समुच्चय \(A=\{1,3,5,7\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|\le 2\}\) है। (R) के लिए सही कथन कौन-सा है?
On \(A=\{1,3,5,7\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|\le 2\}\). Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#absolute_difference
#hard
A स्ववाची है, क्योंकि \(|a-a|=0\le 2\) / Reflexive because \(|a-a|=0\le 2\)
B स्ववाची नहीं है, क्योंकि (1) और (7) दूर हैं / Not reflexive because (1) and (7) are far apart
C स्ववाची तभी है जब सभी युग्म आएँ / Reflexive only when all pairs occur
D स्ववाची नहीं है, क्योंकि अंतर शून्य नहीं होना चाहिए / Not reflexive because the difference must not be zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. स्ववाची है, क्योंकि \(|a-a|=0\le 2\) / Reflexive because \(|a-a|=0\le 2\)
Step 1
Concept
हर (a) के लिए ((a,a)) की शर्त देखें। / Check the condition for each ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
(|a-a|=0) होता है और \(0\le 2\) सत्य है। / (|a-a|=0), and \(0\le 2\) is true.
Step 3
Exam Tip
दूर वाले अलग-अलग युग्म स्ववाचीता को प्रभावित नहीं करते। / Far non-diagonal pairs do not affect reflexivity.
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समुच्चय \(A=\{-1,0,1\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b=0\}\) है। (R) स्ववाची है या नहीं?
On \(A=\{-1,0,1\}\), \(R=\{(a,b):a+b=0\}\). Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#zero_sum
#hard
A हाँ, क्योंकि ((-1,1)) और ((1,-1)) हैं / Yes, because ((-1,1)) and ((1,-1)) are present
B हाँ, क्योंकि ((0,0)) है / Yes, because ((0,0)) is present
C नहीं, क्योंकि ((-1,-1)) और ((1,1)) नहीं हैं / No, because ((-1,-1)) and ((1,1)) are absent
D नहीं, क्योंकि कोई युग्म नहीं बनेगा / No, because no pair will be formed
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. नहीं, क्योंकि ((-1,-1)) और ((1,1)) नहीं हैं / No, because ((-1,-1)) and ((1,1)) are absent
Step 1
Concept
स्ववाचीता के लिए हर विकर्ण युग्म चाहिए। / Reflexivity requires every diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
((0,0)) शर्त पूरी करता है, लेकिन ((-1,-1)) और ((1,1)) शर्त पूरी नहीं करते। / ((0,0)) satisfies the condition, but ((-1,-1)) and ((1,1)) do not.
Step 3
Exam Tip
केवल कुछ विकर्ण युग्म होना पर्याप्त नहीं है। / Having only some diagonal pairs is not enough.
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पूर्णांकों के किसी समुच्चय (A) पर \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) दिया है। (R) स्ववाची क्यों है?
On a set (A) of integers, \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) is given. Why is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#squares
#hard
A क्योंकि हर (a) के लिए \(a^2=a^2\) सत्य है / Because \(a^2=a^2\) for every (a)
B क्योंकि हर (a) के लिए \(a^2=0\) है / Because \(a^2=0\) for every (a)
C क्योंकि \(a^2=b^2\) तभी होगा जब (a=b+1) / Because \(a^2=b^2\) only when (a=b+1)
D क्योंकि ऋणात्मक संख्याएँ नहीं आतीं / Because negative numbers do not occur
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि हर (a) के लिए \(a^2=a^2\) सत्य है / Because \(a^2=a^2\) for every (a)
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखें। / On the diagonal, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब शर्त \(a^2=a^2\) बनती है, जो हमेशा सत्य है। / The condition becomes \(a^2=a^2\), which is always true.
