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यहां \(D=b^2-4ac=25-24=1\), इसलिए (D>0) है। परीक्षा में (D>0) होने पर दो भिन्न वास्तविक मूल लिखें। / Here \(D=b^2-4ac=25-24=1\), so (D>0). In exams, (D>0) means two distinct real roots.
यहां \(D=6^2-4\cdot1\cdot9=0\), इसलिए दोनों मूल बराबर वास्तविक हैं। परीक्षा में (D=0) सीधे बराबर मूल बताता है। / Here \(D=6^2-4\cdot1\cdot9=0\), so the roots are equal real roots. In exams, (D=0) directly indicates equal roots.
यहां \(D=3^2-4\cdot2\cdot5=-31\), इसलिए (D<0) है। परीक्षा में (D<0) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। / Here \(D=3^2-4\cdot2\cdot5=-31\), so (D<0). In exams, (D<0) means there are no real roots.
बराबर मूलों के लिए (D=0), अतः \(4^2-4\cdot k\cdot1=0\) से (k=4)। परीक्षा में बराबर मूल देखकर (D=0) लगाएं। / For equal roots, (D=0), so \(4^2-4\cdot k\cdot1=0\) gives (k=4). In exams, use (D=0) when equal roots are given.
बराबर मूलों के लिए (D=0), अतः ((-2k)2-4\cdot1\cdot9=0) से \(k=\pm3\)। परीक्षा में \(k^2\) आए तो दोनों चिह्न जांचें। / For equal roots, (D=0), so ((-2k)2-4\cdot1\cdot9=0) gives \(k=\pm3\). In exams, when \(k^2\) appears, check both signs.
दो भिन्न वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) धनात्मक होता है। परीक्षा में प्रकृति तय करने के लिए पहले (D) निकालें। / For two distinct real roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) is positive. In exams, first calculate (D) to decide the nature.
जब (D=0) होता है, तब दोनों मूल समान और वास्तविक होते हैं। परीक्षा में इसे repeated roots भी कहा जा सकता है। / When (D=0), both roots are equal and real. In exams, these may also be called repeated roots.
यहां (D=(-2)2-4\cdot5\cdot3=-56), इसलिए (D<0)। परीक्षा में ऋणात्मक (D) का अर्थ वास्तविक मूल नहीं है। / Here (D=(-2)2-4\cdot5\cdot3=-56), so (D<0). In exams, negative (D) means no real roots.
बराबर मूलों के लिए (D=0), अतः \(m^2-64=0\) और \(m=\pm8\)। परीक्षा में \(m^2=a^2\) से \(m=\pm a\) लिखना न भूलें। / For equal roots, (D=0), so \(m^2-64=0\) and \(m=\pm8\). In exams, remember \(m^2=a^2\) gives \(m=\pm a\).
दो भिन्न वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (25-4k>0) से \(k<\frac{25}{4}\)। परीक्षा में असमानता हल करते समय चिन्ह सही रखें। / For two distinct real roots, (D>0), so (25-4k>0) gives \(k<\frac{25}{4}\). In exams, keep the inequality sign correct while solving.
वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0), इसलिए \(k^2-64<0\) अर्थात \(k^2<64\)। परीक्षा में (D<0) को no real roots से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so \(k^2-64<0\), that is \(k^2<64\). In exams, connect (D<0) with no real roots.
यहां (D=22-4\cdot7\cdot(-3)=88), इसलिए (D>0)। परीक्षा में (c) ऋणात्मक हो तो (D) अक्सर धनात्मक हो सकता है। / Here (D=22-4\cdot7\cdot(-3)=88), so (D>0). In exams, when (c) is negative, (D) can often become positive.
A. मूल वास्तविक और बराबर हैं/Roots are real and equal
Explanation
Simple Explanation
यहां \(D=12^2-4\cdot9\cdot4=0\), इसलिए मूल वास्तविक और बराबर हैं। परीक्षा में \(9x^2+12x+4\) को ((3x+2)2) भी पहचान सकते हैं। / Here \(D=12^2-4\cdot9\cdot4=0\), so the roots are real and equal. In exams, \(9x^2+12x+4\) can also be recognized as ((3x+2)2).
