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बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 5, 3, 1 और 0 हैं तथा x-5 का गुणांक 7 है, जो शून्य नहीं है। इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है। 3 केवल पद -4x-3 की घात है, सबसे बड़ी घात नहीं। परीक्षा टिप: नियत पद की घात 0 मानी जाती है। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable with a non-zero coefficient. Here, the exponents of the terms are 5, 3, 1, and 0, and the coefficient of x-5 is 7, which is non-zero. Therefore, the degree is 5. Option 3 is only the exponent of the term -4x-3, not the highest exponent. Exam tip: A constant term has degree 0.
पद 0x-9 का गुणांक 0 है, इसलिए यह शून्य पद है और बहुपद की डिग्री निर्धारित करने में नहीं गिना जाता। शेष अशून्य पदों में 6x-4 की घात सबसे अधिक 4 है। अतः बहुपद की डिग्री 4 है। 9 चुनना गलत होगा, क्योंकि x-9 का गुणांक शून्य है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / The coefficient of 0x-9 is 0, so it is a zero term and does not determine the degree of the polynomial. Among the remaining non-zero terms, 6x-4 has the highest exponent, 4. Therefore, the degree is 4. Choosing 9 would be incorrect because the coefficient of x-9 is zero. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before finding the degree.
यहाँ 5x-6 और -5x-6 समान पद हैं, इसलिए वे कटकर 0 हो जाते हैं। व्यंजक 8x-2-1 रह जाता है। इसका सबसे बड़ा घातांक 2 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 2 है। 0 डिग्री केवल किसी अचर बहुपद की होती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान पदों को अवश्य सरल करें। / Here, 5x-6 and -5x-6 are like terms, so they cancel to 0. The expression becomes 8x-2-1. Its highest exponent is 2, so the degree of the polynomial is 2. Degree 0 applies only to a non-zero constant polynomial. Exam tip: Always simplify like terms before finding the degree.
जब \(b=4\) रखते हैं, तब \(b-4=0\) हो जाता है। इसलिए \(x^8\) वाला पद समाप्त हो जाता है और बहुपद \(3x^3+2\) बचता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(3\) है, अतः बहुपद की डिग्री \(3\) है। विकल्प 8 गलत है क्योंकि उसका गुणांक शून्य हो चुका है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले दिए गए मान रखकर शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / On substituting \(b=4\), we get \(b-4=0\). Hence, the \(x^8\) term vanishes and the polynomial becomes \(3x^3+2\). The highest power of \(x\) now present is \(3\), so the degree is \(3\). Option 8 is incorrect because its coefficient becomes zero. Exam tip: Substitute any given parameter values first, then remove terms with zero coefficients before finding the degree.
बहुपद की डिग्री 2 होने के लिए \(x^6\) का गुणांक शून्य होना आवश्यक है। अतः \(a+7=0\), जिससे \(a=-7\) प्राप्त होता है। इस मान पर बहुपद \(-4x^2+9\) बनता है, जिसकी डिग्री 2 है। \(a=0\) लेने पर \(x^6\) का गुणांक 7 रहता है, इसलिए डिग्री 6 होगी। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक शून्य है या नहीं, पहले जाँचें। / For the polynomial to have degree 2, the coefficient of \(x^6\) must be zero. Thus, \(a+7=0\), which gives \(a=-7\). For this value, the polynomial becomes \(-4x^2+9\), whose degree is 2. If \(a=0\), the coefficient of \(x^6\) is still 7, so the degree remains 6. Exam tip: First check whether the coefficient of the highest-power term becomes zero.
सबसे बड़ी घात (9) वाले पद से डिग्री तय होती है। ऋणात्मक गुणांक डिग्री को नहीं बदलता। / The degree is decided by the term with highest power (9). A negative coefficient does not change the degree.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ x की घातें 3, 11 और 6 हैं तथा अचर पद 4 की घात 0 है। सबसे बड़ी घात 11 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 11 है। 6 केवल एक पद की घात है, पूरे बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: पदों के क्रम से नहीं, सबसे बड़ी घात से डिग्री निर्धारित करें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable having a non-zero coefficient. Here, the powers of x are 3, 11, and 6, while the constant term 4 has degree 0. The greatest exponent is 11, so the degree is 11. Option 6 is the degree of only one term, not of the whole polynomial. Exam tip: the order of terms does not affect the degree; identify the highest power of the variable.
