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\(12=2^2 \times 3\), so \(132=2^2 \times 3 \times 11\).
Step 3
Exam Tip
Always check that all bases in the final answer are prime. चरण 1: (132) को \(12 \times 11\) लिखें। चरण 2: \(12=2^2 \times 3\), इसलिए \(132=2^2 \times 3 \times 11\)। चरण 3: अंतिम उत्तर में सभी आधार अभाज्य हैं या नहीं, यह जरूर जांचें।
Repeated division by the same prime helps find its exponent. चरण 1: (224) को \(32 \times 7\) लिखें। चरण 2: \(32=2^5\), इसलिए \(224=2^5 \times 7\)। चरण 3: किसी अभाज्य की घात जानने के लिए उसी अभाज्य से बार-बार भाग देना उपयोगी है।
Multiplying after evaluating powers keeps the calculation clear. चरण 1: पहले \(2^3\) का मान निकालें। चरण 2: \(2^3=8\), इसलिए \(8 \times 3 \times 7=168\)। चरण 3: घात हल करने के बाद गुणा करने से गणना साफ रहती है।
Do not leave (25) in the final form because it is not prime. चरण 1: (275) को \(25 \times 11\) लिखें। चरण 2: \(25=5^2\), इसलिए \(275=5^2 \times 11\)। चरण 3: (25) को अंतिम रूप में न छोड़ें क्योंकि वह अभाज्य नहीं है।
\(45=3^2 \times 5\) and \(10=2 \times 5\), so \(450=2 \times 3^2 \times 5^2\). Thus (a=1, b=2), so (a+b=3).
Step 3
Exam Tip
Combine like prime factors when finding unknown exponents. चरण 1: (450) को \(45 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(45=3^2 \times 5\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(450=2 \times 3^2 \times 5^2\)। अतः (a=1, b=2), इसलिए (a+b=3)। चरण 3: अज्ञात घातों को मिलाते समय समान अभाज्यों को जोड़ें।
To count total factors, add (1) to each exponent and multiply.
Step 2
Why this answer is correct
\((3+1)(2+1)(1+1)=4 \times 3 \times 2=24\).
Step 3
Exam Tip
Do not forget that an unwritten exponent is (1). चरण 1: कुल गुणनखंडों की संख्या के लिए हर घात में (1) जोड़कर गुणा करें। चरण 2: \((3+1)(2+1)(1+1)=4 \times 3 \times 2=24\)। चरण 3: बिना लिखी घात को (1) मानना न भूलें।
The exponents are (4,1,2), so the total is (4+1+2=7).
Step 3
Exam Tip
If no exponent is shown, take it as (1). चरण 1: कुल आवृत्ति घातों के योग से मिलती है। चरण 2: घातें (4,1,2) हैं, इसलिए कुल (4+1+2=7) है। चरण 3: जहां घात नहीं दिखती, वहां घात (1) मानी जाती है।
Remembering powers of (2) saves time in such questions. चरण 1: (384) को \(128 \times 3\) लिखें। चरण 2: \(128=2^7\), इसलिए \(384=2^7 \times 3\)। चरण 3: (2) की बड़ी घातों को याद रखना ऐसे प्रश्नों में समय बचाता है।
\(27=3^3\) and \(25=5^2\), so \(675=3^3 \times 5^2\).
Step 3
Exam Tip
Splitting a number into familiar squares and cubes is a good method. चरण 1: (675) को \(27 \times 25\) लिखें। चरण 2: \(27=3^3\) और \(25=5^2\), इसलिए \(675=3^3 \times 5^2\)। चरण 3: संख्या को आसान वर्ग और घन में तोड़ना अच्छा तरीका है।
First evaluate the small power, then multiply. चरण 1: \(2^3\) का मान (8) है। चरण 2: \(8 \times 13=104\), इसलिए (n=104)। चरण 3: पहले छोटी घात निकालकर फिर गुणा करें।
\(4=2^2\) and \(81=3^4\), so \(324=2^2 \times 3^4\).