Step 3
Exam Tip
स्ववाचीता के लिए केवल अपने साथ संबंध की जाँच जरूरी है। / Reflexivity only needs each element to be related to itself.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) दिया है। (R) स्ववाची है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) is given. Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#gcd
#hard
A हाँ, क्योंकि (1) सभी के साथ सहअभाज्य है / Yes, because (1) is coprime with all
B हाँ, क्योंकि (\gcd(a,a)=a) होता है / Yes, because (\gcd(a,a)=a)
C नहीं, क्योंकि (\gcd(2,2)=2) और (\gcd(3,3)=3) हैं / No, because (\gcd(2,2)=2) and (\gcd(3,3)=3)
D नहीं, क्योंकि ((1,1)) भी नहीं आएगा / No, because ((1,1)) also will not appear
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. नहीं, क्योंकि (\gcd(2,2)=2) और (\gcd(3,3)=3) हैं / No, because (\gcd(2,2)=2) and (\gcd(3,3)=3)
Step 1
Concept
स्ववाची के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) तीनों चाहिए। / Reflexivity requires ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
(\gcd(1,1)=1) है, पर (\gcd(2,2)=2) और (\gcd(3,3)=3) हैं। / (\gcd(1,1)=1), but (\gcd(2,2)=2) and (\gcd(3,3)=3).
Step 3
Exam Tip
एक भी विकर्ण युग्म छूटे तो संबंध स्ववाची नहीं रहता। / If even one diagonal pair is missing, the relation is not reflexive.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a\) b को विभाजित करता है}) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a\) divides b}). Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#divides
#hard
A स्ववाची है, क्योंकि (a) स्वयं को विभाजित करता है / Reflexive because (a) divides itself
B स्ववाची नहीं है, क्योंकि (1) सभी को विभाजित करता है / Not reflexive because (1) divides all elements
C स्ववाची नहीं है, क्योंकि (4) (1) को विभाजित नहीं करता / Not reflexive because (4) does not divide (1)
D स्ववाची तभी है जब (A) में केवल अभाज्य संख्याएँ हों / Reflexive only when (A) has only prime numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. स्ववाची है, क्योंकि (a) स्वयं को विभाजित करता है / Reflexive because (a) divides itself
Step 1
Concept
स्ववाची के लिए हर ((a,a)) देखना है। / For reflexivity, check each ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी अशून्य संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए ((a,a)) शामिल होगा। / Every non-zero number divides itself, so ((a,a)) is included.
Step 3
Exam Tip
अन्य युग्मों की कमी स्ववाचीता को नहीं रोकती। / Missing non-diagonal pairs do not affect reflexivity.
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किसी समुच्चय (A) के घात समुच्चय (P(A)) पर \(R=\{(X,Y):X \subset Y\}\) है, जहाँ \(\subset\) उचित उपसमुच्चय दर्शाता है। (R) के लिए सही कथन कौन-सा है?
On (P(A)), \(R=\{(X,Y):X \subset Y\}\), where \(\subset\) denotes proper subset. Which statement is correct about (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#proper_subset
#hard
A स्ववाची है / It is reflexive
B स्ववाची नहीं है क्योंकि \(X \subset X\) असत्य है / It is not reflexive because \(X \subset X\) is false
C हर (A) के लिए सार्वत्रिक है / It is universal for every (A)
D केवल सीमित (A) पर स्ववाची है / It is reflexive only when (A) is finite
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. स्ववाची नहीं है क्योंकि \(X \subset X\) असत्य है / It is not reflexive because \(X \subset X\) is false
Step 1
Concept
उचित उपसमुच्चय में बराबरी की अनुमति नहीं होती। / A proper subset does not allow equality.
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी समुच्चय अपने ही उचित उपसमुच्चय के रूप में नहीं माना जाता। / No set is a proper subset of itself.
Step 3
Exam Tip
\(\subseteq\) और \(\subset\) का अर्थ अलग-अलग समझें। / Distinguish \(\subseteq\) from \(\subset\) carefully.
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किसी समुच्चय (A) के घात समुच्चय (P(A)) पर संबंध \(R=\{(X,Y):X \subseteq Y\}\) दिया है। (R) कैसा है?
On the power set (P(A)) of a set (A), the relation \(R=\{(X,Y):X \subseteq Y\}\) is given. What is (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#power_set
#subset
#hard
A स्ववाची, क्योंकि \(X \subseteq X\) होता है / Reflexive because \(X \subseteq X\)
B स्ववाची नहीं, क्योंकि कोई समुच्चय अपने बराबर नहीं होता / Not reflexive because no set equals itself
C स्ववाची केवल रिक्त समुच्चय के लिए / Reflexive only for the empty set
D स्ववाची केवल एक अवयव वाले समुच्चय के लिए / Reflexive only for singleton sets
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. स्ववाची, क्योंकि \(X \subseteq X\) होता है / Reflexive because \(X \subseteq X\)
Step 1
Concept
(P(A)) का हर अवयव स्वयं एक समुच्चय है। / Each element of (P(A)) is itself a set.
