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Since \(4=2^2\) and \(21=3 \times 7\), \(84=2^2 \times 3 \times 7\).
Step 3
Exam Tip
In exams, multiply back to verify the original number. चरण 1: (84) को \(4 \times 21\) के रूप में लिखें। चरण 2: \(4=2^2\) और \(21=3 \times 7\), इसलिए \(84=2^2 \times 3 \times 7\)। चरण 3: परीक्षा में गुणा करके वापस मूल संख्या मिलाकर जांच करें।
Since \(63=3^2 \times 7\), \(126=2 \times 3^2 \times 7\).
Step 3
Exam Tip
While counting distinct prime factors, do not count exponents as separate numbers. चरण 1: (126) को \(2 \times 63\) लिखें। चरण 2: \(63=3^2 \times 7\), इसलिए \(126=2 \times 3^2 \times 7\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को अलग संख्या न मानें।
\(2^3=8\) and \(3^2=9\), so \(8 \times 9 \times 5=360\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, solve powers before multiplying. चरण 1: पहले घातों का मान निकालें। चरण 2: \(2^3=8\) और \(3^2=9\), इसलिए \(8 \times 9 \times 5=360\)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में घात हल करने के बाद ही गुणा करें।
\(15=3 \times 5\) and \(10=2 \times 5\), so \(150=2 \times 3 \times 5^2\).
Step 3
Exam Tip
Writing repeated prime factors as powers keeps the answer neat. चरण 1: (150) को \(15 \times 10\) के रूप में तोड़ें। चरण 2: \(15=3 \times 5\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(150=2 \times 3 \times 5^2\)। चरण 3: समान अभाज्य गुणनखंडों को घात के रूप में लिखना साफ तरीका है।
Multiply completely before selecting the option. चरण 1: दी गई घात का मान निकालें। चरण 2: \(2^2 \times 3 \times 5=4 \times 3 \times 5=60\)। चरण 3: विकल्प चुनने से पहले पूरा गुणा अवश्य करें।
To find an exponent, divide repeatedly by that prime. चरण 1: (96) को \(32 \times 3\) लिख सकते हैं। चरण 2: \(32=2^5\), इसलिए \(96=2^5 \times 3\)। चरण 3: किसी अभाज्य की घात जानने के लिए उस अभाज्य से बार-बार भाग देना अच्छा तरीका है।
In prime factorisation, every base must be a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
(9) is not prime because \(9=3^2\), so the second option is not prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
Always check each base carefully. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में सभी आधार अभाज्य संख्याएं होनी चाहिए। चरण 2: (9) अभाज्य नहीं है क्योंकि \(9=3^2\), इसलिए दूसरा विकल्प सही अभाज्य गुणनखंडन नहीं है। चरण 3: हर आधार की जांच जरूर करें।
Evaluating the power first makes calculation easier. चरण 1: \(2^4\) का मान (16) है। चरण 2: \(16 \times 3=48\), इसलिए बनी संख्या (48) है। चरण 3: पहले घात का मान निकालना गणना को आसान बनाता है।
\(15^2\) shows the value, but it is not prime factorisation because (15) is not prime. चरण 1: \(225=15 \times 15\) है। चरण 2: \(15=3 \times 5\), इसलिए \(225=3^2 \times 5^2\)। चरण 3: \(15^2\) मान तो सही दिखाता है, पर अभाज्य गुणनखंडन में (15) नहीं लिखते।
For an unknown exponent, compare prime factorisations on both sides. चरण 1: (72) का अभाज्य गुणनखंडन करें। चरण 2: \(72=8 \times 9=2^3 \times 3^2\), इसलिए (a=3)। चरण 3: अज्ञात घात के लिए दोनों ओर के अभाज्य गुणनखंड मिलाएं।
\(18=2 \times 3^2\) and \(10=2 \times 5\), so \(180=2^2 \times 3^2 \times 5\).
