Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
एक आयताकार बगीचा 30 मीटर लंबा और 20 मीटर चौड़ा है। बगीचे के बाहर चारों ओर समान चौड़ाई का रास्ता बनाया गया है। यदि बगीचे और रास्ते का कुल क्षेत्रफल 936 वर्ग मीटर है, तो रास्ते की चौड़ाई \\(x\\) कितनी है?
रास्ता बाहर की ओर चारों तरफ है, इसलिए बाहरी आयाम \\(30+2x\\) मीटर और \\(20+2x\\) मीटर होंगे। अतः \\((30+2x)(20+2x)=936\\)। इसे हल करने पर \\(4x^2+100x+600=936\\), अर्थात \\(x^2+25x-84=0\\)। इसलिए \\((x+28)(x-3)=0\\), जिससे \\(x=3\\) या \\(x=-28\\) प्राप्त होता है। चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \\(x=3\\) मीटर सही उत्तर है। परीक्षा-युक्ति: रास्ते की चौड़ाई दोनों विपरीत दिशाओं में जुड़ती है, इसलिए प्रत्येक आयाम में \\(2x\\) जोड़ें। / Since the path is constructed outside the garden on all four sides, the outer dimensions are \\(30+2x\\) m and \\(20+2x\\) m. Thus, \\((30+2x)(20+2x)=936\\)। Expanding gives \\(4x^2+100x+600=936\\), or \\(x^2+25x-84=0\\)। Factoring, \\((x+28)(x-3)=0\\), so \\(x=3\\) or \\(x=-28\\). A width cannot be negative, so the valid answer is \\(3\\) m. Exam tip: because the path is added on both opposite sides, add \\(2x\\) to each original dimension.
रास्ता चारों ओर है, इसलिए लंबाई और चौड़ाई दोनों में 2 मीटर की चौड़ाई दो बार जुड़ती है। बाहरी लंबाई = 20 + 2 + 2 = 24 मीटर और बाहरी चौड़ाई = 14 + 2 + 2 = 18 मीटर। अतः कुल बाहरी क्षेत्रफल = 24 × 18 = 432 वर्ग मीटर। विकल्पों में 384 या 408 लेने पर किसी एक या दोनों दिशाओं में रास्ते की पूरी चौड़ाई नहीं जुड़ती। परीक्षा-टिप: चारों ओर समान चौड़ाई के रास्ते के लिए प्रत्येक आयाम में 2 × रास्ते की चौड़ाई जोड़ें। / Since the path surrounds all four sides, its width is added twice to both dimensions. Outer length = 20 + 2 + 2 = 24 m and outer width = 14 + 2 + 2 = 18 m. Therefore, total outer area = 24 × 18 = 432 square metres. Values such as 384 or 408 result from failing to add the path width correctly in one or both directions. Exam tip: For a path around all four sides, add twice the path width to each original dimension.
चौड़ाई (x) हो तो (x(x+9)=700), जिससे (x=25) और लंबाई (34) है। तार की लंबाई (2(25+34)=118) नहीं, सही विकल्प जाँचकर (118) होना चाहिए। / If breadth is (x), then (x(x+9)=700), giving (x=25) and length (34). The wire length is (2(25+34)=118), so the correct option is (118).
वर्ग की भुजा (x) हो तो \(x^2=625\), इसलिए (x=25) है। तार की लंबाई परिमाप (4x=100) सेमी होगी। / If the side of the square is (x), then \(x^2=625\), so (x=25). The wire length is the perimeter (4x=100) cm.
एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 5 मीटर अधिक है। यदि लंबाई में 3 मीटर और चौड़ाई में 2 मीटर बढ़ा दिए जाएँ, तो नया क्षेत्रफल 462 वर्ग मीटर हो जाता है। आयत की मूल चौड़ाई क्या थी?
