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Reflexivity needs all self-pairs, and all four self-pairs are present.
Step 2
Why this answer is correct
The non-self pair ((1,2)) has its reverse ((2,1)).
Step 3
Exam Tip
In such questions, check self-pairs first and reverse pairs next. चरण 1: स्वपरकता के लिए सभी स्वयं युग्म चाहिए और चारों स्वयं युग्म मौजूद हैं। चरण 2: अलग युग्म ((1,2)) के साथ उसका उल्टा ((2,1)) भी मौजूद है। चरण 3: ऐसे प्रश्न में पहले स्वयं युग्म और फिर उल्टे युग्म जांचें।
A. क्योंकि ((2,1)) अनुपस्थित है/Because ((2,1)) is missing
Step 1
Concept
Symmetry requires the reverse of every pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is present but ((2,1)) is absent, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
Missing even one reverse pair makes the relation non-symmetric. चरण 1: सममितता में हर युग्म का उल्टा युग्म होना चाहिए। चरण 2: ((1,2)) दिया है पर ((2,1)) नहीं है इसलिए सममितता टूटती है। चरण 3: एक भी उल्टा युग्म छूटे तो संबंध सममित नहीं रहता।
A relation on a set with (n) elements is a subset of \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
Here \(A\times A\) has \(5^2=25\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the total number of relations is \(2^{25}\). चरण 1: (n) तत्वों वाले समुच्चय पर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है। चरण 2: यहां \(A\times A\) में \(5^2=25\) युग्म होंगे। चरण 3: कुल संबंधों की संख्या \(2^{25}\) होगी।
A reflexive relation must contain (4) self-pairs, leaving (12) pairs free.
Step 3
Exam Tip
The number is \(2^{12}\). चरण 1: \(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होंगे। चरण 2: स्वपरक संबंध के लिए (4) स्वयं युग्म अनिवार्य हैं इसलिए (12) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: संख्या \(2^{12}\) होगी।
All three self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) is present but ((3,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
Therefore, symmetry is definitely absent. चरण 1: तीनों स्वयं युग्म मौजूद हैं इसलिए संबंध स्वपरक है। चरण 2: ((1,3)) मौजूद है लेकिन ((3,1)) नहीं है। चरण 3: इसलिए सममितता निश्चित रूप से नहीं है।
From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
This pair is missing from the relation.
Step 3
Exam Tip
In a long chain, start with adjacent connected pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए। चरण 2: यह युग्म दिए गए संबंध में नहीं है। चरण 3: लंबी कड़ी में पहले पास-पास के युग्मों से शुरू करें।
From ((2,3)) and ((3,4)), transitivity requires ((2,4)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) is missing, so transitivity is not complete.
Step 3
Exam Tip
Check all possible chains, not only the first one. चरण 1: ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए। चरण 2: दिए गए संबंध में ((2,4)) नहीं है इसलिए संक्रामकता पूरी नहीं है। चरण 3: सभी संभव कड़ियां जांचें, केवल पहली कड़ी नहीं।
(1) and (2) are related because ((1,2)) and ((2,1)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
(3) is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
Hence the classes are ({1,2}) and ({3}). चरण 1: (1) और (2) आपस में संबंधित हैं क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) हैं। चरण 2: (3) केवल अपने आप से संबंधित है। चरण 3: इसलिए वर्ग ({1,2}) और ({3}) बनते हैं।
A. (5) से भाग देने पर शेष (2) वाला वर्ग/Class of numbers leaving remainder (2) when divided by (5)
Step 1
Concept
Dividing (7) by (5) gives remainder (2).
Step 2
Why this answer is correct
In this relation, numbers with the same remainder lie in the same class.
