Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यदि वर्ग सम है तो संख्या सम है/If the square is even, the number is even
Explanation
Simple Explanation
\(x^2=2y^2\) से \(x^2\) सम है। वर्ग सम होने पर पूर्णांक भी सम होता है। / From \(x^2=2y^2\), \(x^2\) is even. If the square of an integer is even, the integer is even.
A. कानून का निष्पक्ष और समान लागूकरण/Fair and equal enforcement of law
Explanation
Simple Explanation
पक्षपातपूर्ण कानून लागूकरण कानून के शासन को कमजोर करता है। परीक्षा में कानून सभी पर समान लागू होना चाहिए लिखें। / Biased enforcement weakens rule of law. In exams write that law must apply equally to everyone.
B. क्योंकि (3) अभाज्य है और \(u^2\) को विभाजित करता है/Because (3) is prime and divides \(u^2\)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) यदि वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। इसलिए (u) (3) का गुणज है। / If prime (3) divides a square, it divides the original number too. Therefore (u) is a multiple of (3).
B. क्योंकि न्यायपालिका स्वतंत्र नहीं होगी/Because judiciary will not be independent
Explanation
Simple Explanation
अधिकारों की वास्तविक रक्षा के लिए स्वतंत्र न्यायपालिका जरूरी है। परीक्षा में न्यायालय की स्वतंत्रता को कानून के शासन से जोड़ें। / Independent judiciary is necessary for real protection of rights. In exams connect judicial independence with rule of law.
A. \(y^2=2r^2\), इसलिए (y) सम है/\(y^2=2r^2\), so (y) is even
Explanation
Simple Explanation
सरल करने पर \(y^2=2r^2\) मिलता है। इससे \(y^2\) सम और फिर (y) सम होता है। / Simplifying gives \(y^2=2r^2\). Hence \(y^2\) is even and then (y) is even.
C. अधिकारों पर मनमाना प्रतिबंध/Arbitrary restriction on rights
Explanation
Simple Explanation
शांतिपूर्ण अधिकारों पर रोक कानूनसम्मत और उचित कारण से ही होनी चाहिए। परीक्षा में सुरक्षा और अधिकारों का संतुलन याद रखें। / Restrictions on peaceful rights must be lawful and reasonable. In exams remember the balance between security and rights.
दोनों पक्षों को (3) से भाग देने पर \(v^2=3t^2\) मिलता है। इससे (v) (3) से विभाज्य सिद्ध होगा। / Dividing both sides by (3) gives \(v^2=3t^2\). This proves (v) is divisible by (3).
D. कानून प्रतिशोध का साधन बन जाता है/Law becomes a tool of revenge
Explanation
Simple Explanation
कानून का उद्देश्य न्याय होना चाहिए बदला नहीं। परीक्षा में निष्पक्ष कानून लागूकरण को मुख्य बिंदु लिखें। / The purpose of law should be justice not revenge. In exams write fair enforcement of law as the key point.
C. (x) और (y) दोनों सम हों जबकि वे सहभाज्य हों/Both (x) and (y) are even while they are coprime
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास तब पूरा होता है जब अंश और हर दोनों में सामान्य गुणनखंड (2) मिल जाए। यह सहभाज्य शर्त के विरुद्ध है। / The contradiction completes when numerator and denominator both have common factor (2). This opposes the coprime condition.
A. अल्पसंख्यक अधिकारों का सम्मान/Respect for minority rights
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में बहुमत भी अल्पसंख्यक अधिकारों का सम्मान करता है। परीक्षा में अधिकारों को बहुमत की सीमा समझें। / In democracy majority also respects minority rights. In exams understand rights as limits on majority.
A. क्योंकि (v) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/Because (v) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य शर्त से विरोधाभास तभी बनेगा जब (u) और (v) दोनों (3) से विभाज्य मिलें। / Contradiction with coprime condition occurs only when both (u) and (v) are divisible by (3).
B. वैधानिक प्रक्रिया और व्यक्तिगत स्वतंत्रता की सुरक्षा/Legal procedure and protection of personal liberty
Explanation
Simple Explanation
गिरफ्तारी में कारण और प्रक्रिया नागरिक स्वतंत्रता की रक्षा करते हैं। परीक्षा में गिरफ्तारी को कानून के शासन से जोड़ें। / Reason and procedure in arrest protect personal liberty. In exams connect arrest with rule of law.
