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क्योंकि \(A\times B\) में \(3\times2=6\) अवयव हैं, इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है। परीक्षा में पहले \(A\times B\) के अवयव गिनें। / Since \(A\times B\) has \(3\times2=6\) elements, the number of relations is \(2^6=64\). In exams, count the elements of \(A\times B\) first.
शर्त (a+2=b) से ordered pairs ((1,3)) और ((2,4)) मिलते हैं। इसलिए प्रांत ({1,2}) है। / The condition (a+2=b) gives the ordered pairs ((1,3)) and ((2,4)). Therefore the domain is ({1,2}).
प्रांत में सभी प्रथम घटक आते हैं, इसलिए ({2,4,6}) मिलेगा। परीक्षा में ordered pair का पहला स्थान देखें। / The domain contains all first components, so it is ({2,4,6}). In exams, look at the first place in each ordered pair.
परिसर में दूसरे घटक लिए जाते हैं और पुनरावृत्ति हटती है। इसलिए ({3,5,7}) सही है। / The range contains second components and repeated entries are removed. Hence ({3,5,7}) is correct.
सभी ((a,a)) अवयव मौजूद हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। सममिति के लिए ((2,1)) भी चाहिए था। / All ((a,a)) elements are present, so the relation is reflexive. For symmetry, ((2,1)) would also be needed.
A. क्योंकि ((3,3)) अनुपस्थित है/Because ((3,3)) is absent
Explanation
Simple Explanation
प्रतिवर्ती संबंध में हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) होना चाहिए। यहां ((3,3)) नहीं है। / A reflexive relation must contain \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\). Here ((3,3)) is missing.
हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी है, इसलिए संबंध सममित है। प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) भी चाहिए। / For every ((a,b)), ((b,a)) is also present, so the relation is symmetric. For reflexivity, ((1,1),(2,2),(3,3)) are also needed.
A. ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3))/From ((1,2)) and ((2,3)) to ((1,3))
Explanation
Simple Explanation
संक्रामिता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। यहां ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलता है। / Transitivity needs ((a,b)) and ((b,c)) to imply ((a,c)). Here ((1,2)) and ((2,3)) give ((1,3)).
सभी ((a,a)) मौजूद हैं और ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है। इसलिए यह प्रतिवर्ती और सममित है। / All ((a,a)) are present and ((2,1)) is present with ((1,2)). So it is reflexive and symmetric.
A. प्रतिवर्ती और संक्रामी/Reflexive and transitive
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(a\le a\) सत्य है और \(a\le b,\ b\le c\) से \(a\le c\) मिलता है। यह सामान्यतः सममित नहीं है। / Since \(a\le a\) is true and \(a\le b,\ b\le c\) gives \(a\le c\). It is generally not symmetric.
(a-b) का सम होना प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण देता है। इसलिए यह समतुल्य संबंध है। / The evenness of (a-b) gives reflexive, symmetric, and transitive properties. Hence it is an equivalence relation.
क्योंकि (3) संख्या (1) को विभाजित नहीं करती। विकल्प जांचते समय पहले विभाज्यता की दिशा देखें। / Since (3) does not divide (1). While checking options, first notice the direction of divisibility.
व्युत्क्रम संबंध में हर ordered pair के घटक उलट जाते हैं। इसलिए ((1,2)) से ((2,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) मिलेगा। / In the inverse relation, the components of each ordered pair are reversed. Thus ((1,2)) gives ((2,1)) and ((2,3)) gives ((3,2)).
सममित संबंध में \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होता है। इसलिए \((8,5)\in R\) निश्चित है। / In a symmetric relation, \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\). So \((8,5)\in R\) is certain.
संक्रामिता में बीच वाला घटक समान हो तो ((a,c)) चाहिए। इसलिए ((1,7)) आवश्यक है। / In transitivity, when the middle component is common, ((a,c)) is required. Therefore ((1,7)) is necessary.
प्रतिवर्ती संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3)) आवश्यक हैं। इसलिए न्यूनतम (3) ordered pairs चाहिए। / A reflexive relation must contain ((1,1),(2,2),(3,3)). Hence the minimum number is (3).
\(A\times A\) में (16) युग्म हैं और (4) diagonal युग्म अनिवार्य हैं। शेष (12) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / \(A\times A\) has (16) pairs and (4) diagonal pairs are compulsory. The remaining (12) pairs are free, so the number is \(2^{12}\).
