Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(x=0) पर मान \(\frac{1}{2}\) मिलता है। / At (x=0), the value is \(\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
(|x|) बढ़ने पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं लेता, इसलिए परास \(\left[\frac{1}{2},1\right\)) है। / As (|x|) increases, the value approaches (1) but never reaches it, so the range is \(\left[\frac{1}{2},1\right\)).
(x-3-6x-2+12x+1=(x-2)3+9) है। / (x-3-6x-2+12x+1=(x-2)3+9).
Step 2
Why this answer is correct
घन फलन ((x-2)3) पूरे \(\mathbb{R}\) पर सख्ती से बढ़ता और सभी वास्तविक मान लेता है। / The cubic ((x-2)3) is strictly increasing on \(\mathbb{R}\) and takes all real values.
Step 3
Exam Tip
स्थानांतरण से द्विआधारिता नहीं बदलती। / Shifting does not change bijectivity.
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<1\x-2+2,&x\geq1\end{cases}) से दिया गया है, तो (f) के परास के बारे में सही कथन कौन सा है?
(f^{-1}(5)) का अर्थ है वह आगत (x), जिसके लिए (f(x)=5) हो। / (f^{-1}(5)) means the input (x) for which (f(x)=5).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2x+3}{x-1}=5\) से (2x+3=5x-5), इसलिए (3x=8)। / From \(\frac{2x+3}{x-1}=5\), we get (2x+3=5x-5), so (3x=8).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x=\frac{8}{3}\); प्रतिलोम मान निकालते समय पहले मूल फलन में लक्ष्य मान रखकर हल करें। / Hence \(x=\frac{8}{3}\); for inverse values, set the original function equal to the target value and solve.
(A) के प्रत्येक अवयव के लिए (B) में कोई एक प्रतिबिंब चुनना होता है। / Each element of (A) must choose exactly one image in (B).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (3) अवयव और (B) में (2) अवयव हैं, इसलिए कुल फलन \(2^3=8\) होंगे। / Since (A) has (3) elements and (B) has (2) elements, the number of functions is \(2^3=8\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में याद रखें कि (A) से (B) तक फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}\) होती है। / Remember that the number of functions from (A) to (B) is \(|B|^{|A|}\).
एकैकी फलन में अलग-अलग अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग होने चाहिए। / In a one-one function, distinct elements must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (A) में (4) अवयव हैं लेकिन (B) में केवल (3) अवयव हैं, इसलिए (4) अलग प्रतिबिंब नहीं मिल सकते। / Here (A) has (4) elements but (B) has only (3) elements, so (4) distinct images are impossible.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले प्रांत और सहप्रांत के अवयवों की संख्या की तुलना करें। / First compare the sizes of domain and codomain in such questions.
D. यह न एकैकी है न आच्छादक/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=2) और (f(-1)=2), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2+1\ge 1\), इसलिए ऋणात्मक संख्याएँ और (0) प्रतिबिंब नहीं बन सकते, अतः यह आच्छादक भी नहीं है। / Since \(x^2+1\ge 1\), negative numbers and (0) are not attained, so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में एकैकी और आच्छादकता को अलग-अलग जाँचें। / Always test one-one and onto separately.
\(x^3\) हर वास्तविक (x) पर लगातार बढ़ता है, इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। / The function \(x^3\) is strictly increasing on real numbers, so distinct inputs give distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) मौजूद है, इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है। / For every real (y), \(x=\sqrt[3]{y}\) exists, so every (y) has a preimage.
Step 3
Exam Tip
घन फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर द्वैक होता है। / The cube function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is bijective.
B. यह आच्छादक है पर एकैकी नहीं/It is onto but not one-one
Step 1
Concept
(f(2)=4) और (f(-2)=4), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \([0,\infty\)) है और हर \(y\ge 0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) मिलता है। / The codomain is \([0,\infty\)), and for every \(y\ge 0\), \(x=\sqrt{y}\) exists.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बदलने से आच्छादकता बदल सकती है, इसलिए सहप्रांत अवश्य देखें। / Onto property depends on the codomain, so always check it carefully.