Step 3
Exam Tip
Identify the required exponent separately in the final answer. चरण 1: (324) को \(4 \times 81\) लिखें। चरण 2: \(4=2^2\) और \(81=3^4\), इसलिए \(324=2^2 \times 3^4\)। चरण 3: मांगी गई घात को अंतिम उत्तर में अलग से पहचानें।
A trailing zero is formed by a pair of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) is (6) and of (5) is (4), so (4) pairs are possible.
Step 3
Exam Tip
For trailing zeros, always take the smaller exponent. चरण 1: अंतिम शून्य (2) और (5) के जोड़े से बनता है। चरण 2: (2) की घात (6) और (5) की घात (4) है, इसलिए (4) जोड़े बनेंगे। चरण 3: अंतिम शून्यों के लिए हमेशा छोटी घात लें।
Evaluating powers first makes the calculation simple. चरण 1: \(2^2=4\) और \(3^2=9\) है। चरण 2: \(4 \times 9 \times 11=36 \times 11=396\)। चरण 3: पहले घातों को हल करना गणना को सरल बनाता है।
Do not leave (49) in the final answer because it is not prime. चरण 1: (245) को \(5 \times 49\) लिखें। चरण 2: \(49=7^2\), इसलिए \(245=5 \times 7^2\)। चरण 3: (49) को अंतिम उत्तर में न रखें क्योंकि वह अभाज्य नहीं है।
Distinct prime factors are counted from the prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are (2,3,5), so there are (3) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
Exponents are not counted as separate prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याओं से गिने जाते हैं। चरण 2: यहां आधार (2,3,5) हैं, इसलिए कुल (3) अलग अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 3: घातों को अलग अभाज्य गुणनखंड नहीं माना जाता।
An odd number does not contain (2) as a prime factor.
Step 2
Why this answer is correct
The second option has (3) and (5), but no (2), so it is odd.
Step 3
Exam Tip
The presence of (2) makes the number even. चरण 1: विषम संख्या में (2) अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: दूसरे विकल्प में (3) और (5) हैं, लेकिन (2) नहीं है, इसलिए वह विषम संख्या है। चरण 3: (2) की उपस्थिति संख्या को सम बना देती है।
An even number must contain (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only the fourth option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
You do not need to calculate the whole number to check evenness. चरण 1: सम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) अवश्य होता है। चरण 2: केवल चौथे विकल्प में (2) है, इसलिए वही सम संख्या दर्शाता है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं होती।
The prime bases here are (2,3,11), and the greatest is (11).
Step 3
Exam Tip
Do not treat a composite value like (9) as a prime factor. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याएं होती हैं। चरण 2: यहां अभाज्य आधार (2,3,11) हैं, जिनमें सबसे बड़ा (11) है। चरण 3: (9) जैसे संयुक्त मान को अभाज्य गुणनखंड न मानें।
In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^5\) needs one (2) to become \(2^6\), and \(3^2\) needs one (3) to become \(3^3\). So the multiplier is \(2 \times 3=6\).
Step 3
Exam Tip
Raise each exponent to the next multiple of (3). चरण 1: पूर्ण घन में हर अभाज्य की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^5\) को \(2^6\) बनाने के लिए (2) और \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए (3) चाहिए। इसलिए गुणक \(2 \times 3=6\) है। चरण 3: हर घात को अगली (3) की गुणज तक पहुंचाएं।
In a perfect square, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\) is fine, while \(3^3\) needs one (3) and (5) needs one (5), so the multiplier is (15).
Step 3
Exam Tip
Multiply only by primes with odd exponents. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^4\) ठीक है, \(3^3\) को \(3^4\) और (5) को \(5^2\) बनाने के लिए \(3 \times 5=15\) चाहिए। चरण 3: केवल विषम घातों वाले अभाज्यों को एक बार और गुणा करें।
A factor divisible by (3) must have the exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (5) choices from (0) to (4), and the exponent of (3) has (3) choices (1,2,3). Total \(5 \times 3=15\).
