यहाँ पदों के सूचकांक में प्रत्येक बार 8 की वृद्धि हो रही है। इसलिए \(a_{15}-a_7=(15x-48)-(7x-8)=8x-40\) और \(a_{23}-a_{15}=8x-40\) है। अतः अगला ऐसा अंतर भी \(8x-40\) होगा। इसलिए \(a_{31}=a_{23}+(8x-40)=23x-88+8x-40=31x-128\)। विकल्प \(31x-124\) में स्थिर पद की गणना 4 से गलत हो जाती है। परीक्षा टिप: समान अंतराल वाले पदों में उनके पदों का अंतर बराबर होता है। / The term indices increase by 8 each time. Hence, \(a_{15}-a_7=(15x-48)-(7x-8)=8x-40\), and \(a_{23}-a_{15}=8x-40\). Therefore, the next equal-step difference is also \(8x-40\). Thus, \(a_{31}=a_{23}+(8x-40)=23x-88+8x-40=31x-128\). The option \(31x-124\) results from an incorrect calculation of the constant term by 4. Exam tip: Terms separated by equal index gaps in an AP have equal differences.
यहाँ पदों के सूचकांक में प्रत्येक बार 7 की वृद्धि हो रही है। \(a_{13}-a_6=(13x-33)-(6x-5)=7x-28\) तथा \(a_{20}-a_{13}=7x-28\)। अतः \(a_{20}\) से \(a_{27}\) तक भी वही अंतर जोड़ा जाएगा: \(a_{27}=20x-61+7x-28=27x-89\)। इसलिए विकल्प C सही है। परीक्षा टिप: समान अंतराल वाले पदों में उनके पदों के अंतर भी समान होते हैं। / The term indices increase by 7 each time. \(a_{13}-a_6=(13x-33)-(6x-5)=7x-28\), and \(a_{20}-a_{13}=7x-28\). Therefore, the same difference is added from \(a_{20}\) to \(a_{27}\): \(a_{27}=20x-61+7x-28=27x-89\). Hence, option C is correct. Exam tip: For equally spaced terms of an AP, the differences between the terms are equal.
यहाँ 6 पदों के अंतर पर पदों का अंतर समान है। \(a_{11}-a_5=(11x-20)-(5x-2)=6x-18\) और \(a_{17}-a_{11}=6x-18\)। इसलिए \(a_{23}=a_{17}+(6x-18)=(17x-38)+(6x-18)=23x-56\)। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा टिप: समान दूरी वाले पद दिए हों, तो उनके अंतर बराबर लेकर अगले समान-अंतर वाले पद तक बढ़ें। / The terms are six positions apart, so their differences must be equal. \(a_{11}-a_5=(11x-20)-(5x-2)=6x-18\), and \(a_{17}-a_{11}=6x-18\). Hence, \(a_{23}=a_{17}+(6x-18)=(17x-38)+(6x-18)=23x-56\). Therefore, option C is correct. Exam tip: When equally spaced AP terms are given, use the equal difference between those terms to find the next one.
दिया है कि \(a_3=8\) और \(a_8=3\)। अतः \(a_8-a_3=5d\), इसलिए \(3-8=5d\) और \(d=-1\)। अब \(a_{11}=a_8+3d=3+3(-1)=0\)। इसलिए सही उत्तर 0 है। विकल्प 1, \(a_{10}\) का मान है; यह एक पद कम गिनने पर मिलता है। परीक्षा टिप: दो ज्ञात पदों के बीच पदों की संख्या निकालते समय उनके क्रमांकों का अंतर लें। / Given \(a_3=8\) and \(a_8=3\), we have \(a_8-a_3=5d\). Thus, \(3-8=5d\), so \(d=-1\). Now \(a_{11}=a_8+3d=3+3(-1)=0\). Hence, 0 is the correct answer. Option 1 is the value of \(a_{10}\), obtained by counting one term less. Exam tip: When using two known terms of an AP, take the difference of their term numbers to find the number of common differences.