A. सरलतम रूप की मान्यता टूट गई/The lowest form assumption is broken
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने पर भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। इसलिए वह सरलतम रूप में नहीं रह सकती। / If both are even, the fraction can be reduced by (2). So it cannot remain in lowest form.
बिना सुनवाई दंड देना न्यायपूर्ण प्रक्रिया के विरुद्ध है। परीक्षा में सुनवाई को अधिकारों के सम्मान से जोड़ें। / Punishment without hearing is against fair procedure. In exams connect hearing with respect for rights.
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए (\gcd(u,v)=1) की सरलतम रूप वाली शर्त टूटती है। / Both have common factor (3). So the lowest-form condition (\gcd(u,v)=1) breaks.
C. न्यायिक और कानूनी नियंत्रण/Judicial and legal control
Explanation
Simple Explanation
न्यायिक समीक्षा सरकार को कानून की सीमा में रखती है। परीक्षा में न्यायालय को अधिकार रक्षा से जोड़ें। / Judicial review keeps government within legal limits. In exams connect courts with protection of rights.
वर्ग संबंध से सीधे (x=2y) नहीं मिलता। सही रास्ता \(x^2\) सम से (x) सम तक है। / The square relation does not directly give (x=2y). The correct path is from \(x^2\) even to (x) even.
D. मनमानी और असुरक्षा बढ़ेगी/Arbitrariness and insecurity will increase
Explanation
Simple Explanation
स्पष्ट कानून नागरिकों को सुरक्षा और पूर्वानुमान देता है। परीक्षा में अस्पष्ट कानून को मनमानी से जोड़ें। / Clear law gives citizens security and predictability. In exams connect unclear law with arbitrariness.
\(u^2=3v^2\) से सीधे (u=3v) नहीं निकलता। पहले (u) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध किया जाता है। / \(u^2=3v^2\) does not directly give (u=3v). First (u) is proved divisible by (3).
एक ही अपराध में अलग व्यवहार कानून की समानता को तोड़ता है। परीक्षा में कोई भी कानून से ऊपर नहीं लिखें। / Different treatment in the same crime breaks equality before law. In exams write that no one is above law.
A. विषम (x) का वर्ग विषम होगा पर \(x^2=2y^2\) उसे सम बनाता है/Odd (x) has odd square, but \(x^2=2y^2\) makes it even
Explanation
Simple Explanation
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। लेकिन \(2y^2\) सम है, इसलिए (x) विषम नहीं हो सकता। / The square of an odd number is odd. But \(2y^2\) is even, so (x) cannot be odd.
अधिकार तभी वास्तविक हैं जब उनकी रक्षा का प्रभावी उपाय हो। परीक्षा में लिखित और लागू अधिकारों का अंतर समझें। / Rights are real only when there is an effective remedy for protection. In exams understand the difference between written and enforced rights.
A. \(u^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बनाता है/\(u^2\) should not be divisible by (3), but the equation makes it divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (u) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(u^2\) में भी नहीं होगा। पर \(u^2=3v^2\) इसे (3) से विभाज्य दिखाता है। / If (u) has no factor (3), then \(u^2\) also has none. But \(u^2=3v^2\) shows it divisible by (3).
C. अभिव्यक्ति और असहमति की स्वतंत्रता/Freedom of expression and dissent
Explanation
Simple Explanation
शांतिपूर्ण असहमति लोकतंत्र में अभिव्यक्ति का भाग है। परीक्षा में असहमति और हिंसा में अंतर रखें। / Peaceful dissent is part of expression in democracy. In exams keep dissent and violence separate.
A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(x^2=2y^2\) \(\rightarrow\) (x) सम \(\rightarrow\) (y) सम \(\rightarrow\) सहभाज्य विरोधाभास/Rational assumption \(\rightarrow\) \(x^2=2y^2\) \(\rightarrow\) (x) even \(\rightarrow\) (y) even \(\rightarrow\) coprime contradiction
Explanation
Simple Explanation
मानक प्रमाण में यही क्रम चलता है। प्रत्येक चरण पिछले निष्कर्ष पर आधारित है। / The standard proof follows this order. Each step is based on the previous conclusion.
D. चुनी सरकार भी कानून और अधिकारों से बंधी है/Elected government is also bound by law and rights
Explanation
Simple Explanation
चुनाव जीतना अधिकारों को कुचलने की छूट नहीं देता। परीक्षा में निर्वाचित सरकार की सीमाएं याद रखें। / Winning election does not permit crushing rights. In exams remember limits of elected government.
