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(A) में (10) अभाज्य हैं, (B) में (10) गुणज हैं और \(A\cap B={3}\), इसलिए \(|A\cup B|=19\)। अतः (|\(A\cup B\)'|=30-19=11) नहीं, ध्यान से (30-19=11) है। / There are (10) primes in (A), (10) multiples in (B), and \(A\cap B={3}\), so \(|A\cup B|=19\). Hence (|\(A\cup B\)'|=30-19=11); always subtract from (|U|).
\(A\cap B\) में (15) के गुणज (15,30,45) हैं, इसलिए उसमें (3) अवयव हैं। अतः (|\(A\cap B\)'|=45-3=42)। / \(A\cap B\) contains multiples of (15), namely (15,30,45), so it has (3) elements. Hence (|\(A\cap B\)'|=45-3=42).
\(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) है, इसलिए (U) के बचे अवयव (A') होंगे। परीक्षा में पूरक हमेशा (U) के अंदर ही निकालें। / Here \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), so the remaining elements of (U) form (A'). In exams, always find complement inside (U).
(A) में (-2) शामिल नहीं और (6) शामिल है, इसलिए पूरक में (-2) आएगा पर (6) नहीं आएगा। सही उत्तर ((-\infty,-2]\cup\(6,\infty\)) है। / (A) does not include (-2) but includes (6), so the complement includes (-2) but excludes (6). The correct answer is ((-\infty,-2]\cup\(6,\infty\)).
बड़े समुच्चय का पूरक छोटा होता है, इसलिए \(A\subseteq B\Rightarrow B'\subseteq A'\)। इस उल्टे क्रम को याद रखना उपयोगी है। / The complement reverses inclusion, so \(A\subseteq B\Rightarrow B'\subseteq A'\). Remember this reversal property for hard questions.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \((X\cap Y)'=X'\cup Y'\)। यहाँ \(X=A\) और \(Y=B'\) रखने पर \((A\cap B')'=A'\cup(B')'=A'\cup B\) प्राप्त होता है, क्योंकि \((B')'=B\)। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प C में पूरक और संघ का प्रयोग सही क्रम में नहीं हुआ है। परीक्षा-युक्ति: डी मॉर्गन नियम लगाने के बाद दोहरे पूरक को अवश्य हटाएँ। / By De Morgan’s law, \((X\cap Y)'=X'\cup Y'\). Taking \(X=A\) and \(Y=B'\), we get \((A\cap B')'=A'\cup(B')'=A'\cup B\), since \((B')'=B\). Therefore, option A is correct. Option C incorrectly handles the complement and the union. Exam tip: after applying De Morgan’s law, always simplify any double complement.
B. \(\{1,3,7,9,11,13,17,19\}\), अर्थात वे संख्याएँ जो न तो सम हैं और न 5 की गुणज हैं/\(\{1,3,7,9,11,13,17,19\}\), the numbers that are neither even nor multiples of 5
Explanation
Simple Explanation
\(A'\) में वे संख्याएँ होती हैं जो सम नहीं हैं, जबकि \(B'\) में वे संख्याएँ होती हैं जो 5 की गुणज नहीं हैं। इसलिए \(A'\cap B'\) में ऐसी संख्याएँ होंगी जो दोनों शर्तें पूरी करती हैं—न सम और न 5 की गुणज। \(U\) में ये संख्याएँ \(\{1,3,7,9,11,13,17,19\}\) हैं। डी मॉर्गन के नियम से \(A'\cap B'=(A\cup B)'\) भी होता है। परीक्षा-सूत्र: पूरक समुच्चयों का प्रतिच्छेद लेने पर मूल दोनों शर्तों का निषेध लेना होता है; इसे “neither-nor” के रूप में याद रखें। / \(A'\) contains the elements that are not even, while \(B'\) contains the elements that are not multiples of 5. Hence, \(A'\cap B'\) contains numbers satisfying both conditions: they are neither even nor multiples of 5. Within \(U\), this set is \(\{1,3,7,9,11,13,17,19\}\). By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\) as well. Exam tip: the intersection of two complements represents “neither this nor that,” not “both this and that.”