Step 2
Why this answer is correct
हर समुच्चय (X) के लिए \(X \subseteq X\) सत्य है। / For every set (X), \(X \subseteq X\) is true.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय और उचित उपसमुच्चय में अंतर याद रखें। / Remember the difference between subset and proper subset.
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समुच्चय \(A=\{2,4,6\}\) पर \(R=\{(a,b):a<b\}\) है। (R) स्ववाची क्यों नहीं है?
On \(A=\{2,4,6\}\), \(R=\{(a,b):a<b\}\). Why is (R) not reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#strict_inequality
#hard
A क्योंकि (a<a) कभी सत्य नहीं होता / Because (a<a) is never true
B क्योंकि (A) में तीन अवयव हैं / Because (A) has three elements
C क्योंकि (R) में कुछ युग्म हैं / Because (R) has some pairs
D क्योंकि (a<b) हमेशा सत्य है / Because (a<b) is always true
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (a<a) कभी सत्य नहीं होता / Because (a<a) is never true
Step 1
Concept
स्ववाची होने के लिए ((a,a)) चाहिए। / Reflexivity requires ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त (a<a) किसी भी (a) के लिए सत्य नहीं होती, इसलिए कोई विकर्ण युग्म नहीं आएगा। / The condition (a<a) is false for every (a), so no diagonal pair appears.
Step 3
Exam Tip
कड़े असमिका वाले संबंध अक्सर स्ववाची नहीं होते। / Strict inequality relations are usually not reflexive.
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समुच्चय \(A=\{2,4,6\}\) पर \(R=\{(a,b):a \le b\}\) है। (R) स्ववाची क्यों है?
On \(A=\{2,4,6\}\), \(R=\{(a,b):a \le b\}\). Why is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#order_relation
#hard
A क्योंकि हर \(a \le a\) सत्य है / Because every \(a \le a\) is true
B क्योंकि हर (a<a) सत्य है / Because every (a<a) is true
C क्योंकि (A) में केवल सम संख्याएँ हैं / Because (A) has only even numbers
D क्योंकि (R) में केवल तीन युग्म हैं / Because (R) has only three pairs
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि हर \(a \le a\) सत्य है / Because every \(a \le a\) is true
Step 1
Concept
स्ववाची जाँच में अपने साथ संबंध देखना होता है। / Reflexivity checks whether each element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी संख्या के लिए \(a \le a\) सत्य है, इसलिए ((a,a)) हमेशा शामिल होगा। / For every number, \(a \le a\) is true, so ((a,a)) is included.
Step 3
Exam Tip
(<) और \(\le\) में अंतर ध्यान से देखें। / Be careful about the difference between (<) and \(\le\).
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a+b\) विषम है}) दिया है। (R) के लिए सही निष्कर्ष क्या है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a+b\) is odd}). What is the correct conclusion about (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#odd_sum
#hard
A (R) स्ववाची है / (R) is reflexive
B (R) सार्वत्रिक संबंध है / (R) is the universal relation
C (R) स्ववाची नहीं है क्योंकि कोई ((a,a)) इसमें नहीं है / (R) is not reflexive because no ((a,a)) belongs to it
D (R) केवल (A) के सबसे बड़े अवयव के लिए स्ववाची है / (R) is reflexive only for the largest element of (A)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (R) स्ववाची नहीं है क्योंकि कोई ((a,a)) इसमें नहीं है / (R) is not reflexive because no ((a,a)) belongs to it
Step 1
Concept
विकर्ण युग्म के लिए (a=b) रखें। / Put (a=b) for diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
तब (a+b=2a) होगा, जो हमेशा सम है, विषम नहीं। / Then (a+b=2a), which is always even, not odd.
Step 3
Exam Tip
यदि एक भी आवश्यक विकर्ण युग्म न मिले, संबंध स्ववाची नहीं होता। / If required diagonal pairs are missing, the relation is not reflexive.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a-b\) 4 से विभाज्य है}) है। क्या (R) स्ववाची है?