Step 3
Exam Tip
In remainder-based relations, identify classes by the remainder. चरण 1: (7) को (5) से भाग देने पर शेष (2) आता है। चरण 2: इस संबंध में समान शेष वाली संख्याएं एक ही वर्ग में होती हैं। चरण 3: शेषफल आधारित संबंधों में वर्ग शेष से पहचानें।
Every number has the same parity as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
Same parity remains true when the order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
Same parity continues through a chain, so transitivity holds. चरण 1: हर संख्या अपनी समता खुद जैसी रखती है इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: समान समता की बात उलटने पर भी सही रहती है इसलिए सममितता है। चरण 3: समान समता की कड़ी आगे भी बनी रहती है इसलिए संक्रामकता है।
A. यह समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a+a=2a) is always even, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) and (b+a) are the same, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
This relation is also transitive because it connects elements of the same parity. चरण 1: (a+a=2a) हमेशा सम है इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: (a+b) और (b+a) समान हैं इसलिए सममितता है। चरण 3: समान समता वाले तत्वों के बीच यह संबंध संक्रामक भी होता है।
A. क्योंकि (a+a) हमेशा सम होता है/Because (a+a) is always even
Step 1
Concept
Reflexivity requires ((a,a)) to be in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
But (a+a=2a) is always even, not odd.
Step 3
Exam Tip
Therefore, no self-pair is formed by this rule. चरण 1: स्वपरकता के लिए ((a,a)) संबंध में होना चाहिए। चरण 2: लेकिन (a+a=2a) हमेशा सम है, विषम नहीं। चरण 3: इसलिए कोई भी स्वयं युग्म इस नियम से नहीं बनता।
A. स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
Every number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) divides (b) and (b) divides (c), then (a) divides (c).
Step 3
Exam Tip
(1) divides (2), but (2) does not divide (1), so it is not symmetric. चरण 1: हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: यदि (a) (b) को और (b) (c) को विभाजित करता है, तो (a) (c) को विभाजित करता है। चरण 3: (1) (2) को विभाजित करता है पर (2) (1) को नहीं, इसलिए सममितता नहीं है।
A. स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
For every (a), \(a\ge a\) is true, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(a\ge b\) and \(b\ge c\) imply \(a\ge c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(2\ge1\) is true but \(1\ge2\) is false, so it is not symmetric. चरण 1: हर (a) के लिए \(a\ge a\) सही है इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: \(a\ge b\) और \(b\ge c\) से \(a\ge c\) मिलता है इसलिए संक्रामकता है। चरण 3: \(2\ge1\) सही है पर \(1\ge2\) गलत है, इसलिए सममितता नहीं है।
Hence the equivalence classes are ({1,3}) and ({2,4}). चरण 1: (1) और (3) आपस में संबंधित हैं। चरण 2: (2) और (4) आपस में संबंधित हैं। चरण 3: इसलिए समतुल्यता वर्ग ({1,3}) और ({2,4}) बनते हैं।
In the inverse relation, the order of each pair is changed.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,1)) are reverses, and so are ((2,3)) and ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the inverse relation is (R) itself. चरण 1: विलोम संबंध में हर युग्म का क्रम बदलता है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) एक-दूसरे के विलोम हैं, इसी तरह ((2,3)) और ((3,2)) भी हैं। चरण 3: इसलिए विलोम संबंध (R) ही रहेगा।
((1,3)) gives ((3,1)), ((2,3)) gives ((3,2)), and ((3,1)) gives ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
Do not skip any pair while finding the inverse. चरण 1: हर क्रमित युग्म के दोनों स्थान बदलें। चरण 2: ((1,3)) से ((3,1)), ((2,3)) से ((3,2)), और ((3,1)) से ((1,3)) मिलता है। चरण 3: विलोम निकालते समय कोई युग्म छोड़ें नहीं।
By transitivity and symmetry, (2) and (3) must also be related to each other.
Step 3
Exam Tip
Hence ((2,3)) and ((3,2)) must be added. चरण 1: (1) (2) से और (1) (3) से संबंधित है। चरण 2: संक्रामकता और सममितता के कारण (2) और (3) भी आपस में संबंधित होने चाहिए। चरण 3: इसलिए ((2,3)) और ((3,2)) जोड़ने होंगे।
In the identity relation, each element has only its self-pair.
Step 2
Why this answer is correct
For (4) elements, there are (4) self-pairs.
Step 3
Exam Tip
The number of pairs in the identity relation equals the number of elements. चरण 1: सर्वसम संबंध में हर तत्व का केवल स्वयं युग्म होता है। चरण 2: (4) तत्वों के लिए (4) स्वयं युग्म होंगे। चरण 3: सर्वसम संबंध में युग्मों की संख्या तत्वों की संख्या के बराबर होती है।
Since (A) has (4) elements, \(A\times A\) has \(4^2=16\) pairs.