बहुपद में जिन पदों का गुणांक 0 होता है, वे बहुपद के मान में कोई योगदान नहीं देते। इसलिए दिया गया व्यंजक केवल \(15x-6\) रह जाता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(1\) है, अतः बहुपद की डिग्री \(1\) है। \(0\) डिग्री केवल अचर, शून्येतर बहुपद की होती है। परीक्षा टिप: पहले शून्य गुणांक वाले पद हटाइए, फिर शेष पदों में चर की सबसे बड़ी घात देखिए। / Terms with coefficient 0 do not contribute to a polynomial. Thus the expression reduces to \(15x-6\). The highest power of \(x\) in this polynomial is \(1\), so its degree is \(1\). Degree \(0\) applies to a non-zero constant polynomial, not to this linear polynomial. Exam tip: first remove zero-coefficient terms, then identify the highest exponent of the variable left.
यहाँ \(x^0=1\) है, इसलिए दिया गया व्यंजक \(3+4x^6-9x^2\) बनता है। बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में \(x\) की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(4x^6\) में सबसे बड़ी घात 6 है, इसलिए सही उत्तर 6 है। \(x^0\) वाला पद केवल स्थिरांक होता है; वह डिग्री नहीं बढ़ाता। परीक्षा टिप: पहले \(x^0\) जैसे पदों को सरल करके सबसे बड़ी घात पहचानें। / Since \(x^0=1\), the expression becomes \(3+4x^6-9x^2\). The degree of a polynomial is the greatest exponent of \(x\) in any term with a non-zero coefficient. The term \(4x^6\) has the highest exponent, 6, so the answer is 6. The \(x^0\) term is only a constant term and does not increase the degree. Exam tip: simplify terms such as \(x^0\) first, then identify the highest exponent.
23 एक अशून्य नियतांक बहुपद है, क्योंकि इसमें किसी चर का पद नहीं है। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री 0 होती है, इसलिए सही उत्तर 0 है। 1 डिग्री वाले बहुपद में चर की अधिकतम घात 1 होती है, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी अशून्य स्थिर संख्या, जैसे 5, -12 या 23, की बहुपद के रूप में डिग्री 0 होती है। / 23 is a non-zero constant polynomial because it has no variable term. The degree of every non-zero constant polynomial is 0, so the correct answer is 0. A polynomial of degree 1 must have a variable with highest power 1, which is not present here. Exam tip: Any non-zero constant such as 5, -12, or 23 has degree 0 when considered as a polynomial.
यह शून्य बहुपद है और इसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। परीक्षा में इसे अशून्य नियतांक से अलग पहचानें। / This is the zero polynomial and its degree is not defined. In exams, identify it separately from non-zero constants.
बहुपद की डिग्री उसमें चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(6x^5-2x+7\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए इसकी डिग्री 5 है। विकल्प A की डिग्री 4 है और विकल्प C की डिग्री 6 है। विकल्प D एक अचर बहुपद है, जिसकी डिग्री 0 होती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय केवल चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable with a non-zero coefficient. In \(6x^5-2x+7\), the greatest exponent of \(x\) is 5, so its degree is 5. Option A has degree 4, while option C has degree 6. Option D is a non-zero constant polynomial, so its degree is 0. Exam tip: identify the highest power of the variable to find the degree.
