Level 36 • 50/50 questions • 30 seconds per question.
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If (f(x)=|x-2|+3), what is the vertex of its graph?
A. ( (2,3) )
(|x-a|+b) का शीर्ष ((a,b)) होता है। परीक्षा में पहले क्षैतिज और फिर ऊर्ध्वाधर खिसकाव पहचानें। / The vertex of (|x-a|+b) is ((a,b)). In exams, identify horizontal shift first and vertical shift next.
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What is the domain of the graph of (f(x)=\sqrt{x+4}-2)?
A. \(x\ge -4\)
वर्गमूल के अंदर \(x+4\ge0\) होना चाहिए। ऐसे प्रश्नों में वर्गमूल के अंदर का भाग पहले जाँचें। / The radicand must satisfy \(x+4\ge0\). For such questions, check the expression inside the square root first.
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Which is the vertical asymptote of the graph of (f(x)=\frac{1}{x-3})?
A. (x=3)
हर शून्य होने पर (x-3=0) से (x=3) मिलता है। भिन्न वाले ग्राफ में हर को शून्य रखकर असिम्पटोट निकालें। / The denominator becomes zero when (x-3=0), so (x=3). For reciprocal graphs, set the denominator equal to zero.
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What is the minimum value of the graph (y=(x+1)2-4)?
A. ( -4 )
((x+1)2) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए \(y_{\min}=-4\) है। पूर्ण वर्ग देखकर न्यूनतम मान तुरंत मिल सकता है। / The minimum of ((x+1)2) is (0), hence \(y_{\min}=-4\). A completed square often gives the minimum directly.
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What is the range of the graph of (f(x)=-|x+5|+2)?
A. \(y\le2\)
ऋण चिह्न के कारण ग्राफ नीचे खुलता है और अधिकतम मान (2) है। परिसर निकालते समय शीर्ष और खुलने की दिशा देखें। / The negative sign makes the graph open downward, and the maximum value is (2). For range, check the vertex and opening direction.
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If \(y=x^3\) is shifted (2) units right and (5) units up, what is the new equation?
A. (y=(x-2)3+5)
दाएँ खिसकाव में (x) की जगह (x-2) और ऊपर खिसकाव में (+5) जुड़ता है। ग्राफ रूपांतरण में अंदर का चिन्ह उलटा होता है। / A right shift replaces (x) by (x-2), and an upward shift adds (5). In transformations, the inside sign works oppositely.
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How does the graph (y=|x|-x) behave for (x>0)?
A. (y=0)
जब (x>0), तब (|x|=x), इसलिए (y=x-x=0)। मापांक वाले ग्राफ में क्षेत्र के अनुसार परिभाषा बदलें। / When (x>0), (|x|=x), so (y=x-x=0). For modulus graphs, split the definition by intervals.
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For the graph of (f(x)=\lfloor x\rfloor), what is (f(x)) on \(2\le x<3\)?
A. (2)
महत्तम पूर्णांक फलन में \(2\le x<3\) पर मान (2) रहता है। सीढ़ीनुमा ग्राफ में बायाँ सिरा बंद और दायाँ खुला होता है। / For the greatest integer function, the value is (2) on \(2\le x<3\). Its step graph has a closed left end and open right end.
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What is the range of (f(x)={x}), where ({x}) is the fractional part?
A. \(0\le y<1\)
भिन्नांश भाग हमेशा (0) से (1) से कम होता है। ध्यान रखें कि (1) परिसर में शामिल नहीं होता। / The fractional part is always from (0) up to but not including (1). Remember that (1) is not included in the range.
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How many intersection points do the graphs \(y=x^2\) and (y=2x+3) have?
A. (2)
\(x^2=2x+3\) से \(x^2-2x-3=0\), जिसके दो वास्तविक मूल हैं। प्रतिच्छेदों की संख्या समीकरण के वास्तविक हलों से मिलती है। / Solving \(x^2=2x+3\) gives \(x^2-2x-3=0\), which has two real roots. Intersections equal the number of real solutions.
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What is the minimum value of the graph of (f(x)=|x-1|+|x+1|)?
