\(d=\frac{205-77}{29-13}=8\) इसलिए \(a_{47}=205+18\times8=349\)। निकट ज्ञात पद से आगे बढ़ना तेज तरीका है। / \(d=\frac{205-77}{29-13}=8\) so \(a_{47}=205+18\times8=349\). Moving from the nearer known term is faster.
\(a_{4p}-a_p=3pd=132\) इसलिए (33p=132) और (p=4)। सूचकांक वाले प्रश्न में स्थानों का अंतर पहले निकालें। / \(a_{4p}-a_p=3pd=132\) so (33p=132) and (p=4). In index questions first find the position gap.
इस समान्तर श्रेणी में प्रथम पद 260 और सार्वांतर \(d=-15\) है। \((-100)\) स्वयं श्रेणी का एक पद है, क्योंकि \(260-15\times 24=-100\)। चूँकि प्रत्येक अगला पद 15 कम होता है, \((-100)\) के बाद का पद \((-100)-15=-115\) होगा। अतः \((-100)\) से छोटा पहला पद \((-115)\) है। \((-130)\) भी छोटा है, पर वह इसके बाद आता है। परीक्षा टिप: ‘पहला’ शब्द के लिए सीमा वाले पद के ठीक अगले पद की जाँच करें। / In this AP, the first term is 260 and the common difference is \(d=-15\). \((-100)\) is itself a term of the AP, since \(260-15\times 24=-100\). As each successive term decreases by 15, the term after \((-100)\) is \((-100)-15=-115\). Therefore, the first term less than \((-100)\) is \((-115)\). Although \((-130)\) is also less than \((-100)\), it occurs later. Exam tip: when asked for the “first” term beyond a boundary, check the term immediately after the boundary term.
\(a_{16}=90\) और (9d=68) इसलिए \(d=\frac{68}{9}\)। \(a_{34}=a_{16}+18d=90+136=226\) नहीं बल्कि \(a_{34}=22+27\cdot\frac{68}{9}=226\) होगा। / \(a_{16}=90\) and (9d=68) so \(d=\frac{68}{9}\). \(a_{34}=22+27\cdot\frac{68}{9}=226\).
(128=99+c) से (c=29)। (392=44r+29) से \(r=\frac{363}{44}\) नहीं आता, इसलिए \(a_{4r}=381\) पर (r=8) होता। / From (128=99+c), (c=29). (392=44r+29) does not give an integer, so \(a_{4r}=381\) would give (r=8).
पद (33+15(n-1)) के रूप में हैं। (1000) से बड़ा पहला पद (1008) है क्योंकि पिछला पद (993) है। / The terms are (33+15(n-1)). The first term greater than (1000) is (1008) because the previous term is (993).
\(a_{17}\), \(a_8\) और \(a_{26}\) के बीच समान दूरी पर है। इसलिए \(a_{17}=\frac{246}{2}=123\)। / \(a_{17}\) is equally spaced between \(a_8\) and \(a_{26}\). Therefore \(a_{17}=\frac{246}{2}=123\).
तीनों पद समान दूरी पर हैं इसलिए मध्य पद औसत होगा। \(a_{14}=\frac{399}{3}=133\)। / The three terms are equally spaced, so the middle term is the average. \(a_{14}=\frac{399}{3}=133\).
समान्तर श्रेणी में \(a_{58}-a_{22}=(58-22)d\)। अतः \(-468-0=36d\), इसलिए \(d=-13\)। अब \(a_{22}=a_1+21d\) से \(0=a_1+21(-13)\), अतः \(a_1=273\)। इसलिए सही विकल्प 273 है। 263 लेने पर 22वाँ पद 0 नहीं आएगा। परीक्षा टिप: दो दिए हुए पदों के बीच पद-संख्या का अंतर लेकर पहले \(d\) ज्ञात करें। / For an AP, \(a_{58}-a_{22}=(58-22)d\). Thus, \(-468-0=36d\), so \(d=-13\). Now, from \(a_{22}=a_1+21d\), \(0=a_1+21(-13)\), giving \(a_1=273\). Hence, 273 is the correct option. If 263 were used, the 22nd term would not be 0. Exam tip: First find \(d\) by using the difference between the given term numbers.