Step 3
Exam Tip
In conditional factor counting, adjust exponent limits. चरण 1: (3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात के (0) से (4) तक (5) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 3=15\)। चरण 3: शर्त वाले गुणनखंडों में घात की सीमा बदलकर गिनें।
A factor divisible by (10) must contain both (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (4) choices from (1) to (4), and the exponent of (5) has (3) choices from (1) to (3). Total \(4 \times 3=12\).
Step 3
Exam Tip
Divisibility by (10) needs both primes. चरण 1: (10) से विभाज्य गुणनखंड में (2) और (5) दोनों होने चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1) से (4) तक (4) विकल्प और (5) की घात (1) से (3) तक (3) विकल्प देती है। कुल \(4 \times 3=12\)। चरण 3: (10) से विभाज्यता के लिए दोनों अभाज्य जरूरी हैं।
In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For (2), choices are (0,2,4), giving (3) choices; for (3), choices are (0,2), giving (2); for (7), only (0), giving (1). Total (6).
Step 3
Exam Tip
Count even exponent choices separately. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) के लिए (0,2,4) के (3) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (7) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(3 \times 2 \times 1=6\)। चरण 3: सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें।
For larger powers, split the number into familiar cubes. चरण 1: \(729=27 \times 27\) है। चरण 2: \(27=3^3\), इसलिए \(729=3^3 \times 3^3=3^6\)। चरण 3: बड़ी घातों के लिए संख्या को पहचाने हुए घनों में तोड़ें।
(21) is not prime because \(21=3 \times 7\), so the third option is not prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
Always identify hidden composite numbers in options. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: (21) अभाज्य नहीं है क्योंकि \(21=3 \times 7\), इसलिए तीसरा विकल्प अभाज्य गुणनखंडन नहीं है। चरण 3: विकल्पों में छिपी संयुक्त संख्याएं जरूर पहचानें।
In a perfect square, all prime exponents are even.
Step 2
Why this answer is correct
Here the exponents are (4,2,2), and all are even, so (N) is a perfect square.
Step 3
Exam Tip
To identify a perfect square, check whether the exponents are even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। चरण 2: यहां घातें (4,2,2) हैं और सभी सम हैं, इसलिए (N) पूर्ण वर्ग है। चरण 3: पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए घातों की समता देखें।
In a perfect cube, all prime exponents are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
Both (3) and (6) are multiples of (3), so (N) is a perfect cube.
Step 3
Exam Tip
For a perfect cube, check exponents using (3). चरण 1: पूर्ण घन में सभी अभाज्य घातें (3) की गुणज होती हैं। चरण 2: (3) और (6), दोनों (3) की गुणज हैं, इसलिए (N) पूर्ण घन है। चरण 3: पूर्ण घन के लिए घातों को (3) से जांचें।
To get the greatest odd factor, remove all powers of (2). चरण 1: विषम गुणनखंड में (2) नहीं होना चाहिए। चरण 2: \(2^3\) हटाने पर \(3^2 \times 5^2=9 \times 25=225\) बचता है। चरण 3: सबसे बड़ा विषम गुणनखंड पाने के लिए सभी (2) हटा दें।
Multiplying by just one (2) gives the smallest even multiple.
Step 3
Exam Tip
When the smallest multiple is asked, do not increase exponents unnecessarily. चरण 1: दी गई संख्या में (2) नहीं है, इसलिए वह विषम है। चरण 2: सबसे छोटा सम गुणज बनाने के लिए केवल एक (2) गुणा करना पर्याप्त है। चरण 3: सबसे छोटा गुणज पूछे जाने पर अनावश्यक घात न बढ़ाएं।
A. क्योंकि (2) की घात सम नहीं है/Because the exponent of (2) is not even
Step 1
Concept
A square root is an integer only when all prime exponents are even.
Step 2
Why this answer is correct
In \(2^3 \times 3^4\), the exponent of (2) is (3), which is odd.
