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यहाँ �a=9, b=-6, c=1� हैं। विविक्तकर �D=b-2-4ac=(-6)2-4(9)(1)=0� है। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में, �(3x-1)2=0� से दोनों मूल �x=\frac{1}{3}� प्राप्त होते हैं। याद रखें: �D=0� होने पर मूल समान होते हैं। / Here, �a=9, b=-6, c=1�. The discriminant is �D=b-2-4ac=(-6)2-4(9)(1)=0�. Therefore, the roots are real and equal. In fact, �(3x-1)2=0� gives both roots as �x=\frac{1}{3}�. Exam tip: when �D=0�, a quadratic equation has equal real roots.
क्योंकि (D=-16<0) है इसलिए वास्तविक मूल (0) हैं। परीक्षा में (D<0) दिखते ही यही निष्कर्ष लिखें। / Because (D=-16<0), the number of real roots is (0). In exams write this conclusion as soon as (D<0) appears.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विभेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=5\), \(b=2\) और \(c=1\) हैं, इसलिए \(D=2^2-4(5)(1)=4-20=-16\)। अतः सही उत्तर A है और क्योंकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a,b,c\) के चिह्न सहित मान पहचानकर सूत्र में रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=5\), \(b=2\), and \(c=1\), so \(D=2^2-4(5)(1)=4-20=-16\). Therefore, option A is correct; since \(D<0\), the equation has no real roots. Exam tip: identify \(a\), \(b\), and \(c\) carefully, including their signs, before applying the formula.
(D=16>0) है इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न हैं। धनात्मक (D) हमेशा भिन्न वास्तविक मूल देता है। / Since (D=16>0), the roots are real and distinct. Positive (D) always gives distinct real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\) और \(c=-3\) हैं, इसलिए \(D=(-2)^2-4(1)(-3)=4+12=16\)। ऋणात्मक \(c\) के कारण \(-4ac\) का मान धनात्मक हो जाता है; इसी कारण \(8\) या \(-16\) सही नहीं हैं। परीक्षा में पहले \(a,b,c\) के चिह्न स्पष्ट रूप से लिखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-2\), and \(c=-3\), so \(D=(-2)^2-4(1)(-3)=4+12=16\). Since \(c\) is negative, the term \(-4ac\) becomes positive; therefore, 8 and -16 are incorrect. In an exam, identify the signs of \(a\), \(b\), and \(c\) before substituting.
यहाँ \(a=4, b=4, c=1\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4^2-4(4)(1)=16-16=0\) है। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे; वास्तव में प्रत्येक मूल \(-\frac{1}{2}\) है। विकल्प B के लिए \(D>0\) होना आवश्यक होता है, जबकि यहाँ \(D=0\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D=0\) होने पर हमेशा वास्तविक और समान मूल मिलते हैं। / Here, \(a=4, b=4, c=1\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=4^2-4(4)(1)=16-16=0\). Therefore, the roots are real and equal; in fact, each root is \(-\frac{1}{2}\). Option B would require \(D>0\), but here \(D=0\). Exam tip: For a quadratic equation, \(D=0\) always indicates real and equal roots.
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के लिए \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=4, b=4, c=1\\), इसलिए \\(D=4^2-4(4)(1)=16-16=0\\)। अतः सही उत्तर 0 है और मूल बराबर होंगे। 8 या 16 लेने पर सूत्र में \\(4ac\\) घटाने की गणना गलत हो जाती है। परीक्षा-युक्ति: \\(D=0\\) होने पर दो समान वास्तविक मूल होते हैं। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=4, b=4, c=1\\), so \\(D=4^2-4(4)(1)=16-16=0\\). Therefore, the correct answer is 0, and the roots are equal. Choosing 8 or 16 results from an incorrect subtraction in the formula. Exam tip: when \\(D=0\\), the quadratic equation has two equal real roots.
(D=0) होने पर दोनों मूल समान होते हैं इसलिए अलग वास्तविक मूल (1) होता है। समान और भिन्न में अंतर याद रखें। / When (D=0), both roots are equal, so there is (1) different real root. Remember the difference between equal and distinct.