मूल चौड़ाई को \(x\) मीटर मानें। तब मूल लंबाई \(x+5\) मीटर होगी। बढ़ाने के बाद लंबाई \(x+8\) और चौड़ाई \(x+2\) होगी, इसलिए \((x+8)(x+2)=462\)। इससे \(x^2+10x-446=0\) प्राप्त होता है। द्विघात सूत्र से \(x=-5\pm\sqrt{471}\) मिलता है। चौड़ाई धनात्मक होने के कारण \(x=-5+\sqrt{471}\approx16.70\) मीटर सही उत्तर है। उदाहरण के लिए, 18 मीटर लेने पर नया क्षेत्रफल \(26\times20=520\) वर्ग मीटर होगा, 462 नहीं। परीक्षा-युक्ति: आयामों से संबंधित प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को हटाकर धनात्मक मूल को मूल समीकरण में अवश्य जाँचें। / Let the original breadth be \(x\) m. Then the original length is \(x+5\) m. After the increase, the length becomes \(x+8\) m and the breadth becomes \(x+2\) m. Hence, \((x+8)(x+2)=462\), which gives \(x^2+10x-446=0\). Using the quadratic formula, \(x=-5\pm\sqrt{471}\). Since a breadth must be positive, \(x=-5+\sqrt{471}\approx16.70\) m. The distractor 18 m is incorrect because it would give a new area of \(26\times20=520\) square metres. Exam tip: discard the negative root and verify the remaining root in the original area equation.
चौड़ाई (x) और लंबाई (x+10) हो तो वृद्धि ((x+4)(x+14)-x(x+10)=224) है। इससे (x=20) मिलता है। / If breadth is (x) and length is (x+10), the increase is ((x+4)(x+14)-x(x+10)=224). This gives (x=20).
घटाई गई भुजा \((x-3)\) सेमी होगी। इसलिए \((x-3)^2=225\), जिससे \(x-3=\pm15\) प्राप्त होता है। चूँकि भुजा धनात्मक है और घटाने के बाद भी लंबाई 15 सेमी है, इसलिए \(x-3=15\) और \(x=18\) सेमी। \(x-3=-15\) लेने पर \(x=-12\) सेमी आएगा, जो संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग की भुजा या लंबाई से जुड़े प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / The reduced side is \((x-3)\) cm, so \((x-3)^2=225\). This gives \(x-3=\pm15\). Since a side length must be positive and the reduced side is 15 cm, \(x-3=15\), hence \(x=18\) cm. The negative possibility would give \(x=-12\) cm, which is not physically valid. Exam tip: reject any root that gives a negative length in a geometric word problem.
प्रारंभिक क्षेत्रफल \(x^2\) और नई भुजा \((x+5)\) होने पर नया क्षेत्रफल \((x+5)^2\) होगा। इसलिए \((x+5)^2-x^2=425\), अर्थात \(10x+25=425\)। इससे \(10x=400\) और \(x=40\) मीटर प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर C है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल के अंतर को पहले विस्तार देने के बजाय \(a^2-b^2\) के रूप में भी सरल किया जा सकता है। / The original area is \(x^2\), while the new area is \((x+5)^2\). Thus, \((x+5)^2-x^2=425\), which simplifies to \(10x+25=425\). Hence, \(10x=400\) and \(x=40\) metres. Therefore, option C is correct. Exam tip: For such problems, equate the difference of the two areas before solving the resulting linear equation.
((x+4)(x-4)=609) से \(x^2-16=609\) और (x=25) है। ऐसे प्रश्न में अंतर के वर्ग का सूत्र मदद करता है। / ((x+4)(x-4)=609) gives \(x^2-16=609\) and (x=25). The difference of squares idea helps in such questions.
दी गई शर्त से \((x+5)(x-5)=875\)। अंतर के वर्ग का सूत्र लगाने पर \(x^2-25=875\), अतः \(x^2=900\) और \(x=\pm 30\)। आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए वर्तमान आयु 30 वर्ष है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करना न भूलें। / From the condition, \((x+5)(x-5)=875\). Using the difference-of-squares identity gives \(x^2-25=875\), so \(x^2=900\) and \(x=\pm 30\). Since age cannot be negative, the present age is 30 years. In age problems, always reject the negative root.
बेटी की आयु (x) हो तो (x(x+24)=640), जिससे (x=16) है। आयु के प्रश्न में ऋणात्मक हल छोड़ दें। / If the daughter's age is (x), then (x(x+24)=640), giving (x=16). In age problems, ignore the negative root.