\(A\times A\) में \(2^2=4\) ordered pairs होते हैं। कुल संबंधों की संख्या \(2^4=16\) है। / \(A\times A\) has \(2^2=4\) ordered pairs. The total number of relations is \(2^4=16\).
रिक्त संबंध में सममिति की शर्त का विरोध करने वाला कोई युग्म नहीं है। लेकिन यह प्रतिवर्ती नहीं है क्योंकि ((1,1),(2,2),(3,3)) नहीं हैं। / The empty relation has no pair that violates symmetry. But it is not reflexive because ((1,1),(2,2),(3,3)) are absent.
सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के बराबर होता है। इसलिए इसमें सभी (4) ordered pairs होंगे। / The universal relation is equal to \(A\times A\). Therefore it contains all (4) ordered pairs.
ऐसे संबंध में हर अवयव केवल स्वयं से संबंधित होता है। इसे सर्वसम संबंध कहते हैं। / In this relation, each element is related only to itself. It is called the identity relation.
शर्त (a=b) केवल diagonal युग्म देती है। (4) अवयवों के लिए (4) ordered pairs मिलेंगे। / The condition (a=b) gives only diagonal pairs. For (4) elements, there are (4) ordered pairs.
\(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय (A) से (B) तक संबंध कहलाता है। यह जरूरी नहीं कि फलन हो। / Any subset of \(A\times B\) is a relation from (A) to (B). It need not be a function.
A. \(p\in A\) और \(q\in B\)/\(p\in A\) and \(q\in B\)
Explanation
Simple Explanation
कार्टेशियन गुणन में पहला घटक पहले समुच्चय से और दूसरा घटक दूसरे समुच्चय से आता है। इसलिए \(p\in A\) और \(q\in B\) है। / In a Cartesian product, the first component comes from the first set and the second from the second set. Therefore \(p\in A\) and \(q\in B\).
A. सममित लेकिन प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
यदि (a+b) विषम है तो (b+a) भी विषम है, इसलिए सममित है। लेकिन (a+a) सम होता है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd, so it is symmetric. But (a+a) is even, so it is not reflexive.
A. प्रतिवर्ती और संक्रामी/Reflexive and transitive
Explanation
Simple Explanation
((1,1)) और ((2,2)) होने से यह प्रतिवर्ती है। ((1,2)) के कारण कोई संक्रामिता भंग नहीं होती, इसलिए यह संक्रामी भी है। / It is reflexive because ((1,1)) and ((2,2)) are present. The pair ((1,2)) causes no violation of transitivity, so it is also transitive.
A. यह सममित है लेकिन प्रतिवर्ती नहीं/It is symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममित है। लेकिन ((1,1)) और ((2,2)) नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so it is symmetric. But ((1,1)) and ((2,2)) are absent, so it is not reflexive.
A. क्योंकि ((1,3)) अनुपस्थित है/Because ((1,3)) is absent
Explanation
Simple Explanation
((1,2)) और ((2,3)) हैं, इसलिए संक्रामिता के लिए ((1,3)) होना चाहिए। यह अनुपस्थित है। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity requires ((1,3)). It is absent.
(1) से \( \pmod{3}\) में समान शेष देने वाली संख्याएं (1) और (4) हैं। इसलिए वर्ग ({1,4}) है। / The numbers with the same remainder as (1) modulo (3) are (1) and (4). Hence the class is ({1,4}).
दिए गए समुच्चय में सभी अवयव अनऋण हैं, इसलिए \(a^2=b^2\) से (a=b) मिलता है। इसलिए केवल (5) diagonal युग्म हैं। / All elements in the given set are non-negative, so \(a^2=b^2\) gives (a=b). Therefore only (5) diagonal pairs exist.
क्योंकि ((-2)2=22=4), इसलिए \((-2,2)\in R\)। वर्ग वाली शर्त में विपरीत चिह्न भी जांचें। / Since ((-2)2=22=4), \((-2,2)\in R\). In square conditions, also check opposite signs.
A. (R) प्रतिवर्ती और संक्रामी है/(R) is reflexive and transitive
Explanation
Simple Explanation
हर (a) अपने को विभाजित करता है और \(a\mid b,\ b\mid c\) से \(a\mid c\) मिलता है। इसलिए यह प्रतिवर्ती और संक्रामी है। / Every (a) divides itself and \(a\mid b,\ b\mid c\) imply \(a\mid c\). Hence it is reflexive and transitive.
A. यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है/It is reflexive, symmetric, and transitive
Explanation
Simple Explanation
यह सर्वसम संबंध है, इसलिए तीनों गुण रखता है। ऐसे संबंध को समतुल्य भी कहा जा सकता है। / It is the identity relation, so it has all three properties. Such a relation is also an equivalence relation.
A. प्रतिवर्ती, सममित, संक्रामी/Reflexive, symmetric, transitive
Explanation
Simple Explanation
समतुल्य संबंध की परिभाषा में प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण आते हैं। परीक्षा में इन तीनों को अलग-अलग जांचें। / The definition of equivalence relation includes reflexive, symmetric, and transitive properties. In exams, check all three separately.
A. सममित लेकिन प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
यदि (|a-b|=1), तो (|b-a|=1) भी है, इसलिए सममित है। लेकिन (|a-a|=0), इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / If (|a-b|=1), then (|b-a|=1) too, so it is symmetric. But (|a-a|=0), so it is not reflexive.
प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) और ((2,2)) दोनों चाहिए। ((1,1)) पहले से है, इसलिए ((2,2)) जोड़ना होगा। / To be reflexive, both ((1,1)) and ((2,2)) are needed. ((1,1)) is already present, so ((2,2)) must be added.
प्रांत में केवल प्रथम घटक लिए जाते हैं। यहां प्रथम घटक (1) और (2) हैं। / Only first components are taken in the domain. Here the first components are (1) and (2).
परिसर में दूसरे घटक लिए जाते हैं। यहां दूसरे घटक (2) और (3) हैं। / Second components are taken in the range. Here the second components are (2) and (3).
(A) से (B) तक संबंध में सहप्रांत पूरा (B) होता है। यहां \(B=\{x,y\}\) है। / For a relation from (A) to (B), the codomain is the whole set (B). Here \(B=\{x,y\}\).
अधिकतम संबंध पूरा \(A\times B\) हो सकता है। इसलिए अधिकतम युग्म \(2\times5=10\) होंगे। / The maximum relation can be the whole \(A\times B\). Therefore the maximum number of pairs is \(2\times5=10\).
((1,4)) के लिए \(1\cdot4=4\), इसलिए यह (R) में है। दूसरे विकल्पों में गुणनफल (4) नहीं है। / For ((1,4)), \(1\cdot4=4\), so it is in (R). The other options do not have product (4).
A. सार्वत्रिक और समतुल्य/Universal and equivalence
Explanation
Simple Explanation
यह \(A\times A\) के सभी युग्म रखता है, इसलिए सार्वत्रिक है। यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी भी है। / It contains all pairs of \(A\times A\), so it is universal. It is also reflexive, symmetric, and transitive.
A. \((5,3)\in R\) नहीं हो सकता/\((5,3)\in R\) cannot occur
Explanation
Simple Explanation
प्रतिसममित संबंध में अलग-अलग (a) और (b) के लिए दोनों ((a,b)) और ((b,a)) साथ नहीं हो सकते। क्योंकि \(3\ne5\), ((5,3)) नहीं हो सकता। / In an antisymmetric relation, for distinct (a) and (b), both ((a,b)) and ((b,a)) cannot occur together. Since \(3\ne5\), ((5,3)) cannot occur.
A. यह प्रतिवर्ती और प्रतिसममित है/It is reflexive and antisymmetric
Explanation
Simple Explanation
सभी diagonal युग्म हैं, इसलिए यह प्रतिवर्ती है। ((2,1)) नहीं है, इसलिए ((1,2)) से प्रतिसममिति नहीं टूटती। / All diagonal pairs are present, so it is reflexive. Since ((2,1)) is absent, ((1,2)) does not break antisymmetry.
A. प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी/Reflexive, antisymmetric, and transitive
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(a\ge a\) सत्य है, और \(a\ge b,\ b\ge c\) से \(a\ge c\) मिलता है। साथ ही \(a\ge b\) और \(b\ge a\) से (a=b) होता है। / Because \(a\ge a\) is true, and \(a\ge b,\ b\ge c\) imply \(a\ge c\). Also \(a\ge b\) and \(b\ge a\) imply (a=b).
