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A. ((0,0)), ((4,0)), \(\left(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right)\), ((0,5))
Explanation
Simple Explanation
दोनों तिरछी सीमाओं का प्रतिच्छेद \(\left(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right)\) है। अक्षों पर वैध अवरोध लेकर सभी कोने चुनें। / The slant boundaries intersect at \(\left(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right)\). Use valid intercepts on the axes to list all corners.
शीर्ष ((0,0)), ((6,0)), ((4,4)), ((0,6)) हैं। शूलेस विधि से क्षेत्रफल (24) वर्ग इकाई मिलता है। / The vertices are ((0,0)), ((6,0)), ((4,4)), and ((0,6)). The shoelace method gives area (24) square units.
((4,2)) पर (2x+y=10) और (x+3y=10) मिलता है। सभी असमानताओं में बिंदु रखकर ही अंतिम विकल्प चुनें। / At ((4,2)), (2x+y=10) and (x+3y=10). Choose the final option only after substituting the point in all inequalities.
C. \(\frac{25}{2}\) वर्ग इकाई/\(\frac{25}{2}\) square units
Explanation
Simple Explanation
शीर्ष ((2,1)), ((7,1)), ((2,6)) हैं। आधार और ऊंचाई (5) हैं इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{25}{2}\) है। / The vertices are ((2,1)), ((7,1)), and ((2,6)). The base and height are (5), so the area is \(\frac{25}{2}\).
((3,3)) रखने पर (2x+y=9) और (x+2y=9) मिलता है। बिंदु जांच में सभी असमानताओं को अलग-अलग जांचें। / Substituting ((3,3)) gives (2x+y=9) and (x+2y=9). In point testing, check every inequality separately.
\(\geq\) वाली शर्तें प्रथम चतुर्थांश में ऊपर की ओर क्षेत्र देती हैं। सीमाएं शामिल हैं और क्षेत्र अनंत तक जाता है। / The \(\geq\) conditions give an upper-side region in the first quadrant. Boundaries are included and the region extends infinitely.
किसी भी (x) के लिए (x+4), (x+1) से बड़ा है। इसलिए (y) दोनों शर्तें साथ में पूरी नहीं कर सकता। / For every (x), (x+4) is greater than (x+1). Hence (y) cannot satisfy both conditions together.
चूँकि \(x\geq 3\) और \(y\geq 4\), इसलिए \(x+y\) का न्यूनतम मान बिंदु \((3,4)\) पर \(3+4=7\) है। यह बिंदु तभी \(x+y\leq m\) को संतुष्ट करेगा जब \(m\geq 7\) हो। \(m=7\) पर हल-क्षेत्र केवल बिंदु \((3,4)\) है, इसलिए \(m>7\) आवश्यक नहीं है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाली ऐसी असमानताओं में पहले दिए गए निचले/ऊपरी बंधों से व्यंजक का न्यूनतम या अधिकतम मान निकालें। / Since \(x\geq 3\) and \(y\geq 4\), the minimum possible value of \(x+y\) occurs at \((3,4)\) and is \(3+4=7\). This point satisfies \(x+y\leq m\) only when \(m\geq 7\). For \(m=7\), the solution region consists of the single point \((3,4)\), so \(m>7\) is not necessary. Exam tip: for parameter-based inequalities, first find the minimum or maximum value of the relevant expression under the given bounds.
कोनों पर जांचने से ((0,6)) पर (2x+3y=18) सबसे बड़ा है। रैखिक व्यंजक का अधिकतम कोनों पर जांचें। / Checking the corners shows (2x+3y=18) at ((0,6)), which is largest. For a linear expression, check the corner points.
दोनों तिरछी सीमाएं ((2,2)) पर मिलती हैं। कोनों जैसे बिंदुओं पर जांचने से न्यूनतम (x+y=4) मिलता है। / The two slant boundaries meet at ((2,2)). Checking corner-like boundary points gives the minimum (x+y=4).
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की बंद पट्टी/A closed strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
शर्त \(-4\leq x-y\leq 2\) दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी देती है। बराबरी होने से दोनों सीमाएं शामिल हैं। / The condition \(-4\leq x-y\leq 2\) gives a strip between two parallel lines. Equality includes both boundaries.
C. दो समानांतर टूटी रेखाओं के बीच खुली पट्टी/Open strip between two parallel dashed lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाएं समानांतर हैं और ( -x+2<y<-x+6) मिलता है। कठोर असमानताओं के कारण दोनों सीमाएं शामिल नहीं होंगी। / The two lines are parallel and give ( -x+2<y<-x+6). Because the inequalities are strict, neither boundary is included.
