Level 61 • 50/50 questions • 25 seconds per question.
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If \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) and \(S_n=7503\), what is the value of (n)?
C. (122)
\(\frac{122\cdot123}{2}=7503\), इसलिए \(n=122\)। बड़े योग में विकल्पों को सूत्र में जांचें। / \(\frac{122\cdot123}{2}=7503\), so \(n=122\). For a large sum, check options in the formula.
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A. \(n\) विषम हो\(n\) is odd
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) है। इसे \(n\) से भाग देने पर \(\frac{n+1}{2}\) मिलता है, जो केवल \(n\) के विषम होने पर पूर्णांक है। अभाज्य होना पर्याप्त नहीं, क्योंकि 2 सम है। परीक्षा टिप: विभाज्यता में पहले सामान्य गुणनखंड काटें। / The sum is \(\frac{n(n+1)}{2}\). On dividing by \(n\), we get \(\frac{n+1}{2}\), which is an integer only when \(n\) is odd. Being prime is not sufficient because 2 is even. Exam tip: cancel common factors first in divisibility questions.
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If \(S_n-S_{n-6}=813\), what will be the value of (n)?
D. 138
पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। इसलिए \(S_n-S_{n-6}\), अंतिम 6 संख्याओं \((n-5),(n-4),\ldots,n\) का योग है। अतः \(S_n-S_{n-6}=6n-15\)। दिए गए मान से \(6n-15=813\), इसलिए \(6n=828\) और \(n=138\)। इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प 137 रखने पर योग \(807\) आएगा, 813 नहीं। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-k}\) को अंतिम \(k\) पदों का योग मानकर प्रश्न जल्दी हल करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_n-S_{n-6}\) is the sum of the last six numbers: \((n-5),(n-4),\ldots,n\). Hence, \(S_n-S_{n-6}=6n-15\). Using the given condition, \(6n-15=813\), so \(6n=828\) and \(n=138\). Therefore, option D is correct. If \(n=137\), the difference is \(807\), not 813. Exam tip: Interpret \(S_n-S_{n-k}\) as the sum of the last \(k\) terms to solve quickly.
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If \(S_{n+4}-S_{n-1}=485\), what is the value of (n)?
A. 95
यहाँ \(S_k\) प्रथम \(k\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। इसलिए \(S_{n+4}-S_{n-1}\) में \(1\) से \(n-1\) तक के पद कट जाते हैं और शेष \(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10\) रहता है। अतः \(5n+10=485\), जिससे \(5n=475\) और \(n=95\) प्राप्त होता है। \(96\) लेने पर योगांतर \(490\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: लगातार पाँच पदों का योग \(5\times\) मध्य पद, अर्थात \(5(n+2)\), होता है। / Here, \(S_k\) denotes the sum of the first \(k\) natural numbers. In \(S_{n+4}-S_{n-1}\), the terms from \(1\) to \(n-1\) cancel, leaving \(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10\). Thus, \(5n+10=485\), so \(5n=475\) and \(n=95\). If \(n=96\), the difference would be \(490\), not \(485\). Exam tip: the sum of five consecutive terms equals \(5\) times their middle term, i.e. \(5(n+2)\).
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Under which condition is the sum of the first n natural numbers a multiple of n?
A. जब n विषम होWhen n is odd
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) है। n से भाग देने पर \(\frac{n+1}{2}\) मिलता है, जो केवल n के विषम होने पर पूर्णांक है। परीक्षा टिप: गुणज जाँचने के लिए योग को n से भाग दें। / The sum is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Dividing by n gives \(\frac{n+1}{2}\), which is an integer only when n is odd. Even n leaves a half-integer. Exam tip: test divisibility by cancelling n first.
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If \(S_n=2701\), what will be the value of \(S_{n+7}-S_n\)?
D. 539
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(\frac{n(n+1)}{2}=2701\) से \(n=73\) मिलता है, क्योंकि \(S_{73}=\frac{73\times74}{2}=2701\)। अतः \(S_{n+7}-S_n=S_{80}-S_{73}=74+75+\cdots+80\)। यह 7 क्रमागत संख्याओं का योग है: \(\frac{7(74+80)}{2}=539\)। इसलिए सही उत्तर 539 है। 535 जैसा विकल्प औसत या पदों की संख्या गलत लेने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: \(S_{n+k}-S_n\) का अर्थ \(n+1\) से \(n+k\) तक के पदों का योग है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(\frac{n(n+1)}{2}=2701\) gives \(n=73\), since \(S_{73}=\frac{73\times74}{2}=2701\). Therefore, \(S_{n+7}-S_n=S_{80}-S_{73}=74+75+\cdots+80\). This is the sum of 7 consecutive numbers: \(\frac{7(74+80)}{2}=539\). Hence, 539 is correct. A value such as 535 can result from using an incorrect average or number of terms. Exam tip: \(S_{n+k}-S_n\) represents the sum of terms from \(n+1\) to \(n+k\).