\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a-b\) is divisible by 4}). Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#divisibility
#hard
A नहीं, क्योंकि (a-b) हमेशा (4) नहीं होता / No, because (a-b) is not always (4)
B हाँ, क्योंकि (a-a=0) और (0) (4) से विभाज्य है / Yes, because (a-a=0) and (0) is divisible by (4)
C नहीं, क्योंकि (0) विभाज्य नहीं माना जाता / No, because (0) is not considered divisible
D केवल (a=4) के लिए हाँ / Yes only for (a=4)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. हाँ, क्योंकि (a-a=0) और (0) (4) से विभाज्य है / Yes, because (a-a=0) and (0) is divisible by (4)
Step 1
Concept
स्ववाची होने के लिए हर ((a,a)) संबंध में होना चाहिए। / For reflexivity, every ((a,a)) must belong to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(a-a=0) होता है और (0) किसी भी अशून्य संख्या से विभाज्य माना जाता है। / (a-a=0), and (0) is divisible by any non-zero integer.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता वाले संबंधों में विकर्ण पर अंतर हमेशा (0) होता है। / In divisibility-type relations, the diagonal difference is always (0).
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a+b\) सम है}) दिया है। (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a+b\) is even}) is given. Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#even_sum
#hard
A (R) स्ववाची नहीं है क्योंकि (1+1) विषम है / (R) is not reflexive because (1+1) is odd
B (R) केवल दो अवयवों के लिए स्ववाची है / (R) is reflexive only for two elements
C (R) स्ववाची है क्योंकि हर (a+a) सम है / (R) is reflexive because every (a+a) is even
D (R) खाली संबंध है / (R) is the empty relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (R) स्ववाची है क्योंकि हर (a+a) सम है / (R) is reflexive because every (a+a) is even
Step 1
Concept
स्ववाची जाँच में ((a,a)) देखें। / To test reflexivity, check ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
हर (a) के लिए (a+a=2a) सम होता है, इसलिए \((a,a) \in R\) है। / For every (a), (a+a=2a) is even, so \((a,a) \in R\).
Step 3
Exam Tip
इस प्रकार के प्रश्नों में (b=a) रखकर देखें। / In such questions, put (b=a) first.
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किसी संबंध (R) को स्ववाची बनाने के लिए सबसे छोटा आवश्यक विस्तार कौन-सा है?
What is the smallest necessary extension that makes a relation (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#reflexive_closure
#hard
A \(R \cap \Delta_A\)
B \(R \cup \Delta_A\)
C \(R-\Delta_A\)
D \(A \times A-R\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(R \cup \Delta_A\)
Step 1
Concept
\(\Delta_A={(a,a):a \in A}\) में सभी विकर्ण युग्म होते हैं। / \(\Delta_A={(a,a):a \in A}\) contains all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R \cup \Delta_A\) में पुराने युग्म भी रहते हैं और छूटे हुए विकर्ण युग्म भी आ जाते हैं। / \(R \cup \Delta_A\) keeps the old pairs and adds any missing diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
स्ववाची आवरण के लिए यही सबसे छोटा सुरक्षित तरीका है। / This gives the smallest reflexive closure.
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यदि (R) समुच्चय (A) पर स्ववाची संबंध है, तो \(R^{-1}\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If (R) is a reflexive relation on a set (A), which statement about \(R^{-1}\) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#inverse_relation
#hard
A \(R^{-1}\) हमेशा स्ववाची होगा / \(R^{-1}\) is always reflexive
B \(R^{-1}\) कभी स्ववाची नहीं होगा / \(R^{-1}\) is never reflexive
C \(R^{-1}\) तभी स्ववाची होगा जब (R) सममित हो / It is reflexive only when (R) is symmetric
D \(R^{-1}\) केवल सीमित समुच्चय पर स्ववाची होगा / It is reflexive only on finite sets
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(R^{-1}\) हमेशा स्ववाची होगा / \(R^{-1}\) is always reflexive
Step 1
Concept
स्ववाची होने से हर \((a,a) \in R\) है। / Since (R) is reflexive, every \((a,a) \in R\).
Step 2
Why this answer is correct
उल्टे संबंध में ((a,a)) का उल्टा भी ((a,a)) ही रहता है। / The inverse of ((a,a)) is again ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
उल्टा संबंध बनाते समय विकर्ण युग्म नहीं बदलते। / Diagonal pairs remain unchanged in the inverse relation.
