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असमानता की सीमा रेखा \(3x+y=15\) होगी। \(x\)-अवरोध के लिए \(y=0\) रखने पर \(3x=15\), अतः \(x=5\) मिलता है। \(y\)-अवरोध के लिए \(x=0\) रखने पर \(y=15\) मिलता है। इसलिए अवरोध \((5,0)\) और \((0,15)\) हैं। विकल्प B में दोनों मान आपस में बदल गए हैं। परीक्षा टिप: किसी रेखा के अवरोध ज्ञात करने के लिए बारी-बारी से दूसरे चर को शून्य रखें। / The boundary line of the inequality is \(3x+y=15\). For the \(x\)-intercept, put \(y=0\): \(3x=15\), so \(x=5\). For the \(y\)-intercept, put \(x=0\): \(y=15\). Hence, the intercepts are \((5,0)\) and \((0,15)\). In option B, the two values are interchanged. Exam tip: To find intercepts of a line, set one variable to zero at a time.
B. मूल बिंदु वाली ओर शेड होगी/side containing origin is shaded
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर (0<12) सत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाली ओर का अर्ध-समतल हल है। / Substituting ((0,0)) gives (0<12), which is true. Hence the half-plane containing the origin is the solution.
C. टूटी रेखा और मूल बिंदु के विपरीत ओर/dashed line and opposite to origin
Explanation
Simple Explanation
चिन्ह (>) होने से रेखा टूटी होगी। ((0,0)) रखने पर (0>8) असत्य है इसलिए विपरीत ओर शेड होगा। / The sign (>) makes the boundary dashed. Substituting ((0,0)) gives (0>8), false, so shade the opposite side.
बिंदु \((4,3)\) के लिए \(x+2y=4+2(3)=10\) प्राप्त होता है, इसलिए यह रेखा \(x+2y=10\) पर स्थित है। असमानता में \(\le\) होने के कारण सीमा रेखा के सभी बिंदु हल-क्षेत्र में शामिल होते हैं। \((1,4)\) के लिए मान \(9\) है, इसलिए वह असमानता को संतुष्ट करता है, परंतु वह दी गई रेखा पर स्थित नहीं है। परीक्षा टिप: \(\le\) या \(\ge\) में सीमा रेखा को हमेशा शामिल करें। / For \((4,3)\), \(x+2y=4+2(3)=10\), so the point lies on the line \(x+2y=10\). Since the inequality uses \(\le\), every point on the boundary line is included in the solution region. For \((1,4)\), the value is \(9\), so it satisfies the inequality but does not lie on the given line. Exam tip: Include the boundary line whenever the sign is \(\le\) or \(\ge\).
\(y\le -3x+9\) में (y) रेखा के मान से कम या बराबर है। इसलिए रेखा के नीचे का भाग सीमा सहित हल है। / In \(y\le -3x+9\), (y) is less than or equal to the line value. Therefore the region below the line including the boundary is the solution.
\(2y+x\ge 14\) में दोनों पक्षों से \(x\) घटाने पर \(2y\ge 14-x\) प्राप्त होता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता, इसलिए \(y\ge \frac{14-x}{2}\) होगा। विकल्प C में अंश का चिह्न उलट गया है। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न पलटता है। / Subtracting \(x\) from both sides of \(2y+x\ge 14\) gives \(2y\ge 14-x\). Dividing both sides by the positive number \(2\) does not reverse the inequality sign, so \(y\ge \frac{14-x}{2}\). In option C, the numerator has been written with the sign reversed. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
रेखा (2x+y=12) के अवरोध ((6,0)) और ((0,12)) हैं। अक्षों के साथ ((0,0)) तीसरा शीर्ष है। / The intercepts of (2x+y=12) are ((6,0)) and ((0,12)). With the axes, ((0,0)) is the third vertex.