समान घात वाले पदों को मिलाने पर \(9x^7-4x^7=5x^7\) मिलता है। अतः बहुपद का सरल रूप \(5x^7+5x^3-2\) है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(7\) है, इसलिए इसकी डिग्री 7 है। विकल्प 5, \(x^7\) का गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: पहले समान पदों को सरल करें, फिर जिस पद की घात सबसे अधिक हो वही बहुपद की डिग्री होती है। / Combining like terms gives \(9x^7-4x^7=5x^7\). Thus, the simplified polynomial is \(5x^7+5x^3-2\). The highest power of \(x\) is \(7\), so its degree is 7. Option 5 is the coefficient of \(x^7\), not the degree. Exam tip: simplify like terms first, then identify the greatest exponent with a non-zero coefficient.
बहुपद की डिग्री चर की वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(r\neq0\) होने के कारण \(rx^9\) शून्येतर पद है। अतः \(x\) की सबसे बड़ी घात \(9\) है और बहुपद की डिग्री \(9\) होगी। \(4\), पद \(2x^4\) की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक शून्य है या नहीं, यह अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Since \(r\neq0\), the term \(rx^9\) is non-zero. Hence, the highest exponent of \(x\) is \(9\), so the degree of the polynomial is \(9\). The number \(4\) is the degree of the term \(2x^4\), not of the entire polynomial. Exam tip: always check whether the coefficient of the highest-power term is zero.
जब \(r=0\) रखते हैं, तब \(rx^9=0\cdot x^9=0\) हो जाता है। इसलिए बहुपद \(2x^4-3\) बचता है। इसमें चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 4 है, अतः इसकी डिग्री 4 है। 9 केवल मूल व्यंजक में संभावित घात थी; उसका गुणांक शून्य होने पर वह पद नहीं गिना जाता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / On substituting \(r=0\), \(rx^9=0\cdot x^9=0\). The polynomial becomes \(2x^4-3\). The highest power of \(x\) in this remaining polynomial is 4, so its degree is 4. Degree 9 belongs only to the original possible term; it is not counted when its coefficient is zero. Exam tip: remove all zero-coefficient terms before identifying the highest exponent.
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, बशर्ते उस पद का गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों में y की घातें 6, 3 और 0 हैं; सबसे बड़ी घात 6 है। इसलिए सही उत्तर 6 है। 14 स्थिर पद है, उसकी घात 0 होती है; अतः वह डिग्री नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय केवल चर की सबसे बड़ी घात देखें, गुणांक नहीं। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable in a term with a non-zero coefficient. Here, the powers of y are 6, 3, and 0, so the greatest power is 6. Therefore, the correct answer is 6. The number 14 is a constant term and has degree 0, so it is not the degree of the polynomial. Exam tip: To find the degree, look for the highest power of the variable, not the coefficient.
(x) के संदर्भ में इसमें (x) नहीं है इसलिए यह अशून्य नियतांक जैसा है। इसकी डिग्री (0) है। / With respect to (x), it has no (x), so it behaves like a non-zero constant. Its degree is (0).
B. डिग्री चर के सबसे बड़े घातांक से निर्धारित होती है, इसलिए डिग्री 5 है/Degree is determined by the greatest exponent of the variable, so the degree is 5.
Explanation
Simple Explanation
विद्यार्थी ने पदों की संख्या को बहुपद की डिग्री मान लिया, जो गलत है। बहुपद की डिग्री चर के उस सबसे बड़े घातांक से तय होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। \(7x^5-3x+2\) में \(x\) के घातांक 5, 1 और 0 हैं; अतः इसकी डिग्री 5 है। 3 केवल पदों की संख्या है। परीक्षा टिप: बहुपद को देखकर सबसे बड़ी घात वाला शून्येतर पद पहचानें। / The student has confused the number of terms with the degree of a polynomial. The degree is the greatest exponent of the variable whose coefficient is non-zero. In \(7x^5-3x+2\), the exponents of \(x\) are 5, 1, and 0, so its degree is 5. The number 3 only represents the number of terms. Exam tip: identify the non-zero term with the highest power first.
