगा। / The block (08) repeats continuously. The bar is placed over the whole repeating block (08).
\( \frac{29}{250}=\frac{116}{1000}=0.116 \) है। हर (250) को (1000) बनाने के लिए (4) से गुणा करें। / \( \frac{29}{250}=\frac{116}{1000}=0.116 \). Multiply denominator (250) by (4) to make (1000).
(6) दशमलव के बाद तीसरे स्थान पर है। तीसरा दशमलव स्थान हजारवां होता है। / (6) is in the third place after the decimal point. The third decimal place is thousandths.
\(0.00064=\frac{64}{100000}=\frac{8}{12500}\) है। पांच दशमलव स्थान हों तो हर (100000) लें। / \(0.00064=\frac{64}{100000}=\frac{8}{12500}\). For five decimal places, use denominator (100000).
(0.37=0.370), जो (0.307) से बड़ा है। तुलना में दशमलव स्थान समान लिखें। / (0.37=0.370), which is greater than (0.307). Write equal decimal places for comparison.
(312) का समूह लगातार दोहर रहा है। आवर्ती भाग सबसे छोटा दोहराने वाला समूह होता है। / The block (312) repeats continuously. The recurring part is the smallest repeating block.
\(0.4375=\frac{4375}{10000}=\frac{7}{16}\) है। दशमलव को पहले (10000) के हर में लिखें। / \(0.4375=\frac{4375}{10000}=\frac{7}{16}\). First write the decimal with denominator (10000).
\(0.025\times100=2.5\), इसलिए (2.5%) मिलता है। दशमलव को प्रतिशत में बदलने के लिए (100) से गुणा करें। / \(0.025\times100=2.5\), so it gives (2.5%). To convert a decimal into a percentage, multiply by (100).
\(5.08\times100=508\) होता है। (100) से गुणा करने पर दशमलव बिंदु दो स्थान दाईं ओर जाता है। / \(5.08\times100=508\). On multiplying by (100), the decimal point moves two places to the right.
\(37.5\div1000=0.0375\) है। (1000) से भाग देने पर दशमलव बिंदु तीन स्थान बाईं ओर जाता है। / \(37.5\div1000=0.0375\). On dividing by (1000), the decimal point moves three places to the left.
(0.48=0.480), इसलिए (0.480+0.075=0.555) है। जोड़ते समय दशमलव बिंदु एक सीध में रखें। / (0.48=0.480), so (0.480+0.075=0.555). Align decimal points while adding.
(3.2=3.200), इसलिए (3.200-0.875=2.325) है। घटाते समय खाली स्थानों में शून्य लगाएं। / (3.2=3.200), so (3.200-0.875=2.325). Add zeros in empty places while subtracting.
(0.1520), (0.1500), (0.1250) और (0.1205) से बड़ा है। तुलना में सभी को समान दशमलव स्थान तक लिखें। / (0.1520) is greater than (0.1500), (0.1250), and (0.1205). Write all numbers up to equal decimal places for comparison.
दशमलव में (12) के बाद (03) बार-बार आ रहा है। आवर्ती भाग वही है जो लगातार दोहरता है। / After (12) in the decimal part, (03) repeats. The recurring part is the part that repeats continuously.
पहले विकल्प की सभी संख्याएं कुछ अंकों के बाद समाप्त हो जाती हैं। सांत दशमलव में अंकों की संख्या सीमित होती है। / All numbers in the first option end after a finite number of digits. A terminating decimal has finite digits.
C. \(2.01001000100001\ldots\) बिना निश्चित दोहराव/\(2.01001000100001\ldots\) without fixed repetition
Explanation
Simple Explanation
बिना निश्चित दोहराव वाला असांत दशमलव अपरिमेय हो सकता है। सांत और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / A non-terminating decimal without fixed repetition can be irrational. Terminating and recurring decimals are rational.
हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हैं। इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। / The denominator has only the factors (2) and (5). Therefore, the decimal expansion will be terminating.
हर में (3) है, जो (2) और (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The denominator has (3), a factor other than (2) and (5). So the rational number will have a non-terminating recurring decimal.