समांतर श्रेणी में दो पदों का अंतर उनके क्रमांकों के अंतर और सामान्य अंतर के गुणनफल के बराबर होता है। अतः \(a_6-a_3=(6-3)d\)। इसलिए \(25-4=3d\), अर्थात \(21=3d\) और \(d=7\)। विकल्प 21 पदों का अंतर है, सामान्य अंतर नहीं। परीक्षा टिप: दो दिए गए पदों को घटाते समय उनके उपसूचकों का अंतर अवश्य लें। / In an AP, the difference between two terms equals the difference of their indices multiplied by the common difference. Thus, \(a_6-a_3=(6-3)d\). Hence \(25-4=3d\), so \(21=3d\) and \(d=7\). Option 21 is the difference between the given terms, not the common difference. Exam tip: when subtracting two given terms, also use the difference between their subscripts.
समांतर श्रेणी में \(a_3=a_1+2d\) होता है। अतः \(a_3-a_1=2d=14\), इसलिए \(d=7\)। \(-7\) तब होता यदि दिया गया अंतर \(-14\) होता। परीक्षा टिप: \(a_m-a_n=(m-n)d\) में पदों के क्रमांकों का अंतर अवश्य गिनें। / In an AP, \(a_3=a_1+2d\). Therefore, \(a_3-a_1=2d=14\), so \(d=7\). The value \(-7\) would apply only if the given difference were \(-14\). Exam tip: use \(a_m-a_n=(m-n)d\) and carefully count the difference between the term numbers.
समांतर श्रेणी में दो पदों का अंतर उनके स्थानों के अंतर और सामान्य अंतर के गुणनफल के बराबर होता है। अतः \(a_9-a_5=(9-5)d\), यानी \(34-18=4d\)। इसलिए \(16=4d\) और \(d=4\)। विकल्प 16 पदों का अंतर है, सामान्य अंतर नहीं। परीक्षा टिप: पहले पद-संख्या का अंतर निकालें, फिर पदों के अंतर को उससे भाग दें। / In an AP, the difference between two terms equals the difference in their positions multiplied by the common difference. Thus, \(a_9-a_5=(9-5)d\), so \(34-18=4d\). Hence \(16=4d\) and \(d=4\). Option 16 is the difference between the two given terms, not the common difference. Exam tip: find the difference in term numbers first, then divide the term difference by it.
अंकगणितीय श्रेणी में मध्य पद का दुगुना, पहले और तीसरे पद के योग के बराबर होता है। अतः \(2(4m+2)=3m+(6m-2)\)। इससे \(8m+4=9m-2\), इसलिए \(m=6\)। विकल्प 5 लेने पर दोनों क्रमागत अंतरों का मान समान नहीं होगा। परीक्षा टिप: तीन पदों की AP में सीधे \(2b=a+c\) का प्रयोग करें। / In an arithmetic progression, twice the middle term equals the sum of the first and third terms. Thus, \(2(4m+2)=3m+(6m-2)\). This gives \(8m+4=9m-2\), so \(m=6\). If 5 is substituted, the two consecutive differences are not equal. Exam tip: for three AP terms, use \(2b=a+c\) directly.
समांतर श्रेणी में क्रमागत पदों के अंतर बराबर होते हैं। यहाँ दूसरा अंतर है:
\((7-t)-(5-2t)=t+2\)। तीसरा अंतर है:
\((12+t)-(7-t)=5+2t\)। अतः \(t+2=5+2t\), जिससे \(t=-3\) प्राप्त होता है। \(-2\) लेने पर दोनों अंतर बराबर नहीं आते। परीक्षा टिप: तीन पदों के AP में हमेशा मध्य पद का दोगुना पहले और तीसरे पद के योग के बराबर भी जाँच सकते हैं। / In an arithmetic progression, the differences between consecutive terms are equal. The first difference is \((7-t)-(5-2t)=t+2\), and the second difference is \((12+t)-(7-t)=5+2t\). Thus, \(t+2=5+2t\), which gives \(t=-3\). Substituting \(-2\) does not make the two differences equal. Exam tip: for three AP terms, you can also check whether twice the middle term equals the sum of the first and third terms.
समांतर श्रेणी में क्रमागत पदों के अंतर बराबर होते हैं। यहाँ दूसरा और पहला पद का अंतर \((3x+5)-(4x-3)=8-x\) तथा तीसरा और दूसरा पद का अंतर \((x+21)-(3x+5)=16-2x\) है। अतः \(8-x=16-2x\), जिससे \(x=8\) मिलता है। तब पद \(29,29,29\) हैं, इसलिए सामान्य अंतर \(0\) है। \(8\) केवल समीकरण बनाते समय प्राप्त एक अंतरिम मान है, सामान्य अंतर नहीं। परीक्षा टिप: पहले क्रमागत अंतरों को बराबर करके चर का मान निकालें, फिर common difference ज्ञात करें। / In an arithmetic progression, the differences between consecutive terms are equal. Here, the second-minus-first difference is \((3x+5)-(4x-3)=8-x\), and the third-minus-second difference is \((x+21)-(3x+5)=16-2x\). So, \(8-x=16-2x\), giving \(x=8\). The terms then become \(29,29,29\), so the common difference is \(0\). \(8\) is only an intermediate value obtained while solving, not the common difference. Exam tip: first equate consecutive differences to find the variable, then calculate the common difference.