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(D=-7<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे; इसके मूल सम्मिश्र होंगे। विकल्प B के लिए \(D>0\) और विकल्प C के लिए \(D=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) देखते ही “कोई वास्तविक मूल नहीं” चुनें। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(D=-7<0\), so the equation has no real roots; its roots are complex. Option B requires \(D>0\), while option C requires \(D=0\). Exam tip: whenever \(D<0\), conclude that there are no real roots.
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(D=9>0\\), इसलिए दोनों मूल वास्तविक और एक-दूसरे से भिन्न होंगे। समान वास्तविक मूल के लिए \\(D=0\\) होना चाहिए, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा में याद रखें: \\(D>0\\) पर मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं। / For a quadratic equation, the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(D=9>0\\), so the two roots are real and distinct. Equal real roots require \\(D=0\\), so option B is incorrect. Exam tip: \\(D>0\\) indicates real and distinct roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1,b=1,c=1\), इसलिए \(D=1^2-4(1)(1)=-3\), जो ऋणात्मक है। अतः सही उत्तर A है। \(D=0\) होने पर ही विविक्तकर शून्य होता है; यहाँ \(D=-3\) है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1,b=1,c=1\), so \(D=1^2-4(1)(1)=-3\), which is negative. Therefore, option A is correct. The discriminant would be zero only if \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: when \(D<0\), the quadratic equation has no real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3, b=6, c=3\), इसलिए \(D=6^2-4(3)(3)=0\)। जब \(D=0\) होता है, तो दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं; वास्तव में दोनों मूल \(-1\) हैं। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) का अर्थ हमेशा समान वास्तविक मूल होता है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3, b=6, c=3\), so \(D=6^2-4(3)(3)=0\). When \(D=0\), the roots are real and equal; in fact, both roots are \(-1\). Therefore, option A is correct. Exam tip: \(D=0\) always indicates equal real roots.
इसमें (D=1>0) है इसलिए दो वास्तविक और भिन्न मूल होंगे। (D) धनात्मक हो तो यही नियम लगाएँ। / Here (D=1>0), so the roots will be two real and distinct. Apply this rule when (D) is positive.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) है। यहाँ \(a=2\), \(b=-3\) और \(c=1\), इसलिए \(D=(-3)^2-4(2)(1)=9-8=1\)। अतः सही उत्तर 1 है। परीक्षा में \(b\) के ऋणात्मक चिह्न को वर्ग करते समय सावधानी रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=2\), \(b=-3\), and \(c=1\), so \(D=(-3)^2-4(2)(1)=9-8=1\). Therefore, the correct answer is 1. In exams, be careful to square the negative value of \(b\) correctly.
यहाँ \(a=1, b=-4, c=4\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(4)=0\) है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में, \(x^2-4x+4=(x-2)^2\), अतः दोनों मूल \(x=2\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर मूल हमेशा वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=1, b=-4, c=4\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(4)=0\), so the roots are real and equal. In fact, \(x^2-4x+4=(x-2)^2\), giving the repeated root \(x=2\). Exam tip: when \(D=0\), the roots are always real and equal.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-5\) और \(c=6\), इसलिए \(D=(-5)^2-4(1)(6)=25-24=1\)। विकल्प 0 समान मूलों को दर्शाता, लेकिन यहाँ \(D=1\) है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a,b,c\) के चिह्न सही पहचानें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-5\), and \(c=6\), so \(D=(-5)^2-4(1)(6)=25-24=1\). The value 0 would indicate equal roots, but this equation has \(D=1\). Exam tip: identify the signs of \(a\), \(b\), and \(c\) carefully before substituting.
द्विघात समीकरण �\(ax^2+bx+c=0�\) का विविक्तकर �\(D=b^2-4ac\)� होता है। जब �(D=0�) होता है, तब मूलों का सूत्र �\(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)� दोनों बार समान मान देता है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। �(D>0�) पर मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं, जबकि �(D<0�) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। परीक्षा में विविक्तकर के चिह्न और मूलों की प्रकृति का संबंध याद रखें। / For a quadratic equation �\(ax^2+bx+c=0�\), the discriminant is �\(D=b^2-4ac\)�. When �(D=0�), the roots formula �\(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)� gives the same value for both signs, so the roots are real and equal. For �(D>0�), the roots are real and distinct, while for �(D<0�), there are no real roots. Exam tip: remember the direct link between the sign of the discriminant and the nature of the roots.