बार केवल (7) पर है, इसलिए (7) बार-बार दोहरता है। अतः संख्या \(0.2777\ldots\) है। / The bar is only over (7), so (7) repeats. Hence the number is \(0.2777\ldots\).
\(0.004\div0.0004=10\) है। दशमलव स्थानों का अंतर गुणन संबंध बताता है। / \(0.004\div0.0004=10\). The difference in decimal places shows the multiplication relation.
\(32\times3125=100000\), इसलिए \( \frac{3}{32}=\frac{9375}{100000}=0.09375 \) है। हर को (10) की घात में बदलना उपयोगी है। / \(32\times3125=100000\), so \( \frac{3}{32}=\frac{9375}{100000}=0.09375 \). Converting the denominator into a power of (10) is useful.
(4) दशमलव के बाद दूसरे स्थान पर है। दूसरा दशमलव स्थान सौवां होता है। / (4) is in the second place after the decimal point. The second decimal place is hundredths.
पहला (9) दशमलव के बाद दूसरे स्थान पर है। इसलिए उसका स्थानीय मान \( \frac{9}{100} \) है। / The first (9) is in the second place after the decimal point. So its place value is \( \frac{9}{100} \).
\(0.375=\frac{3}{8}\), इसलिए \(2.375=2\frac{3}{8}\) है। पहले दशमलव भाग को भिन्न में बदलें। / \(0.375=\frac{3}{8}\), so \(2.375=2\frac{3}{8}\). First convert the decimal part into a fraction.
सबसे छोटा (0.002) है। दशमलव में शून्य का स्थान संख्या का मान बदल देता है। / The smallest is (0.002). The position of zero changes the value of a decimal number.
\(0.00125=\frac{125}{100000}=\frac{1}{800}\) है। दशमलव स्थान गिनकर सही हर लिखें। / \(0.00125=\frac{125}{100000}=\frac{1}{800}\). Count decimal places to write the correct denominator.
\( \frac{7}{9}=0.777\ldots \) है। \( \frac{n}{9} \) के लिए वही अंक बार-बार आता है। / \( \frac{7}{9}=0.777\ldots \). For \( \frac{n}{9} \), the same digit repeats.
(0.695), (0.690) से बड़ा और (0.700) से छोटा है। बीच की संख्या के लिए दोनों सीमाओं को समान दशमलव स्थान तक लिखें। / (0.695) is greater than (0.690) and less than (0.700). For a number between two limits, write both limits up to equal decimal places.
(0.0125), (0.1250) से छोटा है क्योंकि अंक का स्थान बदल गया है। केवल अंत में शून्य जोड़ने या हटाने से मान नहीं बदलता। / (0.0125) is smaller than (0.1250) because the place of digits changes. Only adding or removing zeros at the end does not change value.
(505) का समूह लगातार दोहर रहा है। आवर्ती भाग पर ही बार लगाया जाता है। / The block (505) repeats continuously. The bar is placed only over the recurring part.
\( \frac{18}{75}=\frac{6}{25} \) और \(25=5^2\) है। इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत होगा। / \( \frac{18}{75}=\frac{6}{25} \) and \(25=5^2\). Therefore, its decimal expansion will be terminating.
\( \frac{35}{42}=\frac{5}{6} \) और \(6=2\times3\) है। हर में (3) होने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \( \frac{35}{42}=\frac{5}{6} \) and \(6=2\times3\). Since the denominator has (3), the decimal will be non-terminating recurring.
\(160\times625=100000\), इसलिए \( \frac{43}{160}=\frac{26875}{100000}=0.26875 \) है। हर को (10) की घात बनाने से उत्तर सटीक मिलता है। / \(160\times625=100000\), so \( \frac{43}{160}=\frac{26875}{100000}=0.26875 \). Making the denominator a power of (10) gives an exact answer.
\(0.0064=\frac{64}{10000}=\frac{4}{625}\) है। दशमलव स्थान गिनकर हर लिखें और फिर भिन्न को सरल करें। / \(0.0064=\frac{64}{10000}=\frac{4}{625}\). Count decimal places to write the denominator and then simplify the fraction.
