Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(a^2\) सम है इसलिए (a) सम है/\(a^2\) is even, so (a) is even
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=2b^2\) से पहले \(a^2\) सम मिलता है। फिर नियम से (a) सम सिद्ध होता है। / From \(a^2=2b^2\), first \(a^2\) is even. Then the rule proves (a) is even.
A. व्यक्ति की स्वतंत्रता और न्यायपूर्ण प्रक्रिया का उल्लंघन/Violation of personal liberty and fair process
Explanation
Simple Explanation
बिना कारण हिरासत मनमानी शक्ति का संकेत है। परीक्षा में गिरफ्तारी के लिए कारण और प्रक्रिया दोनों देखें। / Detention without reason shows arbitrary power. Exam tip: check both reason and procedure for arrest.
C. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) वर्ग को विभाजित करे तो संख्या को भी विभाजित करता है। इसलिए (p) (3) का गुणज है। / If prime (3) divides a square, it divides the number too. So (p) is a multiple of (3).
रिश्तेदारी या पद के आधार पर कानून बदलना कानून के शासन के विरुद्ध है। परीक्षा में समान मामले में समान कानून याद रखें। / Changing law by relation or office is against rule of law. Exam tip: remember same law in similar cases.
दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(b^2=2r^2\) मिलता है। इससे (b) सम सिद्ध होता है। / Dividing both sides by (2) gives \(b^2=2r^2\). This proves (b) is even.
C. मनमाना प्रयोग और अभिव्यक्ति पर चोट/Arbitrary use and harm to expression
Explanation
Simple Explanation
अस्पष्ट कानून मनमानी की गुंजाइश बढ़ाता है। परीक्षा में स्पष्ट नियमों का महत्व याद रखें। / Vague law increases scope for arbitrariness. Exam tip: remember the importance of clear rules.
(p=3k) रखने पर \(9k^2=3q^2\) आता है। इससे \(q^2=3k^2\) और फिर (q) (3) से विभाज्य है। / Putting (p=3k) gives \(9k^2=3q^2\). Hence \(q^2=3k^2\), so (q) is divisible by (3).
D. अल्पसंख्यक अधिकारों और स्वतंत्रता पर बहुमत की मनमानी/Majority arbitrariness over minority rights and freedom
Explanation
Simple Explanation
बहुमत भी अधिकारों और कानून से सीमित होता है। परीक्षा में अल्पसंख्यक अधिकारों की सुरक्षा देखें। / Majority is also limited by rights and law. Exam tip: check protection of minority rights.
C. (a) और (b) दोनों सम हैं/Both (a) and (b) are even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (a) और (b) सहभाज्य माने गए थे। दोनों सम होने से सामान्य गुणनखंड (2) मिल जाता है। / In lowest form, (a) and (b) were assumed coprime. If both are even, common factor (2) appears.
A. न्यायिक उपचार और अधिकार संरक्षण/Judicial remedy and rights protection
Explanation
Simple Explanation
अदालत तक पहुंच अधिकारों की रक्षा का रास्ता देती है। परीक्षा में अधिकार और उपचार को साथ याद रखें। / Access to court provides a route to protect rights. Exam tip: remember rights and remedies together.
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना अंतिम विरोधाभास नहीं है। बाद में (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना पड़ता है। / Only (p) being divisible by (3) is not the final contradiction. Later (q) must also be proved divisible by (3).
B. पारदर्शिता और जवाबदेही/Transparency and accountability
Explanation
Simple Explanation
कारण और अपील निर्णय को जांच योग्य बनाते हैं। परीक्षा में लिखित कारण को जवाबदेही से जोड़ें। / Reasons and appeal make a decision reviewable. Exam tip: connect written reasons with accountability.
A. भिन्न सरलतम रूप में नहीं हो सकती/The fraction cannot be in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने पर भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम रूप की मान्यता को तोड़ता है। / If both are even, the fraction can be reduced by (2). This breaks the lowest form assumption.
C. न्यायिक स्वतंत्रता और कानून का शासन/Judicial independence and rule of law
Explanation
Simple Explanation
स्वतंत्र अदालत सत्ता की मनमानी रोक सकती है। परीक्षा में न्यायालय की स्वतंत्रता को अधिकार सुरक्षा से जोड़ें। / Independent courts can stop arbitrariness of power. Exam tip: connect court independence with rights protection.