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What is the ratio of the sums of the first (84) and first (56) natural numbers?
A. \(85:38\)
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{84}=\frac{84\times85}{2}=3570\) और \(S_{56}=\frac{56\times57}{2}=1596\)। इसलिए \(3570:1596=85:38\), जो सबसे सरल रूप है। \(84:56=3:2\) केवल संख्याओं की गिनती का अनुपात है, उनके योगों का नहीं। परीक्षा टिप: योगों का अनुपात निकालते समय दोनों जगह \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{84}=\frac{84\times85}{2}=3570\) and \(S_{56}=\frac{56\times57}{2}=1596\). Therefore, \(3570:1596=85:38\), in simplest form. \(84:56=3:2\) is only the ratio of the number of terms, not the ratio of their sums. Exam tip: For ratios of such sums, apply \(\frac{n(n+1)}{2}\) to both values of \(n\).
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If \(S_n+S_{n-1}=5625\) and \(S_n-S_{n-1}=75\), what is the value of \(S_n\)?
B. (2850)
दोनों समीकरण जोड़ने पर \(2S_n=5700\), इसलिए \(S_n=2850\)। समीकरणों को जोड़ना तेज तरीका है। / Adding the two equations gives \(2S_n=5700\), so \(S_n=2850\). Adding equations is a quick method.
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How much is the sum of natural numbers from (101) to (160)?
C. 7830
101 से 160 तक के योग के लिए पहले 1 से 160 तक के योग में से 1 से 100 तक का योग घटाएँ। अतः \(S_{160}-S_{100}=\frac{160\times161}{2}-\frac{100\times101}{2}=12880-5050=7830\)। इसलिए सही उत्तर 7830 है। 7780 जैसे विकल्प सामान्यतः घटाव या गुणा में छोटी गणना-त्रुटि से मिलते हैं। परीक्षा टिप: किसी भी लगातार प्राकृतिक संख्याओं के अंतराल का योग निकालने में \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) का उपयोग करें। / To find the sum from 101 to 160, subtract the sum from 1 to 100 from the sum from 1 to 160. Thus, \(S_{160}-S_{100}=\frac{160\times161}{2}-\frac{100\times101}{2}=12880-5050=7830\). Hence, 7830 is the correct answer. An option such as 7780 can result from a small subtraction or multiplication error. Exam tip: for a range of consecutive natural numbers, use \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\).
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If \(S_n=16290\), what is the value of \(S_{n-8}\)?
D. (14878)
\(16290=S_{180}\), इसलिए \(S_{172}=\frac{172\cdot173}{2}=14878\)। पहले (n) पहचानें फिर (8) कम करें। / \(16290=S_{180}\), so \(S_{172}=\frac{172\cdot173}{2}=14878\). Identify (n) first and then reduce it by (8).
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If \(S_{n+2}-S_{n-3}=625\), what is the value of (n)?
A. 125
यहाँ \(S_{n+2}-S_{n-3}\) में \((n-3)\) तक के पद कट जाते हैं। अतः शेष पाँच पद हैं: \((n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=5n\)। इसलिए \(5n=625\), जिससे \(n=125\) प्राप्त होता है। \(126\) लेने पर योग का अंतर \(630\) होता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में दोनों सूचकांकों के बीच आने वाले पदों को लिखकर जोड़ें। / In \(S_{n+2}-S_{n-3}\), all terms up to \((n-3)\) cancel. The five remaining terms are \((n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=5n\). Hence, \(5n=625\), giving \(n=125\). If \(n=126\), the difference would be \(630\), so it is not correct. Exam tip: In differences of partial sums, write and add the uncancelled terms between the two indices.
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What is (30%) of the sum of the first (200) natural numbers?
C. (6030)
\(S_{200}=20100\) और \(30%=\frac{3}{10}\), इसलिए मान (6030) है। प्रतिशत को भिन्न में बदलें। / \(S_{200}=20100\) and \(30%=\frac{3}{10}\), so the value is (6030). Convert the percentage into a fraction.
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A. \(S_n-S_{n-1}=n\)
\(S_n\) में \(n\) तक के पद हैं, जबकि \(S_{n-1}\) में अंतिम पद \(n-1\) है। घटाने पर केवल \(n\) बचता है, इसलिए A सही है। B में पिछला पद लिया गया है। परीक्षा-टिप: क्रमागत योगों का अंतर नया जोड़ा गया पद होता है। / \(S_n\) has the extra final term \(n\) beyond \(S_{n-1}\), so their difference is \(n\). Thus A is correct; B gives the previous term. Exam tip: consecutive sums differ by the newly added term.
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If \(S_n-S_{90}=5775\), what will be the value of (n)?