\( \frac{27}{90}=\frac{3}{10} \) और हर में केवल (2) तथा (5) के गुणनखंड हैं। इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत होगा। / \( \frac{27}{90}=\frac{3}{10} \), and the denominator has only factors (2) and (5). Therefore, its decimal expansion will be terminating.
पहले (0) के बाद (13) का समूह बार-बार दोहरता है। बार केवल दोहराने वाले भाग पर लगाना चाहिए। / After the first (0), the block (13) repeats again and again. The bar should be placed only over the repeating part.
(2.34=2.340), इसलिए यह सबसे बड़ा है और (2.034) सबसे छोटा है। तुलना में सभी दशमलवों को समान स्थान तक लिखें। / (2.34=2.340), so it is the greatest and (2.034) is the smallest. Write all decimals up to equal places for comparison.
\(x=45.6\div100=0.456\) है। (100) से भाग देने पर दशमलव बिंदु दो स्थान बाईं ओर जाता है। / \(x=45.6\div100=0.456\). On dividing by (100), the decimal point moves two places to the left.
\(125\times8=1000\), इसलिए \( \frac{23}{125}=\frac{184}{1000}=0.184 \) है। हर को (10) की घात बनाना तेज तरीका है। / \(125\times8=1000\), so \( \frac{23}{125}=\frac{184}{1000}=0.184 \). Making the denominator a power of (10) is a fast method.
\(0.5625=\frac{5625}{10000}=\frac{9}{16}\) है। दशमलव को पहले भिन्न में लिखें और फिर सरल करें। / \(0.5625=\frac{5625}{10000}=\frac{9}{16}\). First write the decimal as a fraction and then simplify.
\(120=2^3\times3\times5\) में (3) भी है। इसलिए यह परिमेय संख्या असांत आवर्ती दशमलव देगी। / \(120=2^3\times3\times5\) also has (3). So this rational number gives a non-terminating recurring decimal.
(7) दशमलव के बाद दूसरे स्थान पर है। दूसरा दशमलव स्थान सौवां होता है। / (7) is in the second place after the decimal point. The second decimal place is hundredths.
(2) दसवें और (8) हजारवें स्थान पर है। बीच का (0) सौवें स्थान को दिखाता है। / (2) is in tenths and (8) is in thousandths. The middle (0) shows the hundredths place.
पहले (1) के बाद (45) का समूह लगातार दोहरता है। आवर्ती भाग सबसे छोटा दोहराने वाला समूह होता है। / After the first (1), the block (45) repeats continuously. The recurring part is the smallest repeating block.
\(7\div12=0.58333\ldots\) होता है। भाग देते समय दोहराने वाले अंक को पहचानें। / \(7\div12=0.58333\ldots\). While dividing, identify the repeating digit.
(1.045), (1.040) से बड़ा और (1.050) से छोटा है। बीच की संख्या खोजने के लिए दशमलव स्थान समान करें। / (1.045) is greater than (1.040) and less than (1.050). Make decimal places equal to find a number between them.
पहला (7) दशमलव के बाद दूसरे स्थान पर है। इसलिए उसका स्थानीय मान \( \frac{7}{100} \) है। / The first (7) is in the second place after the decimal point. So its place value is \( \frac{7}{100} \).
\(6.25=\frac{625}{100}=\frac{25}{4}\) है। दशमलव को भिन्न में बदलकर अंतिम उत्तर सरल करें। / \(6.25=\frac{625}{100}=\frac{25}{4}\). Convert the decimal to a fraction and simplify the final answer.
\(0.00625=\frac{625}{100000}=\frac{1}{160}\) है। पांच दशमलव स्थान हों तो हर (100000) लें। / \(0.00625=\frac{625}{100000}=\frac{1}{160}\). For five decimal places, use denominator (100000).
(0.0304) में अंकों का स्थान बदल गया है, इसलिए यह छोटा है। केवल अंत में शून्य जोड़ने या हटाने से मान नहीं बदलता। / In (0.0304), the place of digits has changed, so it is smaller. Only adding or removing zeros at the end does not change value.
\(0.064\times100=6.4\), इसलिए (6.4%) मिलेगा। दशमलव को प्रतिशत में बदलने के लिए (100) से गुणा करें। / \(0.064\times100=6.4\), so it becomes (6.4%). To convert a decimal into a percentage, multiply by (100).