दोनों असमानताएं मिलकर बराबरी (x+3y=9) को मजबूर करती हैं। विपरीत दिशाओं की समान सीमा अक्सर केवल रेखा देती है। / Together the two inequalities force equality (x+3y=9). Opposite inequalities with the same boundary often give only the line.
A. हल-क्षेत्र में और सीमा (x+y=5) पर/In the solution region and on the boundary (x+y=5)
Explanation
Simple Explanation
((2,3)) पर (x+y=5) है और बाकी शर्तें भी पूरी हैं। इसलिए यह सीमा पर स्थित हल-बिंदु है। / At ((2,3)), (x+y=5), and the remaining conditions also hold. Therefore it is a solution point on the boundary.
आयत में रेखा (x+y=4) के ऊपर का भाग बचता है। इसके शीर्ष ((1,3)), ((5,3)), ((5,0)), ((4,0)) हैं। / Inside the rectangle, the part above (x+y=4) remains. Its vertices are ((1,3)), ((5,3)), ((5,0)), and ((4,0)).
विकल्प A में क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है और रेखा \(x+y=4\) से सीमित है। इसके शीर्ष \((0,0),(4,0),(0,4)\) हैं, इसलिए यह त्रिभुज परिबद्ध है। परीक्षा में जाँचें कि क्षेत्र किसी दिशा में अनंत तक तो नहीं फैल रहा। / In option A, the region lies in the first quadrant and is enclosed by \(x+y=4\). Its vertices are \((0,0),(4,0),(0,4)\), so it is a bounded triangle. In exams, check whether the shaded region extends infinitely in any direction.
दोनों समीकरण हल करने पर \(x=\frac{27}{7}\) और \(y=\frac{32}{7}\) मिलता है। प्रतिच्छेद को बाद में असमानताओं में जांचना चाहिए। / Solving the two equations gives \(x=\frac{27}{7}\) and \(y=\frac{32}{7}\). The intersection should then be checked in the inequalities.
B. टूटी सीमा और मूल-बिंदु वाली ओर/Dashed boundary and toward the origin
Explanation
Simple Explanation
मूल-बिंदु रखने पर (0<10) सही है। कठोर असमानता के कारण सीमा टूटी होगी और छायांकन मूल-बिंदु वाली ओर होगा। / Substituting the origin gives (0<10), which is true. Because the inequality is strict, the boundary is dashed and shading is toward the origin.
(x) को अधिकतम करने के लिए (y) का न्यूनतम मान (1) लें। तब \(x+2\leq 8\) से \(x\leq 6\) मिलता है। / To maximize (x), take the minimum allowed value \(y=1\). Then \(x+2\leq 8\) gives \(x\leq 6\).
(y=0) पर \(4\leq x\leq 12\) संभव है और (x=0) पर अधिकतम (y=4) मिलता है। इसलिए \(0\leq y\leq 4\) है। / At (y=0), \(4\leq x\leq 12\) is possible, and at (x=0), the maximum is (y=4). Hence \(0\leq y\leq 4\).
एक ही राशि (x+y) एक साथ (3) से छोटी या बराबर और (5) से बड़ी या बराबर नहीं हो सकती। ऐसे विरोध को ग्राफ से पहले पहचानें। / The same expression (x+y) cannot be at most (3) and at least (5) at the same time. Identify such contradictions before graphing.
यदि \(a\geq 0\) है तो कम से कम ((0,0)) हल में आता है और क्षेत्र सीमित रहता है। (a<0) होने पर प्रथम चतुर्थांश में कोई हल नहीं मिलेगा। / If \(a\geq 0\), at least ((0,0)) is in the solution and the region remains bounded. If (a<0), there is no solution in the first quadrant.
दो तिरछी सीमाएं ((3,2)) पर मिलती हैं। (x=1) और (y=0) की वैध सीमाओं से बाकी कोने मिलते हैं। / The two slant boundaries meet at ((3,2)). The remaining corners come from valid parts of (x=1) and (y=0).
शीर्ष ((1,0)), ((4,0)), ((3,2)), ((1,3)) हैं। शूलेस विधि से क्षेत्रफल (6) वर्ग इकाई मिलता है। / The vertices are ((1,0)), ((4,0)), ((3,2)), and ((1,3)). The shoelace method gives area (6) square units.
((5,1)) पर (x-y=4) है जो (2) से बड़ा है। विकल्प जांच में एक भी गलत असमानता बिंदु को बाहर कर देती है। / At ((5,1)), (x-y=4), which is greater than (2). In option testing, one failed inequality excludes the point.