D. 140
पहले 90 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\) है। अतः \(S_n=5775+4095=9870\)। अब \(\frac{n(n+1)}{2}=9870\) से \(n(n+1)=19740=140\times141\), इसलिए \(n=140\)। उदाहरण के लिए, \(n=135\) लेने पर योग \(\frac{135\times136}{2}=9180\) होगा, जो आवश्यक \(9870\) नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए \(S_k\) को जोड़कर \(S_n\) ज्ञात करें। / The sum of the first 90 natural numbers is \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\). Hence, \(S_n=5775+4095=9870\). Using \(\frac{n(n+1)}{2}=9870\), we get \(n(n+1)=19740=140\times141\); therefore, \(n=140\). For instance, if \(n=135\), the sum is \(\frac{135\times136}{2}=9180\), not the required \(9870\). Exam tip: In such questions, first add the known \(S_k\) to find \(S_n\).
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What is the sum of natural numbers from (151) to (210)?
B. 10830
151 से 210 तक कुल पदों की संख्या \(210-151+1=60\) है। प्रथम और अंतिम पद का औसत \(\frac{151+210}{2}=180.5\) होगा। अतः योग \(60\times180.5=10830\) है। 10730 जैसे विकल्प में पदों की संख्या या औसत की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: किसी क्रमागत श्रेणी में दोनों सिरों को शामिल करने के लिए पदों की संख्या में \(+1\) अवश्य जोड़ें। / There are \(210-151+1=60\) terms from 151 to 210. Their average is \(\frac{151+210}{2}=180.5\). Hence, the sum is \(60\times180.5=10830\). An option such as 10730 can result from an error in counting the terms or finding the average. Exam tip: when both endpoints are included, always add \(+1\) while counting the terms.
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If \(S_{2n}=4095\), what is the value of (n)?
C. 45
प्रथम प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र है \(S_r=\frac{r(r+1)}{2}\)। यहाँ \(S_{2n}=4095\), अतः \(\frac{2n(2n+1)}{2}=4095\)। चूँकि \(4095=\frac{90\times91}{2}=S_{90}\), इसलिए \(2n=90\) और \(n=45\)। विकल्प 46 लेने पर \(2n=92\) होगा, जिसका योग 4095 नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए योग को \(S_r\) के रूप में पहचानकर उसका सूचकांक ज्ञात करें। / The sum of the first \(r\) natural numbers is \(S_r=\frac{r(r+1)}{2}\). Given \(S_{2n}=4095\), we have \(\frac{2n(2n+1)}{2}=4095\). Since \(4095=\frac{90\times91}{2}=S_{90}\), \(2n=90\), so \(n=45\). If \(n=46\), then the index would be 92, whose sum is not 4095. Exam tip: first identify the index corresponding to the given sum \(S_r\).
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If \(S_n-S_{n-4}=454\), what is the value of (n)?
D. 115
यहाँ \(S_n-S_{n-4}\) का अर्थ \((n-3)\) से \(n\) तक की अंतिम चार प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः \((n-3)+(n-2)+(n-1)+n=4n-6\)। इसलिए \(4n-6=454\), जिससे \(4n=460\) और \(n=115\) प्राप्त होता है। \(n=114\) रखने पर योग \(450\) आता है, इसलिए वह निकटतम विकल्प होते हुए भी सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-k}\) में अंतिम \(k\) पदों का योग लें। / Here, \(S_n-S_{n-4}\) represents the sum of the last four natural numbers from \((n-3)\) to \(n\). Thus, \((n-3)+(n-2)+(n-1)+n=4n-6\). Hence, \(4n-6=454\), so \(4n=460\) and \(n=115\). If \(n=114\), the sum is \(450\), so it is the closest option but not correct. Exam tip: In \(S_n-S_{n-k}\), add the last \(k\) terms.
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What is the difference between the sums of the first (225) and first (175) natural numbers?
A. 10025
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{225}=\frac{225\times226}{2}=25425\) और \(S_{175}=\frac{175\times176}{2}=15400\)। इसलिए अंतर \(25425-15400=10025\) है। यह वास्तव में 176 से 225 तक की संख्याओं का योग है। परीक्षा टिप: दो क्रमिक योगों का अंतर लेने पर बीच की बची हुई संख्याओं का योग सीधे निकाला जा सकता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{225}=\frac{225\times226}{2}=25425\) and \(S_{175}=\frac{175\times176}{2}=15400\). Therefore, the difference is \(25425-15400=10025\). It is also the sum of the integers from 176 to 225. Exam tip: the difference of two such sums equals the sum of the remaining consecutive terms.
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What is the ratio of the sums of the first (150) and first (100) natural numbers?