A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(u^2=3v^2\) \(\rightarrow\) (u) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (v) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) सहभाज्य विरोधाभास/Rational assumption \(\rightarrow\) \(u^2=3v^2\) \(\rightarrow\) (u) divisible by (3) \(\rightarrow\) (v) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला बनती है। अंत में दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) विरोधाभास देता है। / For \(\sqrt{3}\), a chain of divisibility by (3) is formed. Finally common factor (3) gives contradiction.
A. सरकार अदालत के आदेश और नागरिक अधिकारों का सम्मान करे/Government respects court orders and citizens' rights
Explanation
Simple Explanation
चुनाव के बाद भी सरकार कानून और अधिकारों से सीमित रहती है। परीक्षा में चुनाव को अकेली शर्त न मानें। / Even after elections government remains limited by law and rights. In exams do not treat elections as the only condition.
A. क्योंकि अंत में (x,y) दोनों (2) से विभाज्य मिलते हैं/Because finally both (x,y) are found divisible by (2)
Explanation
Simple Explanation
(\gcd(x,y)=1) सरलतम रूप की शर्त है। दोनों में (2) सामान्य मिलना इसी से टकराता है। / (\gcd(x,y)=1) is the lowest-form condition. Common factor (2) in both conflicts with it.
B. कानूनी उपाय और जवाबदेही/Legal remedy and accountability
Explanation
Simple Explanation
अपील नागरिक को गलत निर्णय से बचाने का कानूनी उपाय है। परीक्षा में अपील को जवाबदेही से जोड़ें। / Appeal is a legal remedy to protect citizens from wrong decisions. In exams connect appeal with accountability.
A. क्योंकि दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा/Because the contradiction is not clear when both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम सहभाज्य रूप ही अंतिम सामान्य गुणनखंड (3) से विरोधाभास बनाता है। इसे परीक्षा में जरूर लिखें। / The lowest coprime form creates contradiction with the final common factor (3). Write it in exams.
C. समानता और अधिकारों का सम्मान/Equality and respect for rights
Explanation
Simple Explanation
जाति आधारित भेदभाव समानता और अधिकारों के विरुद्ध है। परीक्षा में प्रशासन को भेदभाव रहित लिखें। / Caste based discrimination is against equality and rights. In exams write that administration must be non discriminatory.
सरकार को सुविधा के अनुसार नहीं बल्कि हमेशा कानून से बंधा होना चाहिए। परीक्षा में निरंतर कानूनी जवाबदेही लिखें। / Government must be bound by law always not only when convenient. In exams write continuous legal accountability.
B. दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both are divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
(u=3t) से (u) (3) से विभाज्य है। \(v^2=3t^2\) से (v) भी (3) से विभाज्य है। / (u=3t) shows (u) is divisible by (3). \(v^2=3t^2\) shows (v) is also divisible by (3).
नोटिस और सुनवाई वैधानिक प्रक्रिया के भाग हैं। परीक्षा में संपत्ति पर कार्रवाई से पहले प्रक्रिया याद रखें। / Notice and hearing are parts of legal procedure. In exams remember procedure before action on property.
A. यदि संख्या विषम हो तो वर्ग विषम होगा, इसलिए वर्ग सम हो तो संख्या सम है/If a number is odd, its square is odd, so if the square is even, the number is even
Explanation
Simple Explanation
यह तर्क \(x^2\) से (x) सम सिद्ध करने में काम आता है। इसे गलत दिशा में न लगाएँ। / This reasoning proves (x) even from \(x^2\). Do not apply it in the wrong direction.
A. क्योंकि सुनवाई और लागूकरण दोनों जरूरी हैं/Because both hearing and enforcement are necessary
Explanation
Simple Explanation
न्यायालय का आदेश तभी प्रभावी है जब उसका पालन हो। परीक्षा में न्यायिक आदेश और लागूकरण साथ लिखें। / A court order is effective only when it is obeyed. In exams write judicial order and enforcement together.
A. यदि \(3\mid u^2\) तो \(3\mid u\)/If \(3\mid u^2\), then \(3\mid u\)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में तभी आता है जब मूल संख्या में आता है। यही प्रमाण का मुख्य आधार है। / A prime factor appears in a square only when it appears in the original number. This is the proof's key basis.
