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All these elements are also present in (B), so \(A\subseteq B\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: first convert set-builder form into roster form when possible. चरण 1: (A) में (1,2,3,4,5) आते हैं। चरण 2: ये सभी अवयव (B) में भी हैं, इसलिए \(A\subseteq B\) सही है। चरण 3: परीक्षा संकेत: पहले समुच्चय रूप को सूची रूप में बदलकर जांचना आसान रहता है।
The interval (A=[2,5)) contains all real numbers from (2) up to but not including (5).
Step 2
Why this answer is correct
All these numbers are greater than (1) and less than (5), so they also lie in (B=(1,5)).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: while checking interval subsets, compare both limits and endpoint inclusion carefully. चरण 1: (A=[2,5)) में (2) से (5) से छोटी सभी वास्तविक संख्याएं आती हैं। चरण 2: ये सभी संख्याएं (1) से बड़ी और (5) से छोटी हैं, इसलिए वे (B=(1,5)) में भी आती हैं। चरण 3: परीक्षा संकेत: अंतरालों में उपसमुच्चय जांचते समय दोनों सिरों की सीमा और शामिल होने की स्थिति ध्यान से देखें।
If a set has (n) elements, the number of subsets is \(2^n\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (n=3), so \(2^3=8\).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: include the empty set and the set itself while counting. चरण 1: यदि किसी समुच्चय में (n) अवयव हों, तो उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। चरण 2: यहाँ (n=3), इसलिए \(2^3=8\)। चरण 3: परीक्षा संकेत: खाली समुच्चय और पूरा समुच्चय भी गिनना न भूलें।
A. \(\varnothing\in A\)/\(\varnothing\) belongs to (A)
Step 1
Concept
Anything written directly as an element of a set belongs to that set.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(\varnothing\) is directly listed inside (A), so \(\varnothing\in A\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: carefully distinguish between \(\varnothing\) and \({\varnothing}\). चरण 1: किसी समुच्चय में जो चीज सीधे अवयव के रूप में लिखी हो, वह उस समुच्चय की सदस्य होती है। चरण 2: यहाँ \(\varnothing\) सीधे (A) के अंदर लिखा है, इसलिए \(\varnothing\in A\) सही है। चरण 3: परीक्षा संकेत: \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) में अंतर ध्यान से समझें।
A proper subset has all its elements in the given set but is not equal to it.
Step 2
Why this answer is correct
Both (2) and (4) are in (A), and ({2,4}) is not equal to (A).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: the whole set is a subset, but not a proper subset of itself. चरण 1: उचित उपसमुच्चय में सभी अवयव मूल समुच्चय में होते हैं, पर वह मूल समुच्चय के बराबर नहीं होता। चरण 2: ({2,4}) के दोनों अवयव (A) में हैं और यह (A) से छोटा है। चरण 3: परीक्षा संकेत: बराबर समुच्चय को उचित उपसमुच्चय न मानें।
A. \(\varnothing \subseteq A\)/\(\varnothing\) is a subset of (A)
Step 1
Concept
The empty set has no element that can violate the subset condition.
Step 2
Why this answer is correct
So \(\varnothing\) is considered a subset of every set (A).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: do not confuse \(\varnothing \subseteq A\) with \(\varnothing \in A\). चरण 1: खाली समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए उसके बाहर जाने वाला कोई अवयव बचता ही नहीं। चरण 2: इसी कारण \(\varnothing\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय माना जाता है। चरण 3: परीक्षा संकेत: \(\varnothing \subseteq A\) और \(\varnothing \in A\) में अंतर याद रखें।
Numbers less than (0) form (\(-\infty,0\)), and numbers greater than (0) form (\(0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: removing one point from the real line often creates two open intervals. चरण 1: \(x\ne 0\) का अर्थ है कि (0) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएं लेनी हैं। चरण 2: (0) से छोटी संख्याएं (\(-\infty,0\)) में और (0) से बड़ी संख्याएं (\(0,\infty\)) में आती हैं। चरण 3: परीक्षा संकेत: किसी एक बिंदु को हटाने पर अक्सर दो खुले अंतराल बनते हैं।
In (2<x<7), equality is not included at either end.