Step 3
Exam Tip
No possible pair is left out in the universal relation. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के बराबर होता है। चरण 2: (A) में (4) तत्व हैं, इसलिए \(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म हैं। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध में कोई संभव युग्म छूटता नहीं है।
A. क्योंकि ((1,3)) अनुपस्थित है/Because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
The relation is reflexive and symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
Since ((1,3)) is missing, it is not an equivalence relation. चरण 1: संबंध स्वपरक और सममित है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए। चरण 3: ((1,3)) नहीं है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध नहीं है।
A relation containing all pairs is the universal relation. चरण 1: \(A=\{1,2,3\}\) के लिए \(A\times A\) में कुल (9) युग्म होते हैं। चरण 2: दिए गए संबंध में सभी (9) युग्म मौजूद हैं। चरण 3: सभी युग्मों वाला संबंध सार्वत्रिक संबंध है।
A. यह सममित और संक्रामक है पर स्वपरक नहीं/It is symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
The empty relation has no pair, so symmetry and transitivity conditions are not violated.
Step 2
Why this answer is correct
A non-empty set needs self-pairs for reflexivity, but they are absent.
Step 3
Exam Tip
Hence it is not reflexive. चरण 1: रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए सममितता और संक्रामकता की शर्त नहीं टूटती। चरण 2: अरिक्त समुच्चय में स्वयं युग्म चाहिए, पर वे अनुपस्थित हैं। चरण 3: इसलिए यह स्वपरक नहीं है।
In a symmetric relation, the reverse of any pair is also present.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((2,3)) is ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
Symmetry requires reverse pairs, not necessarily self-pairs. चरण 1: सममित संबंध में किसी भी युग्म का उल्टा युग्म भी होता है। चरण 2: ((2,3)) का उल्टा ((3,2)) है। चरण 3: सममितता में स्वयं युग्म जरूरी नहीं, उल्टा युग्म जरूरी है।
In a reflexive relation, every element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Since (6) is an element of (A), ((6,6)) must be present.
Step 3
Exam Tip
Pairs with different elements are not compulsory for reflexivity. चरण 1: स्वपरक संबंध में हर तत्व अपने आप से संबंधित होता है। चरण 2: (6) समुच्चय (A) का तत्व है, इसलिए ((6,6)) होना जरूरी है। चरण 3: स्वपरकता में अलग-अलग तत्वों वाले युग्म अनिवार्य नहीं होते।
Transitivity gives ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
Here (a=4), (b=5), and (c=8).
Step 3
Exam Tip
Therefore, ((4,8)) must be present. चरण 1: संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। चरण 2: यहां (a=4), (b=5), (c=8) है। चरण 3: इसलिए ((4,8)) अवश्य होना चाहिए।
For a symmetric relation, the number of independent choices is (\frac{n(n+1)}{2}).
Step 2
Why this answer is correct
For (n=3), this is (\frac{3(4)}{2}=6).
Step 3
Exam Tip
Hence the number of symmetric relations is \(2^6\). चरण 1: सममित संबंध में स्वतंत्र चुनावों की संख्या (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। चरण 2: (n=3) रखने पर (\frac{3(4)}{2}=6) मिलता है। चरण 3: इसलिए सममित संबंधों की संख्या \(2^6\) होगी।
The distinct pair group ((1,2)) and ((2,1)) is either included together or excluded together.
Step 3
Exam Tip
Therefore, two relations are possible. चरण 1: स्वपरकता के कारण ((1,1)) और ((2,2)) अनिवार्य हैं। चरण 2: अलग युग्म ((1,2)) और ((2,1)) या तो दोनों आएंगे या दोनों नहीं आएंगे। चरण 3: इसलिए दो संबंध संभव हैं।
So only pairs like ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) occur.