\(8.406\div100=0.08406\) होता है। (100) से भाग देने पर दशमलव बिंदु दो स्थान बाईं ओर जाता है। / \(8.406\div100=0.08406\). On dividing by (100), the decimal point moves two places to the left.
(5.5=5.500), इसलिए (5.500-2.875=2.625) है। घटाते समय खाली दशमलव स्थानों में शून्य लगाएं। / (5.5=5.500), so (5.500-2.875=2.625). Add zeros in empty decimal places while subtracting.
इसमें निश्चित दोहराने वाला भाग नहीं है और यह समाप्त भी नहीं होता। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / It has no fixed repeating part and it does not terminate. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
\( \frac{63}{84}=\frac{3}{4} \) और \(4=2^2\) है। इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत होगा। / \( \frac{63}{84}=\frac{3}{4} \) and \(4=2^2\). Therefore, its decimal expansion will be terminating.
\( \frac{44}{66}=\frac{2}{3} \) है। हर में (3) होने के कारण दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \( \frac{44}{66}=\frac{2}{3} \). Since the denominator has (3), the decimal will be non-terminating recurring.
(036) का पूरा समूह बार-बार आ रहा है। बार पूरे आवर्ती भाग पर लगाना चाहिए। / The whole block (036) is repeating. The bar should be placed over the entire recurring part.
\(0.0909\ldots\), \(0.0900\ldots\) से बड़ा है। तुलना में दोनों को समान दशमलव रूप में सोचें। / \(0.0909\ldots\) is greater than \(0.0900\ldots\). Think of both in comparable decimal form.
\(x=7.25\div1000=0.00725\) है। (1000) से भाग देने पर दशमलव बिंदु तीन स्थान बाईं ओर जाता है। / \(x=7.25\div1000=0.00725\). On dividing by (1000), the decimal point moves three places to the left.
\(0.875\times100=87.5\), इसलिए (87.5%) है। प्रतिशत में बदलने के लिए (100) से गुणा करें। / \(0.875\times100=87.5\), so it is (87.5%). Multiply by (100) to convert into percentage.
\(16\times625=10000\), इसलिए \( \frac{11}{16}=\frac{6875}{10000}=0.6875 \) है। हर को (10) की घात में बदलें। / \(16\times625=10000\), so \( \frac{11}{16}=\frac{6875}{10000}=0.6875 \). Convert the denominator into a power of (10).
(5) दशमलव के बाद चौथे स्थान पर है। चौथा दशमलव स्थान दस हजारवां होता है। / (5) is in the fourth place after the decimal point. The fourth decimal place is ten-thousandths.
A. \(0.\overline{6}\), \(1.2323\ldots\), \(4.105105\ldots\)
Explanation
Simple Explanation
पहले विकल्प की सभी संख्याओं में कोई न कोई भाग बार-बार दोहरता है। यही असांत आवर्ती दशमलव की पहचान है। / All numbers in the first option have some part repeating again and again. This is the key feature of non-terminating recurring decimals.
\(0.0048=\frac{48}{10000}=\frac{3}{625}\) है। दशमलव स्थान गिनकर सही हर लिखें। / \(0.0048=\frac{48}{10000}=\frac{3}{625}\). Count decimal places to write the correct denominator.
(0.0202) सबसे छोटा और (0.202) सबसे बड़ा है। तुलना के लिए सभी को समान दशमलव स्थान तक लिखें। / (0.0202) is the smallest and (0.202) is the greatest. Write all numbers up to equal decimal places for comparison.
पहला (6) दसवें और अंतिम (6) दस हजारवें स्थान पर है। इसलिए विस्तारित रूप \(5+\frac{6}{10}+\frac{6}{10000}\) है। / The first (6) is in tenths and the last (6) is in ten-thousandths. So the expanded form is \(5+\frac{6}{10}+\frac{6}{10000}\).
\( \frac{13}{40}=0.325 \), जो (0.32) से बड़ा है। भिन्न को दशमलव में बदलकर तुलना करें। / \( \frac{13}{40}=0.325 \), which is greater than (0.32). Convert the fraction into a decimal to compare.
हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हैं। इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। / The denominator has only the factors (2) and (5). Therefore, the decimal expansion will be terminating.
हर में (3) है, जो (2) और (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The denominator has (3), a factor other than (2) and (5). So the rational number will have a non-terminating recurring decimal.
\(0.007\div0.0007=10\) है। दशमलव स्थानों का अंतर गुणन संबंध दिखाता है। / \(0.007\div0.0007=10\). The difference in decimal places shows the multiplication relation.
दशमलव भाग में (90) का समूह बार-बार दोहरता है। इसलिए आवर्ती भाग (90) है। / In the decimal part, the block (90) repeats again and again. Therefore, the recurring part is (90).
(0.8750), (0.8705), (0.8700) और (0.8570) से बड़ा है। तुलना में समान दशमलव स्थान लिखें। / (0.8750) is greater than (0.8705), (0.8700), and (0.8570). Write equal decimal places for comparison.
\( \frac{1}{3}=0.333\ldots \) और \( \frac{1}{2}=0.5 \), इसलिए (0.34) बीच में है। सीमाओं को दशमलव में बदलकर तुलना करें। / \( \frac{1}{3}=0.333\ldots \) and \( \frac{1}{2}=0.5 \), so (0.34) lies between them. Convert boundaries to decimals for comparison.
\( \frac{41}{200}=\frac{205}{1000}=0.205 \) है। हर (200) को (1000) बनाने के लिए (5) से गुणा करें। / \( \frac{41}{200}=\frac{205}{1000}=0.205 \). Multiply denominator (200) by (5) to make (1000).
अंतिम (4) दशमलव के बाद पांचवें स्थान पर है। पांचवां दशमलव स्थान लाखवां होता है। / The last (4) is in the fifth place after the decimal point. The fifth decimal place is hundred-thousandths.
दोनों को (100) से गुणा करने पर \(36\div12=3\) मिलता है। दशमलव भाग में समान गुणा करने से भागफल नहीं बदलता। / Multiplying both by (100) gives \(36\div12=3\). Multiplying both parts of a division by the same number does not change the quotient.
C. \(2.7182818\ldots\) बिना निश्चित दोहराव/\(2.7182818\ldots\) without fixed repetition
Explanation
Simple Explanation
बिना निश्चित दोहराव वाला असांत दशमलव असांत अनावर्ती होता है। ऐसे दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकते हैं। / A non-terminating decimal without fixed repetition is non-terminating non-recurring. Such decimals can represent irrational numbers.
\( \frac{14}{25}=\frac{56}{100}=0.56 \) है। हर को (100) बनाकर तुलना आसान हो जाती है। / \( \frac{14}{25}=\frac{56}{100}=0.56 \). Making the denominator (100) makes comparison easy.
(312) का पूरा समूह दोहर रहा है। इसलिए बार पूरे (312) पर लगाया जाएगा। / The whole block (312) is repeating. So the bar will be placed over the whole (312).
(0.608) का दसवां स्थान (6) है जबकि (0.068) का दसवां स्थान (0) है। इसलिए (x>y) है। / The tenths digit of (0.608) is (6), while that of (0.068) is (0). Therefore, (x>y).
\( \frac{45}{150}=\frac{3}{10} \) है। हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव सांत होगा। / \( \frac{45}{150}=\frac{3}{10} \). The denominator has only (2) and (5), so the decimal will terminate.
\( \frac{1}{9}=0.111\ldots \), इसलिए (0.125) सबसे बड़ा है। भिन्नों को दशमलव में बदलकर तुलना करें। / \( \frac{1}{9}=0.111\ldots \), so (0.125) is the greatest. Convert fractions into decimals for comparison.
\(400\times25=10000\), इसलिए \( \frac{27}{400}=\frac{675}{10000}=0.0675 \) है। हर को (10) की घात बनाकर दशमलव निकालें। / \(400\times25=10000\), so \( \frac{27}{400}=\frac{675}{10000}=0.0675 \). Convert the denominator into a power of (10) to find the decimal.