Step 2
Why this answer is correct
So (2) and (7) are not included, giving the interval ((2,7)).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: use round brackets when the endpoint is not included. चरण 1: असमानता (2<x<7) में दोनों सिरों पर बराबरी शामिल नहीं है। चरण 2: इसलिए (2) और (7) शामिल नहीं होंगे और अंतराल ((2,7)) होगा। चरण 3: परीक्षा संकेत: चिन्ह (<) हो तो गोल कोष्ठक लगाएं।
All of them are between (-2) and (4), so \(A\subseteq B\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: while comparing intervals, check both limits and endpoint inclusion together. चरण 1: (A) की सभी संख्याएं (-1) से (3) तक हैं। चरण 2: ये सभी संख्याएं (-2) और (4) के बीच आती हैं, इसलिए \(A\subseteq B\) सही है। चरण 3: परीक्षा संकेत: अंतरालों की तुलना करते समय दोनों सीमाओं और सिरों को साथ में देखें।
The symbol \(\le\) means the endpoint is included.
Step 2
Why this answer is correct
Both (-1) and (4) are included, so the interval is ([-1,4]).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: use square brackets for included endpoints. चरण 1: \(\le\) का अर्थ है कि सिरे भी शामिल हैं। चरण 2: यहाँ (-1) और (4) दोनों शामिल हैं, इसलिए बंद अंतराल ([-1,4]) बनेगा। चरण 3: परीक्षा संकेत: बराबरी वाला चिन्ह हो तो चौकोर कोष्ठक का प्रयोग करें।
In ([3,8)), (3) is included and (8) is not included.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the condition is \(3\le x<8\).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: brackets directly tell you whether equality is included. चरण 1: ([3,8)) में (3) शामिल है और (8) शामिल नहीं है। चरण 2: इसलिए असमानता \(3\le x<8\) होगी। चरण 3: परीक्षा संकेत: कोष्ठक देखकर ही बराबरी का चिन्ह तय करें।
A round bracket excludes an endpoint, while a square bracket includes it.
Step 2
Why this answer is correct
In ((5,10]), (5) is excluded and (10) is included.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: the symbol (]) on the right means the right endpoint is included. चरण 1: गोल कोष्ठक वाला सिरा शामिल नहीं होता और चौकोर कोष्ठक वाला सिरा शामिल होता है। चरण 2: ((5,10]) में (5) बाहर है और (10) अंदर है। चरण 3: परीक्षा संकेत: दाहिने सिरे पर (]) देखकर (10) को शामिल मानें।
In \(x\ge -3\), (-3) is included along with all larger real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
So the left endpoint is square and the infinity side is round.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: the symbol \(\ge\) includes the boundary number. चरण 1: \(x\ge -3\) में (-3) शामिल है और उसके बाद की सभी वास्तविक संख्याएं भी शामिल हैं। चरण 2: इसलिए बायां सिरा चौकोर और दायां सिरा \(\infty\) के साथ गोल होगा। चरण 3: परीक्षा संकेत: \(\ge\) देखकर शुरुआती संख्या को शामिल करें।
A. \(\mathbb{N}\subseteq \mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}\)
Step 1
Concept
Natural numbers are inside integers, integers are inside rational numbers, and rational numbers are inside real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(\mathbb{N}\subseteq \mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: remember the number sets from smaller to larger collections. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएं पूर्णांकों में आती हैं, पूर्णांक परिमेय संख्याओं में आते हैं और परिमेय संख्याएं वास्तविक संख्याओं में आती हैं। चरण 2: इसलिए श्रृंखला \(\mathbb{N}\subseteq \mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}\) सही है। चरण 3: परीक्षा संकेत: संख्या परिवारों का क्रम छोटे से बड़े समुच्चय की ओर याद रखें।
Every integer is a real number, so \(\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: numbers involving (i) are not real numbers in this basic context. चरण 1: \(\mathbb{R}\) में सभी वास्तविक संख्याएं आती हैं। चरण 2: हर पूर्णांक वास्तविक संख्या होता है, इसलिए \(\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{R}\)। चरण 3: परीक्षा संकेत: (i) वाली संख्याएं सामान्य रूप से वास्तविक संख्या नहीं मानी जातीं।
\(\mathbb{Q}\) contains numbers that can be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{3}{4}\) is rational, and every rational number is also real.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: every rational number is inside the set of real numbers. चरण 1: \(\mathbb{Q}\) में वे संख्याएं आती हैं जिन्हें \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके। चरण 2: \(\frac{3}{4}\) परिमेय है और हर परिमेय संख्या वास्तविक भी होती है। चरण 3: परीक्षा संकेत: परिमेय संख्या हमेशा वास्तविक संख्याओं के बड़े समुच्चय में आती है।
A. (A) का हर अवयव (B) में है/every element of (A) is in (B)
Step 1
Concept
\(A\subseteq B\) is the notation for subset.