A. दो वास्तविक और भिन्न मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब \(D>0\), तो \(\sqrt{D}\) का मान धनात्मक और वास्तविक होता है, इसलिए सूत्र \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) से दो अलग-अलग वास्तविक मूल प्राप्त होते हैं। \(D=0\) पर मूल समान और \(D<0\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। परीक्षा में मूलों की प्रकृति पहचानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न देखें। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). When \(D>0\), \(\sqrt{D}\) is positive and real, so the two signs in \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) give two distinct real roots. Equal roots occur when \(D=0\), while no real roots occur when \(D<0\); therefore, options B and C are incorrect. In an exam, first check the sign of the discriminant to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) से निर्धारित होती है। यदि \(D>0\) हो, तो दो भिन्न वास्तविक मूल; यदि \(D=0\) हो, तो दो समान वास्तविक मूल; और यदि \(D<0\) हो, तो कोई वास्तविक मूल नहीं होता। इसलिए सही राशि विविक्तकर है। परीक्षा-युक्ति: पहले समीकरण को मानक रूप में लिखकर \(a\), \(b\) और \(c\) पहचानें, फिर \(D\) का मान निकालें। / The nature of the roots of a quadratic equation is determined by its discriminant, \(D=b^2-4ac\). If \(D>0\), the roots are real and distinct; if \(D=0\), the roots are real and equal; and if \(D<0\), there are no real roots. Therefore, the discriminant is the correct quantity. Exam tip: first write the equation in standard form and identify \(a\), \(b\), and \(c\) before calculating \(D\).
A. दो वास्तविक और असमान मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=3, b=10, c=3\\), इसलिए \\(D=10^2-4(3)(3)=64\\)। चूँकि \\(D>0\\), दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। यदि \\(D=0\\) होता, तो मूल वास्तविक और समान होते—इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का चिह्न देखकर मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित की जा सकती है। / For a quadratic equation, the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=3, b=10, c=3\\), so \\(D=10^2-4(3)(3)=64\\). Since \\(D>0\\), the two roots are real and distinct. If \\(D=0\\), the roots would be real and equal, so option B is incorrect. Exam tip: The sign of the discriminant directly determines the nature of the roots.
समीकरण \(x^2+1=0\) में \(a=1, b=0, c=1\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0^2-4(1)(1)=-4<0\) है। विविक्तकर ऋणात्मक होने पर द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते, इसलिए दिया गया कथन सही है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) के लिए मूलों को ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ लिखें। / For \(x^2+1=0\), \(a=1, b=0, c=1\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=0^2-4(1)(1)=-4<0\). A quadratic equation with a negative discriminant has no real roots, so the statement is correct. Exam tip: For \(D<0\), write ‘no real roots.’
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a=5\), \(b=-4\) और \(c=t\), इसलिए \(D=(-4)^2-4(5)(t)=16-20t=0\)। अतः \(t=\frac{4}{5}\)। विकल्प B में अंश और हर उलट गए हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have real and equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=5\), \(b=-4\), and \(c=t\), so \((-4)^2-4(5)t=16-20t=0\). Therefore, \(t=\frac{4}{5}\). Option B results from reversing the numerator and denominator. Exam tip: whenever roots are real and equal, immediately use \(D=0\).
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए ((-3)2-4s=0) से \(s=\frac{9}{4}\)। भिन्न उत्तर से न डरें। / For equal roots (D=0), so ((-3)2-4s=0) gives \(s=\frac{9}{4}\). Do not fear fractional answers.
यहाँ \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=8\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(8)=16-32=-16\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। वास्तव में इसके मूल \(2+2i\) और \(2-2i\) हैं, जो गैर-वास्तविक और असमान हैं। परीक्षा में याद रखें: \(D<0\) होने पर द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=8\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(8)=16-32=-16\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. In fact, its roots are \(2+2i\) and \(2-2i\), which are non-real and distinct. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) means that there are no real roots.