Step 3
Exam Tip
Focus on the required exponent instead of memorising the whole number. चरण 1: \(180=18 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(18=2 \times 3^2\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(180=2^2 \times 3^2 \times 5\)। चरण 3: मांगी गई घात ही देखें, पूरी संख्या याद रखना जरूरी नहीं है।
Solving powers first makes multiplication simple. चरण 1: \(2^3=8\) और \(5^2=25\) है। चरण 2: \(8 \times 25=200\), इसलिए संख्या (200) है। चरण 3: घातों को पहले हल करने से गुणा सरल हो जाता है।
\(9=3^2\) and \(35=5 \times 7\), so \(315=3^2 \times 5 \times 7\). It does not include (2).
Step 3
Exam Tip
A prime not appearing in the factorisation is not a prime factor of the number. चरण 1: \(315=9 \times 35\) लिखें। चरण 2: \(9=3^2\) और \(35=5 \times 7\), इसलिए \(315=3^2 \times 5 \times 7\)। इसमें (2) शामिल नहीं है। चरण 3: जो अभाज्य गुणनखंडन में नहीं आता, वह उस संख्या का अभाज्य गुणनखंड नहीं है।
Distinct prime factors are identified by the prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases here are (2) and (3), so there are (2) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
The sum of exponents and the count of distinct primes are different ideas. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याओं से पहचाने जाते हैं। चरण 2: यहां आधार (2) और (3) हैं, इसलिए संख्या (2) है। चरण 3: घातों का योग अलग बात है, अलग अभाज्य गुणनखंड अलग बात है।
\(4=2^2\) and \(100=2^2 \times 5^2\), so \(400=2^4 \times 5^2\).
Step 3
Exam Tip
(4) is not prime, so final factorisation must use only prime bases. चरण 1: \(400=4 \times 100\) लिखें। चरण 2: \(4=2^2\) और \(100=2^2 \times 5^2\), इसलिए \(400=2^4 \times 5^2\)। चरण 3: (4) अभाज्य नहीं है, इसलिए अंतिम रूप में केवल अभाज्य आधार लिखें।
An even number must have (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only the third option contains (2), so it forms an even number.
Step 3
Exam Tip
You do not need to calculate the whole number to check even or odd. चरण 1: सम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) अवश्य होता है। चरण 2: केवल तीसरे विकल्प में (2) है, इसलिए वही सम संख्या बनाएगा। चरण 3: सम या विषम पहचानने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं होती।
An odd number does not have (2) as a prime factor.
Step 2
Why this answer is correct
The third option has (3,5,7) and no (2), so it forms an odd number.
Step 3
Exam Tip
If (2) appears, the number is even. चरण 1: विषम संख्या में (2) अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: तीसरे विकल्प में (3,5,7) हैं और (2) नहीं है, इसलिए यह विषम संख्या बनेगी। चरण 3: (2) दिखते ही संख्या सम हो जाती है।
Add the exponents to find the total frequency of prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents are (2,1,2), so the total is (2+1+2=5).
Step 3
Exam Tip
When no exponent is written, treat it as (1). चरण 1: कुल आवृत्ति जानने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: घातें (2,1,2) हैं, इसलिए कुल (2+1+2=5) है। चरण 3: जहां घात नहीं लिखी होती, वहां घात (1) मानी जाती है।
Use this method when the number is in prime factorised form. चरण 1: कुल गुणनखंडों की संख्या के लिए हर घात में (1) जोड़ते हैं। चरण 2: \((3+1)(2+1)=4 \times 3=12\)। चरण 3: यह तरीका तभी लगाएं जब संख्या अभाज्य गुणनखंडन रूप में हो।
\(9=3^2\) and \(10=2 \times 5\), so \(90=2 \times 3^2 \times 5\).