((3,2)) सभी शर्तों को संतुष्ट करता है क्योंकि \(3\ge 2\), \(2\ge 1\) और \(3+2\le 7\)। हर शर्त अलग से जांचें। / The point ((3,2)) satisfies all conditions because \(3\ge 2\), \(2\ge 1\), and \(3+2\le 7\). Check each condition separately.
दोनों शर्तें मिलकर (x+y=6) देती हैं। विपरीत दिशाओं की बराबरी वाली असमानताएं समान रेखा देती हैं। / Both conditions together give (x+y=6). Opposite inequalities with equality give the same line.
D. ((2,3)) नहीं बल्कि ((2,3))/not ((2,3)) but ((2,3))
Explanation
Simple Explanation
(x+2y=8) और (3x-y=3) हल करने पर (x=2) और (y=3) मिलता है। प्रतिच्छेद बिंदु को दोनों समीकरणों में जांचें। / Solving (x+2y=8) and (3x-y=3) gives (x=2) and (y=3). Verify the intersection in both equations.
C. \(y\ge \frac{5x-10}{2}\) के ऊपर/above \(y\ge \frac{5x-10}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(-2y\le 10-5x\) से चिन्ह पलटकर \(y\ge \frac{5x-10}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर असमानता का चिन्ह बदलता है। / From \(-2y\le 10-5x\), reversing the sign gives \(y\ge \frac{5x-10}{2}\). The inequality sign changes when dividing by a negative.
दाईं ओर (x) के मान (3) से बड़े होते हैं और ठोस रेखा बराबरी शामिल करती है। इसलिए \(x\ge 3\) सही है। / To the right, (x)-values are greater than (3), and a solid line includes equality. Therefore \(x\ge 3\) is correct.
रेखा \(y=-2\) के ऊपर स्थित प्रत्येक बिंदु के लिए \(y\) का मान \(-2\) से बड़ा होता है। टूटी हुई सीमा रेखा बताती है कि रेखा के बिंदु समाधान में शामिल नहीं हैं, इसलिए बराबर का चिह्न नहीं लगेगा। अतः असमानता \(y>-2\) है। \(y\geq -2\) में रेखा भी शामिल होती, जिसके लिए ठोस रेखा बनाई जाती। परीक्षा टिप: शेडिंग ऊपर हो तो \(y\) बड़ा और नीचे हो तो \(y\) छोटा होता है। / For every point above the line \(y=-2\), the value of \(y\) is greater than \(-2\). A dashed boundary means that points on the line are not included, so equality is excluded. Therefore, the inequality is \(y>-2\). The option \(y\geq -2\) would include the boundary line and would be shown with a solid line. Exam tip: shading above a horizontal line means larger \(y\)-values; shading below means smaller \(y\)-values.
प्रथम चतुर्थांश में (x+y=9) के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक फैलता है। इसलिए हल क्षेत्र असीमित है। / In the first quadrant, the region above (x+y=9) extends infinitely. Hence the solution region is unbounded.
दिए गए प्रतिबंधों से \(0\le x\le 4\) और \(0\le y\le 3\) मिलता है। अतः क्षेत्र \(x\)-अक्ष के समानांतर 4 इकाई लंबाई और \(y\)-अक्ष के समानांतर 3 इकाई चौड़ाई वाला आयत है। इसका क्षेत्रफल \(4\times 3=12\) वर्ग इकाई है। 10 जैसी संख्या तब मिल सकती है जब क्षेत्र को गलत आकार का माना जाए। परीक्षा टिप: पहले \(x\) और \(y\) की न्यूनतम तथा अधिकतम सीमाएँ लिखकर क्षेत्र का आकार पहचानें। / The constraints give \(0\le x\le 4\) and \(0\le y\le 3\). Therefore, the region is a rectangle with length 4 units parallel to the \(x\)-axis and width 3 units parallel to the \(y\)-axis. Its area is \(4\times 3=12\) square units. A value such as 10 may result from identifying the shape incorrectly. Exam tip: first write the minimum and maximum bounds of \(x\) and \(y\) to identify the region.