D. प्रेस स्वतंत्रता और जवाबदेही/Press freedom and accountability
Explanation
Simple Explanation
स्वतंत्र प्रेस सत्ता की जांच में मदद करती है। परीक्षा में प्रेस को अधिकार और जवाबदेही से जोड़ें। / Free press helps scrutiny of power. Exam tip: connect press with rights and accountability.
D. \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b)/From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग संबंध से सीधे (a=2b) नहीं मिलता। सही निष्कर्ष केवल (a) का सम होना है। / The square relation does not directly give (a=2b). The correct conclusion is only that (a) is even.
A. न्यायपूर्ण सुनवाई और बचाव का अधिकार/Fair hearing and right to defence
Explanation
Simple Explanation
बचाव और प्रमाण की जानकारी न्यायपूर्ण प्रक्रिया का भाग हैं। परीक्षा में आरोपी के अधिकार याद रखें। / Defence and knowledge of evidence are part of fair process. Exam tip: remember rights of the accused.
D. \(p^2=3q^2\) से सीधे (p=3q)/From \(p^2=3q^2\), directly (p=3q)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग संबंध से सीधे (p=3q) नहीं निकलता। पहले (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध किया जाता है। / The square relation does not directly give (p=3q). First (p) is proved divisible by (3).
B. वैध सीमा और मनमानी रोक में अंतर मिट रहा है/Difference between valid restriction and arbitrary ban is being erased
Explanation
Simple Explanation
शांतिपूर्ण असहमति लोकतांत्रिक अधिकार हो सकती है। परीक्षा में सुरक्षा और अधिकार का संतुलन देखें। / Peaceful dissent can be a democratic right. Exam tip: see balance between security and rights.
C. चयनात्मक कानून प्रयोग और अधिकारों पर दबाव/Selective law use and pressure on rights
Explanation
Simple Explanation
राज्य शक्ति का चयनात्मक प्रयोग स्वतंत्रता को दबा सकता है। परीक्षा में अप्रत्यक्ष दमन पहचानें। / Selective use of state power can suppress liberty. Exam tip: identify indirect repression.
A. तब \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होगा, पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/Then \(p^2\) would not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) का गुणनखंड \(p^2\) में तभी होगा जब (p) में हो। समीकरण इस विभाज्यता को अनिवार्य करता है। / Prime factor (3) appears in \(p^2\) only if it appears in (p). The equation forces this divisibility.
D. पूर्वानुमेय कानून और न्यायपूर्ण प्रक्रिया/Predictable law and fair process
Explanation
Simple Explanation
नागरिक को पहले से पता होना चाहिए कि कौन सा कार्य दंडनीय है। परीक्षा में कानून की निश्चितता याद रखें। / Citizens should know beforehand what act is punishable. Exam tip: remember certainty of law.
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) सम \(\rightarrow\) (b) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) even \(\rightarrow\) (b) even \(\rightarrow\) contradiction
Explanation
Simple Explanation
यही मानक विरोधाभास प्रमाण की पूरी श्रृंखला है। हर चरण में पिछले चरण का उपयोग होता है। / This is the full standard chain of proof by contradiction. Each step uses the previous step.
न्याय तक पहुंच प्रभाव या धन पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। परीक्षा में समान पहुंच को कानून के शासन से जोड़ें। / Access to justice should not depend on influence or wealth. Exam tip: connect equal access with rule of law.
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (q) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) divisible by (3) \(\rightarrow\) (q) divisible by (3) \(\rightarrow\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला बनती है। अंत में सहभाज्य मान्यता टूटती है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), a chain of divisibility by (3) is formed. Finally the coprime assumption breaks.
B. धार्मिक स्वतंत्रता और समान कानून प्रयोग का उल्लंघन/Violation of religious freedom and equal law application
Explanation
Simple Explanation
समान परिस्थिति में अलग व्यवहार भेदभाव दिखाता है। परीक्षा में वैध कारण और समान नियम देखें। / Different treatment in similar situations shows discrimination. Exam tip: check valid reason and equal rules.