समांतर श्रेणी में क्रमागत पदों के अंतर बराबर होते हैं। यहाँ दूसरा और पहला पद का अंतर
\((3x+5)-(4x-3)=-x+8\) है, जबकि तीसरे और दूसरे पद का अंतर
\((x+21)-(3x+5)=-2x+16\) है। इन्हें बराबर करने पर \(-x+8=-2x+16\), अतः \(x=8\)। तब पद \(29, 29, 29\) हैं, इसलिए सामान्य अंतर \(0\) है। विकल्प 8, \(x\) का मान है, सामान्य अंतर नहीं। परीक्षा टिप: पहले क्रमागत अंतरों को बराबर करके चर का मान ज्ञात करें, फिर उसी मान से \(d\) निकालें। / In an arithmetic progression, the differences between consecutive terms are equal. Here, the second-minus-first difference is \((3x+5)-(4x-3)=-x+8\), and the third-minus-second difference is \((x+21)-(3x+5)=-2x+16\). Equating them gives \(-x+8=-2x+16\), so \(x=8\). The terms then become \(29,29,29\), making the common difference \(0\). Option 8 is the value of \(x\), not the common difference. Exam tip: first equate consecutive differences to find the variable, then substitute it to obtain \(d\).
समांतर श्रेणी में क्रमागत पदों का अंतर समान होता है। यहाँ दूसरा और पहला पद का अंतर
\((x+6)-x=6\) है, जबकि तीसरे और दूसरे पद का अंतर \((3x-2)-(x+6)=2x-8\) है। अतः \(2x-8=6\), इसलिए \(2x=14\) और \(x=7\)। विकल्प 6 लेने पर दूसरा अंतर 4 होगा, जो 6 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: तीन पदों के AP में हमेशा \(2\times\) मध्य पद = प्रथम पद + तृतीय पद भी जाँच सकते हैं। / In an arithmetic progression, the differences between consecutive terms are equal. Here, the difference between the second and first terms is \((x+6)-x=6\), while that between the third and second terms is \((3x-2)-(x+6)=2x-8\). Therefore, \(2x-8=6\), so \(2x=14\) and \(x=7\). If \(x=6\), the second difference becomes 4, not 6. Exam tip: For three AP terms, you can also use \(2\times\) middle term = first term + third term.
समांतर श्रेणी में क्रमागत पदों के अंतर बराबर होते हैं। यहाँ दूसरा और पहला पद का अंतर \((2r+2)-(r-1)=r+3\) है, जबकि तीसरा और दूसरा पद का अंतर \((4r+7)-(2r+2)=2r+5\) है। अतः \(r+3=2r+5\), जिससे \(r=-2\) मिलता है। तब पद \(-3,-2,-1\) होंगे, इसलिए सामान्य अंतर \(d=1\) है। \(r=0\) रखने पर दोनों अंतर 3 और 5 आते हैं, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: तीन पदों के AP में हमेशा \(2\times\) मध्य पद = प्रथम पद + तृतीय पद भी जाँच सकते हैं। / In an arithmetic progression, the differences between consecutive terms must be equal. Here, the difference between the second and first terms is \((2r+2)-(r-1)=r+3\), while that between the third and second terms is \((4r+7)-(2r+2)=2r+5\). Thus, \(r+3=2r+5\), giving \(r=-2\). The terms then become \(-3,-2,-1\), so the common difference is \(d=1\). For \(r=0\), the two differences are 3 and 5, so that option is not correct. Exam tip: for three AP terms, also check whether \(2\times\) the middle term equals the sum of the first and third terms.