रेखा के अवरोध ((9,0)) और ((0,6)) हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 9\times 6=27\) है। / The intercepts are ((9,0)) and ((0,6)). The area is \(\frac{1}{2}\times 9\times 6=27\).
((1,2)) सीधे (x=1) और (y=2) का प्रतिच्छेद है। शीर्ष पहचानने के लिए सीमाओं को जोड़ी में काटें। / The point ((1,2)) is the direct intersection of (x=1) and (y=2). To identify vertices, intersect boundary lines pairwise.
B. सीमा रेखा को छोड़कर एक खुला अर्धतल/An open half-plane excluding the boundary line
Explanation
Simple Explanation
\(ax+by=c\) सीमा रेखा है। चूँकि चिह्न \(<\) है, रेखा के बिंदु असमानता को संतुष्ट नहीं करते; इसलिए रेखा के एक ओर का खुला अर्धतल हल होता है। परीक्षा में \(<\) या \(>\) के लिए बिंदीदार रेखा बनाइए। / \(ax+by=c\) is the boundary line. Since the sign is \(<\), points on this line do not satisfy the inequality, so the solution is an open half-plane on one side. Exam tip: draw a dashed boundary for \(<\) or \(>\).
असमानता \(4x+2y\le 16\) के दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर \(2x+y\le 8\) मिलता है। ग्राफ बनाने के लिए असमानता की सीमा रेखा प्राप्त करने हेतु \(\le\) के स्थान पर \(=\) रखते हैं। इसलिए सीमा रेखा \(2x+y=8\) है। विकल्प B सरल की गई असमानता है, सीमा रेखा नहीं। परीक्षा टिप: सीमा रेखा ज्ञात करते समय असमानता के चिह्न को बराबर के चिह्न में बदलें। / Dividing both sides of \(4x+2y\le 16\) by 2 gives \(2x+y\le 8\). To draw the graph, replace the inequality sign with an equality sign to obtain the boundary line. Therefore, the boundary line is \(2x+y=8\). Option B is the simplified inequality, not its boundary line. Exam tip: For a boundary line, always replace the inequality sign with \(=\).
(x=2) और (y=3) का प्रतिच्छेद ((2,3)) है और यह \(x+y\le 10\) को संतुष्ट करता है। इसलिए यह एक शीर्ष है। / The intersection of (x=2) and (y=3) is ((2,3)), and it satisfies \(x+y\le 10\). Therefore it is a vertex.
A. सीमा-रेखा बिंदीदार होगी और उस पर स्थित बिंदु हल में शामिल नहीं होंगे/The boundary line will be dashed, and points on it will not be included in the solution.
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(<\) कठोर असमिका दर्शाता है, इसलिए \(x+2y=6\) वाले बिंदु हल का भाग नहीं हैं और रेखा बिंदीदार बनती है। \(\le\) होता तो रेखा ठोस होती। परीक्षा में पहले असमिका के चिह्न को ध्यान से देखें। / The symbol \(<\) represents a strict inequality, so points satisfying \(x+2y=6\) are excluded and the boundary is dashed. A solid line is used for \(\le\) or \(\ge\). Exam tip: decide the line style from the inequality sign first.
प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखाओं के समीकरणों को संतुष्ट करता है। \(y=2\) को \(2x+5y=20\) में रखने पर \(2x+5(2)=20\), अर्थात \(2x+10=20\) मिलता है। इसलिए \(2x=10\) और \(x=5\) है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((5,2)\) है। \((2,5)\) में \(y=5\) है, इसलिए वह \(y=2\) वाली रेखा पर नहीं है। परीक्षा टिप: एक समीकरण में दिया हुआ स्थिर चर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। / An intersection point must satisfy both line equations. Substituting \(y=2\) into \(2x+5y=20\) gives \(2x+5(2)=20\), or \(2x+10=20\). Thus \(2x=10\) and \(x=5\). Therefore, the intersection point is \((5,2)\). The point \((2,5)\) has \(y=5\), so it cannot lie on the line \(y=2\). Exam tip: Substitute the fixed variable from one equation into the other equation.