पुत्र की आयु x वर्ष मानें। तब पिता की आयु x + 28 वर्ष होगी। इसलिए x(x + 28) = 1485, अर्थात् x² + 28x − 1485 = 0। इसका गुणनखंडन (x − 27)(x + 55) = 0 है। आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए x = 27 और पिता की आयु 27 + 28 = 55 वर्ष है। परीक्षा-युक्ति: आयु के प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को हटाकर धनात्मक मूल को मूल शर्तों में जाँचें। / Let the son's age be x years. Then the father's age is x + 28 years. Thus, x(x + 28) = 1485, or x² + 28x − 1485 = 0. Factoring gives (x − 27)(x + 55) = 0. Since age cannot be negative, x = 27, so the father's age is 27 + 28 = 55 years. Exam tip: In age problems, reject the negative root and verify the positive root in the original conditions.
((x-6)2=784) और (x-6=28), इसलिए (x=34) है। वर्गमूल के बाद शर्त के अनुसार चिन्ह चुनें। / ((x-6)2=784) and (x-6=28), so (x=34). After taking square root, choose the sign according to the condition.
((x+4)2=900) और (x+4=30), इसलिए (x=26) है। धनात्मक स्थिति स्पष्ट हो तो धनात्मक वर्गमूल लें। / ((x+4)2=900) and (x+4=30), so (x=26). If the positive case is clear, take the positive square root.
\(x^2-175=550\) से \(x^2=725\) नहीं, इसलिए कोई विकल्प सही नहीं होना चाहिए। ऐसे प्रश्न में दिए गए आंकड़ों की संगति जाँचें। / \(x^2-175=550\) gives \(x^2=725\), so no listed option should be correct. In such questions, check data consistency.
\(x^2+156=1057\) से \(x^2=901\) नहीं, इसलिए विकल्प जाँच की बजाय समीकरण सुधारें: सही वर्ग के लिए \(x^2+156=1056\) चाहिए। / \(x^2+156=1057\) gives \(x^2=901\), not a listed perfect square, so this is a data-error type question. In exams, check consistency before solving.
संख्या को \(x\) मानने पर \(x^2+x=930\), अर्थात \(x^2+x-930=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-30)(x+31)=0\) है, इसलिए \(x=30\) या \(x=-31\)। इनमें धनात्मक संख्या 30 है। परीक्षा में उत्तर की जाँच के लिए \(30^2+30=900+30=930\) अवश्य सत्यापित करें; 31 लेने पर योग 992 आता है। / Let the number be \(x\). Then \(x^2+x=930\), so \(x^2+x-930=0\). Factoring gives \((x-30)(x+31)=0\), hence \(x=30\) or \(x=-31\). The positive number is therefore 30. As an exam tip, verify the answer by checking \(30^2+30=900+30=930\); choosing 31 gives 992, not 930.
मान लें संख्या \(x\) है। तब \(x^2-16x=425\), अर्थात \(x^2-16x-425=0\)। दोनों पक्षों में 64 जोड़ने पर \((x-8)^2=489\) मिलता है, इसलिए \(x=8\pm\sqrt{489}\)। चूँकि \(8-\sqrt{489}<0\), धनात्मक संख्या \(x=8+\sqrt{489}\) है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में उत्तर चुनने से पहले उसे मूल समीकरण में रखकर जाँच करें; यहाँ पूर्णांक उत्तर आवश्यक नहीं है। / Let the number be \(x\). Then \(x^2-16x=425\), so \(x^2-16x-425=0\). Adding 64 to both sides gives \((x-8)^2=489\), hence \(x=8\pm\sqrt{489}\). Since \(8-\sqrt{489}<0\), the positive number is \(8+\sqrt{489}\). Exam tip: substitute the selected value back into the original equation; a quadratic word problem need not have an integer answer.
मान लें संख्या \(x\) है। तब \(x^2=14x+240\), अर्थात् \(x^2-14x-240=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-24)(x+10)=0\) है, इसलिए \(x=24\) या \(x=-10\)। धनात्मक संख्या केवल 24 है। जाँच: \(24^2=576\) और \(14\times24+240=576\)। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले कथन से द्विघात समीकरण बनाकर दोनों मूल ज्ञात करें, फिर प्रश्नानुसार धनात्मक मूल चुनें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2=14x+240\), so \(x^2-14x-240=0\). Factoring gives \((x-24)(x+10)=0\), hence \(x=24\) or \(x=-10\). Since the question asks for the positive number, the answer is 24. Check: \(24^2=576\) and \(14\times24+240=576\). Exam tip: Form the quadratic equation directly from the statement, find both roots, and then apply the condition given in the question.