\(|A\cup B|=35+40-15=60\), इसलिए पूरक में (80-60=20) अवयव हैं। पहले संघ की संख्या निकालें। / \(|A\cup B|=35+40-15=60\), so the complement has (80-60=20) elements. Find the union count first.
पूरक समुच्चय की परिभाषा से \\(|A|=|U|-|A'|=100-58=42\\) और \\(|B|=100-47=53\\)। अतः समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत से \\(|A\\cup B|=|A|+|B|-|A\\cap B|=42+53-21=74\\)। इसलिए \\(|(A\\cup B)'|=|U|-|A\\cup B|=100-74=26\\), अतः विकल्प C सही है। परीक्षा टिप: संघ के पूरक का परिमाण निकालने से पहले \\(|A|\\) और \\(|B|\\) को उनके पूरकों से ज्ञात करें। / Using the definition of a complement, \\(|A|=|U|-|A'|=100-58=42\\) and \\(|B|=100-47=53\\). By the inclusion-exclusion principle, \\(|A\\cup B|=|A|+|B|-|A\\cap B|=42+53-21=74\\). Therefore, \\(|(A\\cup B)'|=|U|-|A\\cup B|=100-74=26\\), so option C is correct. Exam tip: First find \\(|A|\\) and \\(|B|\\) from their complements, then apply inclusion-exclusion to the union.
दिया है कि \(A-B=A\cap B'\)। दोनों पक्षों का पूरक लेने पर \((A-B)'=(A\cap B')'\)। डी मॉर्गन के नियम \((X\cap Y)'=X'\cup Y'\) से \((A\cap B')'=A'\cup(B')'=A'\cup B\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: समुच्चय-अंतर को पहले \(A\cap B'\) के रूप में लिखकर फिर डी मॉर्गन का नियम लगाएँ। / Given \(A-B=A\cap B'\), taking complements on both sides gives \((A-B)'=(A\cap B')'\). By De Morgan’s law, \((X\cap Y)'=X'\cup Y'\), so \((A\cap B')'=A'\cup(B')'=A'\cup B\). Hence, option A is correct. Exam tip: Rewrite set difference as an intersection with the complement before applying De Morgan’s laws.
(2) समुच्चय में नहीं था, इसलिए पूरक में आएगा; (7) समुच्चय में था, इसलिए पूरक में नहीं आएगा। अंतरालों में खुले और बंद सिरों पर ध्यान दें। / (2) was not in the set, so it is included in the complement; (7) was in the set, so it is excluded. Watch open and closed endpoints in intervals.
\(A\cap B=[1,3\)) है, इसलिए उसका पूरक (\(-\infty,1\)\cup[3,\infty)) होगा। पहले प्रतिच्छेद का सही अंतराल निकालें। / \(A\cap B=[1,3\)), so its complement is (\(-\infty,1\)\cup[3,\infty)). First find the correct intersection interval.
(A'\cap B'=\(A\cup B\)'), इसलिए यदि यह रिक्त है तो \(A\cup B=U\)। पूरक रिक्त हो तो मूल समुच्चय सार्वत्रिक होता है। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'), so if it is empty, \(A\cup B=U\). If a complement is empty, the original set is universal.
डी मॉर्गन से (\(A\cap B\)'=A'\cup B'), इसलिए \(A'\cup B'=A'\cap B'\) होगा। यह तभी होता है जब (A'=B'), अर्थात (A=B)। / By De Morgan, (\(A\cap B\)'=A'\cup B'), so \(A'\cup B'=A'\cap B'\). This happens when (A'=B'), hence (A=B).