((2,4)) पर \(4\ge 3\) और \(4\le 5\) दोनों सत्य हैं। संयुक्त क्षेत्र के लिए सभी असमानताएं जांचें। / At ((2,4)), both \(4\ge 3\) and \(4\le 5\) are true. For a common region, check all inequalities.
A. हल क्षेत्र में और सीमा पर/in solution region and on boundary
Explanation
Simple Explanation
((1,4)) रखने पर (2+4=6) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा पर है और \(\ge\) के कारण शामिल है। / Substituting ((1,4)) gives (2+4=6). Equality puts the point on the boundary and it is included because of \(\ge\).
(x=6) और (y=0) मिलने पर ((6,0)) आता है और यह \(x+2y\le 8\) को संतुष्ट करता है। इसलिए यह क्षेत्र का शीर्ष है। / The intersection of (x=6) and (y=0) is ((6,0)), and it satisfies \(x+2y\le 8\). Hence it is a vertex of the region.
कोई (x) एक साथ (1) से छोटा या बराबर और (4) से बड़ा या बराबर नहीं हो सकता। इसलिए कोई संयुक्त हल नहीं है। / No (x) can be both less than or equal to (1) and greater than or equal to (4). Therefore there is no common solution.
C. दो क्षैतिज रेखाओं के बीच की पट्टी/strip between two horizontal lines
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(2\le y\le 6\) का अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का \(y\)-निर्देशांक 2 से 6 के बीच, दोनों सीमाओं सहित, होगा। \(y=2\) और \(y=6\) दोनों क्षैतिज रेखाएँ हैं, इसलिए इनके बीच की बंद पट्टी हल क्षेत्र है। \(y=2\) केवल निचली सीमा रेखा है, पूरा हल क्षेत्र नहीं। परीक्षा टिप: केवल \(y\) वाली असमानताएँ क्षैतिज सीमाएँ देती हैं। / The inequality \(2\le y\le 6\) means that the \(y\)-coordinate of every solution point lies from 2 to 6, including both boundaries. The lines \(y=2\) and \(y=6\) are horizontal, so the closed strip between them is the solution region. The line \(y=2\) alone is only the lower boundary, not the complete solution set. Exam tip: inequalities involving only \(y\) have horizontal boundary lines.
A. सीमा रेखा \(x-y=3\) बिंदीदार होगी और \((0,0)\) वाला अर्ध-समतल छायांकित होगा।/The boundary line \(x-y=3\) will be dashed, and the half-plane containing \((0,0)\) will be shaded.
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(<\) कठोर असमता है, इसलिए सीमा रेखा \(x-y=3\) समाधान में शामिल नहीं होती और बिंदीदार बनती है। जाँच बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(0<3\) सत्य है, अतः उसी ओर छायांकन होगा। परीक्षा टिप: सीमा पर \(<,>\) के लिए हमेशा बिंदीदार रेखा बनाइए। / The sign \(<\) is strict, so the boundary \(x-y=3\) is not included and must be dashed. Testing \((0,0)\) gives \(0<3\), which is true; therefore, shade the side containing that point. Exam tip: use a dashed line for \(<\) or \(>\).
दिया है \(x-y=4\)। \(x\) को दूसरी ओर ले जाने पर \(-y=4-x\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर \(y=x-4\) प्राप्त होता है। इसलिए सीमा रेखा विकल्प D है। विकल्प A में स्थिरांक का चिह्न गलत है। परीक्षा टिप: \(y\) का गुणांक ऋणात्मक हो तो \(y\) को अकेला करते समय चिह्नों को सावधानी से बदलें। / Given \(x-y=4\), moving \(x\) to the other side gives \(-y=4-x\). Multiplying both sides by \(-1\) gives \(y=x-4\). Hence, option D is the boundary line. Option A has the wrong sign for the constant term. Exam tip: When isolating \(y\) with a negative coefficient, change the signs carefully.