कोनों पर (x+2y) जांचने से ((2,5)) पर अधिकतम (12) मिलता है। रैखिक व्यंजक के लिए कोनों की जांच पर्याप्त होती है। / Checking (x+2y) at the corners gives the maximum (12) at ((2,5)). For a linear expression, checking corners is sufficient.
तीनों कठोर असमानताएं एक सीमित त्रिभुज बनाती हैं लेकिन कोई सीमा शामिल नहीं होती। इसलिए क्षेत्र खुला और सीमित है। / The three strict inequalities form a bounded triangle, but no boundary is included. Therefore the region is open and bounded.
सीमारेखाओं के प्रतिच्छेदों में से जो सभी असमानताओं को संतुष्ट करते हैं, वे कोने होते हैं। यहाँ कोने \((0,0)\), \((6,0)\), \((4,2)\) और \((0,4)\) हैं। अतः हल-क्षेत्र के 4 कोने हैं। \((0,6)\) बिंदु मान्य नहीं है, क्योंकि यह \(x+2y\leq 8\) को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: प्रत्येक संभावित प्रतिच्छेद बिंदु को सभी असमानताओं में जाँचें। / Corner points are intersections of boundary lines that satisfy every inequality. The feasible vertices are \((0,0)\), \((6,0)\), \((4,2)\), and \((0,4)\). Therefore, the solution region has 4 corner points. For example, \((0,6)\) is not feasible because it does not satisfy \(x+2y\leq 8\). Exam tip: Test every candidate intersection in all the inequalities.
ठोस सीमा के लिए बराबरी शामिल होगी। मूल-बिंदु पर (0<12) है इसलिए मूल-बिंदु के विपरीत ओर \(3x+2y\geq 12\) होगा। / A solid boundary includes equality. Since the origin gives (0<12), the side opposite the origin is \(3x+2y\geq 12\).
रेखा सहित दाईं ओर का अर्थ (x) का मान (-2) से बड़ा या बराबर है। लंबवत रेखाओं में सीधे (x)-मान देखें। / Right side including the line means the value of (x) is greater than or equal to (-2). For vertical lines, read the (x)-value directly.
रेखा को शामिल न करने के लिए कठोर असमानता चाहिए। नीचे का भाग (y<3) से दर्शाया जाता है। / A strict inequality is needed to exclude the line. The region below it is represented by (y<3).
(y) को अधिकतम करने के लिए (x) का न्यूनतम मान (1) लें। तब \(2+y\leq 9\) और \(1+y\leq 7\) से \(y\leq 6\) मिलता है। / To maximize (y), take the minimum allowed (x=1). Then \(2+y\leq 9\) and \(1+y\leq 7\) give \(y\leq 6\).
\(y\) का न्यूनतम मान पाने के लिए \(x\) का अधिकतम अनुमत मान \(4\) लेते हैं। तब \(x+y\geq 6\) से \(y\geq 2\) प्राप्त होता है। साथ ही, \(2x+y\geq 7\) में \(x=4\) रखने पर \(y\geq -1\) मिलता है, और \(y\geq 0\) भी दिया है। अतः सभी शर्तों को मिलाकर \(y\geq 2\), इसलिए न्यूनतम मान \(2\) है। बिंदु \((4,2)\) सभी असमिकाओं को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: किसी चर का न्यूनतम मान ज्ञात करते समय सभी प्रतिबंधों से मिलने वाली निचली सीमाओं में सबसे बड़ी सीमा चुनें। / To obtain the minimum value of \(y\), take the largest allowed value of \(x\), namely \(4\). Then \(x+y\geq 6\) gives \(y\geq 2\). Also, substituting \(x=4\) in \(2x+y\geq 7\) gives \(y\geq -1\), while \(y\geq 0\) is already given. Combining all the lower bounds gives \(y\geq 2\), so the minimum value is \(2\). The point \((4,2)\) satisfies every inequality. Exam tip: when minimizing a variable, compare all lower bounds imposed by the constraints.
दोनों रेखाओं की ढाल 2 है, इसलिए वे समानांतर हैं। प्रत्येक \(x\) के लिए \(2x+3\), \(2x-1\) से 4 अधिक है। अतः \(y\) का एक साथ \(2x-1\) से कम या बराबर और \(2x+3\) से अधिक या बराबर होना असंभव है। इसलिए कोई सामान्य क्षेत्र नहीं मिलता। परीक्षा टिप: समान ढाल वाली रेखाओं के लिए नियत पदों की तुलना करके जल्दी जाँचें कि उनके अर्धतल प्रतिच्छेद करते हैं या नहीं। / Both boundary lines have slope 2, so they are parallel. For every value of \(x\), \(2x+3\) is 4 greater than \(2x-1\). Thus, no value of \(y\) can be simultaneously less than or equal to \(2x-1\) and greater than or equal to \(2x+3\). Hence, there is no common region. Exam tip: for parallel boundary lines, compare the constant terms to quickly check whether the half-planes overlap.