\(|A\cup B|=25+10-5=30\), इसलिए (|A'\cap B'|=|\(A\cup B\)'|=50-30=20)। डी मॉर्गन को गिनती से जोड़ें। / \(|A\cup B|=25+10-5=30\), so (|A'\cap B'|=|\(A\cup B\)'|=50-30=20). Connect De Morgan with counting.
(A=U-A'={a,c,e,g}) और (B'={e,f,g,h}), इसलिए \(A\cap B'={e,g}\)। दिए गए पूरक से पहले मूल समुच्चय निकालें। / (A=U-A'={a,c,e,g}) and (B'={e,f,g,h}), so \(A\cap B'={e,g}\). First recover the original set from its complement.
दोनों शर्तें बताती हैं कि (A) और (A') मिलकर (U) बनाते हैं और अलग-अलग हैं। यही पूरक की मुख्य पहचान है। / Both conditions show that (A) and (A') together form (U) and are disjoint. This is the main identity of complement.
\(A\cap B\) में (12) के गुणज (12,24,36) हैं, इसलिए (3) अवयव हैं। अतः पूरक में (40-3=37) अवयव होंगे। / \(A\cap B\) contains multiples of (12), namely (12,24,36), so it has (3) elements. Hence the complement has (40-3=37) elements.
समीकरण से \(A=\{2,3\}\) मिलता है, इसलिए पूरक \(\mathbb{R}-{2,3}\) होगा। पहले समीकरण का हल निकालें। / The equation gives \(A=\{2,3\}\), so the complement is \(\mathbb{R}-{2,3}\). Solve the equation first.
डी मॉर्गन से (\(A'\cup B'\)'=A\cap B), जो ({3,5,7,11}) है। बाहरी पूरक को नियम से सरल करें। / By De Morgan, (\(A'\cup B'\)'=A\cap B), which is ({3,5,7,11}). Simplify the outer complement using the law.
दोनों पक्षों का पूरक लेने पर ((A')'=(B')'), इसलिए (A=B)। दोहरा पूरक मूल समुच्चय देता है। / Taking complement on both sides gives ((A')'=(B')'), so (A=B). The double complement gives the original set.
यदि \(U={1,2,\ldots,60}\), (A) (3) के गुणजों का समुच्चय है, (B) (4) के गुणजों का समुच्चय है और (C) (5) के गुणजों का समुच्चय है, तो (|\(A\cup B\cup C\)'|) कितना है?
समावेशन-बहिष्करण से \(|A\cup B\cup C|=20+15+12-5-4-3+1=36\)। इसलिए पूरक में (60-36=24) अवयव हैं। / By inclusion-exclusion, \(|A\cup B\cup C|=20+15+12-5-4-3+1=36\). So the complement has (60-36=24) elements.
यदि (U) में (120) विद्यार्थी हैं, (70) गणित पढ़ते हैं, (65) भौतिकी पढ़ते हैं और (30) दोनों पढ़ते हैं, तो न गणित न भौतिकी पढ़ने वालों की संख्या कितनी है?
\(|M\cup P|=70+65-30=105\), इसलिए (|\(M\cup P\)'|=120-105=15)। न यह न वह का अर्थ पूरक होता है। / \(|M\cup P|=70+65-30=105\), so (|\(M\cup P\)'|=120-105=15). Neither means the complement of the union.
(9) अभाज्य नहीं है और (U) में है, इसलिए (A') में होगा। पूरक में वे अवयव आते हैं जो (U) में हों पर (A) में न हों। / (9) is not prime and belongs to (U), so it is in (A'). Complement contains elements in (U) but not in (A).
दो समुच्चयों के पूरकों का सममित अंतर मूल समुच्चयों के सममित अंतर के बराबर होता है। यहां दोनों में केवल ({1,2,5,6}) मिलेंगे। / The symmetric difference of complements equals the symmetric difference of the original sets. Here both give ({1,2,5,6}).