Step 2
Why this answer is correct
It means every element chosen from (A) is also found in (B).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: read the symbol carefully from left set to right set. चरण 1: \(A\subseteq B\) उपसमुच्चय का संकेत है। चरण 2: इसका अर्थ है कि (A) से लिया गया हर अवयव (B) में भी मिलेगा। चरण 3: परीक्षा संकेत: संकेत की खुली दिशा बड़े समुच्चय की ओर समझें।
On the real number line, there are infinitely many points between two distinct numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Even though (1) and (2) are excluded, ((1,2)) still has infinitely many real numbers.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: do not treat an interval as only a list of integers. चरण 1: वास्तविक संख्याओं की रेखा पर दो अलग संख्याओं के बीच भी अनंत बिंदु होते हैं। चरण 2: ((1,2)) में (1) और (2) नहीं हैं, फिर भी उनके बीच अनंत वास्तविक संख्याएं हैं। चरण 3: परीक्षा संकेत: अंतराल को केवल पूर्णांकों की सूची न समझें।
The interval ((2,5)) contains numbers greater than (2) and less than (5).
Step 2
Why this answer is correct
(3) satisfies this condition, while (2) and (5) are excluded endpoints.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: open intervals do not include their endpoints. चरण 1: ((2,5)) में वे संख्याएं आती हैं जो (2) से बड़ी और (5) से छोटी हों। चरण 2: (3) इस शर्त को पूरा करता है, जबकि (2) और (5) सिरे होने के कारण शामिल नहीं हैं। चरण 3: परीक्षा संकेत: खुले अंतराल में दोनों छोर नहीं गिने जाते।
([2,5]) contains all real numbers from (2) to (5), including both endpoints.
Step 2
Why this answer is correct
(6) is greater than (5), so it is outside the interval.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: a closed interval includes endpoints, but not numbers outside its limits. चरण 1: ([2,5]) में (2) से (5) तक की सभी वास्तविक संख्याएं शामिल हैं, दोनों सिरे भी शामिल हैं। चरण 2: (6), (5) से बड़ा है, इसलिए यह अंतराल में नहीं है। चरण 3: परीक्षा संकेत: बंद अंतराल में सिरे आते हैं, पर सीमा से बाहर की संख्या नहीं आती।
((2,4)) contains only the numbers between (2) and (4).
Step 2
Why this answer is correct
([2,4]) contains those numbers plus both endpoints, so \((2,4)\subseteq[2,4]\).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: an open interval is contained in the closed interval with the same endpoints. चरण 1: ((2,4)) में केवल (2) और (4) के बीच की संख्याएं हैं। चरण 2: ([2,4]) में वे सभी संख्याएं और दोनों सिरे भी हैं, इसलिए ((2,4)) उसका उपसमुच्चय है। चरण 3: परीक्षा संकेत: खुला अंतराल अपने उसी सीमा वाले बंद अंतराल में समा जाता है।
B. यह असत्य है क्योंकि (2) और (4) खुले अंतराल में नहीं हैं/it is false because (2) and (4) are not in the open interval
Step 1
Concept
([2,4]) includes both (2) and (4).
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) excludes these endpoints, so the whole set ([2,4]) cannot be inside it.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: one outside element is enough to make a subset statement false. चरण 1: ([2,4]) में (2) और (4) दोनों शामिल हैं। चरण 2: ((2,4)) में ये दोनों सिरे शामिल नहीं हैं, इसलिए पूरा ([2,4]) उसके अंदर नहीं जा सकता। चरण 3: परीक्षा संकेत: उपसमुच्चय में एक भी बाहरी अवयव मिलने पर कथन गलत हो जाता है।
Both sides use (<), so neither boundary is included.