A. (2)
यह अभिव्यक्ति (x) की (1) और (-1) से दूरियों का योग है, जिसका न्यूनतम (2) है। दूरी वाले मापांक में बिंदुओं के बीच का अंतर उपयोगी होता है। / This expression is the sum of distances from (1) and (-1), whose minimum is (2). In distance-type modulus graphs, use the gap between fixed points.
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If (f(x)=x-2) and (g(x)=f(x-4)+1), what is the vertex of (g(x))?
A. ((4,1))
(f(x-4)+1=(x-4)2+1), इसलिए शीर्ष ((4,1)) है। रूपांतरण को पहले समीकरण में लिखना गलती कम करता है। / Since (f(x-4)+1=(x-4)2+1), the vertex is ((4,1)). Writing the transformed equation first reduces mistakes.
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What is the starting point of the graph \(y=-\sqrt{x-2}+3\)?
A. ((2,3))
\(\sqrt{x-2}\) का प्रारंभ (x=2) पर होता है और (y=3) मिलता है। वर्गमूल ग्राफ में प्रारंभिक बिंदु बहुत महत्वपूर्ण होता है। / The graph of \(\sqrt{x-2}\) starts at (x=2), giving (y=3). The starting point is crucial for square-root graphs.
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Which is the horizontal asymptote of the graph \(y=\frac{1}{x+2}-1\)?
A. (y=-1)
\(\frac{1}{x+2}\) बहुत बड़े (|x|) पर (0) के निकट जाता है, इसलिए (y=-1)। बाहरी स्थिरांक क्षैतिज असिम्पटोट बदलता है। / For large (|x|), \(\frac{1}{x+2}\) approaches (0), so (y=-1). The outside constant shifts the horizontal asymptote.
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What symmetry does the graph of (f(x)=x-3-3x) have with respect to the origin?
A. विषम सममितिOdd symmetry
(f(-x)=-f(x)), इसलिए ग्राफ मूलबिंदु के सापेक्ष सममित है। सममिति जाँचने के लिए (f(-x)) अवश्य निकालें। / Here (f(-x)=-f(x)), so the graph is symmetric about the origin. Always compute (f(-x)) to test symmetry.
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Which symmetry will the graph of (f(x)=x-4-2x-2) have?
A. (y)-अक्ष सममिति(y)-axis symmetry
(f(-x)=f(x)), इसलिए यह सम फलन है। सम फलन का ग्राफ (y)-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। / Since (f(-x)=f(x)), it is an even function. The graph of an even function is symmetric about the (y)-axis.
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What is the value of the graph (y=|x+2|-|x-2|) for \(x\ge2\)?
A. (4)
जब \(x\ge2\), तब (|x+2|=x+2) और (|x-2|=x-2), इसलिए मान (4) है। मापांक हटाने से पहले क्षेत्र तय करें। / When \(x\ge2\), (|x+2|=x+2) and (|x-2|=x-2), so the value is (4). Decide the interval before removing modulus signs.
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For the graph of \(y=\frac{x}{|x|}\), at which value is it undefined?
A. (x=0)
(x=0) पर हर (|x|=0) हो जाता है। भिन्न में हर शून्य न हो, यह हमेशा जाँचें। / At (x=0), the denominator (|x|) becomes (0). Always check that a denominator is not zero.
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If the graph \(y=x^2\) is reflected in the (x)-axis, which graph is obtained?
A. \(y=-x^2\)
(x)-अक्ष में परावर्तन करने पर (y) का चिन्ह बदलता है। इसलिए \(y=x^2\) से \(y=-x^2\) मिलता है। / Reflection in the (x)-axis changes the sign of (y). Hence \(y=x^2\) becomes \(y=-x^2\).
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What is the (y)-intercept of the graph (y=2|x|-3)?
A. ((0,-3))
(y)-अवरोध के लिए (x=0) रखते हैं, इसलिए (y=-3)। अवरोधों में सही अक्ष का मान शून्य रखें। / For the (y)-intercept, put (x=0), so (y=-3). For intercepts, set the correct coordinate to zero.
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The graph of (f(x)=\sqrt{9-x-2}) is the upper part of which figure?