समुच्चय \(A\) में वे वास्तविक संख्याएँ हैं जो 2 से छोटी या 8 के बराबर अथवा उससे बड़ी हैं। इसलिए इसके पूरक में केवल \(2\le x<8\) वाली संख्याएँ होंगी, अर्थात \(A'=[2,8)\)। 2 शामिल है क्योंकि \(2\notin A\), जबकि 8 शामिल नहीं है क्योंकि \(8\in A\)। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय असमिकाओं के चिह्नों और खुले-बंद सिरों को उलटकर जाँचें। / Set \(A\) contains real numbers less than 2 or greater than or equal to 8. Therefore, its complement consists exactly of the numbers satisfying \(2\le x<8\), so \(A'=[2,8)\). The endpoint 2 is included because \(2\notin A\), whereas 8 is excluded because \(8\in A\). Exam tip: When finding a complement, carefully reverse the inclusion status of the interval endpoints.
(B=\(A\cap B\)\cup\(A'\cap B\)) और (C=\(A\cap C\)\cup\(A'\cap C\)), इसलिए (B=C)। (A) और (A') पूरे (U) को बांटते हैं। / (B=\(A\cap B\)\cup\(A'\cap B\)) and (C=\(A\cap C\)\cup\(A'\cap C\)), so (B=C). (A) and (A') partition (U).
(A') सम संख्याएँ हैं और \(B=\{1,4,9,16,25\}\)। इनके प्रतिच्छेद में ({4,16}) हैं, इसलिए संख्या (2) है। / (A') is the set of even numbers and \(B=\{1,4,9,16,25\}\). Their intersection is ({4,16}), so the count is (2).
A. (2) से विभाज्य संख्याएँ/Numbers divisible by (2)
Explanation
Simple Explanation
(A) में (2) से विभाज्य नहीं संख्याएँ हैं, इसलिए पूरक में (2) से विभाज्य संख्याएँ होंगी। नकारात्मक परिभाषा में पूरक लेते समय सावधान रहें। / (A) contains numbers not divisible by (2), so its complement contains numbers divisible by (2). Be careful with complements of negative descriptions.
पहली शर्त से \(A\cup B=U\) और दूसरी से दोनों असंयुक्त हैं। इसलिए (B) ठीक (A') है। / The first condition gives \(A\cup B=U\), and the second says they are disjoint. Therefore (B) is exactly (A').
दोहरा पूरक मूल समुच्चय देता है, इसलिए ((A')'=A)। यह पहचान लगभग हर पूरक प्रश्न में काम आती है। / The double complement gives the original set, so ((A')'=A). This identity is useful in many complement questions.
(20) तक (3) के (6) गुणज हैं, इसलिए (A') में (20-6=14) अवयव हैं। पूरक की संख्या के लिए कुल में से घटाएं। / There are (6) multiples of (3) up to (20), so (A') has (20-6=14) elements. For complement count, subtract from the total.
(A) में (2) से (6) तक के पूर्णांक हैं, इसलिए (A') में (2) से छोटे (U) के पूर्णांक होंगे। सार्वत्रिक सीमा को न भूलें। / (A) contains integers from (2) to (6), so (A') contains integers of (U) less than (2). Do not ignore the universal boundary.
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएँ (15+10-5=20) हैं। इसलिए पूरक में (30-20=10) संख्याएँ हैं। / Numbers divisible by (2) or (3) are (15+10-5=20). Therefore the complement contains (30-20=10) numbers.
समुच्चय अंतर (B-A) का अर्थ है (B) में और (A) में नहीं, यानी \(B\cap A'\)। अंतर को पूरक से लिखना आसान है। / The difference (B-A) means in (B) and not in (A), that is \(B\cap A'\). Writing difference with complement is easier.
\(A\cup B=[-2,7]\), इसलिए पूरक (\(-\infty,-2\)\cup\(7,\infty\)) है। पहले संघ का अंतराल सही बनाएं। / \(A\cup B=[-2,7]\), so the complement is (\(-\infty,-2\)\cup\(7,\infty\)). First form the union interval correctly.