मूल संख्या को x मानें। तब \((x-2)(x+9)=620\), इसलिए \(x^2+7x-18=620\), अर्थात \(x^2+7x-638=0\)। गुणनखंड करने पर \((x-22)(x+29)=0\) मिलता है। अतः x=22 या x=-29; धनात्मक संख्या होने के कारण सही उत्तर 22 है। परीक्षा में उत्तर को मूल समीकरण में रखकर जाँच करें: \((22-2)(22+9)=20\times31=620\)। / Let the original number be x. Then \((x-2)(x+9)=620\), so \(x^2+7x-18=620\), or \(x^2+7x-638=0\). Factoring gives \((x-22)(x+29)=0\). Thus x=22 or x=-29; since the number is specified as positive, the correct answer is 22. Exam tip: verify the result in the original condition: \((22-2)(22+9)=20\times31=620\).
मूल संख्या को \(x\) मानने पर \((x-5)(x+8)=464\) मिलता है। इसे सरल करने पर \(x^2+3x-504=0\), अर्थात् \((x-21)(x+24)=0\)। इसलिए \(x=21\) या \(x=-24\); धनात्मक मूल संख्या 21 है। परीक्षा में ‘5 कम’ के लिए \(x-5\) और ‘8 अधिक’ के लिए \(x+8\) अवश्य लिखें। / Let the original number be \(x\). Then \((x-5)(x+8)=464\), which simplifies to \(x^2+3x-504=0\), or \((x-21)(x+24)=0\). Thus, \(x=21\) or \(x=-24\); the positive original number is 21. In such problems, carefully translate ‘5 less’ as \(x-5\) and ‘8 more’ as \(x+8\).
मूल संख्या को \(x\) मानें। तब \((x+3)(x+7)=600\), अर्थात \(x^2+10x-579=0\)। द्विघात सूत्र से \(x=-5\pm2\sqrt{151}\) प्राप्त होता है। चूँकि संख्या धनात्मक है, इसलिए \(x=-5+2\sqrt{151}\approx14.6\) सही उत्तर है। विकल्प 15 निकट है, लेकिन उसके लिए गुणनफल \(18\times22=396\) होगा, 600 नहीं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले चर निर्धारित करके दोनों संभावित मूलों में से शर्त के अनुरूप मूल चुनें। / Let the original number be \(x\). Then \((x+3)(x+7)=600\), which gives \(x^2+10x-579=0\). Using the quadratic formula, \(x=-5\pm2\sqrt{151}\). Since the number is positive, the valid value is \(x=-5+2\sqrt{151}\approx14.6\). Option 15 is a close distractor, but it gives \(18\times22=396\), not 600. Exam tip: Form the equation first and then use the stated condition to select the valid root.
एक परीक्षा में कुल \(x\) विद्यार्थी हैं और प्रत्येक विद्यार्थी को \((x-5)\) प्रश्न दिए गए हैं। यदि प्रश्नों की कुल संख्या \(414\) है, तो विद्यार्थियों की संख्या कितनी है?
प्रश्नों की कुल संख्या से \(x(x-5)=414\) प्राप्त होता है। अतः \(x^2-5x-414=0\), जिसे गुणनखंडित करने पर \((x-23)(x+18)=0\) मिलता है। इसलिए \(x=23\) या \(x=-18\)। विद्यार्थियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर \(23\) है। ध्यान रखें कि शब्द-समस्याओं में बीजीय समीकरण के ऋणात्मक मूल को संदर्भ के आधार पर अस्वीकार करना होता है। / The total number of questions gives \(x(x-5)=414\). Thus, \(x^2-5x-414=0\), which factors as \((x-23)(x+18)=0\). Therefore, \(x=23\) or \(x=-18\). Since the number of students cannot be negative, the valid answer is \(23\). Exam tip: in word problems, reject algebraic roots that are impossible in the given context.
एक बगीचे में कुल पौधों को समान संख्या वाली कतारों में लगाया गया है। यदि कतारों की संख्या \(x\) है और प्रत्येक कतार में \(x-6\) पौधे हैं, तो कुल 667 पौधे हैं। बगीचे में कतारों की संख्या कितनी है?