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यदि (R) और (S) एक ही समुच्चय (A) पर स्ववाची संबंध हैं, तो \(R \cap S\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If (R) and (S) are reflexive relations on the same set (A), which statement about \(R \cap S\) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#intersection
#hard
A \(R \cap S\) हमेशा स्ववाची होगा / \(R \cap S\) is always reflexive
B \(R \cap S\) कभी स्ववाची नहीं होगा / \(R \cap S\) is never reflexive
C \(R \cap S\) तभी स्ववाची होगा जब (R=S) हो / It is reflexive only when (R=S)
D निर्णय नहीं किया जा सकता / Cannot be decided
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(R \cap S\) हमेशा स्ववाची होगा / \(R \cap S\) is always reflexive
Step 1
Concept
(R) और (S) दोनों में हर ((a,a)) मौजूद है। / Every ((a,a)) is present in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
जो युग्म दोनों में होगा, वह \(R \cap S\) में भी होगा, इसलिए सभी विकर्ण युग्म बने रहेंगे। / A pair common to both remains in \(R \cap S\), so all diagonal pairs remain.
Step 3
Exam Tip
स्ववाची संबंधों का प्रतिच्छेद भी स्ववाची होता है। / The intersection of reflexive relations is reflexive.
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तीन अवयवों वाले समुच्चय पर किसी संबंध का आव्यूह \(\begin{bmatrix}1&0&1\1&0&0\0&1&1\end{bmatrix}\) है। इसे स्ववाची बनाने के लिए कम से कम कितनी प्रविष्टियाँ बदलनी होंगी?
The matrix of a relation on a three-element set is \(\begin{bmatrix}1&0&1\1&0&0\0&1&1\end{bmatrix}\). What is the minimum number of entries to change to make it reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#matrix
#hard
A (0)
B (1)
C (2)
D (3)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
आव्यूह से स्ववाची संबंध जाँचने के लिए मुख्य विकर्ण देखें। / To check reflexivity from a matrix, look at the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण प्रविष्टियाँ (1,0,1) हैं, इसलिए बीच वाली प्रविष्टि को (1) करना होगा। / The diagonal entries are (1,0,1), so the middle entry must be changed to (1).
Step 3
Exam Tip
केवल विकर्ण की कमी बदलना पर्याप्त है। / Only the missing diagonal entry needs correction.
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समुच्चय \(A=\{p,q,r,s\}\) पर निम्न में से कौन-सा संबंध निश्चित रूप से स्ववाची है?
On the set \(A=\{p,q,r,s\}\), which of the following relations is definitely reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#diagonal_pairs
#hard
A जिसमें केवल ((p,p),(q,q),(r,r)) हैं / Contains only ((p,p),(q,q),(r,r))
B जिसमें ((p,p),(q,q),(s,s)) हैं लेकिन ((r,r)) नहीं है / Contains ((p,p),(q,q),(s,s)) but not ((r,r))
C जिसमें ((p,p),(q,q),(r,r),(s,s)) सभी हैं / Contains all ((p,p),(q,q),(r,r),(s,s))
D जिसमें कोई विकर्ण युग्म नहीं है / Contains no diagonal pair
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. जिसमें ((p,p),(q,q),(r,r),(s,s)) सभी हैं / Contains all ((p,p),(q,q),(r,r),(s,s))
Step 1
Concept
स्ववाची संबंध में समुच्चय के हर अवयव का अपने साथ युग्म होना चाहिए। / In a reflexive relation, each element of the set must be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
(A) के लिए चारों विकर्ण युग्म जरूरी हैं। / For (A), all four diagonal pairs are required.
Step 3
Exam Tip
अतिरिक्त युग्म होने या न होने से फर्क नहीं पड़ता, विकर्ण पूरे होने चाहिए। / Extra pairs do not matter, but all diagonal pairs must be present.
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यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो ऐसे स्ववाची संबंधों की संख्या कितनी होगी जिनमें विकर्ण युग्मों के अलावा ठीक (3) और युग्म हों?
If (A) has (5) elements, how many reflexive relations have exactly (3) additional pairs apart from the diagonal pairs?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#combinations
#hard
A \(^{20}C_2\)
B \(^{15}C_3\)
C \(^{20}C_3\)
D \(^{25}C_3\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(^{20}C_3\)
Step 1
Concept
कुल युग्म \(5^2=25\) हैं और (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / There are \(5^2=25\) total pairs and (5) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर (25-5=20) युग्म हैं, जिनमें से ठीक (3) चुनने हैं। / There are (25-5=20) non-diagonal pairs, and exactly (3) must be chosen.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पहले अनिवार्य और वैकल्पिक युग्म अलग करें। / Separate compulsory and optional pairs before counting.