दसवें स्थान समान हैं और सौवें स्थान पर (a) को (3) से बड़ा होना चाहिए। इसलिए (a) का सबसे छोटा मान (4) है। / The tenths digits are equal and the hundredths digit (a) must be greater than (3). So the smallest value of (a) is (4).
इसमें शून्यों की संख्या बदलती रहती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती भाग नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / The number of zeros keeps changing, so there is no fixed recurring part. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
\( \frac{17}{200}=\frac{85}{1000}=0.085 \) है। हर को (10) की घात में बदलकर दशमलव निकालें। / \( \frac{17}{200}=\frac{85}{1000}=0.085 \). Convert the denominator into a power of (10) to find the decimal.
\(400\times25=10000\), इसलिए \( \frac{31}{400}=\frac{775}{10000}=0.0775 \) है। हर को (10) की घात बनाना उपयोगी है। / \(400\times25=10000\), so \( \frac{31}{400}=\frac{775}{10000}=0.0775 \). Making the denominator a power of (10) is useful.
\(0.21875=\frac{21875}{100000}=\frac{7}{32}\) है। दशमलव को भिन्न में बदलकर सबसे सरल रूप तक घटाएं। / \(0.21875=\frac{21875}{100000}=\frac{7}{32}\). Convert the decimal to a fraction and reduce it to simplest form.
\(1.0625=\frac{10625}{10000}=\frac{17}{16}\) है। अनुचित भिन्न में बदलते समय अंतिम उत्तर सरल रखें। / \(1.0625=\frac{10625}{10000}=\frac{17}{16}\). Keep the final improper fraction in simplest form.
A. \(6+\frac{3}{10}+\frac{4}{1000}+\frac{2}{10000}\)
Explanation
Simple Explanation
(3) दसवें, (4) हजारवें और (2) दस हजारवें स्थान पर है। शून्य वाले स्थान का मान लिखना आवश्यक नहीं होता। / (3) is in tenths, (4) is in thousandths, and (2) is in ten-thousandths. A zero place need not be written in expansion.
(9) दशमलव के बाद पांचवें स्थान पर है। पांचवां दशमलव स्थान लाखवां होता है। / (9) is in the fifth place after the decimal point. The fifth decimal place is hundred-thousandths.
पहले (23) के बाद (13) का समूह बार-बार दोहरता है। आवर्ती भाग सबसे छोटा दोहराने वाला समूह होता है। / After the first (23), the block (13) repeats again and again. The recurring part is the smallest repeating block.
दशमलव में पहले (0) के बाद (45) दोहरता है। बार केवल आवर्ती भाग पर लगाना चाहिए। / After the first (0) in the decimal part, (45) repeats. The bar should be placed only over the recurring part.
\(96=2^5\times3\) में (3) भी है। इसलिए यह परिमेय संख्या असांत आवर्ती दशमलव देगी। / \(96=2^5\times3\) also has (3). So this rational number will give a non-terminating recurring decimal.
\(320=2^6\times5\) है, इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। ऐसा हर सांत दशमलव देता है। / \(320=2^6\times5\), so the denominator has only (2) and (5). Such a denominator gives a terminating decimal.
(0.6250), (0.6205), (0.6025) और (0.0625) से बड़ा है। तुलना के लिए सभी दशमलवों को समान स्थान तक लिखें। / (0.6250) is greater than (0.6205), (0.6025), and (0.0625). Write all decimals up to equal places for comparison.
(1.03=1.0300), इसलिए (1.0303) इससे थोड़ा बड़ा है। दशमलवों को समान स्थान तक लिखकर क्रम लगाएं। / (1.03=1.0300), so (1.0303) is slightly greater. Arrange decimals after writing equal places.
(0.7185), (0.7180) से बड़ा और (0.7190) से छोटा है। बीच की संख्या खोजते समय दशमलव स्थान समान करें। / (0.7185) is greater than (0.7180) and less than (0.7190). Make decimal places equal while finding a number between two decimals.
\(0.00072=\frac{72}{100000}=\frac{9}{12500}\) है। पांच दशमलव स्थान होने पर हर (100000) लें। / \(0.00072=\frac{72}{100000}=\frac{9}{12500}\). For five decimal places, use denominator (100000).