Step 3
Exam Tip
In square-root questions, check the evenness of each exponent. चरण 1: वर्गमूल पूर्ण संख्या तभी होता है जब सभी अभाज्य घातें सम हों। चरण 2: \(2^3 \times 3^4\) में (2) की घात (3) है, जो विषम है। चरण 3: वर्गमूल के प्रश्न में हर घात की समता जांचें।
In cube roots, bases stay the same and only exponents change. चरण 1: घनमूल में अभाज्य घातों को (3) से भाग देते हैं। चरण 2: \(2^9\) से \(2^3\) और \(3^3\) से (3) मिलेगा। चरण 3: घनमूल में आधार वही रहता है, केवल घात बदलती है।
When taking a square root, halve the prime exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^6\) becomes \(2^3\), and \(5^2\) becomes (5).
Step 3
Exam Tip
In square roots, the base does not change; the exponent is halved. चरण 1: वर्गमूल लेते समय अभाज्य घातों को आधा करते हैं। चरण 2: \(2^6\) से \(2^3\) और \(5^2\) से (5) मिलता है। चरण 3: वर्गमूल में आधार नहीं बदलता, घात आधी होती है।
\(2^5\) can supply (2) five times, but \(3^3\) can supply \(3^2\) only once. So the answer is (1).
Step 3
Exam Tip
For a composite divisor, the most limiting prime exponent decides the answer. चरण 1: \(18=2 \times 3^2\) है। चरण 2: \(2^5\) से (2) पांच बार मिल सकता है, पर \(3^3\) से \(3^2\) केवल एक बार पूरा मिलता है। इसलिए उत्तर (1) है। चरण 3: संयुक्त भाजक में सबसे सीमित अभाज्य घात उत्तर तय करती है।
The exponent of (2) is (7), and the exponent of (5) is (3), so (3) complete pairs of (10) can be formed.
Step 3
Exam Tip
The number of divisions by (10) is decided by the smaller exponent. चरण 1: \(10=2 \times 5\) है। चरण 2: (2) की घात (7) और (5) की घात (3) है, इसलिए (10) के (3) पूरे जोड़े बनेंगे। चरण 3: (10) से भाग की संख्या छोटी घात से तय होती है।
A divisor's prime exponents must not exceed the given number's exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(144=2^4 \times 3^2\), which is fully contained in \(2^4 \times 3^3\).
Step 3
Exam Tip
For divisibility, match each prime exponent separately. चरण 1: भाजक की अभाज्य घातें दी गई संख्या की घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: \(144=2^4 \times 3^2\), जो \(2^4 \times 3^3\) में पूरा मौजूद है। चरण 3: विभाज्यता में हर अभाज्य की घात अलग-अलग मिलाएं।
\(125=5^3\) and \(10=2 \times 5\), so \(1250=2 \times 5^4\).
Step 3
Exam Tip
Do not keep (10) in the final form because it is not prime. चरण 1: (1250) को \(125 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(125=5^3\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(1250=2 \times 5^4\)। चरण 3: (10) को अंतिम रूप में न रखें क्योंकि वह अभाज्य नहीं है।
The exponents are (1,2,3,2), and the greatest is (3).
Step 3
Exam Tip
For comparison, you do not need to calculate the full value. चरण 1: हर विकल्प में (5) की घात देखें। चरण 2: घातें (1,2,3,2) हैं, इनमें सबसे बड़ी (3) है। चरण 3: तुलना करते समय पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं है।
The exponent of (2) is (3), of (3) is (2), and of (7) is (2). The greatest exponent is (3), attached to (2).
Step 3
Exam Tip
Read the base and exponent separately while comparing. चरण 1: सभी अभाज्य घातों की तुलना करें। चरण 2: (2) की घात (3), (3) की घात (2) और (7) की घात (2) है। सबसे बड़ी घात (3) है, जो (2) के साथ है। चरण 3: सबसे बड़ी घात देखते समय आधार और घात को अलग-अलग पढ़ें।
Knowing squares helps solve such calculations quickly. चरण 1: \(2^2=4\) और \(7^2=49\) है। चरण 2: \(4 \times 49=196\), इसलिए (N=196)। चरण 3: वर्गों की जानकारी रखने से ऐसी गणना जल्दी होती है।
\(4^5\) gives the value, but prime factorisation must use base (2). चरण 1: (1024) को (2) की घात के रूप में पहचानें। चरण 2: \(1024=2^{10}\) होता है। चरण 3: \(4^5\) मान के लिए सही है, पर अभाज्य गुणनखंडन में आधार (2) होना चाहिए।
The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
For common factors, choose bases present in both numbers. चरण 1: पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। चरण 3: समान गुणनखंडों में वही आधार लें जो दोनों में हों।
In HCF, take the smaller exponent of a common prime.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents of (3) are (2) and (4), so the smaller exponent is (2).