A. दो वास्तविक और समान मूल/two real and equal roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=14\) और \(c=49\) हैं। इसलिए विभेदक \(D=b^2-4ac=14^2-4(1)(49)=196-196=0\) है। जब \(D=0\) होता है, तो दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में, समीकरण \((x+7)^2=0\) है और इसका दोहराया हुआ मूल \(-7\) है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) के लिए हमेशा समान वास्तविक मूल चुनें; \(D>0\) पर मूल असमान होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=14\), and \(c=49\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=14^2-4(1)(49)=196-196=0\). When \(D=0\), the two roots are real and equal. In fact, the equation can be written as \((x+7)^2=0\), giving the repeated root \(-7\). Exam tip: choose equal real roots for \(D=0\); distinct real roots require \(D>0\).
यहाँ \(a=1\), \(b=-11\) और \(c=30\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-11)^2-4(1)(30)=121-120=1\) है। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। वास्तव में समीकरण \((x-5)(x-6)=0\) है, इसलिए मूल 5 और 6 हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से वास्तविक और असमान, \(D=0\) से वास्तविक और समान, तथा \(D<0\) से अवास्तविक मूल मिलते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-11\), and \(c=30\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-11)^2-4(1)(30)=121-120=1\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct. In fact, the equation factors as \((x-5)(x-6)=0\), giving roots 5 and 6. Exam tip: \(D>0\) indicates real and distinct roots, \(D=0\) indicates real and equal roots, and \(D<0\) indicates non-real roots.
यहाँ \(a=2\), \(b=4\) और \(c=2\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=4^2-4(2)(2)=16-16=0\)। अतः विविक्तकर का चिन्ह शून्य है और समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होंगे। धनात्मक या ऋणात्मक चिन्ह चुनना गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर मूल समान और वास्तविक होते हैं। / Here, \(a=2\), \(b=4\), and \(c=2\). Thus, \(D=b^2-4ac=4^2-4(2)(2)=16-16=0\). Therefore, the discriminant is zero, and the equation has two equal real roots. Choosing positive or negative is incorrect. Exam tip: when \(D=0\), the roots are real and equal.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(b=-2\) और \(c=4\), इसलिए \(D=(-2)^2-4(3)(4)=4-48=-44\)। चूँकि \(D<0\), विविक्तकर ऋणात्मक है और समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। इसे शून्य न समझें; शून्य विविक्तकर तभी होता है जब \(b^2=4ac\) हो। परीक्षा में पहले \(a,b,c\) पहचानकर \(D=b^2-4ac\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3\), \(b=-2\), and \(c=4\), so \(D=(-2)^2-4(3)(4)=4-48=-44\). Since \(D<0\), the discriminant is negative and the equation has no real roots. It is not zero; a zero discriminant occurs only when \(b^2=4ac\). In an exam, first identify \(a,b,c\) and then apply \(D=b^2-4ac\).
A. \(\Delta=1\), दो वास्तविक और भिन्न मूल/\(\Delta=1\), two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
दिए गए समीकरण में \(a=1\), \(b=5\) और \(c=6\) हैं। इसलिए \(\Delta=b^2-4ac=5^2-4(1)(6)=25-24=1\)। चूँकि \(\Delta>0\), इसके दो वास्तविक और भिन्न मूल होते हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \(\Delta=0\) होता। परीक्षा में पहले विविक्तकर निकालें, फिर उसके चिह्न से मूलों की प्रकृति तय करें। / For the given equation, \(a=1\), \(b=5\), and \(c=6\). Thus, \(\Delta=b^2-4ac=5^2-4(1)(6)=25-24=1\). Since \(\Delta>0\), the equation has two real and distinct roots. Option B would be correct only if \(\Delta=0\). In exams, calculate the discriminant first and then use its sign to determine the nature of the roots.
यहाँ \(a=4\), \(b=4\) और \(c=5\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4^2-4(4)(5)=16-80=-64<0\) है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके मूल सम्मिश्र होंगे। परीक्षा में याद रखें: \(D<0\) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, \(a=4\), \(b=4\), and \(c=5\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=4^2-4(4)(5)=16-80=-64<0\). Hence, the equation has no real roots; its roots are complex. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) indicates no real roots.