इस समान्तर श्रेणी में प्रथम पद 310 और सार्वांतर
\(d=291-310=-19\) है। क्रमागत पदों में 19 घटता है। 82 के बाद अगला पद \(82-19=63\) है। चूँकि 82, 75 से बड़ा है और 63, 75 से छोटा है, इसलिए 75 से छोटा पहला पद 63 है। 44 और 25 भी 75 से छोटे हैं, लेकिन वे 63 के बाद आते हैं। परीक्षा टिप: घटती AP में सीमा के ठीक पहले और ठीक बाद के पदों की तुलना अवश्य करें। / For this AP, the first term is 310 and the common difference is \(d=291-310=-19\). Thus, each successive term decreases by 19. The term after 82 is \(82-19=63\). Since 82 is greater than 75 while 63 is less than 75, 63 is the first term below 75. Although 44 and 25 are also less than 75, they occur after 63. Exam tip: In a decreasing AP, compare the terms immediately on either side of the given boundary.
समान्तर श्रेणी में \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_{35}-a_{11}=(35-11)d=24d\)। प्रश्नानुसार \(24d=288\), इसलिए \(d=288/24=12\)। पदों के क्रमांकों का अंतर 24 लेना आवश्यक है; 35 और 11 को सीधे जोड़ना या किसी अन्य अंतर से भाग देना गलत होगा। परीक्षा टिप: \(a_m-a_n=(m-n)d\) सूत्र का प्रयोग सीधे करें। / For an AP, \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_{35}-a_{11}=(35-11)d=24d\). Given \(a_{35}-a_{11}=288\), we get \(24d=288\), so \(d=288/24=12\). The gap between the term numbers is 24; using an incorrect gap gives a wrong value. Exam tip: use \(a_m-a_n=(m-n)d\) directly in such questions.
यहाँ पदों के सूचकांक में प्रत्येक बार 8 की वृद्धि हो रही है। इसलिए \(a_{15}-a_7=(15x-48)-(7x-8)=8x-40\) और \(a_{23}-a_{15}=8x-40\) है। अतः अगला ऐसा अंतर भी \(8x-40\) होगा। इसलिए \(a_{31}=a_{23}+(8x-40)=23x-88+8x-40=31x-128\)। विकल्प \(31x-124\) में स्थिर पद की गणना 4 से गलत हो जाती है। परीक्षा टिप: समान अंतराल वाले पदों में उनके पदों का अंतर बराबर होता है। / The term indices increase by 8 each time. Hence, \(a_{15}-a_7=(15x-48)-(7x-8)=8x-40\), and \(a_{23}-a_{15}=8x-40\). Therefore, the next equal-step difference is also \(8x-40\). Thus, \(a_{31}=a_{23}+(8x-40)=23x-88+8x-40=31x-128\). The option \(31x-124\) results from an incorrect calculation of the constant term by 4. Exam tip: Terms separated by equal index gaps in an AP have equal differences.
इस समान्तर श्रेणी में प्रथम पद 52 और सार्वांतर 21 है। अतः nवाँ पद \(a_n=52+21(n-1)=21n+31\) होगा। 2000 से अधिक न होने के लिए \(21n+31\le 2000\), जिससे \(n\le 93\) मिलता है। इसलिए \(a_{93}=1984\) सबसे बड़ा पद है। अगला पद \(2005\) है, जो 2000 से बड़ा है। परीक्षा टिप: किसी सीमा से छोटा सबसे बड़ा AP पद पाने के लिए n का सबसे बड़ा पूर्णांक मान लें। / Here, the first term is 52 and the common difference is 21. Thus, \(a_n=52+21(n-1)=21n+31\). For a term not exceeding 2000, \(21n+31\le 2000\), giving \(n\le 93\). Therefore, \(a_{93}=1984\) is the greatest term in the given range. The next term is 2005, which exceeds 2000. Exam tip: To find the greatest AP term below a limit, use the greatest integer value of n satisfying the inequality.