बराबर मूलों के लिए (D=0), अतः (36-12p=0) से (p=3)। परीक्षा में \(a\neq0\) की शर्त याद रखें। / For equal roots, (D=0), so (36-12p=0) gives (p=3). In exams, remember the condition \(a\neq0\).
A. दो भिन्न वास्तविक और परिमेय मूल/Two distinct real and rational roots
Explanation
Simple Explanation
यहां (D=(-7)2-4\cdot1\cdot10=9), जो धनात्मक पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में (D) धनात्मक पूर्ण वर्ग हो तो मूल परिमेय और भिन्न होते हैं। / Here (D=(-7)2-4\cdot1\cdot10=9), which is a positive perfect square. In exams, positive perfect-square (D) gives rational and distinct roots.
A. दो भिन्न वास्तविक और अपरिमेय मूल/Two distinct real and irrational roots
Explanation
Simple Explanation
यहां (D=(-4)2-4\cdot1\cdot1=12), जो धनात्मक है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। परीक्षा में ऐसा (D) अपरिमेय भिन्न वास्तविक मूल देता है। / Here (D=(-4)2-4\cdot1\cdot1=12), which is positive but not a perfect square. In exams, such (D) gives irrational distinct real roots.
A. दो भिन्न वास्तविक और अपरिमेय मूल/Two distinct real and irrational roots
Explanation
Simple Explanation
(D=18) धनात्मक है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए मूल वास्तविक भिन्न और अपरिमेय होंगे। परीक्षा में (D) के पूर्ण वर्ग होने की जांच भी करें। / (D=18) is positive but not a perfect square, so the roots are real, distinct, and irrational. In exams, also check whether (D) is a perfect square.
बराबर मूलों के लिए (D=0), अतः \(q^2-144=0\) और \(q=\pm12\)। परीक्षा में (b) का दोनों चिह्न संभव हो सकता है। / For equal roots, (D=0), so \(q^2-144=0\) and \(q=\pm12\). In exams, both signs of (b) may be possible.
A. दो भिन्न वास्तविक और परिमेय मूल/Two distinct real and rational roots
Explanation
Simple Explanation
यहां (D=(-11)2-4\cdot6\cdot3=49), जो धनात्मक पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में ऐसे मामलों में मूल परिमेय होते हैं। / Here (D=(-11)2-4\cdot6\cdot3=49), a positive perfect square. In exams, roots are rational in such cases.
यहां (D=(-4)2-4\cdot3\cdot2=-8), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D) ऋणात्मक हो तो वास्तविक संख्या रेखा पर कटाव नहीं होता। / Here (D=(-4)2-4\cdot3\cdot2=-8), so there are no real roots. In exams, negative (D) means no intersection on the real number line.
बराबर मूलों के लिए (D=0), अतः (100-4t=0) से (t=25)। परीक्षा में \(b^2=4ac\) बराबर मूल की तेज पहचान है। / For equal roots, (D=0), so (100-4t=0) gives (t=25). In exams, \(b^2=4ac\) is a quick sign of equal roots.
A. दो वास्तविक और भिन्न मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहां (D=(-7)2-4\cdot2\cdot6=1), इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। परीक्षा में (D=1) भी धनात्मक पूर्ण वर्ग है। / Here (D=(-7)2-4\cdot2\cdot6=1), so the roots are two distinct real roots. In exams, (D=1) is also a positive perfect square.
(D=0) से ((4k)2-4\cdot4\cdot k=0), यानी (16k(k-1)=0)। इसलिए (k=0) या (k=1), और \(a=4\neq0\) है। / From (D=0), ((4k)2-4\cdot4\cdot k=0), that is (16k(k-1)=0). So (k=0) or (k=1), and \(a=4\neq0\).
यहां (D=\(2\sqrt{3}\)2-4\cdot1\cdot3=0), इसलिए मूल बराबर वास्तविक हैं। परीक्षा में surd coefficient को square करते समय सावधानी रखें। / Here (D=\(2\sqrt{3}\)2-4\cdot1\cdot3=0), so the roots are equal and real. In exams, be careful while squaring a surd coefficient.