\(5x^3-2x+7\) में चर की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है। विकल्प B की डिग्री 4 है, जबकि C और D बहुपद नहीं हैं क्योंकि उनमें क्रमशः ऋणात्मक और भिन्नात्मक घात आती है। परीक्षा टिप: पहले जाँचें कि सभी घात अशून्य पूर्णांक हैं। / In \(5x^3-2x+7\), the highest power of the variable is 3, so its degree is 3. Option B has degree 4, while C and D are not polynomials because they contain negative and fractional powers respectively. Exam tip: first check that every exponent is a non-negative integer.
पहले गुणा करें: \(x^4(x^2+3)=x^6+3x^4\)। अतः व्यंजक \(x^6+3x^4-x^6+5x^3=3x^4+5x^3\) बनता है। \(x^6\) के पद परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 4 है, इसलिए इसकी डिग्री 4 है। \(3\) केवल दूसरे पद की घात है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को सरल करके समान पदों को मिलाएँ। / First expand: \(x^4(x^2+3)=x^6+3x^4\). Thus, the expression becomes \(x^6+3x^4-x^6+5x^3=3x^4+5x^3\). The \(x^6\) terms cancel. The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 4, so its degree is 4. Although 3 is the power in one term, it is not the highest power. Exam tip: simplify and combine like terms before finding the degree of a polynomial.
विकल्प A में \(x\) की सर्वाधिक घात 3 है और \(x^3\) का गुणांक 5 शून्य नहीं है, इसलिए बहुपद की घात 3 है। विकल्प B में सर्वाधिक घात 4 है, जबकि विकल्प C की घात 2 और विकल्प D की घात 0 है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की सबसे बड़ी गैर-शून्य घात देखकर डिग्री ज्ञात करें। / In option A, the highest power of \(x\) is 3, and the coefficient of \(x^3\) is 5, which is non-zero. Therefore, its degree is 3. Option B has degree 4, option C has degree 2, and option D is a constant polynomial of degree 0. Exam tip: identify the highest exponent of the variable with a non-zero coefficient.
\((x-4)(x+6)=x^2+2x-24\)। इस बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(2\) है। डिग्री \(1\) नहीं होगी, क्योंकि दोनों रैखिक गुणकों का गुणन करने पर \(x^2\) पद प्राप्त होता है। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को सरल रूप में लिखें, फिर चर की सबसे बड़ी घात देखें। / \((x-4)(x+6)=x^2+2x-24\). The highest power of \(x\) in this polynomial is \(2\), so its degree is \(2\). It is not \(1\), because multiplying the two linear factors produces an \(x^2\) term. Exam tip: simplify the polynomial first, then identify the greatest exponent of the variable.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(2x^8-6x^3+5\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(8\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(8\) है। विकल्प A की डिग्री \(7\) है, जबकि विकल्प B और D की डिग्रियाँ क्रमशः \(4\) और \(1\) हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय स्थिर पद को नहीं, बल्कि चर की सबसे बड़ी घात को देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable with a non-zero coefficient. In \(2x^8-6x^3+5\), the highest power of \(x\) is \(8\), so its degree is \(8\). Option A has degree \(7\), while options B and D have degrees \(4\) and \(1\), respectively. Exam tip: To find the degree, look for the highest power of the variable, not the constant term.
जिस बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 2 होती है, उसकी डिग्री 2 होती है और उसे द्विघात बहुपद कहते हैं। उदाहरण के लिए, \(3x^2-5x+1\) एक द्विघात बहुपद है। रेखीय बहुपद की डिग्री 1 होती है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का नाम उसकी उच्चतम घात से पहचानें। / A polynomial whose highest power of the variable is 2 has degree 2 and is called a quadratic polynomial. For example, \(3x^2-5x+1\) is quadratic. A linear polynomial has degree 1, so it is not correct. Exam tip: identify the polynomial by its highest exponent.