B. \(453:202\)
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{150}=\frac{150\times151}{2}=11325\) और \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\)। इसलिए \(S_{150}:S_{100}=11325:5050=453:202\)। \(3:2\) केवल 150 और 100 का अनुपात है; योगों के अनुपात में \(151\) और \(101\) भी शामिल होंगे। परीक्षा टिप: योगों के अनुपात में पहले \(\frac{n(n+1)}{2}\) का सूत्र लगाएँ, फिर समान गुणनखंड काटें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{150}=\frac{150\times151}{2}=11325\) and \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\). Hence, \(S_{150}:S_{100}=11325:5050=453:202\). \(3:2\) is only the ratio of 150 and 100; the factors \(151\) and \(101\) must also be included for the sums. Exam tip: In ratios of such sums, apply \(\frac{n(n+1)}{2}\) first and then cancel common factors.
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If \(S_n=15400\), what will be the value of \(S_n-S_{n-10}\)?
C. (1705)
\(15400=S_{175}\), इसलिए अंतिम दस पदों का योग \(166+167+\cdots+175=1705\) है। अंतिम पदों को सीधे जोड़ें। / \(15400=S_{175}\), so the sum of the last ten terms is \(166+167+\cdots+175=1705\). Add the last terms directly.
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If \(S_{n+1}-S_{n-4}=695\), what will be the value of (n)?
D. 140
यहाँ \(S_r\) प्रथम \(r\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः \(S_{n+1}-S_{n-4}\) में \(1\) से \(n-4\) तक के पद कट जाते हैं और शेष पद \((n-3),(n-2),(n-1),n,(n+1)\) बचते हैं। इनका योग \(5n-5\) है। इसलिए \(5n-5=695\Rightarrow 5n=700\Rightarrow n=140\)। विकल्प 139 लेने पर योग \(690\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: दो आंशिक योगों का अंतर लिखते समय कटने वाले पदों के बाद बचे हुए पदों की संख्या अवश्य जाँचें। / Here, \(S_r\) denotes the sum of the first \(r\) natural numbers. In \(S_{n+1}-S_{n-4}\), the terms from \(1\) to \(n-4\) cancel, leaving \((n-3),(n-2),(n-1),n,(n+1)\). Their sum is \(5n-5\). Hence, \(5n-5=695\Rightarrow 5n=700\Rightarrow n=140\). If \(n=139\), the sum would be \(690\), so it is not correct. Exam tip: When subtracting partial sums, first list the uncancelled terms and count them carefully.
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What is the sum of natural numbers from (75) to (125)?
A. 5100
75 से 125 तक कुल पदों की संख्या \(125-75+1=51\) है। इनका औसत \(\frac{75+125}{2}=100\) होगा। अतः योग \(51\times100=5100\) है। 5150 जैसा विकल्प पदों की संख्या या औसत की गणना में गलती करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: किसी बंद अंतराल में पदों की संख्या निकालते समय \(+1\) अवश्य जोड़ें। / There are \(125-75+1=51\) terms from 75 to 125. Their average is \(\frac{75+125}{2}=100\). Therefore, the sum is \(51\times100=5100\). A value such as 5150 can result from an error in counting the terms or finding the average. Exam tip: Always add \(+1\) when counting terms in an inclusive range.
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What is the value of \(S_{120}-S_{80}+S_{40}\)?
B. 4840
पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। इसलिए \(S_{120}=\frac{120\times121}{2}=7260\), \(S_{80}=3240\) तथा \(S_{40}=820\)। अतः \(S_{120}-S_{80}+S_{40}=7260-3240+820=4840\)। विकल्प 4740 में अंतिम \(S_{40}\) को जोड़ने या घटाने में गलती होने की संभावना है। परीक्षा में प्रत्येक \(S_n\) का मान अलग निकालकर ही प्रतिस्थापित करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{120}=\frac{120\times121}{2}=7260\), \(S_{80}=3240\), and \(S_{40}=820\). Therefore, \(S_{120}-S_{80}+S_{40}=7260-3240+820=4840\). The option 4740 can result from an error while adding or subtracting the final \(S_{40}\). In exams, calculate each \(S_n\) separately before substituting.
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If \(S_n=10440\), what is the value of (n)?
C. (144)
\(\frac{144\cdot145}{2}=10440\), इसलिए (n=144)। सूत्र में विकल्प रखकर उत्तर जांचें। / \(\frac{144\cdot145}{2}=10440\), so (n=144). Check the answer by substituting options in the formula.
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If \(S_n-S_{n-2}=257\), what is the value of \(S_n\)?
D. 8385
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। इसलिए \(S_n-S_{n-2}\) में केवल अंतिम दो पद \((n-1)\) और \(n\) बचते हैं: \(S_n-S_{n-2}=(n-1)+n=2n-1\)। अतः \(2n-1=257\), जिससे \(n=129\) प्राप्त होता है। इसलिए \(S_{129}=\frac{129\times130}{2}=8385\)। विकल्प 8256, \(S_{128}\) का मान है, इसलिए वह निकट होने पर भी सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-2}\) लिखते ही अंतिम दो पदों का योग लें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. In \(S_n-S_{n-2}\), only the last two terms, \((n-1)\) and \(n\), remain: \(S_n-S_{n-2}=(n-1)+n=2n-1\). Thus, \(2n-1=257\), giving \(n=129\). Hence, \(S_{129}=\frac{129\times130}{2}=8385\). Option 8256 is \(S_{128}\), so it is close but not correct. Exam tip: For \(S_n-S_{n-2}\), directly add the last two terms.