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') और \(A\cup B=(-3,6)\)। इसलिए पूरक (\(-\infty,-3]\cup[6,\infty\)) है। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)') and \(A\cup B=(-3,6)\). So the complement is (\(-\infty,-3]\cup[6,\infty\)).
समुच्चय \(U\) में कुल 100 अवयव हैं। 1 से 100 तक पूर्ण वर्ग संख्याएँ \(1^2,2^2,\ldots,10^2\) हैं, इसलिए \(|A|=10\)। चूँकि \(A'\), \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है, \(|A'|=|U|-|A|=100-10=90\)। अतः सही उत्तर 90 है। परीक्षा-युक्ति: 1 से \(n\) तक पूर्ण वर्गों की संख्या \(\lfloor\sqrt n\rfloor\) होती है। / The universal set \(U\) has 100 elements. The perfect squares from 1 to 100 are \(1^2,2^2,\ldots,10^2\), so \(|A|=10\). Since \(A'\) is the complement of \(A\) relative to \(U\), \(|A'|=|U|-|A|=100-10=90\). Therefore, the correct answer is 90. Exam tip: The number of perfect squares from 1 to \(n\) is \(\lfloor\sqrt n\rfloor\).
\(A\cap B={4}\), इसलिए उसके पूरक में (15-1=14) अवयव हैं। छोटे प्रतिच्छेद का पूरक बड़ा हो सकता है। / \(A\cap B={4}\), so its complement has (15-1=14) elements. The complement of a small intersection can be large.
पूरक में (U) के वे अवयव हैं जो (A) में नहीं हैं, इसलिए संख्या (n-r) है। यह सूत्र तभी लागू करें जब \(A\subseteq U\) हो। / The complement contains elements of (U) not in (A), so the number is (n-r). Use this formula only when \(A\subseteq U\).
(A) और (A') मिलकर पूरा (U) बनाते हैं तथा उनका साझा भाग रिक्त होता है। यह पूरक की जोड़ी पहचान है। / (A) and (A') together make the whole (U), and their common part is empty. This is the paired identity of complement.
\(यदि �(\(U=\{1,2,\ldots,24\}\)\u0000), �(\(A=\{x\in U:x\text{ 2 से विभाज्य है}\}\)\u0000) और �(\(B=\{x\in U:x\text{ 3 से विभाज्य है}\}\)\u0000) हों, तो �\(|A'\cup B'|\)� का मान कितना है\)?
डी मॉर्गन के नियम से �(A'\cup B'=\(A\cap B\)')�। �\(A\cap B\)� में वे संख्याएँ होंगी जो 2 और 3 दोनों से विभाज्य हैं, अर्थात 6 के गुणज: 6, 12, 18, 24। इसलिए �\(|A\cap B|=4\)� और �\(|A'\cup B'|=24-4=20\)�। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चयों के संघ या प्रतिच्छेद में पहले डी मॉर्गन के नियम लगाएँ। / By De Morgan’s law, �(A'\cup B'=\(A\cap B\)')�. The set �\(A\cap B\)� contains numbers divisible by both 2 and 3, यानी multiples of 6: 6, 12, 18, and 24. Thus �\(|A\cap B|=4\)�, so �\(|A'\cup B'|=24-4=20\)�. Exam tip: For a union or intersection of complements, apply De Morgan’s law before counting.
किसी समुच्चय का पूरक उसके सार्वत्रिक समुच्चय के वे सभी अवयव होते हैं जो उस समुच्चय में नहीं होते। इसलिए \(A=U\setminus A'\)। \(U\) से \(1,5,7,11\) हटाने पर \(A=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\) प्राप्त होता है। विकल्प B पूरक समुच्चय \(A'\) है, \(A\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष अवयव हटाएँ। / The complement of a set contains all elements of the universal set that are not in that set. Hence, \(A=U\setminus A'\). Removing \(1,5,7,11\) from \(U\) gives \(A=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\). Option B is the given complement \(A'\), not the set \(A\). Exam tip: Always find a complement relative to the specified universal set.