समान पदों को मिलाने पर 3x-6-8x-6=-5x-6 होता है। अतः f(x)=-5x-6+4x-2-7 है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 6 है और उसका गुणांक -5 शून्य नहीं है, इसलिए बहुपद की डिग्री 6 है। विकल्प 2 केवल एक अन्य पद की घात है, सबसे बड़ी घात नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को सरल करें। / Combining like terms gives 3x-6-8x-6=-5x-6. Thus, f(x)=-5x-6+4x-2-7. The highest power of x is 6, and its coefficient, -5, is non-zero; therefore, the degree of the polynomial is 6. Option 2 is the power of another term, not the highest power. Exam tip: Always simplify like terms before finding the degree.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का अधिकतम मान होती है। पद 6x-3y-2 की कुल घात 3+2=5 है, जबकि 5xy की कुल घात 1+1=2 और स्थिर पद -4 की घात 0 है। इसलिए सबसे बड़ी कुल घात 5 है। विकल्प 6 गलत है, क्योंकि किसी भी पद में घातों का योग 6 नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद की कुल घात अलग-अलग निकालकर उनमें से सबसे बड़ा मान चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of its variables in any term. For 6x-3y-2, the total degree is 3+2=5; for 5xy, it is 1+1=2; and the constant term -4 has degree 0. Hence, the greatest total degree is 5. Option 6 is incorrect because no term has exponents whose sum is 6. Exam tip: Find the total degree of each term separately, then choose the greatest value.
बहुपद के प्रत्येक पद की कुल घात ज्ञात करें। पद 2x-4y की कुल घात 4+1=5 है, पद -7xy-3 की कुल घात 1+3=4 है और अचर पद 9 की घात 0 है। इनमें सबसे बड़ी कुल घात 5 है, इसलिए सही उत्तर 5 है। 4 केवल दूसरे पद की कुल घात है। परीक्षा टिप: एक से अधिक चरों वाले बहुपद में किसी पद की कुल घात के लिए उस पद में सभी चरों की घातों को जोड़ें। / Find the total degree of each term. For 2x-4y, it is 4+1=5; for -7xy-3, it is 1+3=4; and the constant term 9 has degree 0. The greatest of these is 5, so the total degree of the polynomial is 5. Option 4 is only the total degree of the second term. Exam tip: for a term with more than one variable, add the exponents of all its variables to get its total degree.
केवल \(x\) के सापेक्ष डिग्री ज्ञात करते समय \(y\) को गुणांक माना जाता है। पद \(5x^4y^3\) में \(x\) की घात 4, \(2xy^6\) में 1 और स्थिर पद \(-8\) में 0 है। इनमें सबसे बड़ी घात 4 है, इसलिए सही उत्तर 4 है। \(y\) की घात 6 होने पर भी विकल्प 6 सही नहीं है, क्योंकि डिग्री केवल \(x\) के सापेक्ष पूछी गई है। परीक्षा टिप: जिस चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की घातों की तुलना करें। / To find the degree with respect to \(x\), treat \(y\) as part of the coefficient. The powers of \(x\) in \(5x^4y^3\), \(2xy^6\), and \(-8\) are 4, 1, and 0 respectively. The greatest power is 4, so the correct answer is 4. Although \(y\) has power 6, 6 is not correct because the degree is asked only with respect to \(x\). Exam tip: compare powers only of the variable named in the question.
y के संदर्भ में बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए केवल y की घातें देखी जाती हैं। दिए गए व्यंजक में y की घातें 3, 6 और 0 हैं; इनमें सबसे बड़ी घात 6 है, जो पद 2xy-6 में है। इसलिए सही उत्तर 6 है। 3 केवल 5x-4y-3 में y की घात है, सबसे बड़ी घात नहीं। परीक्षा टिप: किसी एक चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, तो दूसरे चर को गुणांक मानें। / To find the degree with respect to y, consider only the powers of y. In the given expression, the powers of y are 3, 6, and 0; the greatest is 6, occurring in 2xy-6. Therefore, the correct answer is 6. The value 3 is the power of y only in 5x-4y-3, not the highest power. Exam tip: When degree is asked with respect to one variable, treat the other variables as coefficients.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (31) बचता है। (31) अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (31) remains. (31) is a non-zero constant polynomial of degree (0).