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यदि किसी समुच्चय (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर कुल कितने स्ववाची संबंध बन सकते हैं?
If a set (A) has (4) elements, how many reflexive relations can be formed on (A)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#counting
#hard
A \(2^4=16\)
B \(2^8=256\)
C \(2^{12}=4096\)
D \(2^{16}=65536\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(2^{12}=4096\)
Step 1
Concept
(4) अवयवों पर कुल क्रमित युग्म \(4^2=16\) होते हैं। / With (4) elements, there are \(4^2=16\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
स्ववाची होने के लिए (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं। / The (4) diagonal pairs are compulsory, so (16-4=12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
संख्या \(2^{n^2-n}\) से जल्दी मिलती है। / Use \(2^{n^2-n}\) for quick counting.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(1,2),(2,2),(3,1)\}\) दिया है। इसे स्ववाची बनाने के लिए कम से कम कौन-सा युग्म जोड़ना होगा?
On the set \(A=\{1,2,3\}\), the relation \(R=\{(1,1),(1,2),(2,2),(3,1)\}\) is given. Which pair must be added at minimum to make it reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#closure
#hard
A केवल ((1,3)) / Only ((1,3))
B केवल ((3,3)) / Only ((3,3))
C केवल ((2,3)) / Only ((2,3))
D कोई युग्म नहीं / No pair
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Correct Answer
B. केवल ((3,3)) / Only ((3,3))
Step 1
Concept
स्ववाची संबंध में हर \(a \in A\) के लिए ((a,a)) होना चाहिए। / A relation is reflexive when every \(a \in A\) has ((a,a)) in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,1)) और ((2,2)) हैं लेकिन ((3,3)) नहीं है। / ((1,1)) and ((2,2)) are present but ((3,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले विकर्ण युग्म जाँचें। / In exams, check diagonal pairs first.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और (R) स्वतुल्य सम्बन्ध है, तो (R) में कम से कम कितने युग्म और अधिक से अधिक कितने युग्म हो सकते हैं?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and (R) is a reflexive relation, what are the minimum and maximum possible numbers of pairs in (R)?
#minimum maximum pairs
#reflexive relation
#counting
A कम से कम (4), अधिक से अधिक (16) / Minimum (4), maximum (16)
B कम से कम (1), अधिक से अधिक (4) / Minimum (1), maximum (4)
C कम से कम (8), अधिक से अधिक (16) / Minimum (8), maximum (16)
D कम से कम (4), अधिक से अधिक (8) / Minimum (4), maximum (8)
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Correct Answer
A. कम से कम (4), अधिक से अधिक (16) / Minimum (4), maximum (16)
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए चार अपने-आप वाले युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए न्यूनतम (4) है। / Reflexivity requires four self-pairs, so the minimum is (4).
Step 2
Why this answer is correct
अधिकतम सम्बन्ध \(A\times A\) होगा, जिसमें \(4^2=16\) युग्म हैं। / The maximum relation is \(A\times A\), which has \(4^2=16\) pairs.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम और अधिकतम दोनों के लिए अनिवार्य और कुल युग्म अलग-अलग गिनें। / Count compulsory pairs and total pairs separately.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a\le b+1\}\) है। क्या (R) स्वतुल्य है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a\le b+1\}\). Is (R) reflexive?
#inequality condition
#reflexive relation
#substitution
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (1) के लिए / Only for (1)
D केवल (4) के लिए नहीं / Not only for (4)
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
अपने-आप वाले युग्म के लिए (b=a) रखें। / For a self-pair, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब शर्त \(a\le a+1\) बनती है, जो हर (a) के लिए सत्य है। / The condition becomes \(a\le a+1\), which is true for every (a).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में (b=a) रखना सबसे सीधा तरीका है। / In such questions, substituting (b=a) is the direct method.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और (R) परिभाषित है: (aRb) जब (a=b) या (a+b=5), तो (R) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and (R) is defined by (aRb) when (a=b) or (a+b=5), what is (R)?