\(0.875=\frac{875}{1000}=\frac{7}{8}\) है। भिन्न को अंतिम रूप में सरल करना न भूलें। / \(0.875=\frac{875}{1000}=\frac{7}{8}\). Do not forget to simplify the fraction in the final form.
\(7\div18=0.3888\ldots\) होता है। भाग देने पर जो अंक बार-बार आए, वही आवर्ती भाग है। / \(7\div18=0.3888\ldots\). The digit that repeats during division is the recurring part.
(006) का पूरा समूह बार-बार दोहरता है। इसलिए बार पूरे (006) पर लगेगा। / The whole block (006) repeats again and again. So the bar is placed over the whole (006).
पहले (10) के बाद (20) नहीं बल्कि (02) का समूह दोहरता है। आवर्ती भाग को क्रम सहित पहचानें। / After the first (10), the block (02), not (20), repeats. Identify the recurring part with its order.
यह समाप्त नहीं होता और इसमें निश्चित आवर्ती भाग भी नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती कहलाता है। / It does not terminate and has no fixed recurring part. Such a decimal is called non-terminating non-recurring.
हर में (7) है, जो (2) और (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The denominator has (7), a factor other than (2) and (5). So the rational number will have a non-terminating recurring decimal.
हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हैं। इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। / The denominator has only the factors (2) and (5). Therefore, the decimal expansion will be terminating.
\( \frac{21}{25}=\frac{84}{100}=0.84 \) है। भिन्न को दशमलव में बदलकर तुलना करें। / \( \frac{21}{25}=\frac{84}{100}=0.84 \). Convert the fraction into decimal to compare.
\( \frac{9}{16}=0.5625 \), जो (0.57) से छोटा है। तुलना से पहले भिन्न को दशमलव में बदलें। / \( \frac{9}{16}=0.5625 \), which is less than (0.57). Convert the fraction to a decimal before comparison.
\(0.075\times100=7.5\), इसलिए (7.5%) है। प्रतिशत में बदलने के लिए (100) से गुणा करें। / \(0.075\times100=7.5\), so it is (7.5%). Multiply by (100) to convert into percentage.
\(12.06\div1000=0.01206\) है। (1000) से भाग देने पर दशमलव बिंदु तीन स्थान बाईं ओर जाता है। / \(12.06\div1000=0.01206\). On dividing by (1000), the decimal point moves three places to the left.
दोनों संख्याओं को (1000) से गुणा करने पर \(480\div6=80\) मिलता है। भाग में दोनों को समान संख्या से गुणा करने पर भागफल नहीं बदलता। / Multiplying both numbers by (1000) gives \(480\div6=80\). Multiplying both parts of a division by the same number does not change the quotient.
(2.75=2.7500), इसलिए (2.7500+0.0875=2.8375) है। जोड़ते समय दशमलव बिंदु एक सीध में रखें। / (2.75=2.7500), so (2.7500+0.0875=2.8375). Align decimal points while adding.
(4.125=4.1250), इसलिए (4.1250-1.0625=3.0625) है। घटाते समय खाली दशमलव स्थानों में शून्य लगाएं। / (4.125=4.1250), so (4.1250-1.0625=3.0625). Add zeros in empty decimal places while subtracting.
(0.500), (0.0500) से बड़ा है क्योंकि (5) का स्थान बदल गया है। केवल अंत में शून्य जोड़ने या हटाने से मान नहीं बदलता। / (0.500) is greater than (0.0500) because the place of (5) has changed. Only adding or removing ending zeros does not change value.
सांत और असांत आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। पहले विकल्प में सभी संख्याएं इसी प्रकार की हैं। / Terminating and non-terminating recurring decimals are rational. All numbers in the first option are of these types.
C. \(1.7320508\ldots\) बिना निश्चित दोहराव/\(1.7320508\ldots\) without fixed repetition
Explanation
Simple Explanation
बिना निश्चित दोहराव वाला असांत दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकता है। सांत और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / A non-terminating decimal without fixed repetition can be the form of an irrational number. Terminating and recurring decimals are rational.
(0.49=0.490), जो (0.409) से बड़ा है। तुलना के लिए दशमलव स्थान समान लिखें। / (0.49=0.490), which is greater than (0.409). Write equal decimal places for comparison.