डिग्री (3) के लिए \(x^4\) पद हटना चाहिए और \(x^3\) पद बचना चाहिए। (t=5) पर दोनों शर्तें पूरी होती हैं। / For degree (3), the \(x^4\) term must vanish and the \(x^3\) term must remain. At (t=5), both conditions hold.
(u=-3) पर \(x^7\) का गुणांक (0) और \(x^5\) का गुणांक (7) होता है। इसलिए डिग्री (5) है। / At (u=-3), the coefficient of \(x^7\) is (0) and the coefficient of \(x^5\) is (7). Therefore the degree is (5).
A. डिग्री पदों की संख्या नहीं, चर की सबसे बड़ी घात होती है; इसलिए डिग्री 4 है।/Degree is not the number of terms; it is the highest power of the variable, so the degree is 4.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री पदों की संख्या से निर्धारित नहीं होती। यह चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(7-2x+x^4\) में \(7\), \(-2x\) और \(x^4\) की घातें क्रमशः 0, 1 और 4 हैं; अतः डिग्री 4 है। विकल्प C में घातों का योग 5 आता है, लेकिन यह डिग्री ज्ञात करने का नियम नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद को सरल करके चर की सबसे बड़ी घात पहचानें। / The degree of a polynomial is not determined by the number of terms. It is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. In \(7-2x+x^4\), the exponents of \(7\), \(-2x\), and \(x^4\) are 0, 1, and 4 respectively, so the degree is 4. Option C gives an exponent sum of 5, but adding exponents is not the rule for finding degree. Exam tip: simplify the polynomial, then identify the highest power of the variable.
यह बहुपद तीन रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है: x, (x-6) और (x+2)। प्रत्येक की डिग्री 1 है, इसलिए गुणनफल की डिग्री 1+1+1=3 होगी। इसे फैलाने पर उच्चतम घात वाला पद x³ मिलता है। विकल्प 6 गुणनखंडों के स्थिर पदों को देखकर लिया जा सकता है, पर डिग्री घात से निर्धारित होती है, स्थिरांकों से नहीं। परीक्षा टिप: गुणनफल में बहुपदों की डिग्रियाँ जोड़ें। / The polynomial is the product of three linear factors: x, (x-6), and (x+2). Each factor has degree 1, so the degree of the product is 1+1+1=3. On expansion, the highest-power term is x³. Option 6 may result from noticing the constants in the factors, but degree is determined by the highest exponent, not by constants. Exam tip: add the degrees of polynomial factors in a product.
दिए गए बहुपद में \(4x^8-4x^8=0\) हो जाता है। अतः \(g(x)=x^6-x^3\) बचता है। इसमें शून्येतर गुणांक वाली सबसे बड़ी घात \(6\) है, इसलिए बहुपद की डिग्री \(6\) है। \(8\) सही नहीं है क्योंकि \(x^8\) वाले पद परस्पर निरस्त हो जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान पदों को जोड़कर या घटाकर बहुपद को सरल करें। / In the given polynomial, \(4x^8-4x^8=0\). Thus, \(g(x)=x^6-x^3\). The highest power with a non-zero coefficient is \(6\), so the degree of the polynomial is \(6\). Option \(8\) is incorrect because the \(x^8\) terms cancel each other. Exam tip: simplify a polynomial by combining like terms before finding its degree.
किसी बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ x की घातें 4, 6, 8 और 10 हैं। सबसे बड़ी घात 10 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 10 है। 8 निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर x^{10} पद मौजूद होने के कारण डिग्री 8 नहीं हो सकती। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले सभी पदों में चर की घातों को ध्यान से देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable with a non-zero coefficient. Here, the powers of x are 4, 6, 8, and 10. The greatest power is 10, so the degree of the polynomial is 10. Option 8 is a close distractor, but the term x^{10} is present, so the degree cannot be 8. Exam tip: Before finding the degree, check the exponents of the variable in every term.