मान लें प्रथम पद \(a\) और सार्वांतर \(d\) है। तब \(a_6+a_{13}=(a+5d)+(a+12d)=2a+17d=211\) तथा \(a_{22}=a+21d=256\)। दूसरी समीकरण को 2 से गुणा करके पहली समीकरण घटाने पर \(25d=301\), अतः \(d=\frac{301}{25}\)। फिर \(a=256-21d=\frac{79}{25}\)। इसलिए \(a_{44}=a+43d=\frac{79}{25}+43\cdot\frac{301}{25}=\frac{13022}{25}\)। \(539\) प्राप्त नहीं होता, क्योंकि दिए गए आंकड़ों से \(d=14\) नहीं निकलता। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पदों के सूचकांक के साथ \(a_n=a+(n-1)d\) सावधानी से लिखें। / Let the first term be \(a\) and the common difference be \(d\). Then \(a_6+a_{13}=(a+5d)+(a+12d)=2a+17d=211\), while \(a_{22}=a+21d=256\). Doubling the second equation and subtracting the first gives \(25d=301\), so \(d=\frac{301}{25}\). Hence \(a=256-21d=\frac{79}{25}\). Therefore, \(a_{44}=a+43d=\frac{79}{25}+43\cdot\frac{301}{25}=\frac{13022}{25}\). The value \(539\) does not follow because the given data do not give \(d=14\). Exam tip: write \(a_n=a+(n-1)d\) carefully, especially when converting term indices.
\(a_{16}=152\) और (6d=103), इसलिए \(d=\frac{103}{6}\)। \(a_{40}=152+24\cdot\frac{103}{6}=564\)। / \(a_{16}=152\) and (6d=103), so \(d=\frac{103}{6}\). \(a_{40}=152+24\cdot\frac{103}{6}=564\).
यहां \(d=\frac{21}{2}\)। \(a_{39}=-19+38\cdot\frac{21}{2}=380\), इसलिए सही विकल्पों की जांच जरूरी है। / Here \(d=\frac{21}{2}\). \(a_{39}=-19+38\cdot\frac{21}{2}=380\), so checking options is necessary.
\(a_{30}=408\), इसलिए (16d=357) और \(d=\frac{357}{16}\)। \(a_{46}=408+16\cdot\frac{357}{16}=765\)। / \(a_{30}=408\), so (16d=357) and \(d=\frac{357}{16}\). \(a_{46}=408+16\cdot\frac{357}{16}=765\).
समान्तर श्रेणी में दो पदों का अंतर उनके क्रमांकों के अंतर गुणा सार्वांतर होता है। अतः \(a_{29}-a_{12}=17d=255\), इसलिए \(d=15\)। अब \(a_{72}=a_{12}+(72-12)d=86+60\times15=986\)। इसलिए सही उत्तर 986 है। निकटतम भ्रमकारी विकल्प 996 तब मिल सकता है जब गणना में 10 की त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: दो ज्ञात पदों से सार्वांतर निकालते समय क्रमांकों का अंतर अवश्य लें। / In an AP, the difference between two terms equals the difference in their indices multiplied by the common difference. Thus, \(a_{29}-a_{12}=17d=255\), so \(d=15\). Now, \(a_{72}=a_{12}+(72-12)d=86+60\times15=986\). Hence, 986 is correct. The nearby distractor 996 may result from an arithmetic error of 10. Exam tip: when using two known terms, always use the difference between their indices to find the common difference.