दिए गए तीन पद ए.पी. में होने के लिए क्रमागत अंतरों का बराबर होना आवश्यक है। पहला अंतर \((4x+1)-(2x+5)=2x-4\) और दूसरा अंतर \((7x-7)-(4x+1)=3x-8\) है। अतः \(2x-4=3x-8\) रखने पर \(x=4\) प्राप्त होता है। \(x=3\) निकटतम विकल्प है, लेकिन उस पर दोनों अंतर बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: तीन व्यंजकों के ए.पी. में होने की जाँच के लिए हमेशा दूसरा पद घटाकर पहला और तीसरा पद घटाकर दूसरा अंतर निकालें। / For the three terms to form an AP, their consecutive differences must be equal. The first difference is \((4x+1)-(2x+5)=2x-4\), and the second difference is \((7x-7)-(4x+1)=3x-8\). Equating them, \(2x-4=3x-8\), gives \(x=4\). Option 3 is a close distractor, but it does not make the two differences equal. Exam tip: For three algebraic terms in an AP, calculate the second-minus-first and third-minus-second differences before equating them.
समांतर श्रेणी में क्रमागत पदों के अंतर बराबर होते हैं। अतः
\((2p+1)-(p-4)=(4p-2)-(2p+1)\)।
इससे \(p+5=2p-3\), इसलिए \(p=8\)। अब सामान्य अंतर \((2p+1)-(p-4)=17-4=13\) है। विकल्प 15 आदि सही नहीं हैं क्योंकि वे दिए गए तीन पदों के क्रमागत अंतर के बराबर नहीं बनते। परीक्षा टिप: तीन पद AP में हों तो मध्य पद का दुगुना, पहले और तीसरे पद के योग के बराबर रखें। / In an arithmetic progression, the differences between consecutive terms are equal. Therefore,
\((2p+1)-(p-4)=(4p-2)-(2p+1)\).
This gives \(p+5=2p-3\), so \(p=8\). The common difference is then \((2p+1)-(p-4)=17-4=13\). Values such as 15 do not equal the consecutive difference of the given terms. Exam tip: for three terms in an AP, set twice the middle term equal to the sum of the first and third terms.
समांतर श्रेणी में क्रमागत पदों का अंतर समान होता है। यहाँ पहले और पाँचवें पद के बीच 4 अंतर हैं, इसलिए सामान्य अंतर \(d=\frac{39-7}{4}=8\) होगा। अतः \(x=7+8=15\) और \(y=23+8=31\)। इसलिए \(x+y=15+31=46\)। विकल्प 42 तब मिलता यदि अंतर को गलत तरीके से गिना जाए। परीक्षा टिप: \(n\) पदों के बीच हमेशा \(n-1\) अंतर होते हैं। / In an arithmetic progression, consecutive terms have the same difference. There are 4 gaps between the first and fifth terms, so the common difference is \(d=\frac{39-7}{4}=8\). Thus, \(x=7+8=15\) and \(y=23+8=31\). Therefore, \(x+y=15+31=46\). Option 42 can result from counting the gaps incorrectly. Exam tip: between \(n\) terms, there are always \(n-1\) gaps.
समांतर श्रेढ़ी के पदों में क्रमशः समान अंतर d जोड़ा जाता है। यहाँ a = 3 और d = 0 है, इसलिए दूसरा पद 3 + 0 = 3 तथा तीसरा पद 3 + 0 = 3 होगा। अतः पहले तीन पद (3, 3, 3) हैं। विकल्प D में अंतर 3 है, 0 नहीं। परीक्षा टिप: d = 0 होने पर AP के सभी पद प्रथम पद के बराबर होते हैं। / In an arithmetic progression, the same common difference d is added successively. Here, a = 3 and d = 0, so the second term is 3 + 0 = 3 and the third term is also 3 + 0 = 3. Therefore, the first three terms are (3, 3, 3). Option D has common difference 3, not 0. Exam tip: When d = 0, every term of an AP equals its first term.
अनुक्रम में पदों की स्थिति बाएँ से गिनी जाती है: पहला पद 6, दूसरा 12, तीसरा 18 और चौथा 24 है। इसलिए सही उत्तर 24, अर्थात विकल्प C, है। यह एक समानांतर श्रेणी है जिसका सार्व अंतर 6 है; परीक्षा में पद का क्रमांक ध्यान से गिनें। / The terms are counted from left to right: the first term is 6, the second is 12, the third is 18, and the fourth is 24. Therefore, 24 is correct, which is option C. This is an arithmetic progression with common difference 6; in an exam, count the term position carefully.