A. दोनों सम निकलने पर वास्तविक विरोधाभास/A real contradiction when both become even
Explanation
Simple Explanation
यदि सहभाज्य शर्त न हो, तो दोनों सम मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा। सरलतम रूप प्रमाण की रीढ़ है। / Without the coprime condition, both even would not create a contradiction. Lowest form is the backbone of the proof.
C. निजी लाभ के लिए सार्वजनिक नियमों का दुरुपयोग/Misuse of public rules for private benefit
Explanation
Simple Explanation
नियम सार्वजनिक हित के लिए होते हैं न कि निजी लाभ के लिए। परीक्षा में भाई भतीजावाद को पहचानें। / Rules are for public interest, not private gain. Exam tip: identify nepotism.
A. दोनों (3) से विभाज्य निकलने पर विरोधाभास बनता है/A contradiction forms when both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (p) और (q) सहभाज्य होते हैं। दोनों का (3) से विभाज्य होना इसी से टकराता है। / In lowest form, (p) and (q) are coprime. Both being divisible by (3) conflicts with this.
D. संगठन की स्वतंत्रता और न्यायपूर्ण प्रक्रिया/Freedom of association and fair process
Explanation
Simple Explanation
संगठन बंद करने के लिए कारण और सुनवाई जरूरी हैं। परीक्षा में प्रमाण और सुनवाई दोनों देखें। / Banning an organisation needs reasons and hearing. Exam tip: check both evidence and hearing.
(a=2r) से (a) सम है और \(b^2=2r^2\) से (b) सम है। इसलिए दोनों सम हैं। / (a=2r) shows (a) is even and \(b^2=2r^2\) shows (b) is even. Therefore both are even.
A. आपात शक्ति पर कानूनी और न्यायिक नियंत्रण की कमी/Lack of legal and judicial control over emergency power
Explanation
Simple Explanation
संकट में भी मनमानी पर नियंत्रण जरूरी है। परीक्षा में सुरक्षा और अधिकार का संतुलन याद रखें। / Even in crisis checks on arbitrariness are necessary. Exam tip: remember balance between security and rights.
B. दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both are divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
(p=3k) से (p) (3) से विभाज्य है और \(q^2=3k^2\) से (q) भी (3) से विभाज्य है। / (p=3k) shows (p) is divisible by (3), and \(q^2=3k^2\) shows (q) is also divisible by (3).
B. अभिव्यक्ति और अपराध में गलत समानता बनेगी/Wrong equivalence will be made between expression and crime
Explanation
Simple Explanation
शांतिपूर्ण अभिव्यक्ति और हिंसा अलग बातें हैं। परीक्षा में वैध रोक और दमन का अंतर करें। / Peaceful expression and violence are different. Exam tip: distinguish valid restriction from repression.
A. यदि संख्या विषम है तो उसका वर्ग विषम है, इसलिए वर्ग सम हो तो संख्या सम है/If a number is odd, its square is odd, so if the square is even, the number is even
Explanation
Simple Explanation
समता के नियम को सही दिशा में उपयोग करना जरूरी है। इसी से (a) और (b) सम सिद्ध होते हैं। / It is necessary to use the parity rule in the correct direction. This proves (a) and (b) even.
C. पारदर्शिता और जवाबदेही/Transparency and accountability
Explanation
Simple Explanation
सूचना नागरिकों को सरकार से प्रश्न पूछने में सक्षम बनाती है। परीक्षा में सूचना को जवाबदेही से जोड़ें। / Information enables citizens to question government. Exam tip: connect information with accountability.
A. यदि \(3\mid p^2\) तो \(3\mid p\)/If \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\)
Explanation
Simple Explanation
(3) अभाज्य है इसलिए वर्ग में (3) का गुणनखंड मूल संख्या से आता है। यह प्रमाण का मुख्य नियम है। / Since (3) is prime, factor (3) in the square comes from the original number. This is the key rule.
D. निजता और कानूनी प्रक्रिया/Privacy and legal process
Explanation
Simple Explanation
निगरानी के लिए कानूनी आधार और नियंत्रण जरूरी हैं। परीक्षा में निजता को नागरिक स्वतंत्रता से जोड़ें। / Surveillance needs legal basis and control. Exam tip: connect privacy with civil liberty.