असमानता \(y\ge -x+6\) की सीमा रेखा प्राप्त करने के लिए \(\ge\) के स्थान पर बराबर का चिह्न लेते हैं: \(y=-x+6\)। अब \(x=2\) रखने पर \(y=-2+6=4\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(4\) है। \(6\) केवल \(x=0\) पर \(y\) का मान है। परीक्षा टिप: किसी असमानता की सीमा रेखा के लिए असमानता-चिह्न को पहले \(=\) में बदलें। / To obtain the boundary line of \(y\ge -x+6\), replace \(\ge\) with equality: \(y=-x+6\). Substituting \(x=2\) gives \(y=-2+6=4\). Therefore, the correct answer is \(4\). Note that \(6\) is the value of \(y\) only when \(x=0\). Exam tip: For a boundary line, first replace the inequality sign with \(=\).
बिंदु \((4,0)\) को असमानता \(3x+y\le 9\) में रखने पर \(3(4)+0=12\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(12\le 9\) असत्य है, इसलिए यह बिंदु हल क्षेत्र के बाहर है। सीमा रेखा पर होने के लिए \(3x+y=9\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु की स्थिति जाँचने के लिए उसके निर्देशांक असमानता में रखकर कथन को सत्य या असत्य जाँचें। / Substituting \((4,0)\) into \(3x+y\le 9\) gives \(3(4)+0=12\). Since \(12\le 9\) is false, the point lies outside the solution region. A point would lie on the boundary only if \(3x+y=9\), which is not true here. Exam tip: test a point by substituting its coordinates into the inequality.
D. दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी/strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
सीमा रेखाएं (x+2y=10) और (x+2y=4) समानांतर हैं। इनके बीच का बंद क्षेत्र संयुक्त हल है। / The boundary lines (x+2y=10) and (x+2y=4) are parallel. The closed region between them is the common solution.
प्रथम चतुर्थांश में (x) और (y) दोनों गैर-ऋणात्मक हैं। \(x+y\le 0\) तभी संभव है जब दोनों (0) हों। / In the first quadrant, both (x) and (y) are non-negative. The condition \(x+y\le 0\) is possible only when both are (0).
C. सीमा रेखा पर और हल में/on boundary and in solution
Explanation
Simple Explanation
((2,3)) रखने पर \(3=2\times 2-1\) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा पर है और \(\le\) के कारण हल में है। / Substituting ((2,3)) gives \(3=2\times 2-1\). Equality places the point on the boundary and it is included because of \(\le\).
((3,3)) में \(y\le 2\) असत्य है। संयुक्त हल में आने के लिए सभी शर्तें सत्य होनी चाहिए। / For ((3,3)), the condition \(y\le 2\) is false. To lie in the common solution, all conditions must be true.
पूरे समीकरण को (3) से भाग देने पर (2x+y=6) मिलता है। ग्राफ बनाने से पहले समीकरण सरल कर लेना चाहिए। / Dividing the whole equation by (3) gives (2x+y=6). Simplify the equation before drawing the graph.
((3,-3)) में (y=-3) है और (-3>-4) सत्य है। सख्त असमानता में सीमा रेखा के बिंदु शामिल नहीं होते। / For ((3,-3)), (y=-3), and (-3>-4) is true. In a strict inequality, boundary points are not included.