घन बहुपद में चर की सर्वाधिक घात 3 होती है। \(5x^3-2x+7\) में सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह घन बहुपद है। \(x^4+x\) की घात 4 है। परीक्षा में सबसे बड़ी घात देखें। / A cubic polynomial has highest exponent 3. In \(5x^3-2x+7\), the greatest power is 3, so it is cubic. \(x^4+x\) has degree 4. Exam tip: check the greatest exponent.
किसी एक चर वाले बहुपद की डिग्री उस चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। दिए गए बहुपद में x की घातें 12, 9, 4 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 12 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 12 है। 2 गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: स्थिर पद की घात 0 मानें। / The degree of a polynomial in one variable is the highest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Here, the powers of x are 12, 9, 4, and 0. The greatest power is 12, so the degree is 12. The number 2 is a coefficient, not the degree. Exam tip: Treat a non-zero constant term as having degree 0.
बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ n>6 है, इसलिए 5x^n की घात 6 से बड़ी होगी और वही सबसे बड़ी घात होगी। अतः बहुपद की डिग्री n है। दी गई डिग्री 11 होने पर n=11 होगा। 6 विकल्प गलत है क्योंकि x-6 केवल दूसरा उच्चतम घात वाला पद है। परीक्षा टिप: पहले सबसे बड़ी घात पहचानें और उसके गुणांक के शून्य न होने की जाँच करें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among terms with non-zero coefficients. Since n>6, the exponent in 5x^n is greater than 6, so it is the highest exponent. Hence, the degree of the polynomial is n. Given that the degree is 11, n=11. Option 6 is incorrect because x-6 is only the term with the next lower exponent. Exam tip: identify the highest exponent first and check that its coefficient is non-zero.
A. (a) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है/(a) can be any real number
Explanation
Simple Explanation
\(x^6\) का गुणांक (1) है जो शून्य नहीं है। इसलिए (a) का मान डिग्री (6) को नहीं बदलता। / The coefficient of \(x^6\) is (1), which is non-zero. So the value of (a) does not change degree (6).
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (37) बचता है। यह डिग्री (0) का अशून्य नियतांक बहुपद है। / Terms with zero coefficients disappear and (37) remains. It is a non-zero constant polynomial of degree (0).
\(3x^4-2x+1\) में सबसे अधिक घात \(4\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(4\) है। इसमें \(x^3\) पद नहीं है, अतः \(x^3\) का गुणांक \(0\) होता है। विकल्प B में \(x^3\) का गुणांक \(1\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अनुपस्थित घात वाले पद का गुणांक हमेशा \(0\) मानें। / In \(3x^4-2x+1\), the highest power of \(x\) is \(4\), so its degree is \(4\). Since there is no \(x^3\) term, the coefficient of \(x^3\) is \(0\). In option B, the coefficient of \(x^3\) is \(1\), so it is not correct. Exam tip: The coefficient of any missing power of a variable is always \(0\).
दिए गए व्यंजक को फैलाने पर: \(x^5(2x^2-3)+4x^4=2x^7-3x^5+4x^4\)। बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ सबसे बड़ी घात \(7\) है, इसलिए डिग्री \(7\) है। \(5\) केवल \(x^5\) वाले पद की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: पहले कोष्ठक का गुणन पूरा करें, फिर सबसे बड़ी घात पहचानें। / Expanding the expression gives \(x^5(2x^2-3)+4x^4=2x^7-3x^5+4x^4\). The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Here, the greatest exponent is \(7\), so the degree is \(7\). Option \(5\) is only the exponent in one term, not the degree of the whole polynomial. Exam tip: Expand the brackets first, then identify the highest power.
(s=2) पर \(x^6\) का गुणांक (0) और \(x^3\) का गुणांक (7) है। इसलिए डिग्री (3) है। / At (s=2), the coefficient of \(x^6\) is (0) and the coefficient of \(x^3\) is (7). Therefore the degree is (3).