Step 3
Exam Tip
Splitting into easy parts like (9) and (10) is quick. चरण 1: \(90=9 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(9=3^2\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(90=2 \times 3^2 \times 5\)। चरण 3: (9) और (10) जैसे आसान भागों में तोड़ना तेज तरीका है।
\(16=2^4\) and \(9=3^2\), so \(144=2^4 \times 3^2\).
Step 3
Exam Tip
Recognising square numbers helps in prime factorisation. चरण 1: \(144=16 \times 9\) है। चरण 2: \(16=2^4\) और \(9=3^2\), इसलिए \(144=2^4 \times 3^2\)। चरण 3: वर्ग संख्याएं पहचानना अभाज्य गुणनखंडन में मदद करता है।
The exponents are (2,4,3,1), and the greatest is (4).
Step 3
Exam Tip
For comparison, you need not calculate the whole number; check only the required exponent. चरण 1: हर विकल्प में (2) की घात देखें। चरण 2: घातें (2,4,3,1) हैं, इनमें सबसे बड़ी (4) है। चरण 3: तुलना में पूरी संख्या निकालना जरूरी नहीं, केवल मांगी गई घात देखें।
For total factors, add (1) to each exponent and multiply.
Step 2
Why this answer is correct
\((2+1)(2+1)(1+1)=3 \times 3 \times 2=18\).
Step 3
Exam Tip
If an exponent is not shown, take it as (1). चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए घातों में (1) जोड़कर गुणा करें। चरण 2: \((2+1)(2+1)(1+1)=3 \times 3 \times 2=18\)। चरण 3: जिस अभाज्य पर घात न दिखे, उसकी घात (1) मानें।
Keeping the order of powers and multiplication clear reduces mistakes. चरण 1: \(3^2\) का मान (9) है। चरण 2: \(9 \times 5=45\), इसलिए (m=45)। चरण 3: घात और गुणा का क्रम ठीक रखने से गलती कम होती है।
\(8=2^3\) and \(27=3^3\), so \(216=2^3 \times 3^3\).
Step 3
Exam Tip
Recognising cube numbers is very useful in medium-level questions. चरण 1: \(216=8 \times 27\) है। चरण 2: \(8=2^3\) और \(27=3^3\), इसलिए \(216=2^3 \times 3^3\)। चरण 3: घन संख्याएं पहचानना मध्यम स्तर के प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।
Remembering small powers helps you calculate faster. चरण 1: \(3^3=27\) है। चरण 2: \(27 \times 7=189\), इसलिए संख्या (189) है। चरण 3: पहले छोटी घातों को याद करके गणना तेज करें।
\(54=2 \times 3^3\) and \(10=2 \times 5\), so \(540=2^2 \times 3^3 \times 5\).
Step 3
Exam Tip
Splitting a large number into easy parts is a safe method. चरण 1: \(540=54 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(54=2 \times 3^3\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(540=2^2 \times 3^3 \times 5\)। चरण 3: बड़े नंबर को आसान भागों में तोड़ना सुरक्षित तरीका है।
A divisor must not need prime exponents greater than those available.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3 \times 3^2\), which is fully present in \(2^4 \times 3^2\).
Step 3
Exam Tip
For divisibility, match the exponent of each prime separately. चरण 1: भाजक के अभाज्य गुणनखंड उपलब्ध घातों से अधिक नहीं होने चाहिए। चरण 2: \(72=2^3 \times 3^2\), जो \(2^4 \times 3^2\) में पूरी तरह मौजूद है। चरण 3: विभाज्यता में हर अभाज्य की घात अलग-अलग मिलाएं।
A trailing zero is formed by a pair \(10=2 \times 5\).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) is (3) and of (5) is (2), so (2) pairs can be formed.
Step 3
Exam Tip
For trailing zeros, take the smaller exponent of (2) and (5). चरण 1: अंतिम शून्य \(10=2 \times 5\) के जोड़े से बनता है। चरण 2: (2) की घात (3) और (5) की घात (2) है, इसलिए जोड़े (2) बनेंगे। चरण 3: अंतिम शून्यों के लिए (2) और (5) की छोटी घात लें।
\(12=2^2 \times 3\) and \(10=2 \times 5\), so \(120=2^3 \times 3 \times 5\).