दसवें स्थान समान हैं और सौवें स्थान पर (a<5) होना चाहिए। इसलिए सबसे बड़ा मान (4) है। / The tenths digits are equal and the hundredths digit must satisfy (a<5). So the greatest value is (4).
\(x=3.75\div100=0.0375\) है। (100) से भाग देने पर दशमलव बिंदु दो स्थान बाईं ओर जाता है। / \(x=3.75\div100=0.0375\). On dividing by (100), the decimal point moves two places to the left.
\(x=64.8\div1000=0.0648\) है। (1000) से भाग देने पर दशमलव बिंदु तीन स्थान बाईं ओर जाता है। / \(x=64.8\div1000=0.0648\). On dividing by (1000), the decimal point moves three places to the left.
\( \frac{1}{3}=0.333\ldots \) होता है। आवर्ती दशमलव को बार संकेतन से भी लिखा जा सकता है। / \( \frac{1}{3}=0.333\ldots \). A recurring decimal can also be written using bar notation.
\( \frac{1}{11}=0.0909\ldots \), जो (0.091) से थोड़ा छोटा है। भिन्न को दशमलव में बदलकर तुलना करें। / \( \frac{1}{11}=0.0909\ldots \), which is slightly less than (0.091). Convert the fraction into decimal for comparison.
\( \frac{45}{72}=\frac{5}{8} \) और \(8=2^3\) है। इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत होगा। / \( \frac{45}{72}=\frac{5}{8} \) and \(8=2^3\). Therefore, its decimal expansion will be terminating.
\( \frac{28}{98}=\frac{2}{7} \) है। हर में (7) होने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \( \frac{28}{98}=\frac{2}{7} \). Since the denominator has (7), the decimal will be non-terminating recurring.
\(0.0045\div0.00045=10\) है। दशमलव स्थानों का अंतर गुणन संबंध बताता है। / \(0.0045\div0.00045=10\). The difference in decimal places shows the multiplication relation.
\(0.125\div0.001=125\) है। (0.001) से भाग देना (1000) से गुणा करने जैसा है। / \(0.125\div0.001=125\). Dividing by (0.001) is like multiplying by (1000).
इसमें कोई निश्चित दोहराने वाला समूह नहीं है और यह समाप्त नहीं होता। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / It has no fixed repeating block and it does not terminate. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
\( \frac{2}{5}=0.4 \) और \( \frac{1}{2}=0.5 \), इसलिए (0.405) इनके बीच है। सीमाओं को दशमलव में बदलें। / \( \frac{2}{5}=0.4 \) and \( \frac{1}{2}=0.5 \), so (0.405) lies between them. Convert the boundaries into decimals.
दसवें स्थान पर (3.600) सबसे बड़ा है और (3.006) सबसे छोटा है। घटते क्रम में बड़े से छोटे की ओर लिखें। / (3.600) is greatest at the tenths place and (3.006) is smallest. In descending order, write from greatest to smallest.
\(800\times125=100000\), इसलिए \( \frac{53}{800}=\frac{6625}{100000}=0.06625 \) है। हर को (10) की घात बनाकर दशमलव निकालें। / \(800\times125=100000\), so \( \frac{53}{800}=\frac{6625}{100000}=0.06625 \). Convert the denominator into a power of (10) to find the decimal.
\(0.00375=\frac{375}{100000}=\frac{3}{800}\) है। पांच दशमलव स्थान हों तो हर (100000) लें और भिन्न सरल करें। / \(0.00375=\frac{375}{100000}=\frac{3}{800}\). For five decimal places, use denominator (100000) and simplify the fraction.
दसवें और सौवें स्थान समान हैं, इसलिए हजारवें स्थान पर (b<8) होना चाहिए। अतः सबसे बड़ा मान (7) है। / The tenths and hundredths digits are equal, so the thousandths digit must satisfy (b<8). Hence the greatest value is (7).
दशमलव भाग में (02) का समूह बार-बार दोहरता है। आवर्ती भाग को उसी क्रम में पहचानें। / In the decimal part, the block (02) repeats again and again. Identify the recurring part in the same order.