यहां (D=\(2\sqrt{2}\)2-4\cdot1\cdot1=4), इसलिए (D>0)। परीक्षा में (D=4) होने पर दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं। / Here (D=\(2\sqrt{2}\)2-4\cdot1\cdot1=4), so (D>0). In exams, (D=4) gives two distinct real roots.
A. \(r^2<\frac{25}{4}\) और \(r\neq0\)/\(r^2<\frac{25}{4}\) and \(r\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
दो भिन्न वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए \(25-4r^2>0\)। साथ में \(r\neq0\) चाहिए क्योंकि समीकरण द्विघात होना चाहिए। / For two distinct real roots, (D>0), so \(25-4r^2>0\). Also \(r\neq0\) is needed because the equation must remain quadratic.
वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0), अतः \(4-4\lambda<0\) से \(\lambda>1\)। परीक्षा में strict inequality को बराबरी से अलग रखें। / For no real roots, (D<0), so \(4-4\lambda<0\) gives \(\lambda>1\). In exams, keep strict inequality separate from equality.
यहां \(D=20^2-4\cdot5\cdot20=0\), इसलिए मूल बराबर वास्तविक हैं। परीक्षा में सामान्य गुणनखंड हटाने पर भी प्रकृति नहीं बदलती। / Here \(D=20^2-4\cdot5\cdot20=0\), so the roots are equal and real. In exams, removing a common factor does not change the nature.
यहां (D=(-3)2-4\cdot10\cdot2=-71), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में छोटे \(b^2\) और बड़े (4ac) से (D<0) हो सकता है। / Here (D=(-3)2-4\cdot10\cdot2=-71), so it has no real roots. In exams, small \(b^2\) and large (4ac) can make (D<0).
दो भिन्न वास्तविक मूलों के लिए (D>0), अतः (16-8n>0) से (n<2)। परीक्षा में coefficient (a) को (4ac) में शामिल करना न भूलें। / For real and distinct roots, (D>0), so (16-8n>0) gives (n<2). In exams, do not forget coefficient (a) in (4ac).
बराबर मूलों के लिए (D=0), इसलिए ((2s)2-4s=0) से (4s(s-1)=0)। (s=0) द्विघात नहीं बनाता, इसलिए (s=1)। / For equal roots, (D=0), so ((2s)2-4s=0) gives (4s(s-1)=0). (s=0) does not make a quadratic, so (s=1).
(D=-5) ऋणात्मक है, इसलिए वास्तविक मूल नहीं होंगे। परीक्षा में (D<0) को complex roots से भी जोड़ा जा सकता है। / (D=-5) is negative, so there will be no real roots. In exams, (D<0) may also be linked with complex roots.
यहां \(D=4^2-4\cdot1\cdot8=-16\), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D<0) का अर्थ (x)-अक्ष से कोई कटाव नहीं है। / Here \(D=4^2-4\cdot1\cdot8=-16\), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no cut with the (x)-axis.
यहां (D=(-6)2-4\cdot1\cdot9=0), इसलिए ग्राफ (x)-अक्ष को एक बार स्पर्श करता है। परीक्षा में (D=0) tangency दिखाता है। / Here (D=(-6)2-4\cdot1\cdot9=0), so the graph touches the (x)-axis once. In exams, (D=0) indicates tangency.
यहां (D=(-5)2-4\cdot1\cdot4=9), इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। परीक्षा में (D>0) का अर्थ (x)-अक्ष को दो कटाव है। / Here (D=(-5)2-4\cdot1\cdot4=9), so there are two distinct real roots. In exams, (D>0) means two cuts with the (x)-axis.
\(b^2-4ac<0\) होने पर विविक्तकर ऋणात्मक होता है, इसलिए वास्तविक मूल नहीं होते। परीक्षा में यह मूलों की प्रकृति का मानक नियम है। / When \(b^2-4ac<0\), the discriminant is negative, so real roots do not exist. In exams, this is the standard rule for nature of roots.