Step 3
Exam Tip
A relation based on equality is the identity relation. चरण 1: (|a-b|=0) तभी होगा जब (a=b)। चरण 2: इसलिए केवल ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) जैसे युग्म बनेंगे। चरण 3: बराबरी आधारित संबंध सर्वसम संबंध होता है।
Even difference means same parity, which also gives transitivity. चरण 1: (|a-a|=0) सम है, इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: (|a-b|=|b-a|), इसलिए सममितता है। चरण 3: सम अंतर का अर्थ समान समता है, जिससे संक्रामकता भी मिलती है।
A. क्योंकि ((3,3)) नहीं है/Because ((3,3)) is missing
Step 1
Concept
Reflexivity applies to every element of the whole set.
Step 2
Why this answer is correct
(3) is an element of the set, but ((3,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
Having some self-pairs is not enough. चरण 1: स्वपरकता पूरे समुच्चय के हर तत्व पर लागू होती है। चरण 2: (3) समुच्चय का तत्व है लेकिन ((3,3)) संबंध में नहीं है। चरण 3: कुछ स्वयं युग्म होना पर्याप्त नहीं है।
From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
This pair is not given in the relation.
Step 3
Exam Tip
Quickly identify the third pair formed by two connected pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए। चरण 2: यह युग्म संबंध में नहीं दिया गया है। चरण 3: दो जुड़े युग्मों से बनने वाले तीसरे युग्म को तुरंत पहचानें।
Hence it equals \(A\times A\), the universal relation. चरण 1: \(A=\{1,2\}\) के लिए \(A\times A\) में चार युग्म होते हैं। चरण 2: दिए गए संबंध में वे चारों युग्म मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए यह \(A\times A\), अर्थात सार्वत्रिक संबंध है।
A relation from (A) to (B) is a subset of \(A\times B\).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times B\) has \(3\times3=9\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of relations is \(2^9\). चरण 1: (A) से (B) में संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। चरण 2: \(A\times B\) में \(3\times3=9\) युग्म हैं। चरण 3: इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^9\) है।
A. यह स्वपरक और सममित है/It is reflexive and symmetric
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) has ((3,2)), and self-pairs reverse to themselves.
Step 3
Exam Tip
Checking both properties separately makes the answer clear. चरण 1: सभी स्वयं युग्म हैं इसलिए संबंध स्वपरक है। चरण 2: ((2,3)) के साथ ((3,2)) भी है और स्वयं युग्म अपने उल्टे खुद हैं। चरण 3: दोनों गुणों को अलग-अलग जांचने से उत्तर स्पष्ट होता है।
Both ((1,4)) and ((4,1)) are present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The formed transitive chains are completed by existing self-pairs, so it is an equivalence relation. चरण 1: सभी स्वयं युग्म मौजूद हैं इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: ((1,4)) और ((4,1)) दोनों हैं इसलिए सममितता है। चरण 3: बनी हुई संक्रामक कड़ियां भी आवश्यक स्वयं युग्मों में पूरी हो जाती हैं, इसलिए यह समतुल्यता संबंध है।
A cyclic-looking relation is not necessarily symmetric. चरण 1: सममितता के लिए ((1,2)) के साथ ((2,1)) चाहिए। चरण 2: ((2,1)) संबंध में नहीं है। चरण 3: चक्रीय दिखने वाला संबंध जरूरी नहीं कि सममित हो।
From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the relation is not transitive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((1,3)) संबंध में नहीं है। चरण 3: इसलिए यह संबंध संक्रामक नहीं है।
Since all possible pairs are present, transitivity also holds. चरण 1: इसमें सभी स्वयं युग्म हैं इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: हर युग्म का उल्टा भी है इसलिए सममितता है। चरण 3: सभी संभव युग्म मौजूद होने से संक्रामकता भी पूरी है।
Hence the class of (1) is ({1,3}). चरण 1: \(a\equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है समान समता। चरण 2: (1) के समान विषम तत्व (1) और (3) हैं। चरण 3: इसलिए (1) का वर्ग ({1,3}) है।
Therefore, the class of (2) is ({2,5}). चरण 1: (3) से भाग देने पर (2) का शेष (2) है। चरण 2: (5) का भी (3) से भाग देने पर शेष (2) है। चरण 3: इसलिए (2) का वर्ग ({2,5}) है।
This condition says that two distinct elements cannot be related in both directions.
Step 2
Why this answer is correct
This is the identity of antisymmetry.