A. वृत्त \(x^2+y^2=9\)Circle \(x^2+y^2=9\)
\(y=\sqrt{9-x^2}\) से \(y^2=9-x^2\), इसलिए \(x^2+y^2=9\) और \(y\ge0\)। वर्गमूल के कारण केवल ऊपरी अर्धवृत्त मिलता है। / From \(y=\sqrt{9-x^2}\), we get \(x^2+y^2=9\) with \(y\ge0\). The square root gives only the upper semicircle.
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The graph \(y=\sqrt{x^2}\) is the same as which graph?
A. (y=|x|)
\(\sqrt{x^2}=|x|\), न कि हमेशा (x)। यह सामान्य गलती बोर्ड परीक्षा में अक्सर होती है। / \(\sqrt{x^2}=|x|\), not always (x). This is a common exam mistake.
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For (f(x)=\frac{|x|}{x}), on which line does the graph lie for (x<0)?
A. (y=-1)
जब (x<0), तब (|x|=-x), इसलिए (f(x)=-1)। चिन्ह फलन में (x=0) अलग से हटता है। / When (x<0), (|x|=-x), so (f(x)=-1). In the sign function, (x=0) is excluded separately.
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In the graph (y=(x-3)2+2), how does the line (x=3) act?
A. सममिति अक्षAxis of symmetry
परवलय ((x-h)2+k) का सममिति अक्ष (x=h) होता है। यहाँ (h=3) है। / For a parabola ((x-h)2+k), the axis of symmetry is (x=h). Here (h=3).
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What are the (x)-intercepts of the graph \(y=|x^2-4|\)?
A. (x=-2) और (x=2)(x=-2) and (x=2)
(x)-अवरोध के लिए \(|x^2-4|=0\), इसलिए \(x^2-4=0\)। मापांक शून्य तभी होता है जब अंदर का भाग शून्य हो। / For (x)-intercepts, \(|x^2-4|=0\), so \(x^2-4=0\). An absolute value is zero only when its inside is zero.
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If (f(x)=x-2), how is the graph (y=f(|x|)) related to (y=f(x))?
A. दोनों समान हैंBoth are identical
क्योंकि (f(|x|)=|x|2=x-2), इसलिए ग्राफ नहीं बदलता। यदि मूल फलन सम हो, तो (|x|) लगाने से ग्राफ समान रह सकता है। / Since (f(|x|)=|x|2=x-2), the graph does not change. If the original function is even, using (|x|) may keep the same graph.
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What is the range of the graph \(y=3-x^2\)?
A. \(y\le3\)
\(-x^2\le0\), इसलिए \(3-x^2\le3\)। नीचे खुलने वाले परवलय में शीर्ष अधिकतम देता है। / Since \(-x^2\le0\), \(3-x^2\le3\). A downward-opening parabola has its maximum at the vertex.
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Which statement is correct for the graph \(y=\sqrt{|x|}\)?
A. यह (y)-अक्ष के सापेक्ष सममित हैIt is symmetric about the (y)-axis
(|x|) के कारण (f(-x)=f(x)), इसलिए ग्राफ (y)-अक्ष के सापेक्ष सममित है। मापांक अक्सर सममिति बनाता है। / Because of (|x|), (f(-x)=f(x)), so the graph is symmetric about the (y)-axis. Modulus often creates even symmetry.
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If the graphs \(y=x^2\) and (y=|x|+2) meet, how many intersections are there?
A. (2)
मान लें (t=|x|), तब \(t^2=t+2\) से (t=2) मिलता है और \(x=\pm2\)। मापांक वाले समीकरण में (t=|x|) लेना उपयोगी है। / Let (t=|x|). Then \(t^2=t+2\), giving (t=2), so \(x=\pm2\). Substituting (t=|x|) helps in modulus equations.
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For \(x\ne1\), the graph of (f(x)=\frac{x-2-1}{x-1}) is like which line?
A. (y=x+1)
(\frac{x-2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1), लेकिन (x=1) हटता है। ऐसे ग्राफ में छेद को न भूलें। / (\frac{x-2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1), but (x=1) is excluded. Do not forget the hole in such graphs.
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What is the distance between the (x)-intercepts of the graph (y=|x|-2)?
A. (4)
(|x|-2=0) से \(x=\pm2\), अतः दूरी (4) है। (x)-अवरोध पाने के लिए (y=0) रखें। / From (|x|-2=0), \(x=\pm2\), so the distance is (4). Put (y=0) to find (x)-intercepts.