(D>0) होने पर मूल बराबर नहीं, बल्कि भिन्न वास्तविक होते हैं। परीक्षा में बराबर मूल केवल (D=0) पर आते हैं। / When (D>0), roots are not equal; they are distinct real roots. In exams, equal roots occur only when (D=0).
यहां (D=52-4\cdot2\cdot(-12)=121), इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। परीक्षा में (D=121) धनात्मक पूर्ण वर्ग भी है। / Here (D=52-4\cdot2\cdot(-12)=121), so there are two distinct real roots. In exams, (D=121) is also a positive perfect square.
बराबर मूलों के लिए (D=0), अतः (9-4h=0) और \(h=\frac{9}{4}\)। परीक्षा में भिन्न उत्तर आने पर भी (D=0) पद्धति सही रहती है। / For equal roots, (D=0), so (9-4h=0) and \(h=\frac{9}{4}\). In exams, the (D=0) method remains valid even with fractional answers.
यहां (D=(-8)2-4\cdot8\cdot3=-32), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D) का चिह्न अंतिम निर्णय देता है। / Here (D=(-8)2-4\cdot8\cdot3=-32), so there are no real roots. In exams, the sign of (D) gives the final decision.
यहां (D=\left\(\frac{1}{2}\right\)2-4\cdot1\cdot\frac{1}{16}=0), इसलिए मूल बराबर वास्तविक हैं। परीक्षा में fraction को square करते समय denominator भी square करें। / Here (D=\left\(\frac{1}{2}\right\)2-4\cdot1\cdot\frac{1}{16}=0), so the roots are equal and real. In exams, square the denominator too while squaring a fraction.
यहां (D=\left\(\frac{4}{3}\right\)2-4\cdot4\cdot\frac{1}{9}=0), इसलिए बराबर वास्तविक मूल हैं। परीक्षा में fractions में (4ac) ध्यान से निकालें। / Here (D=\left\(\frac{4}{3}\right\)2-4\cdot4\cdot\frac{1}{9}=0), so the roots are equal and real. In exams, calculate (4ac) carefully with fractions.
बराबर मूलों के लिए (D=0), इसलिए \(p^2-4q=0\) से \(p^2=4q\)। परीक्षा में (a=1) होने पर सूत्र आसान हो जाता है। / For equal roots, (D=0), so \(p^2-4q=0\) gives \(p^2=4q\). In exams, the formula becomes simpler when (a=1).
\(b^2=4ac\) होने पर \(D=b^2-4ac=0\), इसलिए मूल बराबर वास्तविक होते हैं। परीक्षा में इसे discriminant zero condition मानें। / When \(b^2=4ac\), \(D=b^2-4ac=0\), so the roots are equal and real. In exams, treat this as the discriminant zero condition.
A. सभी वास्तविक (k) के लिए दो भिन्न वास्तविक मूल/Two distinct real roots for all real (k)
Explanation
Simple Explanation
यहां (D=[-2(k+3)]2-4\(k^2+6k+5\)=16), इसलिए (D>0) है। परीक्षा में सरलीकरण के बाद (D) का चिह्न अंतिम उत्तर देता है। / Here (D=[-2(k+3)]2-4\(k^2+6k+5\)=16), so (D>0). In exams, the sign of (D) after simplification gives the final answer.
A. \(k\le1\) और \(k\neq0\)/\(k\le1\) and \(k\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए \(D\ge0\), इसलिए \(36-36k\ge0\) से \(k\le1\)। साथ में \(k\neq0\) चाहिए क्योंकि समीकरण द्विघात रहना चाहिए। / For real roots, \(D\ge0\), so \(36-36k\ge0\) gives \(k\le1\). Also \(k\neq0\) is required because the equation must remain quadratic.
C. ऐसा कोई वास्तविक (m) नहीं है/No such real (m) exists
Explanation
Simple Explanation
यहां (D=(2m)2-4(m-2)(m+2)=16), इसलिए \(D\neq0\) हमेशा है। परीक्षा में बराबर मूलों के लिए (D=0) जरूरी होता है। / Here (D=(2m)2-4(m-2)(m+2)=16), so \(D\neq0\) always. In exams, (D=0) is necessary for equal roots.