Step 3
Exam Tip
For HCF, remember the minimum exponent rule. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात ली जाती है। चरण 2: (3) की घातें (2) और (4) हैं, इसलिए छोटी घात (2) होगी। चरण 3: महत्तम समापवर्तक के लिए न्यूनतम घात याद रखें।
The exponents of (2) are (5) and (3), so the larger exponent is (5).
Step 3
Exam Tip
For LCM, choose the maximum exponent. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: (2) की घातें (5) और (3) हैं, इसलिए बड़ी घात (5) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए अधिकतम घात चुनें।
\(49 \times 7\) gives the value, but it is not final prime factorisation. चरण 1: (343) को \(7 \times 49\) लिखें। चरण 2: \(49=7^2\), इसलिए \(343=7^3\)। चरण 3: \(49 \times 7\) मान देता है, पर अंतिम अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) has (3) choices (1,2,3), (3) has (3) choices (0,1,2), and (5) has (2) choices (0,1). Total (18).
Step 3
Exam Tip
While counting even factors, do not take exponent (0) for (2). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प, (3) की घात (0,1,2) के (3) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(3 \times 3 \times 2=18\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात (0) न लें।
In an odd factor, the exponent of (2) must be (0).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (3) can be (0,1,2,3), giving (4) odd factors.
Step 3
Exam Tip
While counting odd factors, remove (2) completely. चरण 1: विषम गुणनखंड में (2) की घात (0) होनी चाहिए। चरण 2: (3) की घात (0,1,2,3) हो सकती है, इसलिए (4) विषम गुणनखंड होंगे। चरण 3: विषम गुणनखंड गिनते समय (2) को पूरी तरह हटाएं।
Trailing zeros are formed by pairs of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The number of pairs equals the smaller of (a) and (b). So (\min(a,b)=5).
Step 3
Exam Tip
For trailing zeros, use the smaller exponent, not the sum. चरण 1: अंतिम शून्य (2) और (5) के जोड़े से बनते हैं। चरण 2: जोड़ों की संख्या (a) और (b) में छोटी घात के बराबर होती है। इसलिए (\min(a,b)=5)। चरण 3: अंतिम शून्यों में योग नहीं, छोटी घात काम आती है।
A. (1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता/(1) has no prime factor
Step 1
Concept
A prime number has exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
(1) has only one positive factor, so it is not prime and has no prime factor.
Step 3
Exam Tip
Avoid the common mistake of treating (1) as prime. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक गुणनखंड होते हैं। चरण 2: (1) का केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, इसलिए वह अभाज्य नहीं है और उसका कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 3: (1) को अभाज्य मानने की गलती से बचें।
A. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
Every integer greater than (1) can be written as a product of prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
This form is unique apart from order, and this comes from the fundamental theorem of arithmetic.
Step 3
Exam Tip
Remember uniqueness of prime factorisation with this theorem. चरण 1: (1) से बड़ी हर पूर्ण संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 2: यह रूप क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है, और यह बात अंकगणित के मूल प्रमेय से आती है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को इसी प्रमेय से याद रखें।
\(16=2^4\) and \(27=3^3\), so \(432=2^4 \times 3^3\). Hence (a=4, b=3).
Step 3
Exam Tip
For unknown exponents, split the number into familiar powers. चरण 1: (432) को \(16 \times 27\) लिखें। चरण 2: \(16=2^4\) और \(27=3^3\), इसलिए \(432=2^4 \times 3^3\)। अतः (a=4, b=3)। चरण 3: अज्ञात घातों के लिए संख्या को पहचानी हुई घातों में तोड़ें।