A. रेखा \(x=-2\) के बाईं ओर का क्षेत्र, रेखा शामिल नहीं/the region to the left of \(x=-2\), excluding the line
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(x<-2\) में उन सभी बिंदुओं के \(x\)-निर्देशांक \(-2\) से छोटे होते हैं। इसलिए ऊर्ध्वाधर रेखा \(x=-2\) के बाईं ओर का अर्ध-समतल लिया जाता है। चूँकि असमानता में \(<\) है, \(=\) नहीं, इसलिए सीमा रेखा समाधान में शामिल नहीं होती और उसे टूटी रेखा से दर्शाते हैं। विकल्प B में दायाँ क्षेत्र तथा रेखा दोनों शामिल हैं, जो \(x\ge -2\) के लिए होता। परीक्षा टिप: \(x\) वाली असमानता में बायाँ-दायाँ क्षेत्र देखें; \(<\) या \(>\) होने पर सीमा रेखा टूटी होती है। / In \(x<-2\), every solution point has an \(x\)-coordinate less than \(-2\). Hence, the required half-plane lies to the left of the vertical boundary line \(x=-2\). Since the inequality is strict, the boundary line is not included and is drawn as a dashed line. Option B includes the right side and the boundary, which would represent \(x\ge -2\). Exam tip: for inequalities involving \(x\), check left or right of the vertical line; use a dashed boundary for \(<\) or \(>\).
(x) दो ऊर्ध्वाधर सीमाओं और (y) दो क्षैतिज सीमाओं के बीच है। इसलिए बंद आयत बनता है। / (x) lies between two vertical boundaries and (y) lies between two horizontal boundaries. Hence a closed rectangle is formed.
B. मूल बिंदु हल में है क्योंकि \(0\le 5\) सत्य है/The origin is in the solution because \(0\le 5\) is true.
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(2(0)-0=0\) मिलता है। अतः असमानता \(0\le 5\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु हल-क्षेत्र में है और उसी ओर का अर्धतल छायांकित होगा। विकल्प C गलत है क्योंकि सीमा रेखा के लिए \(2x-y=5\) होना चाहिए, जबकि मूल बिंदु पर बायाँ पक्ष \(0\) है। परीक्षा टिप: यदि मूल बिंदु सीमा रेखा पर न हो, तो उसे रखकर सही छायांकित पक्ष तुरंत ज्ञात किया जा सकता है। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(2(0)-0=0\). Thus, \(0\le 5\) is true, so the origin lies in the solution region and the half-plane containing it is shaded. Option C is incorrect because a point lies on the boundary only if \(2x-y=5\); at the origin, the left-hand side is \(0\), not \(5\). Exam tip: If the origin is not on the boundary line, substitute it to identify the correct shaded side quickly.
समीकरण \(x-y=2\) से \(y=x-2\) प्राप्त होता है। इसे \(2x+y=7\) में रखने पर \(2x+x-2=7\), अर्थात \(3x=9\), इसलिए \(x=3\) मिलता है। तब \(y=3-2=1\) होगा। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((3,1)\) है। विकल्प \((4,1)\) में पहला समीकरण सही नहीं होता, क्योंकि \(2(4)+1=9\), 7 नहीं। परीक्षा टिप: प्राप्त बिंदु को दोनों रेखीय समीकरणों में रखकर उत्तर जाँचें। / From \(x-y=2\), we get \(y=x-2\). Substituting this in \(2x+y=7\) gives \(2x+x-2=7\), so \(3x=9\) and \(x=3\). Then \(y=3-2=1\). Therefore, the intersection point is \((3,1)\). Option \((4,1)\) does not satisfy the first equation because \(2(4)+1=9\), not 7. Exam tip: Verify an intersection point by substituting it into both equations.
एक ही बिंदु के लिए (x+y) एक साथ (4) से कम और (4) से अधिक नहीं हो सकता। इसलिए संयुक्त हल रिक्त है। / For the same point, (x+y) cannot be both less than (4) and greater than (4). Hence the common solution is empty.
पूरी असमानता को (3) से भाग देने पर \(x+y\ge 7\) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Dividing the whole inequality by (3) gives \(x+y\ge 7\). Dividing by a positive number does not change the sign.
B. सीमा रेखा बिंदीदार होगी और हल-क्षेत्र में मूलबिंदु नहीं होगा/The boundary line will be dashed and the solution region will not contain the origin.