इस समान्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=240\) और सार्वांतर \(d=-18\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=240-18(n-1)\) होगा। शर्त \(a_n>-150\) रखने पर \(240-18(n-1)>-150\), जिससे \(n-1<\frac{65}{3}\) मिलता है। अतः सबसे बड़ा पूर्णांक \(n=22\) है और \(a_{22}=240-18(21)=-138\)। अगला पद \(a_{23}=-156\) है, जो \(-150\) से बड़ा नहीं है। परीक्षा टिप: घटती AP में सीमा से बड़ा अंतिम पद पाने के लिए असमानता हल करके सबसे बड़ा मान्य पूर्णांक \(n\) लें। / Here, the first term is \(a=240\) and the common difference is \(d=-18\). Thus, \(a_n=240-18(n-1)\). Using \(a_n>-150\), we get \(240-18(n-1)>-150\), so \(n-1<\frac{65}{3}\). Therefore, the greatest possible integer is \(n=22\), and \(a_{22}=240-18(21)=-138\). The next term, \(a_{23}=-156\), is not greater than \(-150\). Exam tip: For a decreasing AP, solve the inequality and take the greatest valid integer value of \(n\).
(260=1250+(n-1)(-55)) से (990=55(n-1)), इसलिए (n=19)। घटती स्थिति में (d) ऋणात्मक लें। / From (260=1250+(n-1)(-55)), (990=55(n-1)), so (n=19). In a decreasing situation, take (d) as negative.
(514=64+(n-1)15) से (450=15(n-1)), इसलिए (n=31)। दैनिक संख्या को पद मानें कुल योग नहीं। / From (514=64+(n-1)15), (450=15(n-1)), so (n=31). Treat the daily count as a term, not a total sum.
(527=23+(5n+3)14) से (504=70n+42), इसलिए \(n=\frac{33}{5}\) नहीं आता। सूचकांक और विकल्पों को ध्यान से मिलाएं। / (527=23+(5n+3)14), so (504=70n+42), which does not give an integer option. Match the index and options carefully.
समान्तर श्रेणी में दो पदों का अंतर उनके क्रमांकों के अंतर और सार्वांतर के गुणनफल के बराबर होता है। अतः
\(a_{8n}-a_{3n}=(8n-3n)d=5n\times24=120n\)।
दिया है \(810-210=600\), इसलिए \(120n=600\) और \(n=5\)। विकल्प 6 लेने पर पदों का अंतर \(720\) आता, जो दिए गए अंतर 600 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में प्रथम पद हटाने के लिए दो दिए गए पदों का अंतर लें। / In an AP, the difference between two terms equals the difference of their indices multiplied by the common difference. Thus, \(a_{8n}-a_{3n}=(8n-3n)d=5n\times24=120n\). Given \(810-210=600\), we get \(120n=600\), so \(n=5\). If \(n=6\), the term difference would be \(720\), not the given difference of 600. Exam tip: subtract the given terms to eliminate the first term quickly.
\(a_{24}=276\) और (15d=234), इसलिए \(d=\frac{78}{5}\)। \(a_{39}=276+15\cdot\frac{78}{5}=510\)। / \(a_{24}=276\) and (15d=234), so \(d=\frac{78}{5}\). \(a_{39}=276+15\cdot\frac{78}{5}=510\).
\(a_{36}\), \(a_{20}\) और \(a_{52}\) के बीच समान दूरी पर है। इसलिए \(a_{36}=\frac{178+626}{2}=402\)। / \(a_{36}\) is equally spaced between \(a_{20}\) and \(a_{52}\). Therefore \(a_{36}=\frac{178+626}{2}=402\).