Step 3
Exam Tip
Do not forget to combine repeated prime factors from different parts. चरण 1: \(120=12 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(12=2^2 \times 3\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(120=2^3 \times 3 \times 5\)। चरण 3: अलग-अलग भागों के समान अभाज्य गुणनखंडों को जोड़ना न भूलें।
Removing \(2^5\) leaves only (3), so the greatest odd factor is (3).
Step 3
Exam Tip
For the greatest odd factor, remove all powers of (2). चरण 1: विषम गुणनखंड में (2) नहीं होना चाहिए। चरण 2: \(2^5\) को हटाने पर केवल (3) बचता है, इसलिए सबसे बड़ा विषम गुणनखंड (3) है। चरण 3: सबसे बड़े विषम गुणनखंड के लिए सभी (2) हटा दें।
In a perfect cube, each prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
To make \(2^2\) into \(2^3\) and \(3^2\) into \(3^3\), multiply by \(2 \times 3=6\).
Step 3
Exam Tip
For a cube, exponents should be like (3,6,9). चरण 1: पूर्ण घन में हर अभाज्य की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^2\) को \(2^3\) और \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए \(2 \times 3=6\) से गुणा करना होगा। चरण 3: पूर्ण घन में घातें (3,6,9) जैसी होनी चाहिए।
In a perfect square, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
To make \(2^3\) into \(2^4\) and (3) into \(3^2\), multiply by \(2 \times 3=6\).
Step 3
Exam Tip
For a square, increase odd exponents by one to make them even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^3\) को \(2^4\) और (3) को \(3^2\) बनाने के लिए \(2 \times 3=6\) से गुणा करना होगा। चरण 3: पूर्ण वर्ग के लिए विषम घातों को एक-एक बढ़ाकर सम करें।
\(4^3\) gives the value, but it is not prime factorisation because (4) is not prime. चरण 1: (64) को (2) से बार-बार भाग दें। चरण 2: \(64=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^6\)। चरण 3: \(4^3\) मान के लिए सही है, पर अभाज्य गुणनखंडन नहीं है क्योंकि (4) अभाज्य नहीं है।
B. अभाज्य गुणनखंडन में केवल अभाज्य संख्याएं आधार होती हैं/Only prime numbers are bases in prime factorisation
Step 1
Concept
Prime factorisation means writing a number as a product of prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the bases must be prime numbers only.
Step 3
Exam Tip
Treating (1) as a prime factor is a major mistake. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन का अर्थ है संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में लिखना। चरण 2: इसलिए आधार केवल अभाज्य संख्याएं होनी चाहिए। चरण 3: (1) को अभाज्य गुणनखंड मानना बड़ी गलती है।
Do not forget primes with exponent (1). चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए हर घात में (1) जोड़ें। चरण 2: \((2+1)(1+1)(1+1)=3 \times 2 \times 2=12\)। चरण 3: घात (1) वाले अभाज्य को गिनना न भूलें।
The bases in prime factorisation are the prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
Here the bases are (2) and (3), and the smallest is (2).
Step 3
Exam Tip
To find the smallest prime factor, do not focus on exponents. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में आधार संख्याएं अभाज्य गुणनखंड होती हैं। चरण 2: यहां आधार (2) और (3) हैं, इनमें सबसे छोटा (2) है। चरण 3: सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड खोजते समय घातों को न देखें।
Do not leave (25) in the final answer because it is not prime. चरण 1: \(75=3 \times 25\) लिखें। चरण 2: \(25=5^2\), इसलिए \(75=3 \times 5^2\)। चरण 3: (25) को अंतिम उत्तर में न छोड़ें क्योंकि वह अभाज्य नहीं है।
The exponent of (2) is (4) and of (5) is (1), so only (1) pair of (10) can be formed.