A. सुरक्षा और अधिकारों का असंतुलन/Imbalance between security and rights
Explanation
Simple Explanation
सुरक्षा के नाम पर भी प्रतिबंध सीमित और कानूनसम्मत होने चाहिए। परीक्षा में सुरक्षा और स्वतंत्रता का संतुलन लिखें। / Even in the name of security restrictions must be limited and lawful. In exams write balance of security and freedom.
A. अधूरा है; पहले (x) सम और (x=2r) सिद्ध करना होगा/It is incomplete; first (x) even and (x=2r) must be proved
Explanation
Simple Explanation
\(x^2=2y^2\) से सीधे (y) सम नहीं निकलता। (x=2r) रखने के बाद \(y^2=2r^2\) मिलता है। / \(x^2=2y^2\) does not directly give (y) even. After putting (x=2r), \(y^2=2r^2\) is obtained.
A. कानून सामान्य और निष्पक्ष नहीं है/Law is not general and fair
Explanation
Simple Explanation
कानून निजी बदले का साधन नहीं होना चाहिए। परीक्षा में सामान्य और निष्पक्ष कानून याद रखें। / Law should not be a tool of personal revenge. In exams remember general and fair law.
A. अधूरा कदम; पहले (u=3t) रखना चाहिए/Incomplete step; first (u=3t) should be taken
Explanation
Simple Explanation
पहले \(u^2\) से (u) (3) से विभाज्य मिलता है। फिर (u=3t) रखने पर (v) के लिए निष्कर्ष आता है। / First (u) is proved divisible by (3) from \(u^2\). Then taking (u=3t) gives the conclusion for (v).
B. अधिकार हनन और कानून का असमान लागूकरण/Rights violation and unequal enforcement of law
Explanation
Simple Explanation
शांतिपूर्ण विरोध रोकना अधिकारों के विरुद्ध है और समर्थकों को छूट समान कानून के विरुद्ध है। परीक्षा में दोहरी गड़बड़ी पहचानें। / Stopping peaceful protest violates rights and exempting supporters violates equal law. In exams identify the double flaw.
A. \(\sqrt{2}=\frac{x}{y}\), जहाँ (\gcd(x,y)=1) और \(y\neq0\)/\(\sqrt{2}=\frac{x}{y}\), where (\gcd(x,y)=1) and \(y\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
प्रमाण के लिए सरलतम सहभाज्य रूप जरूरी है। इसी से अंतिम विरोधाभास बनता है। / Lowest coprime form is necessary for the proof. This creates the final contradiction.
C. न्यायिक सुरक्षा और अधिकार संरक्षण/Judicial safeguard and rights protection
Explanation
Simple Explanation
वकील और अदालत तक पहुंच गिरफ्तारी में अधिकारों की रक्षा करती है। परीक्षा में न्यायिक सुरक्षा याद रखें। / Access to lawyer and court protects rights during arrest. In exams remember judicial safeguards.
C. \(\sqrt{3}=\frac{u}{v}\), जहाँ (\gcd(u,v)=1) और \(v\neq0\)/\(\sqrt{3}=\frac{u}{v}\), where (\gcd(u,v)=1) and \(v\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता को सरलतम भिन्न में लिखना चाहिए। (\gcd(u,v)=1) से ही अंत में विरोधाभास बनता है। / The rational assumption should be written in lowest fraction. (\gcd(u,v)=1) creates the final contradiction.
कानून स्पष्ट और नागरिकों के लिए जानने योग्य होना चाहिए। परीक्षा में गुप्त आदेशों को मनमानी से जोड़ें। / Law should be clear and knowable for citizens. In exams connect secret orders with arbitrariness.
A. दोनों में परिमेय मान्यता, वर्ग और अभाज्य गुणनखंड से विरोधाभास होता है/Both use rational assumption, squaring, and contradiction through a prime factor
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों की रूपरेखा समान है। अंतर केवल मुख्य अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) का है। / Both proofs have the same outline. The difference is only the main prime factors (2) and (3).
A. अधिकार कानून और दूसरों के अधिकारों के सम्मान के साथ चलते हैं/Rights operate with respect for law and others' rights
Explanation
Simple Explanation
अधिकारों का प्रयोग शांतिपूर्ण और जिम्मेदार होना चाहिए। परीक्षा में अधिकार और कर्तव्य साथ लिखें। / Rights must be exercised peacefully and responsibly. In exams write rights and duties together.