दिया है \(a_n=17n-11\)। अतः \(a_{7k}=17(7k)-11=119k-11\) और \(a_{3k}=17(3k)-11=51k-11\)। इसलिए \(a_{7k}-a_{3k}=(119k-11)-(51k-11)=68k\)। अब \(68k=408\), अतः \(k=6\)। \(7k\) और \(3k\) के स्थान पर पद लिखते समय स्थिर पद \(-11\) घटाने पर कट जाता है। परीक्षा टिप: पहले दोनों सूचकांकों के लिए \(a_n\) का मान अलग-अलग लिखें, फिर अंतर लें। / Given \(a_n=17n-11\), \(a_{7k}=17(7k)-11=119k-11\) and \(a_{3k}=17(3k)-11=51k-11\). Hence, \(a_{7k}-a_{3k}=(119k-11)-(51k-11)=68k\). Since \(68k=408\), we get \(k=6\). The constant term \(-11\) cancels when the two terms are subtracted. Exam tip: substitute each index separately in \(a_n\) before taking their difference.
(a_n=230-12(n-1)=242-12n)। \(a_n<0\) से \(n>\frac{121}{6}\), इसलिए पहला (n=21)। / (a_n=230-12(n-1)=242-12n). From \(a_n<0\), \(n>\frac{121}{6}\), so the first (n=21).
(41n<5000) में सबसे बड़ा (n=121) है। अंतिम पद \(41\times121=4961\) होगा। / In (41n<5000), the greatest (n=121). The last term will be \(41\times121=4961\).
मान लें प्रथम पद \(a\) और सार्वांतर \(d\) है। तब \(a_{10}+a_{30}=2a+38d=500\) तथा \(a_{18}+a_{38}=2a+54d=820\)। दोनों समीकरणों को घटाने पर \(16d=320\), अतः \(d=20\)। अब \(2a+38(20)=500\) से \(a=-130\)। इसलिए \(a_{58}=a+57d=-130+57(20)=1010\)। निकट का विकल्प 1030 तब आ सकता है जब पद संख्या में गलती से \(58d\) लिया जाए; \(a_{58}=a+57d\) होता है। परीक्षा टिप: AP में \(a_n=a+(n-1)d\) का उपयोग करें। / Let the first term be \(a\) and common difference be \(d\). Then \(a_{10}+a_{30}=2a+38d=500\) and \(a_{18}+a_{38}=2a+54d=820\). Subtracting gives \(16d=320\), so \(d=20\). From \(2a+38(20)=500\), we get \(a=-130\). Hence, \(a_{58}=a+57d=-130+57(20)=1010\). The nearby option 1030 can result from incorrectly using \(58d\); remember that \(a_{58}=a+57d\). Exam tip: use \(a_n=a+(n-1)d\).
यहाँ प्रथम पद \(a=75\) और सार्वांतर \(d=98-75=23\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=75+23(n-1)\) होगा। शर्त \(75+23(n-1)<2500\) से \(n-1<\frac{2425}{23}\approx105.43\), अतः सबसे बड़ा पूर्णांक \(n=106\) है। इसलिए 2500 से कम 106 पद हैं। \(n=107\) पर पद \(2513\) हो जाता है, जो 2500 से कम नहीं है। परीक्षा टिप: ‘से कम’ होने पर असमानता को सख्त \((<)\) ही रखें। / Here, the first term is \(a=75\) and the common difference is \(d=98-75=23\). The \(n\)th term is \(a_n=75+23(n-1)\). Using \(75+23(n-1)<2500\), we get \(n-1<\frac{2425}{23}\approx105.43\). Hence, the greatest integer value of \(n\) is \(106\). Therefore, 106 terms are less than 2500. For \(n=107\), the term is \(2513\), which is not less than 2500. Exam tip: retain the strict inequality \((<)\) when the question says “less than.”
(a_{16}+a_{25}=\(a_7+9d\)+\(a_7+18d\)=116+27d=638), इसलिए \(d=\frac{58}{3}\) और \(a_{49}=58+42d=870\)। / (a_{16}+a_{25}=\(a_7+9d\)+\(a_7+18d\)=116+27d=638), so \(d=\frac{58}{3}\) and \(a_{49}=58+42d=870\).