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Find the sum of natural numbers from (181) to (240).
A. (12630)
योग \(S_{240}-S_{180}=28920-16290=12630\) है। बड़े अंतराल में घटाव विधि तेज होती है। / The sum is \(S_{240}-S_{180}=28920-16290=12630\). The subtraction method is quick for large intervals.
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What is the ratio of the sums of the first (128) and first (64) natural numbers?
C. \(258:65\)
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{128}=\frac{128\times129}{2}=8256\) और \(S_{64}=\frac{64\times65}{2}=2080\)। इसलिए \(8256:2080=258:65\), अतः सही उत्तर \(258:65\) है। \(2:1\) लगभग मान है, सरलतम सटीक अनुपात नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे अनुपात में पहले दोनों योगों का सूत्र लिखकर फिर सामान्य गुणनखंड से काटें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{128}=\frac{128\times129}{2}=8256\) and \(S_{64}=\frac{64\times65}{2}=2080\). Therefore, \(8256:2080=258:65\), so the correct answer is \(258:65\). \(2:1\) is only an approximate comparison, not the exact simplest ratio. Exam tip: write the sum formula for both terms first, then cancel common factors in the ratio.
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If \(S_n=8256\), what will be \(S_{n+5}-S_n\)?
B. 655
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=8256\) से \(n=128\) मिलता है। अतः \(S_{n+5}-S_n\) अगली पाँच संख्याओं \(129,130,131,132,133\) का योग है, जो \(655\) है। \(645\) जैसा विकल्प केवल गलत प्रारम्भिक पद लेने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) ज्ञात करें, फिर योग में शामिल होने वाले अगले पद लिखें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=8256\), we get \(n=128\). Therefore, \(S_{n+5}-S_n\) is the sum of the next five numbers: \(129+130+131+132+133=655\). A value such as 645 results from choosing an incorrect starting term. Exam tip: first find \(n\), then list the terms added beyond \(S_n\).
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If \(S_n+S_{n-1}=12544\) and \(S_n-S_{n-1}=112\), what is the value of \(S_n\)?
C. (6328)
दोनों समीकरण जोड़ने पर \(2S_n=12656\), इसलिए \(S_n=6328\)। समीकरणों को जोड़ना सबसे तेज है। / Adding the two equations gives \(2S_n=12656\), so \(S_n=6328\). Adding the equations is the fastest way.
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If \(S_n=1830\), what will be the value of \(S_{3n}\)?
D. \(16290\)
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=1830\) से \(n=60\) मिलता है। इसलिए \(3n=180\) और \(S_{3n}=S_{180}=\frac{180\times181}{2}=16290\)। \(12880\) जैसी निकट की त्रुटि प्रायः \(3n\) का मान या योग का सूत्र गलत लगाने से होती है। परीक्षा में पहले \(S_n\) से \(n\) ज्ञात करें, फिर \(3n\) रखकर योग निकालें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n+1)}{2}=1830\) gives \(n=60\). Therefore, \(3n=180\), and \(S_{3n}=S_{180}=\frac{180\times181}{2}=16290\). A nearby value such as \(12880\) can result from finding \(3n\) incorrectly or applying the sum formula wrongly. Exam tip: first determine \(n\) from \(S_n\), then substitute \(3n\) in the sum formula.
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If \(S_{n+3}-S_{n-2}=760\), what is the value of (n)?
A. 151
यहाँ \(S_k\) प्रथम \(k\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। इसलिए \(S_{n+3}-S_{n-2}\) में \(1\) से \(n-2\) तक के पद कट जाते हैं और शेष \((n-1)+n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=5n+5\) बचता है। अतः \(5n+5=760\), जिससे \(5n=755\) और \(n=151\) मिलता है। \(152\) लेने पर योगांतर \(765\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: दो आंशिक योगों का अंतर निकालते समय केवल बीच के शेष पद लिखें। / Here, \(S_k\) denotes the sum of the first \(k\) natural numbers. In \(S_{n+3}-S_{n-2}\), the terms from \(1\) to \(n-2\) cancel, leaving \((n-1)+n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=5n+5\). Thus, \(5n+5=760\), so \(5n=755\) and \(n=151\). If \(n=152\), the difference would be \(765\), so it is not correct. Exam tip: when subtracting two partial sums, write only the uncancelled consecutive terms.
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What is the sum of natural numbers from (90) to (150)?