Step 3
Exam Tip
Understand symmetry and antisymmetry separately through reverse pairs. चरण 1: यह शर्त बताती है कि दो अलग तत्व दोनों दिशाओं में संबंधित नहीं हो सकते। चरण 2: यही प्रतिसममितता की पहचान है। चरण 3: सममितता और प्रतिसममितता को उल्टे युग्मों के आधार पर अलग समझें।
A. स्वपरक, प्रतिसममित और संक्रामक/Reflexive, antisymmetric and transitive
Step 1
Concept
Every number is less than or equal to itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\le b\) and \(b\le a\), then (a=b), so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
The \(\le\) chain is also transitive. चरण 1: हर संख्या अपने बराबर होती है इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: \(a\le b\) और \(b\le a\) से (a=b) मिलता है इसलिए प्रतिसममितता है। चरण 3: \(\le\) की कड़ी संक्रामक भी होती है।
Antisymmetry fails when both ((a,b)) and ((b,a)) exist for distinct (a,b).
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
So antisymmetry is not violated, and the relation is antisymmetric. चरण 1: प्रतिसममितता तब टूटती है जब अलग (a,b) के लिए दोनों ((a,b)) और ((b,a)) हों। चरण 2: यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है। चरण 3: इसलिए प्रतिसममितता नहीं टूटती और संबंध प्रतिसममित है।
A. क्योंकि \(1\ne2\) होते हुए ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं/Because ((1,2)) and ((2,1)) are both present while \(1\ne2\)
Step 1
Concept
In antisymmetry, pairs in both directions should not occur between distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
Here (1) and (2) are distinct, yet both ((1,2)) and ((2,1)) are present.
Step 3
Exam Tip
Therefore, antisymmetry fails. चरण 1: प्रतिसममितता में अलग तत्वों के बीच दोनों दिशाओं के युग्म नहीं होने चाहिए। चरण 2: यहां (1) और (2) अलग हैं फिर भी ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं। चरण 3: इसी कारण प्रतिसममितता टूट जाती है।
A partial order relation needs three special properties.
Step 2
Why this answer is correct
These are reflexivity, antisymmetry and transitivity.
Step 3
Exam Tip
Equivalence relation uses symmetry, while partial order uses antisymmetry. चरण 1: आंशिक क्रम संबंध के लिए तीन विशेष गुण चाहिए। चरण 2: वे गुण स्वपरकता, प्रतिसममितता और संक्रामकता हैं। चरण 3: समतुल्यता संबंध में सममितता होती है, जबकि आंशिक क्रम में प्रतिसममितता होती है।
In divisibility, the least element is the one that divides every element.
Step 2
Why this answer is correct
(1) divides (1), (2), and (3).
Step 3
Exam Tip
In divisibility questions, check (1) carefully. चरण 1: विभाज्यता में सबसे छोटा तत्व वह है जो सभी तत्वों को विभाजित करे। चरण 2: (1), (1), (2) और (3) तीनों को विभाजित करता है। चरण 3: विभाज्यता के प्रश्नों में (1) को ध्यान से जांचें।
A least element must divide every element in the set.
Step 2
Why this answer is correct
(2) does not divide (3), and (3) does not divide (2).
Step 3
Exam Tip
Hence no element divides all elements of this set. चरण 1: सबसे छोटा तत्व सभी तत्वों को विभाजित करना चाहिए। चरण 2: (2), (3) को विभाजित नहीं करता और (3), (2) को विभाजित नहीं करता। चरण 3: इसलिए इस समुच्चय में कोई ऐसा तत्व नहीं है जो सबको विभाजित करे।
A greatest element is divisible by every element of the set.
Step 2
Why this answer is correct
(1), (2), (3), and (6) all divide (6).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (6) is the greatest element. चरण 1: सबसे बड़ा तत्व वह है जिसे समुच्चय के सभी तत्व विभाजित करें। चरण 2: (1), (2), (3) और (6) सभी (6) को विभाजित करते हैं। चरण 3: इसलिए (6) सबसे बड़ा तत्व है।
All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
No reverse pair exists for distinct elements, so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so it is transitive. चरण 1: सभी स्वयं युग्म हैं इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: किसी अलग युग्म का उल्टा युग्म नहीं है इसलिए प्रतिसममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है इसलिए संक्रामकता भी है।