कुल पौधों के आधार पर समीकरण \(x(x-6)=667\) होगा, अर्थात \(x^2-6x-667=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-29)(x+23)=0\) है, इसलिए \(x=29\) या \(x=-23\)। कतारों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः \(x=29\) सही उत्तर है। परीक्षा-युक्ति: शब्द-समस्याओं में प्राप्त मूलों में से केवल संदर्भानुकूल, अर्थात धनात्मक, मान स्वीकार करें। / The total number of plants gives the equation \(x(x-6)=667\), or \(x^2-6x-667=0\). Factoring, \((x-29)(x+23)=0\), so \(x=29\) or \(x=-23\). Since the number of rows cannot be negative, \(x=29\) is the valid answer. Exam tip: In word problems, retain only the root that is meaningful in the given context.
कुल कुर्सियों के अनुसार \(x(x+15)=1000\)। इसलिए \(x^2+15x-1000=0\), जिसे \((x-25)(x+40)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \(x=25\) या \(x=-40\)। पंक्तियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर 25 है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करना न भूलें। / The total-chair condition gives \(x(x+15)=1000\), so \(x^2+15x-1000=0\). Factoring, \((x-25)(x+40)=0\), which gives \(x=25\) or \(x=-40\). Since the number of rows cannot be negative, the valid answer is 25. In such word problems, always reject the negative root on the basis of the context.
एक पुस्तकालय में कुल 682 किताबें हैं। यदि अलमारियों की संख्या \(x\) है और प्रत्येक अलमारी में \(x+9\) किताबें रखी हैं, तो अलमारियों की संख्या कितनी है?
कुल किताबों के आधार पर समीकरण \(x(x+9)=682\) होगा। अतः \(x^2+9x-682=0\), जिसे \((x-22)(x+31)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए \(x=22\) या \(x=-31\)। अलमारियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर 22 है। परीक्षा-युक्ति: ऐसी समस्याओं में प्राप्त मूलों में से केवल धनात्मक और संदर्भानुकूल मूल चुनें। / The total number of books gives the equation \(x(x+9)=682\). Thus, \(x^2+9x-682=0\), which factors as \((x-22)(x+31)=0\). Hence, \(x=22\) or \(x=-31\). Since the number of shelves cannot be negative, the valid answer is 22. Exam tip: In word problems, retain only the positive root that fits the real-life context.
कुल प्रश्नों की संख्या x(x+4) होगी। इसलिए x(x+4)=320, अर्थात् x²+4x−320=0। इसका गुणनखंडन (x+20)(x−16)=0 से x=−20 या x=16 प्राप्त होता है। दिनों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए x=16 सही है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में बने द्विघात समीकरण के दोनों मूल निकालकर प्रसंग के अनुसार धनात्मक मूल चुनें। / The total number of questions is x(x+4). Hence, x(x+4)=320, giving x²+4x−320=0. Factoring, (x+20)(x−16)=0, so x=−20 or x=16. Since the number of days cannot be negative, x=16 is valid. Exam tip: In word problems, calculate both roots of the quadratic and retain only the value that fits the real-world condition.
कुल काम (x(x+3)=180) है, जिससे (x=12) मिलता है। कुल काम के लिए दिन और प्रतिदिन काम को गुणा करें। / Total work is (x(x+3)=180), giving (x=12). For total work, multiply days and work per day.
दूरी = गति × समय, इसलिए \(x(x+5)=84\)। इससे \(x^2+5x-84=0\), अर्थात् \((x+12)(x-7)=0\)। अतः \(x=-12\) या \(x=7\)। समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए सही उत्तर 7 घंटे है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण से मिलने वाले समय या दूरी के ऋणात्मक मान को अस्वीकार करें। / Using distance = speed × time, we get \(x(x+5)=84\). Thus, \(x^2+5x-84=0\), which factors as \((x+12)(x-7)=0\). Therefore, \(x=-12\) or \(x=7\). Since time cannot be negative, the valid answer is 7 hours. Exam tip: Reject any negative root when the variable represents time or distance.
एक नाव धारा के अनुकूल (48) किमी जाती है। शांत जल में गति (x) किमी प्रति घंटा और धारा की गति (4) किमी प्रति घंटा है। यदि समय (4) घंटा है, तो (x) क्या है?
धारा के अनुकूल गति (x+4) है और (4(x+4)=48), इसलिए (x=8) है। नाव के प्रश्न में दिशा के अनुसार गति बदलती है। / Downstream speed is (x+4), and (4(x+4)=48), so (x=8). In boat problems, speed changes with direction.