Step 2
Why this answer is correct
All real numbers between (-1) and (3) are written as ((-1,3)).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: while converting set-builder form to interval form, read the inequality signs carefully. चरण 1: दोनों ओर केवल (<) है, इसलिए दोनों सीमाएं शामिल नहीं होंगी। चरण 2: (-1) और (3) के बीच की सभी वास्तविक संख्याएं ((-1,3)) से लिखी जाती हैं। चरण 3: परीक्षा संकेत: समुच्चय रूप से अंतराल रूप में बदलते समय असमानता के चिन्हों को ध्यान से पढ़ें।
In \(x\le 3\), (3) is included along with all smaller real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
So the interval is (\(-\infty,3]\).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: \(\le\) includes the boundary number. चरण 1: \(x\le 3\) में (3) शामिल है और (3) से छोटी सभी संख्याएं भी शामिल हैं। चरण 2: इसलिए बाईं ओर \(-\infty\) और दाईं ओर (3]) आएगा। चरण 3: परीक्षा संकेत: \(\le\) में सीमा संख्या को शामिल करें।
All real numbers greater than (-2) are represented by (\(-2,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: the symbol (>) excludes the boundary number. चरण 1: (x>-2) में (-2) शामिल नहीं है। चरण 2: (-2) से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएं (\(-2,\infty\)) में आती हैं। चरण 3: परीक्षा संकेत: (>) में सीमा संख्या बाहर रहती है।
(x<4) shows that (4) is not included, so the interval is ([0,4)).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: check the left and right endpoints separately. चरण 1: \(0\le x\) बताता है कि (0) शामिल है। चरण 2: (x<4) बताता है कि (4) शामिल नहीं है, इसलिए ([0,4)) मिलेगा। चरण 3: परीक्षा संकेत: बाएं और दाएं सिरे को अलग-अलग जांचें।
\(x\le 0\) means (0) is included, so the interval is ((-3,0]).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: in mixed inequalities, read each endpoint sign separately. चरण 1: (-3<x) से (-3) बाहर रहेगा। चरण 2: \(x\le 0\) से (0) शामिल होगा, इसलिए ((-3,0]) सही है। चरण 3: परीक्षा संकेत: मिश्रित असमानताओं में दोनों सिरों के चिन्ह अलग-अलग पढ़ें।
A. (a) और (b) दोनों शामिल हैं/both (a) and (b) are included
Step 1
Concept
A square bracket means the corresponding endpoint is included.
Step 2
Why this answer is correct
In ([a,b]), both ends have square brackets, so both (a) and (b) are included.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: a closed interval includes both boundary values. चरण 1: चौकोर कोष्ठक का अर्थ है कि संबंधित सिरा शामिल है। चरण 2: ([a,b]) में दोनों ओर चौकोर कोष्ठक हैं, इसलिए (a) और (b) दोनों शामिल हैं। चरण 3: परीक्षा संकेत: बंद अंतराल में दोनों सीमाएं गिनी जाती हैं।
Only (x=2) satisfies this condition, so the set is ({2}).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: a closed interval with equal endpoints becomes a singleton set. चरण 1: ([2,2]) में शर्त \(2\le x\le 2\) है। चरण 2: केवल (x=2) ही यह शर्त पूरी करता है, इसलिए समुच्चय ({2}) होगा। चरण 3: परीक्षा संकेत: समान सिरों वाले बंद अंतराल को एकल अवयव वाला समुच्चय समझें।
No real number can be greater than (2) and less than (2) at the same time.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: an open interval with equal endpoints is the empty set. चरण 1: ((2,2)) में शर्त (2<x<2) बनती है। चरण 2: कोई भी वास्तविक संख्या एक साथ (2) से बड़ी और (2) से छोटी नहीं हो सकती। चरण 3: परीक्षा संकेत: समान सिरों वाला खुला अंतराल खाली समुच्चय होता है।
Exam tip: for each element, think of two choices: include it or exclude it. चरण 1: (n) अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^n\) होते हैं। चरण 2: यहाँ (n=4), इसलिए \(2^4=16\)। चरण 3: परीक्षा संकेत: हर अवयव के लिए दो स्थितियां सोचें, लेना या न लेना।
For proper subsets, the set itself is not counted, so (4-1=3).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: when proper subsets are asked, subtract the original set. चरण 1: (2) अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चय \(2^2=4\) होते हैं। चरण 2: उचित उपसमुच्चयों में पूरा समुच्चय नहीं गिना जाता, इसलिए (4-1=3)। चरण 3: परीक्षा संकेत: उचित उपसमुच्चय पूछे तो पूरे समुच्चय को हटाएं।
For a subset, every element of the option must be in the given set.
Step 2
Why this answer is correct
Both (5) and (9) are elements of (A).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: if even one new element appears, the option is not a subset. चरण 1: उपसमुच्चय में दिए गए समुच्चय का हर अवयव मूल समुच्चय में होना चाहिए। चरण 2: ({5,9}) के दोनों अवयव (A) में हैं। चरण 3: परीक्षा संकेत: विकल्प में एक भी नया अवयव हो तो वह उपसमुच्चय नहीं रहेगा।
A. क्योंकि (A) का हर अवयव (A) में ही होता है/because every element of (A) is in (A)
Step 1
Concept
The subset condition checks whether every element of the first set is in the second set.
