Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(a-b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / (a-b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
तब (b-a) भी सम होगा, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में आएगा। / Then (b-a) is also even, so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाली शर्तों में चिह्न बदल सकता है, पर सम-विषम गुण नहीं बदलता। / For difference-based conditions, the sign may change, but parity remains the same.
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because changing the order of addition does not change the sum.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। / So whenever \((a,b)\in R\), we also get \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
जहाँ शर्त (a) और (b) को बदलने पर वही रहती है, वहाँ सममितता जल्दी जाँची जा सकती है। / If the condition remains unchanged after swapping (a) and (b), symmetry is usually satisfied.
सममित संबंध में यदि ((a,b)) हो तो ((b,a)) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) है, पर ((3,2)) नहीं है। बाकी ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं। / ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing. The pair ((1,2)) already has ((2,1)).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में हर असमान युग्म का उल्टा युग्म जरूर जाँचें। / In exams, always check the reverse of every non-diagonal pair.
यदि (a) और (b) दोनों सम या दोनों विषम हैं, तो क्रम बदलने पर भी यही बात सही रहती है। / If (a) and (b) are both even or both odd, the same remains true after swapping them.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) से ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Therefore ((a,b)) implies ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
समान प्रकार वाली शर्तें अक्सर सममित होती हैं। / Same-type conditions often give symmetric relations.
यदि (ab) सम है, तो (ba) भी सम होगा क्योंकि गुणा का क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता। / If (ab) is even, then (ba) is also even because multiplication is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Hence the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
गुणा आधारित समता में क्रम बदलकर जरूर जांचें। / For product-based conditions, check what happens after swapping.
A. क्योंकि सर्वांगसमता का क्रम बदलने पर भी सत्य रहता है/Because congruence remains true after swapping the order
Step 1
Concept
\(a\equiv b \pmod{3}\) होने का अर्थ है कि (a) और (b) का शेष समान है। / \(a\equiv b \pmod{3}\) means (a) and (b) have the same remainder when divided by 3.
Step 2
Why this answer is correct
समान शेष का संबंध दोनों दिशाओं में सही रहता है। / Having the same remainder works in both directions.
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता में क्रम बदलना सममितता को नहीं तोड़ता। / Swapping the order does not break congruence.
A. पूरक भी सममित होगा/The complement will also be symmetric
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) पूरक में है, तो ((a,b)) (R) में नहीं है। / If ((a,b)) is in the complement, then \((a,b)\notin R\).
Step 2
Why this answer is correct
अगर ((b,a)) (R) में होता, तो सममितता से ((a,b)) भी (R) में होता, जो गलत है। / If ((b,a)) were in (R), symmetry would force \((a,b)\in R\), a contradiction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((b,a)) भी पूरक में है। / Therefore ((b,a)) is also in the complement.
\(R^{-1}\) में हर युग्म उलट जाता है। / In \(R^{-1}\), every ordered pair is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
सममित संबंध में हर उलटा युग्म पहले से (R) में होता है, इसलिए \(R^{-1}=R\) होता है। / In a symmetric relation, every reverse pair already belongs to (R), so \(R^{-1}=R\).
Step 3
Exam Tip
सममितता और प्रतिलोम संबंध का संबंध याद रखें। / This is a useful shortcut connecting symmetry and inverse relations.
सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}=2^{\frac{2\cdot3}{2}}=2^3\) होगी। / The number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}=2^{\frac{2\cdot3}{2}}=2^3\).
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चय में सूत्र लगाकर जल्दी उत्तर मिल जाता है। / For small sets, applying the formula gives a quick answer.
(a=b) होने पर उलटा युग्म भी उसी बराबरी को पूरा करता है। / If (a=b), then the reverse pair also satisfies the same equality.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (a<b), विभाज्यता और (a=b+1) में क्रम बदलने से शर्त सामान्यतः टूट जाती है। / Conditions like (a<b), divisibility, and (a=b+1) usually fail after swapping.
Step 3
Exam Tip
बराबरी पर बने संबंध अक्सर सममित होते हैं। / Relations built on equality are commonly symmetric.
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because addition is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी संबंध में होगा। / So whenever ((a,b)) belongs to the relation, ((b,a)) also belongs.
Step 3
Exam Tip
ऐसी शर्तों में क्रम बदलकर शर्त जांचें। / For condition-based relations, swap the order and test the condition.
सममितता के लिए हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) चाहिए। / Symmetry requires the reverse pair of every ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, पर ((2,3)) का उलटा ((3,2)) नहीं है। / ((1,2)) and ((2,1)) are both present, but the reverse of ((2,3)), which is ((3,2)), is missing.
Step 3
Exam Tip
कमी वाले उलटे युग्म को पहचानना सबसे तेज तरीका है। / The quickest exam method is to locate missing reverse pairs.
सममित संबंध में यदि \((a,b) \in R\) हो, तो \((b,a) \in R\) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, whenever \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है और सभी युग्म अपनी शर्त पूरी करते हैं। / Here ((1,2)) is paired with ((2,1)), and diagonal pairs cause no problem.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में हर उलटा युग्म अलग से जांचें। / In exams, always check each reverse ordered pair.