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What is the horizontal asymptote of the graph (f(x)=2^{x-1}+3)?
A. (y=3)
\(2^{x-1}\) बाएँ ओर (0) के निकट जाता है, इसलिए असिम्पटोट (y=3) है। बाहरी (+3) पूरे घातीय ग्राफ को ऊपर खिसकाता है। / As (x) goes left, \(2^{x-1}\) approaches (0), so the asymptote is (y=3). The outside (+3) shifts the exponential graph upward.
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What is the domain of the graph (y=\log_2(x+5))?
A. (x>-5)
लघुगणक के अंदर (x+5>0) होना चाहिए, इसलिए (x>-5)। लॉग ग्राफ में अंदर का भाग सदैव धनात्मक रखें। / The logarithm input must satisfy (x+5>0), so (x>-5). For log graphs, the inside expression must be positive.
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Which is the vertical asymptote of the graph (y=\log_3(x-2))?
A. (x=2)
लॉग का अंदरूनी भाग (0) के पास आने पर असिम्पटोट बनती है, इसलिए (x-2=0)। लॉग ग्राफ में सीमा रेखा प्रांत की सीमा होती है। / The log graph has an asymptote where its input approaches (0), so (x-2=0). In log graphs, the boundary of the domain gives the asymptote.
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Where does \(y=\sin x\) attain its maximum on \(0\le x\le2\pi\)?
A. \(x=\frac{\pi}{2}\)
\(\sin x\) का अधिकतम मान (1) होता है, जो \(x=\frac{\pi}{2}\) पर मिलता है। मानक त्रिकोणमितीय ग्राफ के मुख्य बिंदु याद रखें। / The maximum of \(\sin x\) is (1), attained at \(x=\frac{\pi}{2}\). Remember key points of standard trigonometric graphs.
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At which (x) does \(y=\cos x\) have its minimum on \(0\le x\le2\pi\)?
A. \(x=\pi\)
\(\cos x\) का न्यूनतम मान (-1) होता है, जो \(x=\pi\) पर है। ग्राफ पढ़ते समय अधिकतम और न्यूनतम बिंदु अलग पहचानें। / The minimum of \(\cos x\) is (-1), which occurs at \(x=\pi\). When reading graphs, identify maximum and minimum points separately.
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What is the period of the graph \(y=\tan x\)?
A. \(\pi\)
\(\tan x\) का ग्राफ हर \(\pi\) के बाद दोहराता है। अवधि वाले प्रश्नों में मानक ग्राफ सीधे याद रखें। / The graph of \(\tan x\) repeats after \(\pi\). For period questions, recall the standard graph directly.
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What is the amplitude of \(y=2\sin x\)?
A. (2)
\(\sin x\) के आगे गुणांक का परिमाण आयाम होता है। यहाँ (|2|=2) है। / The magnitude of the coefficient before \(\sin x\) is the amplitude. Here (|2|=2).
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What is the value of (y) at (x=0) for the graph \(y=-\cos x\)?
A. (-1)
\(\cos0=1\), इसलिए \(-\cos0=-1\)। ऋण चिह्न ग्राफ को (x)-अक्ष में परावर्तित करता है। / Since \(\cos0=1\), \(-\cos0=-1\). The negative sign reflects the graph in the (x)-axis.
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How is the graph (y=\sin\(x-\frac{\pi}{4}\)) related to \(y=\sin x\)?
A. \(\frac{\pi}{4}\) दाएँ खिसकाShifted \(\frac{\pi}{4}\) right
\(x-\frac{\pi}{4}\) अंदर है, इसलिए ग्राफ \(\frac{\pi}{4}\) दाएँ खिसकता है। अंदर वाले रूपांतरण का दिशा-चिह्न उलटा समझें। / Because \(x-\frac{\pi}{4}\) is inside, the graph shifts \(\frac{\pi}{4}\) to the right. Inner transformations move opposite to the sign.
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On which interval is the minimum value of (y=|x-3|+|x+1|) attained?