समुच्चय \(A\) में वे सभी वास्तविक संख्याएँ हैं जो \(-1\) से छोटी या बराबर हैं अथवा 4 से बड़ी हैं। इसलिए इसके पूरक में \(x>-1\) और \(x\le 4\) होना चाहिए, अतः \(A'=(-1,4]\)। \(-1\) शामिल नहीं है क्योंकि वह \(A\) में है, जबकि 4 शामिल है क्योंकि \(A\) में शर्त \(x>4\) है, \(x\ge 4\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय असमानता के चिह्न और endpoints की inclusion को ध्यान से बदलें। / The set \(A\) contains all real numbers satisfying \(x\le -1\) or \(x>4\). Hence its complement must satisfy both \(x>-1\) and \(x\le 4\), giving \(A'=(-1,4]\). The endpoint \(-1\) is excluded because it belongs to \(A\), whereas 4 is included because the condition in \(A\) is \(x>4\), not \(x\ge 4\). Exam tip: while taking a complement, check the inequality signs and endpoint inclusion carefully.
यदि (U) में (200) विद्यार्थी हैं, (120) हिंदी लेते हैं, (90) अंग्रेजी लेते हैं और (50) दोनों लेते हैं, तो केवल कोई भी भाषा न लेने वालों की संख्या क्या है?
\(|H\cup E|=120+90-50=160\), इसलिए (|\(H\cup E\)'|=200-160=40)। neither को (\(H\cup E\)') के रूप में पढ़ें। / \(|H\cup E|=120+90-50=160\), so (|\(H\cup E\)'|=200-160=40). Read neither as (\(H\cup E\)').
\(A\cap B'=\varnothing\) का अर्थ है (A) का कोई अवयव (B) के बाहर नहीं है। इसलिए हर (A) का अवयव (B) में है। / \(A\cap B'=\varnothing\) means no element of (A) lies outside (B). Hence every element of (A) is in (B).
\(A\cup B'=U\) का पूरक लेने पर \(A'\cap B=\varnothing\), इसलिए \(B\subseteq A\)। पूरक लेकर संबंध आसान हो जाता है। / Taking complement of \(A\cup B'=U\) gives \(A'\cap B=\varnothing\), so \(B\subseteq A\). Taking complements makes the relation easier.
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,\ldots,36\}\) है, \(A\), 4 के गुणजों का समुच्चय है और \(B\), 9 के गुणजों का समुच्चय है, तो \(|A'\cap B'|\) का मान क्या होगा?
समुच्चय \(A\) में 4 के 9 गुणज और समुच्चय \(B\) में 9 के 4 गुणज हैं। दोनों में समान तत्त्व केवल 36 है, क्योंकि 4 और 9 का लघुत्तम समापवर्त्य 36 है। इसलिए \(|A\cup B|=9+4-1=12\)। डी मॉर्गन के नियम से \(A'\cap B'=(A\cup B)'\), अतः \(|A'\cap B'|=36-12=24\)। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चयों के प्रतिच्छेद को पहले संघ के पूरक में बदलना गणना को सरल बनाता है। / Set \(A\) contains 9 multiples of 4, while set \(B\) contains 4 multiples of 9. Their only common element is 36, since the least common multiple of 4 and 9 is 36. Thus, \(|A\cup B|=9+4-1=12\). By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\), so \(|A'\cap B'|=36-12=24\). Exam tip: Convert an intersection of complements into the complement of a union before counting.
\(x^2-1\ge 0\) का हल \(x\le -1\) या \(x\ge 1\) है। इसका पूरक (-1<x<1), यानी ((-1,1)) है। / The solution of \(x^2-1\ge 0\) is \(x\le -1\) or \(x\ge 1\). Its complement is (-1<x<1), that is ((-1,1)).