Step 2
Why this answer is correct
Every element of (A) is naturally in (A) itself.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: every set is a subset of itself. चरण 1: उपसमुच्चय की शर्त केवल यह देखती है कि पहले समुच्चय का हर अवयव दूसरे में है या नहीं। चरण 2: (A) का हर अवयव स्वाभाविक रूप से (A) में ही होता है। चरण 3: परीक्षा संकेत: हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है।
All elements of (B) are in (C), so all elements of (A) are also in (C).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: subset relation can be chained in this way. चरण 1: (A) के सभी अवयव (B) में हैं। चरण 2: (B) के सभी अवयव (C) में हैं, इसलिए (A) के अवयव भी (C) में होंगे। चरण 3: परीक्षा संकेत: उपसमुच्चय का संबंध आगे बढ़ाया जा सकता है।
The real number line extends endlessly in both directions.
Step 2
Why this answer is correct
It is represented as (\(-\infty,\infty\)), with round brackets at infinity.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: \(\infty\) is not a real endpoint, so it is never included. चरण 1: वास्तविक संख्या रेखा दोनों दिशाओं में बिना अंत तक फैलती है। चरण 2: इसे (\(-\infty,\infty\)) से दर्शाते हैं और \(\infty\) के साथ गोल कोष्ठक लगते हैं। चरण 3: परीक्षा संकेत: \(\infty\) कोई वास्तविक सिरा नहीं है, इसलिए उसे शामिल नहीं करते।
(0) is not negative, so the interval is (\(-\infty,0\)).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: treat (0) separately when working with positive and negative numbers. चरण 1: ऋणात्मक वास्तविक संख्याएं (0) से छोटी होती हैं। चरण 2: (0) ऋणात्मक नहीं है, इसलिए अंतराल (\(-\infty,0\)) होगा। चरण 3: परीक्षा संकेत: धनात्मक और ऋणात्मक में (0) को अलग से सोचें।
Non-negative means (0) or any number greater than (0).
Step 2
Why this answer is correct
So (0) is included and all larger real numbers are included.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: non-negative always includes (0). चरण 1: अऋणात्मक का अर्थ है (0) या उससे बड़ी संख्या। चरण 2: इसलिए (0) शामिल होगा और आगे सभी बड़ी वास्तविक संख्याएं आएंगी। चरण 3: परीक्षा संकेत: अऋणात्मक में (0) अवश्य शामिल होता है।
Every number in ((0,1)) is greater than (0) and less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
Such a number is also greater than (0) and less than (2), so it belongs to ((0,2)).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: compare the full interval limits while checking subset relation. चरण 1: ((0,1)) की हर संख्या (0) से बड़ी और (1) से छोटी है। चरण 2: ऐसी हर संख्या (0) से बड़ी और (2) से छोटी भी होगी, इसलिए वह ((0,2)) में आती है। चरण 3: परीक्षा संकेत: उपसमुच्चय जांचते समय पूरे अंतराल की सीमा देखें।
A. क्योंकि (0), ([0,1]) में है पर ((0,1]) में नहीं है/because (0) is in ([0,1]) but not in ((0,1])
Step 1
Concept
([0,1]) includes (0).
Step 2
Why this answer is correct
((0,1]) does not include (0), so not every element of ([0,1]) is in the second interval.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: endpoint checking often decides subset questions. चरण 1: ([0,1]) में (0) शामिल है। चरण 2: ((0,1]) में (0) शामिल नहीं है, इसलिए ([0,1]) की हर संख्या दूसरे अंतराल में नहीं जाती। चरण 3: परीक्षा संकेत: उपसमुच्चय में सीमा बिंदु सबसे आम गलती बनते हैं।
Every element of the option must be present in (A).
