In which option are all numbers rational?किस विकल्प में दी गई सभी संख्याएँ परिमेय हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 0.125, 0.777..., 2.3434...0.125, 0.777..., 2.3434...
A rational number can be written as a fraction of integers. Its decimal expansion either terminates or continues with a repeating block. In option A, 0.125 terminates, 0.777... repeats the digit 7, and 2.3434... repeats the block 34; therefore all three are rational. Hence option A is correct. In option B, 0.1010010001... has a non-repeating pattern, so it is irrational even though 0.25 and 1.5 are rational. Option C contains a non-repeating expansion of pi, which is irrational. Option D also begins a non-terminating, non-repeating pattern, so not all its numbers are rational. The presence of a decimal alone is not enough; its pattern must be checked.परिमेय संख्या वह होती है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सके। उसका दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या फिर किसी निश्चित समूह के साथ आवर्ती होता है। विकल्प A में 0.125 सांत दशमलव है, 0.777... में 7 बार-बार आता है और 2.3434... में 34 का समूह दोहरता है। इसलिए इस विकल्प की सभी संख्याएँ परिमेय हैं और सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प B में 0.1010010001... का पैटर्न नियमित रूप से नहीं दोहरता, इसलिए वह अपरिमेय है। विकल्प C में बिना दोहराव वाला पाई का दशमलव है, जो अपरिमेय है। विकल्प D में भी अंकों का समूह सांत या आवर्ती नहीं है। केवल दशमलव रूप देखकर निर्णय नहीं लेना चाहिए; उसके दोहराव या समाप्ति का निरीक्षण करना आवश्यक है।
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