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद की सबसे बड़ी कुल घात होती है। पद 3x-4y की कुल घात 4+1=5 है, 5xy-6 की कुल घात 1+6=7 है और अचर पद 2 की घात 0 है। इसलिए सबसे बड़ी कुल घात 7 है। विकल्प 5 केवल पहले पद की घात है, पूरे बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में चरों की घातों को जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest total degree among its terms. For 3x-4y, the total degree is 4+1=5; for 5xy-6, it is 1+6=7; and the constant term 2 has degree 0. Hence, the greatest total degree is 7. Option 5 is only the degree of the first term, not of the whole polynomial. Exam tip: Add the exponents of all variables in each term and select the largest sum.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(7x^6+5\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(6\) है, इसलिए इसकी डिग्री 6 है, 7 नहीं। इसके विपरीत \(x^7+2\) में \(x^7\) पद होने के कारण डिग्री 7 है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को सरल रूप में लिखकर चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. In \(7x^6+5\), the highest power of \(x\) is 6, so its degree is 6, not 7. In contrast, \(x^7+2\) has the term \(x^7\), so its degree is 7. Exam tip: Simplify the polynomial first, then identify the highest exponent of the variable.
चूँकि \(v\neq5\), इसलिए \(v-5\neq0\)। अतः \(x^8\) का गुणांक शून्य नहीं है और बहुपद का उच्चतम घात वाला पद \((v-5)x^8\) है। इसलिए बहुपद की डिग्री \(8\) है। \(x^4\) की घात केवल \(4\) है, इसलिए वह डिग्री निर्धारित नहीं करता। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में उच्चतम घात के पद का गुणांक शून्य है या नहीं, यह पहले जाँचें। / Since \(v\neq5\), \(v-5\neq0\). Hence, the coefficient of \(x^8\) is non-zero, so \((v-5)x^8\) is the highest-degree term of the polynomial. Therefore, its degree is \(8\). The term \(x^4\) has degree \(4\), so it cannot determine the degree here. Exam tip: In a polynomial containing a parameter, first check whether the coefficient of the highest-power term becomes zero.
B. बहुपद की डिग्री पदों के क्रम से नहीं, चर के सबसे बड़े घात से निर्धारित होती है।/The degree of a polynomial is determined by the greatest exponent of the variable, not by the order of its terms.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री चर के उस सबसे बड़े घात से निर्धारित होती है जिसका गुणांक शून्य न हो; पद किस क्रम में लिखे हैं, इससे डिग्री नहीं बदलती। दिए गए बहुपद में पद \(-3x^4\) है, जिसमें \(x\) का घात 4 है, अतः बहुपद की डिग्री 4 है। \(x^2\) अंतिम पद होने पर भी उसकी डिग्री निर्धारित नहीं करता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले सबसे बड़े घात वाला पद पहचानें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient; it does not depend on the order in which terms are written. The term \(-3x^4\) has exponent 4, so the polynomial has degree 4. Although \(x^2\) is the last term, it does not determine the degree. Exam tip: identify the term with the highest power before stating the degree.
(c=0) पर \(x^{10}\) पद हट जाता है और \(x^6\) का गुणांक (4) रहता है। इसलिए डिग्री (6) है। / When (c=0), the \(x^{10}\) term disappears and the coefficient of \(x^6\) remains (4). Therefore the degree is (6).
\(4x^3-5x+2\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है तथा \(x\) की सभी घातें ऋणेतर पूर्णांक हैं। इसलिए यह \(x\) में तृतीय घात का बहुपद है। विकल्प B में \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) है, इसलिए वह बहुपद नहीं है। विकल्प C एक बहुपद है, लेकिन उसकी घात 4 है; विकल्प D में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) है। परीक्षा टिप: पहले जाँचें कि घातें ऋणेतर पूर्णांक हैं, फिर सबसे बड़ी घात ज्ञात करें। / In \(4x^3-5x+2\), the highest power of \(x\) is 3, and all powers of \(x\) are non-negative integers. Hence, it is a polynomial of degree three. Option B has \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\), so it is not a polynomial. Option C is a polynomial but has degree 4, while option D contains \(\sqrt{x}=x^{1/2}\). Exam tip: first verify that every exponent is a non-negative integer, then find the highest exponent.