#or condition
#reflexive relation
#self pairs
A स्वतुल्य / Reflexive
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C रिक्त / Empty
D केवल सार्वत्रिक / Only universal
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Correct Answer
A. स्वतुल्य / Reflexive
Step 1
Concept
शर्त (a=b) हर अपने-आप वाले युग्म को शामिल कर देती है। / The condition (a=b) includes every self-pair.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी (R) में हैं। / Thus ((1,1),(2,2),(3,3)) are all in (R).
Step 3
Exam Tip
दूसरी शर्त अतिरिक्त युग्म दे सकती है, लेकिन स्वतुल्यता सुरक्षित रहती है। / The second condition may add pairs, but reflexivity remains safe.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R={(a,b):a\) और (b) का समान शेष (2) से भाग देने पर आता है(}) है। (R) में निश्चित रूप से कौन-सा युग्म होगा?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R={(a,b):a\) and (b) leave the same remainder when divided by (2)(}). Which pair will definitely be in (R)?
#same remainder
#reflexive relation
#modulo 2
A ((2,2))
B ((1,2))
C ((2,3))
D ((1,2)) और ((2,3)) दोनों / Both ((1,2)) and ((2,3))
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Correct Answer
A. ((2,2))
Step 1
Concept
किसी संख्या को स्वयं से मिलाने पर शेष समान ही होगा। / A number compared with itself leaves the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर अपने-आप वाला युग्म सम्बन्ध में होगा, जिनमें ((2,2)) भी है। / Hence every self-pair is in the relation, including ((2,2)).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले प्रश्न में अपने-आप वाले युग्म निश्चित मानें। / In same-remainder questions, self-pairs are guaranteed.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R={(a,b):a\) और (b) दोनों सम हैं या दोनों विषम हैं(}) है। (R) के लिए सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R={(a,b):a\) and (b) are both even or both odd(}). Choose the correct statement for (R).
#parity relation
#reflexive relation
#set relation
A (R) स्वतुल्य है / (R) is reflexive
B (R) स्वतुल्य नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) में ((1,1)) नहीं है / (R) does not contain ((1,1))
D (R) में ((2,2)) नहीं है / (R) does not contain ((2,2))
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Correct Answer
A. (R) स्वतुल्य है / (R) is reflexive
Step 1
Concept
हर संख्या अपने साथ या तो दोनों सम या दोनों विषम की शर्त पूरी करती है। / Every number with itself satisfies either both even or both odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (1,2,3,4) के सभी अपने-आप वाले युग्म (R) में हैं। / Therefore all self-pairs of (1,2,3,4) are in (R).
Step 3
Exam Tip
समान सम-विषमता वाला सम्बन्ध स्वतुल्य होता है। / A same-parity relation is reflexive.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2-b^2=0\}\) है। (R) स्वतुल्य क्यों है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):a^2-b^2=0\}\). Why is (R) reflexive?
#difference of squares
#reflexive relation
#condition
A क्योंकि हर (a) के लिए \(a^2-a^2=0\) / Because \(a^2-a^2=0\) for every (a)
B क्योंकि हर (a) के लिए \(a^2=0\) / Because \(a^2=0\) for every (a)
C क्योंकि हर \(a\ne b\) पर \(a^2=b^2\) / Because \(a^2=b^2\) for every \(a\ne b\)
D क्योंकि (A) में केवल एक सदस्य है / Because (A) has only one element
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Correct Answer
A. क्योंकि हर (a) के लिए \(a^2-a^2=0\) / Because \(a^2-a^2=0\) for every (a)
Step 1
Concept
स्वतुल्यता की जांच में (b=a) रखते हैं। / To check reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(a^2-a^2=0\) मिलता है, जो हर सदस्य के लिए सही है। / Then \(a^2-a^2=0\), which is true for every element.
Step 3
Exam Tip
अपनी ही संख्या से तुलना करने पर बराबरी वाली शर्त पूरी होती है। / Equality-type conditions are satisfied when an element is compared with itself.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2+b^2=2ab\}\) है। (R) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):a^2+b^2=2ab\}\). Which statement is correct about (R)?