इस समान्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=-92\) और सार्वांतर \(d=23\) है। अतः \(a_n=a+(n-1)d=-92+23(n-1)=23n-115\)। \(23n-115>900\) से \(n>44.13\) मिलता है, इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक \(n=45\) होगा। \(a_{45}=920\), अतः 900 से बड़ा पहला पद 920 है। निकटतम विकल्प 897, \(44\)वाँ पद है और वह 900 से छोटा है। परीक्षा टिप: “पहला बड़ा” पद पाने के लिए असमता हल करके अगला पूर्णांक लें। / Here, the first term is \(a=-92\) and the common difference is \(d=23\). Thus, \(a_n=a+(n-1)d=-92+23(n-1)=23n-115\). From \(23n-115>900\), we get \(n>44.13\), so the smallest integer value is \(n=45\). Hence, \(a_{45}=920\), which is the first term greater than 900. The close distractor 897 is the 44th term, so it is still less than 900. Exam tip: for the first term greater than a number, solve the inequality and take the next integer value of \(n\).
दिया है कि \(a_n=12n+q\)। अतः \(a_{8n}=12(8n)+q=96n+q\) और \(a_{3n}=12(3n)+q=36n+q\)। इसलिए \(a_{8n}-a_{3n}=(96n+q)-(36n+q)=60n\)। अब \(60n=780\), इसलिए \(n=13\)। यहाँ \(q\) दोनों पदों में होने के कारण कट जाता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए पदों के सूचकांक को सूत्र में रखकर अंतर निकालें। / Given \(a_n=12n+q\), we get \(a_{8n}=12(8n)+q=96n+q\) and \(a_{3n}=12(3n)+q=36n+q\). Hence, \(a_{8n}-a_{3n}=(96n+q)-(36n+q)=60n\). Since \(60n=780\), \(n=13\). The constant \(q\) cancels because it occurs in both terms. Exam tip: substitute the required indices into the term formula first, then take their difference.
समांतर श्रेणी में \(a_p-a_q=(p-q)d\) होता है। अतः \(a_{3n+2}-a_{n+2}=[(3n+2)-(n+2)]d=2nd\)। इसलिए \(148-52=2n\times12\), अर्थात \(96=24n\), जिससे \(n=4\) प्राप्त होता है। \(n=3\) लेने पर अंतर \(72\) आएगा, जो दिए गए अंतर \(96\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: दो पद दिए हों तो पहले उनके उपसूचकों का अंतर निकालें। / In an AP, \(a_p-a_q=(p-q)d\). Hence, \(a_{3n+2}-a_{n+2}=[(3n+2)-(n+2)]d=2nd\). Therefore, \(148-52=2n\times12\), so \(96=24n\) and \(n=4\). If \(n=3\), the difference would be \(72\), not the given difference \(96\). Exam tip: When two terms are given, first find the difference between their subscripts.
ए.पी. में \(a_{r+6}-a_r=6d\)। अतः \(176-86=6d\), इसलिए \(d=15\)। अब \(a_{4r}-a_r=(4r-r)d=3rd\)। इसलिए \(536-86=3r\times15\), अर्थात \(450=45r\), जिससे \(r=10\) मिलता है। विकल्प 9 लेने पर पदों का अंतर \(3\times9\times15=405\) होगा, 450 नहीं। परीक्षा टिप: दो दिए गए पदों को घटाने पर प्रथम पद अपने-आप हट जाता है और \(d\) या सूचकांकों का अंतर आसानी से मिलता है। / In an AP, \(a_{r+6}-a_r=6d\). Thus, \(176-86=6d\), so \(d=15\). Now, \(a_{4r}-a_r=(4r-r)d=3rd\). Hence, \(536-86=3r\times15\), i.e. \(450=45r\), giving \(r=10\). If 9 were used, the difference between the terms would be \(3\times9\times15=405\), not 450. Exam tip: Subtracting two given AP terms eliminates the first term and directly relates the common difference to the difference in indices.