A. \(-1\le x\le3\)
यह (-1) और (3) से दूरियों का योग है, जो इनके बीच स्थिर न्यूनतम रहता है। दो बिंदुओं के बीच मापांक दूरी का योग न्यूनतम होता है। / It is the sum of distances from (-1) and (3), which stays minimum between them. The sum of distances to two points is minimized between those points.
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If the graph (y=f(x)) is changed to (y=|f(x)|), what happens to the part below the (x)-axis?
A. वह (x)-अक्ष के ऊपर परावर्तित होगाIt is reflected above the (x)-axis
(|f(x)|) ऋणात्मक (y)-मानों को धनात्मक बना देता है। इसलिए नीचे का भाग ऊपर परावर्तित हो जाता है। / (|f(x)|) changes negative (y)-values into positive ones. Hence the part below the axis is reflected upward.
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How is the graph (y=f(-x)) obtained from (y=f(x))?
A. (y)-अक्ष में परावर्तनReflection in the (y)-axis
(x) की जगह (-x) रखने से क्षैतिज परावर्तन होता है। यह परावर्तन (y)-अक्ष के सापेक्ष होता है। / Replacing (x) by (-x) gives a horizontal reflection. This reflection is about the (y)-axis.
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For the graph of (f(x)=\max(x,2)), what is (y) when (x<2)?
A. (2)
जब (x<2), तब (x) और (2) में बड़ा मान (2) है। अधिकतम फलन में प्रत्येक क्षेत्र पर बड़ा व्यंजक चुनें। / When (x<2), the larger of (x) and (2) is (2). For a maximum function, choose the larger expression on each interval.
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For the graph of (f(x)=\min\(x^2,4\)), what is (f(x)) when \(|x|\ge2\)?
A. (4)
\(|x|\ge2\) पर \(x^2\ge4\), इसलिए छोटा मान (4) है। न्यूनतम फलन में तुलना करके कम मान लें। / When \(|x|\ge2\), \(x^2\ge4\), so the smaller value is (4). For a minimum function, compare and choose the lesser value.
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On which interval is the graph \(y=|x^2-1|\) equal to \(y=1-x^2\)?
A. \(-1\le x\le1\)
जब \(x^2-1\le0\), तब \(|x^2-1|=1-x^2\), इसलिए \(-1\le x\le1\)। मापांक में अंदर का चिन्ह पहले तय करें। / When \(x^2-1\le0\), \(|x^2-1|=1-x^2\), so \(-1\le x\le1\). First determine the sign inside the modulus.
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What are the vertical asymptotes of the graph \(y=\frac{1}{x^2-4}\)?
A. (x=-2) और (x=2)(x=-2) and (x=2)
हर \(x^2-4=0\) होने पर असिम्पटोट मिलती है, इसलिए \(x=\pm2\)। हर के शून्य को हमेशा जाँचें। / Asymptotes occur when the denominator \(x^2-4=0\), so \(x=\pm2\). Always check the zeros of the denominator.
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What is the significance of the point ((-1,2)) on the graph (y=|x+1|+2)?
A. यह शीर्ष और न्यूनतम बिंदु हैIt is the vertex and minimum point
(|x+1|+2=|x-(-1)|+2), इसलिए शीर्ष ((-1,2)) है। ऊपर खुलने वाले मापांक ग्राफ में शीर्ष न्यूनतम होता है। / Since (|x+1|+2=|x-(-1)|+2), the vertex is ((-1,2)). In an upward-opening modulus graph, the vertex is the minimum point.
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A. (y=x)
व्युत्क्रम फलन का ग्राफ (y=x) रेखा में परावर्तन से मिलता है। परीक्षा में ((a,b)) बिंदु को ((b,a)) बनाकर जाँचें। / The graph of an inverse function is obtained by reflection in the line (y=x). In exams, check by changing a point ((a,b)) into ((b,a)).
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What is the minimum value of the graph (y=|x-2|+|x-6|)?
A. (4)
यह (x) की (2) और (6) से दूरियों का योग है, जिसका न्यूनतम मान (6-2=4) है। ऐसे प्रश्नों में दोनों स्थिर बिंदुओं के बीच की दूरी देखें। / It is the sum of distances of (x) from (2) and (6), so the minimum value is (6-2=4). For such questions, look at the distance between the two fixed points.
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