Step 3
Exam Tip
The maximum number of divisions by (10) is decided by the smaller exponent. चरण 1: \(10=2 \times 5\) होता है। चरण 2: (2) की घात (4) और (5) की घात (1) है, इसलिए (10) का केवल (1) जोड़ा बनेगा। चरण 3: (10) से भाग की अधिकतम संख्या छोटी घात से तय होती है।
In a perfect square, all prime exponents are even.
Step 2
Why this answer is correct
Here every exponent is (2), so (n) is a perfect square.
Step 3
Exam Tip
To identify a perfect square, check whether exponents are even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। चरण 2: यहां हर घात (2) है, इसलिए (n) पूर्ण वर्ग है। चरण 3: पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए घातों की समता देखें।
In a perfect cube, all prime exponents are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
Both exponents are (3), so (n) is a perfect cube.
Step 3
Exam Tip
For a perfect cube, check exponents using (3). चरण 1: पूर्ण घन में सभी अभाज्य घातें (3) की गुणज होती हैं। चरण 2: यहां दोनों घातें (3) हैं, इसलिए (n) पूर्ण घन है। चरण 3: पूर्ण घन के लिए घातों को (3) से जांचें।
Here (2,3,5) are prime factors, and the greatest is (5).
Step 3
Exam Tip
When the greatest prime factor is asked, do not choose a composite number. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याएं हैं। चरण 2: यहां (2,3,5) अभाज्य गुणनखंड हैं, इनमें सबसे बड़ा (5) है। चरण 3: सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड पूछे जाने पर संयुक्त संख्या को विकल्प न चुनें।
A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (3) choices (0,1,2), and exponent of (3) has (3) choices (1,2,3). Total \(3 \times 3=9\).
Step 3
Exam Tip
For conditional factors, adjust exponent choices carefully. चरण 1: (3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होगी। चरण 2: (2) की घात के (0,1,2) यानी (3) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) यानी (3) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 3=9\)। चरण 3: शर्त वाले गुणनखंडों में घातों की सीमा ध्यान से बदलें।
A factor divisible by (10) must contain both (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) can be (1) to (4), giving (4) choices, and the exponent of (5) can be (1) to (2), giving (2) choices. Total \(4 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
Divisibility by (10) needs both prime factors. चरण 1: (10) से विभाज्य गुणनखंड में (2) और (5) दोनों होने चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1) से (4) तक (4) विकल्प देती है और (5) की घात (1) से (2) तक (2) विकल्प देती है। कुल \(4 \times 2=8\)। चरण 3: (10) के लिए दोनों अभाज्य गुणनखंड जरूरी हैं।
In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For (2), choices are (0,2), so (2) choices; for (3), choices are (0,2), so (2) choices; for (5), only (0), so (1) choice. Total \(2 \times 2 \times 1=4\).
Step 3
Exam Tip
Count even exponent choices separately. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) के लिए घात (0,2) के (2) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (5) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(2 \times 2 \times 1=4\)। चरण 3: सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें।
B. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
Every integer greater than (1) has a unique prime factorisation apart from the order.
Step 2
Why this answer is correct
This comes from the fundamental theorem of arithmetic.
Step 3
Exam Tip
Remember uniqueness of prime factorisation with this theorem. चरण 1: (1) से बड़ी हर पूर्ण संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। चरण 2: यह बात अंकगणित के मूल प्रमेय से आती है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को इसी प्रमेय से जोड़कर याद रखें।
A. (1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता/(1) has no prime factor
Step 1
Concept
A prime number has exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
(1) has only one positive factor, so it is not prime and has no prime factor.
Step 3
Exam Tip
Do not make the mistake of treating (1) as prime. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक गुणनखंड होते हैं। चरण 2: (1) का केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, इसलिए (1) अभाज्य नहीं है और उसका कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 3: (1) को अभाज्य मानने की गलती न करें।