पहली दो शर्तें (x+y=6) और अगली दो शर्तें (x-y=2) देती हैं। दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद ((4,2)) है। / The first two conditions give (x+y=6), and the next two give (x-y=2). Their intersection is ((4,2)).
(x=0) से (4) तक क्रमशः (5,4,3,2,1) मान मिलते हैं। कुल (15) पूर्णांक बिंदु हैं। / For (x=0) to (4), the numbers of possible (y)-values are (5,4,3,2,1). The total is (15) integer points.
चूँकि \(x\geq 1\) और \(x+y\leq 5\), इसलिए \(x\) के मान \(1,2,3,4\) हो सकते हैं। प्रत्येक मान के लिए \(y\) के धनात्मक पूर्णांक मान क्रमशः \(1\) से \(4\), \(1\) से \(3\), \(1\) से \(2\), और \(1\) से \(1\) तक हैं। अतः बिंदुओं की संख्या \(4+3+2+1=10\) है। \(8\) जैसे विकल्प में कुछ वैध सीमा-बिंदु छूट जाते हैं। परीक्षा टिप: पूर्णांक बिंदु गिनते समय असमानता में बराबरी होने पर सीमा-रेखा के बिंदुओं को भी शामिल करें। / Since \(x\geq 1\) and \(x+y\leq 5\), the possible integer values of \(x\) are \(1,2,3,4\). For these values, the allowable positive integer values of \(y\) are respectively \(1\) to \(4\), \(1\) to \(3\), \(1\) to \(2\), and \(1\) to \(1\). Therefore, the number of points is \(4+3+2+1=10\). An option such as \(8\) misses some valid boundary points. Exam tip: when an inequality includes equality, count the points on the boundary line as well.
पूरे वर्ग का क्षेत्रफल (25) है और रेखा (x+y=4) के नीचे का त्रिभुज क्षेत्रफल (8) है। इसलिए बचा क्षेत्रफल (17) है। / The square has area (25), and the triangle below (x+y=4) has area (8). Therefore the remaining area is (17).
(x=3) को (x+2y=11) में रखने पर (3+2y=11) मिलता है। इसलिए (y=4) और प्रतिच्छेद ((3,4)) है। / Substituting (x=3) in (x+2y=11) gives (3+2y=11). Thus (y=4), and the intersection is ((3,4)).
चूँकि \(x\geq 0\) और \(y\geq 5\), इसलिए \(x+y\geq 5\) होना आवश्यक है। लेकिन तीसरी असमानता \(x+y\leq 4\) है, जो इसके विपरीत है। अतः कोई भी बिंदु तीनों असमानताओं को एक साथ संतुष्ट नहीं करता और हल-क्षेत्र खाली है। \(x+y=4\) वाली रेखा पर भी \(y\geq 5\) संभव नहीं है जब \(x\geq 0\) हो। परीक्षा टिप: असमानताओं को जोड़कर या न्यूनतम/अधिकतम मान देखकर असंगति जल्दी पहचानें। / Since \(x\geq 0\) and \(y\geq 5\), it must follow that \(x+y\geq 5\). However, the third inequality requires \(x+y\leq 4\), which is incompatible with this condition. Therefore, no point satisfies all three inequalities simultaneously, so the solution region is empty. Even on the boundary line \(x+y=4\), \(y\geq 5\) is impossible when \(x\geq 0\). Exam tip: Compare minimum and maximum possible values to spot an inconsistency quickly.
दो अर्द्ध-तल कटकर एक अनंत कोणीय क्षेत्र बनाते हैं। दोनों में बराबरी शामिल है इसलिए क्षेत्र बंद है। / The two half-planes intersect to form an infinite angular region. Since equality is included in both, the region is closed.