#algebraic condition
#reflexive relation
#quadratic expression
A (R) स्वतुल्य है / (R) is reflexive
B (R) स्वतुल्य नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) में कोई अपने-आप वाला युग्म नहीं है / (R) has no self-pair
D \(R=A\times A\)
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Correct Answer
A. (R) स्वतुल्य है / (R) is reflexive
Step 1
Concept
शर्त को अपने-आप वाले युग्म पर जांचें। / Check the condition on a self-pair.
Step 2
Why this answer is correct
(b=a) रखने पर \(a^2+a^2=2a^2\), जो सत्य है। / Putting (b=a) gives \(a^2+a^2=2a^2\), which is true.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर ((a,a)) सम्बन्ध में है और (R) स्वतुल्य है। / Thus every ((a,a)) is in the relation, so (R) is reflexive.
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\((A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a-b\) 4 से विभाज्य है}) है। क्या (R) स्वतुल्य है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a-b\) is divisible by 4}). Is (R) reflexive?
#divisibility by 4
#reflexive relation
#modular condition
A हाँ, क्योंकि (a-a=0) और (0) (4) से विभाज्य है / Yes, because (a-a=0) and (0) is divisible by (4)
B नहीं, क्योंकि (1-2) (4) से विभाज्य नहीं है / No, because (1-2) is not divisible by (4)
C नहीं, क्योंकि सभी सदस्य (4) से विभाज्य नहीं हैं / No, because all elements are not divisible by (4)
D हाँ, क्योंकि (A) में (4) सदस्य हैं / Yes, because (A) has (4) elements
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Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि (a-a=0) और (0) (4) से विभाज्य है / Yes, because (a-a=0) and (0) is divisible by (4)
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए केवल ((a,a)) की शर्त जांचना जरूरी है। / For reflexivity, only the condition on ((a,a)) needs to be checked.
Step 2
Why this answer is correct
हर (a) के लिए (a-a=0), और (0) हर धनात्मक संख्या से विभाज्य माना जाता है। / For every (a), (a-a=0), and (0) is divisible by every positive integer.
Step 3
Exam Tip
दूसरे अलग युग्म असफल हों, फिर भी स्वतुल्यता बनी रह सकती है। / Other unequal pairs may fail, but reflexivity can still hold.
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यदि (R) (A) पर स्वतुल्य है, तो \(I_A\subseteq R\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
If (R) is reflexive on (A), what can be said about \(I_A\subseteq R\)?
#identity relation
#subset
#reflexive relation
A यह हमेशा सत्य है / It is always true
B यह हमेशा असत्य है / It is always false
C यह केवल रिक्त (A) के लिए सत्य है / It is true only for empty (A)
D यह केवल सार्वत्रिक (R) के लिए सत्य है / It is true only for universal (R)
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Correct Answer
A. यह हमेशा सत्य है / It is always true
Step 1
Concept
\(I_A\) में (A) के सभी अपने-आप वाले युग्म होते हैं। / \(I_A\) contains all self-pairs of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(R) स्वतुल्य है, इसलिए ये सभी युग्म (R) में भी हैं। / Since (R) is reflexive, all these pairs are also in (R).
Step 3
Exam Tip
इसलिए पहचान सम्बन्ध स्वतुल्य सम्बन्ध का उपसमुच्चय होता है। / Thus the identity relation is a subset of any reflexive relation.
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\((A={1,2,3}) पर (R={(a,b):a+b\) 2 से विभाज्य है}) और \(S=\{(a,b):a=b\}\) हैं। कौन-सा कथन सही है?
\(On (A={1,2,3}), (R={(a,b):a+b\) is divisible by \(2}) and (S={(a,b):a=b}). Which statement is correct\)?
#compare relations
#reflexive relation
#even sum
A दोनों स्वतुल्य हैं / Both are reflexive
B केवल (R) स्वतुल्य है / Only (R) is reflexive
C केवल (S) स्वतुल्य है / Only (S) is reflexive
D दोनों स्वतुल्य नहीं हैं / Neither is reflexive
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Correct Answer
A. दोनों स्वतुल्य हैं / Both are reflexive
Step 1
Concept
(R) में ((a,a)) रखने पर (a+a=2a), जो (2) से विभाज्य है। / In (R), putting ((a,a)) gives (a+a=2a), divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
(S) में (a=b) होने से सभी अपने-आप वाले युग्म आते हैं। / In (S), the condition (a=b) gives all self-pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए दोनों सम्बन्ध स्वतुल्य हैं। / Therefore both relations are reflexive.
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