Step 2
Why this answer is correct
({3,5}) contains (5), but (5) is not in (A).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: one outside element is enough to reject a subset option. चरण 1: उपसमुच्चय में विकल्प के सभी अवयव (A) में होने चाहिए। चरण 2: ({3,5}) में (5) है, पर (5), (A) में नहीं है। चरण 3: परीक्षा संकेत: बाहर का केवल एक अवयव भी पूरे विकल्प को गलत कर देता है।
Since (a) is in (A), \({a}\subseteq A\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: understand the difference between the element (a) and the set ({a}). चरण 1: ({a}) एक समुच्चय है जिसका अकेला अवयव (a) है। चरण 2: (a), (A) में है, इसलिए \({a}\subseteq A\) सही है। चरण 3: परीक्षा संकेत: अवयव (a) और समुच्चय ({a}) में अंतर समझें।
Exam tip: extra elements in the larger set do not break the subset relation. चरण 1: (P) के अवयव (2,3,5,7) हैं। चरण 2: ये चारों अवयव (Q) में मिलते हैं, इसलिए \(P\subseteq Q\)। चरण 3: परीक्षा संकेत: बड़े समुच्चय में अतिरिक्त अवयव होने से उपसमुच्चय संबंध टूटता नहीं है।
The power set (P(A)) contains all subsets of (A) as its elements.
Step 2
Why this answer is correct
({1}) is a subset of (A), so it is an element of (P(A)).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: a power set contains subsets, not just the original elements. चरण 1: (P(A)) में (A) के सभी उपसमुच्चय अवयव के रूप में रखे जाते हैं। चरण 2: ({1}), (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए वह (P(A)) का अवयव है। चरण 3: परीक्षा संकेत: शक्ति समुच्चय में उपसमुच्चय आते हैं, अकेले मूल अवयव नहीं।
\(A\subseteq B\) says all elements of (A) are in (B).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\ne B\) says (A) is not equal to (B), so (A) is a proper subset of (B).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: equality is not allowed in a proper subset. चरण 1: \(A\subseteq B\) बताता है कि (A) के सभी अवयव (B) में हैं। चरण 2: \(A\ne B\) बताता है कि (A), (B) के बराबर नहीं है, इसलिए (A) उचित उपसमुच्चय है। चरण 3: परीक्षा संकेत: उचित उपसमुच्चय में बराबरी की अनुमति नहीं होती।
All vowels listed in (S) are letters of the alphabet.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore every element of (S) belongs to (V), so \(S\subseteq V\).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: everyday examples help you remember the subset definition. चरण 1: (S) में दिए गए सभी स्वर वर्णमाला के ही अवयव हैं। चरण 2: इसलिए (S) का हर अवयव (V) में मिलता है और \(S\subseteq V\) सही है। चरण 3: परीक्षा संकेत: दैनिक उदाहरणों से उपसमुच्चय की परिभाषा मजबूत होती है।
When both endpoints are excluded, the interval is ((5,9)).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: strict inequalities use round brackets. चरण 1: (5<x<9) में न (5) शामिल है और न (9)। चरण 2: दोनों सिरों के बाहर रहने पर अंतराल ((5,9)) लिखा जाता है। चरण 3: परीक्षा संकेत: सख्त असमानता में गोल कोष्ठक लगते हैं।
In ([1,6)), (1) is included but (6) is not included.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the condition is \(1\le x<6\).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: decide the left inequality from the left bracket and the right inequality from the right bracket. चरण 1: ([1,6)) में (1) शामिल है लेकिन (6) शामिल नहीं है। चरण 2: इसलिए शर्त \(1\le x<6\) होगी। चरण 3: परीक्षा संकेत: पहले बाएं कोष्ठक से बाईं असमानता और फिर दाएं कोष्ठक से दाईं असमानता तय करें।
([0,10]) contains all real numbers from (0) to (10).
Step 2
Why this answer is correct
Every number in ((2,8]) lies within this range.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: while choosing a subset interval, keep both endpoints within the original limits. चरण 1: ([0,10]) में (0) से (10) तक की सभी वास्तविक संख्याएं हैं। चरण 2: ((2,8]) की हर संख्या इसी सीमा के अंदर आती है। चरण 3: परीक्षा संकेत: उपसमुच्चय अंतराल चुनते समय दोनों सिरों को मूल सीमा के अंदर रखें।
((1,4)) contains all real numbers greater than (1) and less than (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{3}{2}\) is greater than (1) and less than (4), so it belongs to (A).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: intervals include fractions and decimals too, not just integers. चरण 1: ((1,4)) में (1) से बड़ी और (4) से छोटी सभी वास्तविक संख्याएं आती हैं। चरण 2: \(\frac{3}{2}\), (1) से बड़ा और (4) से छोटा है, इसलिए यह (A) में है। चरण 3: परीक्षा संकेत: अंतराल में केवल पूर्णांक नहीं, भिन्न और दशमलव भी आ सकते हैं।