बिंदु \((2,k)\) रखने पर पहली असमानता से \(2+3k<11\), अर्थात \(k<3\), मिलता है। दूसरी असमानता से \(k-2\geq1\), अर्थात \(k\geq3\), मिलता है। कोई भी संख्या एक साथ \(3\) से छोटी और \(3\) के बराबर या बड़ी नहीं हो सकती, इसलिए ऐसा कोई \(k\) नहीं है। \(k=3\) निकटतम विकल्प लगता है, पर यह पहली कठोर असमानता \(k<3\) को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: बिंदु को हर असमानता में अलग-अलग रखकर प्राप्त शर्तों का प्रतिच्छेद जाँचें। / Substituting \((2,k)\) into the first inequality gives \(2+3k<11\), so \(k<3\). The second inequality gives \(k-2\geq1\), so \(k\geq3\). No number can be both less than \(3\) and at least \(3\); hence, no such \(k\) exists. Although \(k=3\) is a close distractor, it fails the strict condition \(k<3\). Exam tip: substitute the point into each inequality separately and then check the intersection of the resulting conditions.
बिंदु \((k,2)\) रखने पर पहली असमानता से \(2k+2\leq10\), अर्थात \(k\leq4\) मिलता है। दूसरी असमानता से \(k-2>1\), अर्थात \(k>3\) मिलता है। दोनों शर्तों का उभयनिष्ठ भाग \(3<k\leq4\) है, इसलिए विकल्प B सही है। \(k=3\) पर दूसरी असमानता सख्त रूप से सत्य नहीं होती। परीक्षा टिप: प्रत्येक असमानता से मिली सीमा का प्रतिच्छेद ही अंतिम उत्तर होता है। / Substituting \((k,2)\) into the first inequality gives \(2k+2\leq10\), so \(k\leq4\). The second inequality gives \(k-2>1\), so \(k>3\). The common range is \(3<k\leq4\), hence option B is correct. At \(k=3\), the second strict inequality is not satisfied. Exam tip: take the intersection of the ranges obtained from all inequalities.
x-अवरोध पर y=0 होता है। दिए गए बिंदु (3,0) को सीमा रेखा ax+2y=12 में रखने पर 3a+2(0)=12, अर्थात 3a=12 प्राप्त होता है। इसलिए a=4 है। विकल्प 6 लेने पर x-अवरोध 12/6=2 होता, जो दिए गए 3 से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: x-अवरोध ज्ञात करने या उपयोग करने के लिए हमेशा y=0 रखें। / At the x-intercept, y=0. Substituting the given point (3,0) into the boundary line ax+2y=12 gives 3a+2(0)=12, so 3a=12. Hence, a=4. If a were 6, the x-intercept would be 12/6=2, not 3. Exam tip: for an x-intercept, always set y=0.
यदि (p>0), तो (x)-अवरोध \(\frac{6}{p}\) सीमित होता है। \(p\leq 0\) होने पर प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र (x) दिशा में सीमित नहीं रहता। / If (p>0), the (x)-intercept \(\frac{6}{p}\) is finite. If \(p\leq 0\), the region is not bounded in the (x)-direction in the first quadrant.
((2,3)) पर (x+2y=8) और (x-y=-1) है। इसलिए यह सीमा पर भी है और दूसरी असमानता को भी पूरा करता है। / At ((2,3)), (x+2y=8) and (x-y=-1). Thus it lies on the boundary and also satisfies the second inequality.
D. एक ओर बंद और दूसरी ओर खुली पट्टी/Strip closed on one side and open on the other
Explanation
Simple Explanation
शर्त \(4<x+2y\leq 8\) मिलती है। \(x+2y=8\) शामिल है लेकिन \(x+2y=4\) शामिल नहीं है। / The condition becomes \(4<x+2y\leq 8\). The boundary \(x+2y=8\) is included, but \(x+2y=4\) is excluded.
आयत \([2,6]\times[1,5]\) को रेखा (x+y=8) काटती है। कोने ((2,1)), ((6,1)), ((6,2)), ((3,5)), ((2,5)) हैं। / The rectangle \([2,6]\times[1,5]\) is cut by the line (x+y=8). The corners are ((2,1)), ((6,1)), ((6,2)), ((3,5)), and ((2,5)).
कोनों पर जांचने से ((6,0)) पर (x-y=6) सबसे बड़ा है। रैखिक व्यंजक का अधिकतम कोनों पर मिलता है। / Checking the corners gives the largest value (x-y=6) at ((6,0)). A linear expression attains its maximum at a corner.
कोनों जैसे सीमा-बिंदुओं में ((0,6)) पर (2x+y=6) सबसे छोटा है। सीमा रहित क्षेत्र में भी न्यूनतम अक्सर किसी सीमा-कोने पर मिलता है। / Among boundary corner-like points, (2x+y=6) at ((0,6)) is the smallest. Even in an unbounded region, a minimum often occurs at a boundary corner.