A. यह आवश्यक रूप से सही नहीं है; पहले (a) सम सिद्ध करके प्रतिस्थापन चाहिए/It is not necessarily justified; first prove (a) even and substitute
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=2b^2\) से सीधे \(b^2\) सम नहीं मिलता। (a=2r) रखने के बाद ही \(b^2=2r^2\) मिलता है। / \(a^2=2b^2\) does not directly give \(b^2\) even. Only after putting (a=2r) do we get \(b^2=2r^2\).
A. न्यायिक समीक्षा और अधिकार संरक्षण कमजोर होंगे/Judicial review and rights protection will weaken
Explanation
Simple Explanation
सरकारी आदेश कानून और अधिकारों की जांच के अधीन होना चाहिए। परीक्षा में न्यायिक समीक्षा को नियंत्रण मानें। / Government orders should be subject to review of law and rights. Exam tip: treat judicial review as a check.
A. चरण अधूरा है; पहले (p=3k) रखना होगा/The step is incomplete; first (p=3k) must be taken
Explanation
Simple Explanation
पहले \(p^2\) से (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। फिर (p=3k) रखकर (q) का निष्कर्ष मिलता है। / First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then putting (p=3k) gives the conclusion for (q).
B. कानून के सामने समानता और समान दंड/Equality before law and equal punishment
Explanation
Simple Explanation
समान स्थिति में अलग दंड कानून की समानता को कमजोर करता है। परीक्षा में समान अपराध और समान प्रक्रिया देखें। / Different punishment in the same situation weakens equality of law. Exam tip: check same offence and same process.
A. प्रमाण में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप में और (\gcd(a,b)=1) के साथ लेना चाहिए/In proof, \(\frac{a}{b}\) should be taken in lowest form with (\gcd(a,b)=1)
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास के लिए सरलतम रूप जरूरी है। तभी दोनों सम निकलने पर (\gcd(a,b)=1) से टकराव होगा। / Lowest form is needed for contradiction. Then both becoming even conflicts with (\gcd(a,b)=1).
C. असहमति और अभिव्यक्ति पर मनमाना दंड/Arbitrary punishment on dissent and expression
Explanation
Simple Explanation
नीति पर शांतिपूर्ण प्रश्न लोकतांत्रिक अभिव्यक्ति हो सकता है। परीक्षा में असहमति को अपराध न मानें। / Peaceful questioning of policy can be democratic expression. Exam tip: do not treat dissent as crime.
A. यह अंतिम चरण में (3) के सामान्य गुणनखंड से विरोधाभास दिलाता है/It gives contradiction with common factor (3) in the final step
Explanation
Simple Explanation
(\gcd(p,q)=1) का अर्थ है कोई सामान्य गुणनखंड नहीं। पर प्रमाण में दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। / (\gcd(p,q)=1) means no common factor. But the proof makes both divisible by (3).
D. चयनात्मक अधिकार प्रयोग और पक्षपात/Selective use of rights and bias
Explanation
Simple Explanation
अधिकारों का सम्मान सभी के लिए समान होना चाहिए। परीक्षा में समान परिस्थिति में समान व्यवहार देखें। / Respect for rights should be equal for all. Exam tip: check equal treatment in similar situations.
A. दोनों में परिमेय मान्यता, वर्ग और फिर अभाज्य गुणनखंड से विरोधाभास आता है/Both use rational assumption, squaring, and then contradiction through a prime factor
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों की संरचना समान है, पर अभाज्य गुणनखंड क्रमशः (2) और (3) है। तुलना में यह बात लिखें। / Both proofs have the same structure, but the prime factors are (2) and (3) respectively. Mention this in comparison.
A. दंड नियम आधारित नहीं बल्कि मनमाना है/Punishment is arbitrary, not rule-based
Explanation
Simple Explanation
व्यक्तिगत नाराजगी कानून का आधार नहीं हो सकती। परीक्षा में मनमानी दंड को कानून के शासन के विरुद्ध समझें। / Personal anger cannot be the basis of law. Exam tip: treat arbitrary punishment as against rule of law.