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(>\) होने पर सीमा \(x+2y=4\) हल में शामिल नहीं होती, इसलिए रेखा बिंदीदार बनती है। मूलबिंदु रखने पर \(0+2(0)>4\), अर्थात \(0>4\), गलत है; अतः उसका पक्ष नहीं छायांकित होगा। परीक्षा टिप: सीमा शामिल हो तो ही ठोस रेखा बनाएं। / Since the sign is \(>\), the boundary \(x+2y=4\) is excluded, so it is dashed. Testing the origin gives \(0+2(0)>4\), or \(0>4\), which is false; hence its side is not shaded. Exam tip: use a solid line only when equality is included.
एक छात्र असमता \(2x-y\ge 3\) का आलेख बनाते समय सीमा रेखा को बिंदीदार खींचता है और \((0,0)\) वाले भाग को छायांकित करता है। उसके आलेख में कौन-सा सुधार आवश्यक है?
A. सीमा रेखा ठोस होनी चाहिए और \((0,0)\) के विपरीत भाग को छायांकित करना चाहिए/The boundary line should be solid, and the side opposite to \((0,0)\) should be shaded.
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) में बराबरी शामिल होती है, इसलिए \(2x-y=3\) सीमा रेखा ठोस होगी। जाँच बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(0\ge3\) असत्य है, अतः उसके विपरीत भाग को छायांकित करें। परीक्षा टिप: पहले सीमा की ठोस/बिंदीदार प्रकृति तय करें। / Since \(\ge\) includes equality, the boundary \(2x-y=3\) must be solid. Substituting \((0,0)\) gives \(0\ge3\), which is false, so shade the opposite side. Exam tip: decide solid or dashed before testing a point.
\(x\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(y=0\) रखते हैं। तब सीमा रेखा \(x+3y=9\) से \(x=9\) प्राप्त होता है। अतः \(x\)-अक्ष पर बिंदु \((9,0)\) है। \((0,3)\) \(y\)-अवरोध है, \(x\)-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(x\)-अवरोध के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / To find the \(x\)-intercept, put \(y=0\). The boundary line \(x+3y=9\) then gives \(x=9\). Therefore, the point on the \(x\)-axis is \((9,0)\). \((0,3)\) is the \(y\)-intercept, not the \(x\)-intercept. Exam tip: for an \(x\)-intercept, always set \(y=0\).
((5,2)) रखने पर (5+10=15) मिलता है और \(\ge\) में बराबरी शामिल है। इसलिए यह हल क्षेत्र में है। / Substituting ((5,2)) gives (5+10=15), and equality is included in \(\ge\). Therefore it lies in the solution region.
जहां (y) का मान (x) से बड़ा या बराबर है वहां \(y\ge x\) होगा। सीमा रेखा (y=x) शामिल होने पर बराबरी भी आती है। / Where (y) is greater than or equal to (x), the inequality is \(y\ge x\). If the boundary (y=x) is included, equality is also used.
(x+2y=6) और (2x+y=6) हल करने पर (x=2) और (y=2) मिलता है। यह संयुक्त क्षेत्र का महत्वपूर्ण शीर्ष है। / Solving (x+2y=6) and (2x+y=6) gives (x=2) and (y=2). This is an important vertex of the common region.
C. \(\frac{15}{2}\) वर्ग इकाई/\(\frac{15}{2}\) square units
Explanation
Simple Explanation
क्षेत्र के शीर्ष ((1,0)), ((4,0)), ((4,1)), ((1,4)) हैं। समांतर भुजाओं (4) और (1) तथा दूरी (3) से क्षेत्रफल (\frac{1}{2}(4+1)3=\frac{15}{2}) है। / The vertices are ((1,0)), ((4,0)), ((4,1)), and ((1,4)). With parallel sides (4) and (1) and distance (3), the area is (\frac{1}{2}(4+1)3=\frac{15}{2}).