B. 7320
90 से 150 तक कुल पदों की संख्या \(150-90+1=61\) है। इस समांतर श्रेणी का योग \(\frac{61}{2}(90+150)=\frac{61}{2}\times240=7320\) होगा। इसलिए विकल्प B सही है। केवल \(150-90=60\) लेने पर एक पद कम गिना जाएगा। परीक्षा में दोनों सिरों के पद शामिल हों, तो पदों की संख्या में \(+1\) अवश्य लगाएँ। / There are \(150-90+1=61\) terms from 90 to 150. Using the sum of an arithmetic progression, \(\frac{61}{2}(90+150)=\frac{61}{2}\times240=7320\). Hence, option B is correct. Taking only \(150-90=60\) would miss one endpoint. Exam tip: add \(+1\) when both endpoints are included in the range.
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What is (40%) of the sum of the first (175) natural numbers?
C. (6160)
\(S_{175}=15400\) और \(40%=\frac{2}{5}\), इसलिए मान (6160) है। प्रतिशत को भिन्न में बदलें। / \(S_{175}=15400\) and \(40%=\frac{2}{5}\), so the value is (6160). Convert the percentage into a fraction.
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A. \(S_n-S_{n-1}=n\)
\(S_n\) में 1 से n तक का योग है, जबकि \(S_{n-1}\) में 1 से \(n-1\) तक का योग है। घटाने पर केवल n बचता है: \([n(n+1)-n(n-1)]/2=n\)। परीक्षा में क्रमागत योगों का अंतर अंतिम पद देता है। / \(S_n\) includes 1 through n, whereas \(S_{n-1}\) includes only 1 through \(n-1\). Their difference leaves n: \([n(n+1)-n(n-1)]/2=n\). Exam tip: the difference of consecutive partial sums gives the newly added term.
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If \(S_n-S_{n-7}=1330\), what will be the value of (n)?
A. 193
यहाँ \(S_n-S_{n-7}\) का अर्थ पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं के योग में से पहले \(n-7\) प्राकृतिक संख्याओं का योग घटाना है। अतः शेष अंतिम 7 संख्याएँ \(n-6,n-5,\ldots,n\) होंगी, जिनका योग \(7n-21\) है। इसलिए \(7n-21=1330\), जिससे \(7n=1351\) और \(n=193\) मिलता है। \(194\) लेने पर योग \(1337\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-r}\) हमेशा अंतिम \(r\) पदों का योग दर्शाता है। / \(S_n-S_{n-7}\) means that the sum of the first \(n-7\) natural numbers is subtracted from the sum of the first \(n\) natural numbers. The remaining seven terms are \(n-6,n-5,\ldots,n\), whose sum is \(7n-21\). Thus, \(7n-21=1330\), so \(7n=1351\) and \(n=193\). If \(n=194\), the sum would be \(1337\), so it is not correct. Exam tip: \(S_n-S_{n-r}\) always represents the sum of the last \(r\) terms.
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How much is the sum of natural numbers from (211) to (260)?
B. 11775
211 से 260 तक कुल 50 संख्याएँ हैं। समान्तर श्रेणी का योग a सूत्र \(S=\frac{n}{2}(पहला\ पद+अंतिम\ पद)\) लगाने पर \(S=\frac{50}{2}(211+260)=25\times471=11775\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। 11675 जैसी निकट राशि प्रायः पदों की संख्या गलत गिनने पर मिल सकती है। परीक्षा टिप: दोनों सिरों सहित पदों की संख्या हमेशा \(अंतिम-प्रथम+1\) लें। / There are 50 terms from 211 to 260, inclusive. Using the arithmetic progression sum formula, \(S=\frac{n}{2}(\text{first term}+\text{last term})\), we get \(S=\frac{50}{2}(211+260)=25\times471=11775\). Hence, option B is correct. A nearby value such as 11675 may result from counting the number of terms incorrectly. Exam tip: when both endpoints are included, use \(\text{last}-\text{first}+1\) for the number of terms.
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What is the ratio of the sums of the first (100) and first (50) natural numbers?
C. \(202:51\)
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\) और \(S_{50}=\frac{50\times51}{2}=1275\)। इसलिए \(S_{100}:S_{50}=5050:1275=202:51\)। \(2:1\) निकट लग सकता है, पर यह सही नहीं है क्योंकि योगों में \(n+1\) वाला गुणक भी शामिल होता है। परीक्षा टिप: ऐसे अनुपात में पहले सूत्र लगाकर समान गुणकों को काटें, फिर अनुपात को सरल करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\) and \(S_{50}=\frac{50\times51}{2}=1275\). Hence, \(S_{100}:S_{50}=5050:1275=202:51\). \(2:1\) may seem close, but it is not correct because the sums also include the \(n+1\) factor. Exam tip: apply the sum formula, cancel common factors, and then reduce the ratio.
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If \(S_n=11175\), what will be \(S_n-S_{n-4}\)?
D. 590
पहले \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) में \(S_n=11175\) रखने पर \(n=149\) मिलता है। अतः \(S_n-S_{n-4}=S_{149}-S_{145}\), यानी 146वें से 149वें तक के प्राकृतिक संख्याओं का योग: \(146+147+148+149=590\)। इसलिए सही उत्तर 590 है। 580 केवल अंतिम चार पदों में से एक पद को गलत लेने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-k}\) हमेशा अंतिम \(k\) पदों का योग दर्शाता है। / Using \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) and \(S_n=11175\), we get \(n=149\). Hence, \(S_n-S_{n-4}=S_{149}-S_{145}\), which is the sum of the natural numbers from 146 to 149: \(146+147+148+149=590\). Therefore, 590 is correct. A value such as 580 can result from taking one of the last four terms incorrectly. Exam tip: \(S_n-S_{n-k}\) always represents the sum of the last \(k\) terms.
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If (n=50), what is the value of \(S_{2n}-S_n\)?
A. 3775
पहले n=50 रखने पर 2n=100 होगा। पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) है। अतः \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\) और \(S_{50}=\frac{50\times51}{2}=1275\)। इसलिए \(S_{2n}-S_n=5050-1275=3775\)। 3875 जैसे विकल्प में घटाव या योग के सूत्र में गणना की त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: पहले उपसूचक 2n का मान निकालें, फिर दोनों योग अलग-अलग ज्ञात करें। / Substituting n=50 gives 2n=100. The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\) and \(S_{50}=\frac{50\times51}{2}=1275\). Therefore, \(S_{2n}-S_n=5050-1275=3775\). An option such as 3875 results from an error in subtraction or in applying the sum formula. Exam tip: evaluate the index 2n first, then find the two sums separately.
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Find the sum of natural numbers from (301) to (350).
B. (16275)
योग \(S_{350}-S_{300}=61425-45150=16275\) है। (301) से शुरू हो तो (300) तक का योग घटाएं। / The sum is \(S_{350}-S_{300}=61425-45150=16275\). If it starts from (301), subtract the sum up to (300).
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If \(S_n-S_{n-2}=199\), what will be the value of \(S_n\)?
C. 5050
पहले n प्राकृतिक संख्याओं के योग को \(S_n\) मानें। तब \(S_n-S_{n-2}\) में केवल अंतिम दो पद \((n-1)\) और \(n\) बचते हैं। अतः \(2n-1=199\), जिससे \(n=100\) प्राप्त होता है। इसलिए \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\)। विकल्प 4950, 99 प्राकृतिक संख्याओं का योग है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-2}\) को सीधे अंतिम दो पदों का योग समझें। / Let \(S_n\) be the sum of the first \(n\) natural numbers. In \(S_n-S_{n-2}\), only the last two terms, \((n-1)\) and \(n\), remain. Hence, \(2n-1=199\), giving \(n=100\). Therefore, \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\). Option 4950 is the sum of the first 99 natural numbers, so it is not correct. Exam tip: interpret \(S_n-S_{n-2}\) directly as the sum of the last two terms.
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If \(S_n=13041\), what is the value of (n)?
D. 161
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=13041\), यानी \(n(n+1)=26082\)। क्योंकि \(161\times162=26082\), इसलिए \(n=161\)। \(160\) लेने पर योग \(\frac{160\times161}{2}=12880\) आता है, जो 13041 नहीं है। परीक्षा टिप: योग दिया हो तो पहले उसे 2 से गुणा करके दो क्रमागत संख्याओं का गुणनफल पहचानें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n+1)}{2}=13041\), so \(n(n+1)=26082\). Since \(161\times162=26082\), \(n=161\). For example, \(n=160\) gives \(\frac{160\times161}{2}=12880\), not 13041. Exam tip: when a sum is given, multiply it by 2 and look for a product of consecutive integers.
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If \(S_{n+5}-S_{n-5}=1205\), what will be the value of (n)?
A. 120
यहाँ \(S_{n+5}-S_{n-5}\) का अर्थ \((n-4)\) से \((n+5)\) तक के 10 क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः \(S_{n+5}-S_{n-5}=10n+5\)। इसलिए \(10n+5=1205\), जिससे \(10n=1200\) और \(n=120\) प्राप्त होता है। विकल्प 121 लेने पर योग \(1215\) होता, जो दिया गया मान नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में दोनों सूचकांकों के बीच आने वाले पदों को लिखकर पदों की संख्या जाँचें। / Here, \(S_{n+5}-S_{n-5}\) represents the sum of 10 consecutive natural numbers from \((n-4)\) to \((n+5)\). Therefore, \(S_{n+5}-S_{n-5}=10n+5\). So, \(10n+5=1205\), which gives \(10n=1200\) and hence \(n=120\). If \(n=121\), the sum would be \(1215\), not the given value. Exam tip: In such differences, list the first and last remaining terms to verify the number of terms.
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What is the difference between the sums of the first (180) and first (120) natural numbers?
B. 9030
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{180}=\frac{180\times181}{2}=16290\) और \(S_{120}=\frac{120\times121}{2}=7260\)। इसलिए अंतर \(16290-7260=9030\) है। यह वास्तव में \(121\) से \(180\) तक की संख्याओं का योग है। परीक्षा टिप: दो क्रमिक योगों का अंतर संबंधित बीच के पदों का योग होता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{180}=\frac{180\times181}{2}=16290\) and \(S_{120}=\frac{120\times121}{2}=7260\). Therefore, the difference is \(16290-7260=9030\). It is also the sum of the integers from \(121\) to \(180\). Exam tip: The difference of two such sums equals the sum of the terms lying between them.
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If \(S_n=2145\), what will be the value of \(S_{2n}-S_n\)?
C. 6370
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=2145\), जिससे \(n=65\) मिलता है, क्योंकि \(\frac{65\times66}{2}=2145\)। इसलिए \(S_{2n}-S_n=S_{130}-S_{65}=\frac{130\times131}{2}-2145=8515-2145=6370\)। विकल्प 6270 जैसी संख्या तब मिल सकती है जब योग के सूत्र या अंतिम घटाव में गणना की त्रुटि हो। परीक्षा टिप: पहले दिए गए \(S_n\) से \(n\) ज्ञात करें, फिर \(S_{2n}\) निकालें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n+1)}{2}=2145\), giving \(n=65\), since \(\frac{65\times66}{2}=2145\). Therefore, \(S_{2n}-S_n=S_{130}-S_{65}=\frac{130\times131}{2}-2145=8515-2145=6370\). A value such as 6270 can result from an error in applying the sum formula or in the final subtraction. Exam tip: first determine \(n\) from the given \(S_n\), and then calculate \(S_{2n}\).
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What is the sum of natural numbers from (401) to (450)?
A. 21275
401 से 450 तक कुल पदों की संख्या 50 है। प्रथम और अंतिम पद का औसत \(\frac{401+450}{2}=425.5\) होगा। अतः योग \(50\times 425.5=21275\) है। 21375 जैसा विकल्प पदों की संख्या या औसत में छोटी गणना-त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: किसी बंद अंतराल में पदों की संख्या \(अंतिम-अन्यतम+1\) लें। / There are 50 terms from 401 to 450. Their average is \(\frac{401+450}{2}=425.5\). Therefore, the sum is \(50\times 425.5=21275\). A value such as 21375 can result from a small error in counting terms or finding the average. Exam tip: for an inclusive interval, the number of terms is \(last-first+1\).
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If \(S_n-S_{n-1}=225\), what will be the value of \(S_{n+1}\)?
B. 25651
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(S_n-S_{n-1}=n\) होता है, क्योंकि \(S_n\) में जो नई संख्या जुड़ती है वह n है। अतः \(n=225\)। इसलिए \(S_{n+1}=S_{226}=\frac{226\times227}{2}=25651\)। विकल्प A, \(S_{225}\) के निकट का मान हो सकता है, पर प्रश्न में अगला योग \(S_{226}\) पूछा गया है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(S_n-S_{n-1}\) को सीधे n पहचानें। / For the sum of the first n natural numbers, \(S_n-S_{n-1}=n\), because the new term added to \(S_{n-1}\) is n. Hence, \(n=225\). Therefore, \(S_{n+1}=S_{226}=\frac{226\times227}{2}=25651\). Option A may seem close to \(S_{225}\), but the question asks for the next sum, \(S_{226}\). Exam tip: In such questions, identify \(S_n-S_{n-1}\) directly as n.
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If \(S_n=31375\), what is the value of \(S_{n-12}\)?
C. (28441)
\(31375=S_{250}\), इसलिए \(S_{238}=\frac{238\cdot239}{2}=28441\)। पहले (n) पहचानकर (12) कम करें। / \(31375=S_{250}\), so \(S_{238}=\frac{238\cdot239}{2}=28441\). Identify (n) first and reduce it by (12).
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A. \(8S_n+1\)
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) रखने पर \(8S_n+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2\) मिलता है, जो सदैव विषम पूर्ण वर्ग है। परीक्षा संकेत: ऐसे प्रश्नों में योग का सूत्र रखकर उसे पूर्ण वर्ग के रूप में पहचानें। / Using \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), we get \(8S_n+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2\), which is always an odd perfect square. Exam tip: substitute the sum formula and look for a perfect-square identity.
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Find the sum of natural numbers from (251) to (300).
B. (13775)
योग \(S_{300}-S_{250}=45150-31375=13775\) है। \(S_b-S_{a-1}\) विधि बड़े अंतराल में तेज रहती है। / The sum is \(S_{300}-S_{250}=45150-31375=13775\). The \(S_b-S_{a-1}\) method is fast for large intervals.
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