quadratic equations se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
2217 questions tagged with quadratic equations.
A. (22)
यदि बीच वाला (x) है, तो पहले और तीसरे (x-2) तथा (x+2) होंगे। ((x-2)(x+2)=480) से (x=22)। / If the middle one is (x), the first and third are (x-2) and (x+2). From ((x-2)(x+2)=480), (x=22).
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A. (14)
यदि बीच वाला पूर्णांक (x) है, तो पहले और तीसरे (x-1) तथा (x+1) होंगे। ((x-1)(x+1)=195) से (x=14)। / If the middle integer is (x), the first and third are (x-1) and (x+1). From ((x-1)(x+1)=195), (x=14).
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A. 24 वर्ष24 years
मान लें कि एक मित्र की आयु x वर्ष है। तब दूसरे की आयु (44 − x) वर्ष होगी। इसलिए x(44 − x) = 480, अर्थात् x² − 44x + 480 = 0। इसका गुणनखंड (x − 24)(x − 20) = 0 है, इसलिए दोनों आयु 24 वर्ष और 20 वर्ष हैं। अतः बड़े मित्र की आयु 24 वर्ष है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले योग और गुणनफल से बनने वाला द्विघात समीकरण लिखें। / Let one friend’s age be x years. Then the other friend’s age is (44 − x) years. Thus, x(44 − x) = 480, giving x² − 44x + 480 = 0. Factoring, (x − 24)(x − 20) = 0, so the two ages are 24 years and 20 years. Therefore, the older friend is 24 years old. Exam tip: For such problems, form the quadratic equation from the given sum and product before solving it.
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A. 16
मान लें कि पुत्र की वर्तमान आयु \(x\) वर्ष है। तब पिता की आयु \(x+28\) वर्ष होगी। 4 वर्ष बाद उनकी आयु क्रमशः \(x+4\) और \(x+32\) होगी। इसलिए \((x+4)(x+32)=960\), अर्थात \(x^2+36x-832=0\)। इसका धनात्मक हल \(x=16\) है; ऋणात्मक हल आयु के लिए मान्य नहीं है। जाँच: 4 वर्ष बाद आयु 20 और 48 वर्ष होंगी तथा \(20\times48=960\)। परीक्षा-युक्ति: आयु के प्रश्नों में ऋणात्मक या अव्यावहारिक मूल को हमेशा अस्वीकार करें। / Let the son's present age be \(x\) years. The father's present age is then \(x+28\) years. After 4 years, their ages will be \(x+4\) and \(x+32\), respectively. Thus, \((x+4)(x+32)=960\), which gives \(x^2+36x-832=0\). Its positive solution is \(x=16\); the negative solution cannot represent an age. Check: after 4 years, the ages will be 20 and 48, and \(20\times48=960\). Exam tip: In age problems, reject any negative or otherwise unrealistic root.
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A. (28)
यदि विद्यार्थी (x) हैं, तो \(\frac{1680}{x-4}-\frac{1680}{x}=10\)। हल करने पर (x=28) मिलता है। / If there are (x) students, then \(\frac{1680}{x-4}-\frac{1680}{x}=10\). Solving gives (x=28).
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A. (50)
यदि विद्यार्थियों की संख्या (x) है, तो \(\frac{1800}{x}-\frac{1800}{x+10}=6\)। हल करने पर (x=50) मिलता है। / If the number of students is (x), then \(\frac{1800}{x}-\frac{1800}{x+10}=6\). Solving gives (x=50).
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A. (4)
समीकरण \(\frac{48}{20+x}+\frac{32}{20-x}=4\) है। (x=4) रखने पर समय (2+2=4) घंटे मिलता है। / The equation is \(\frac{48}{20+x}+\frac{32}{20-x}=4\). Substituting (x=4) gives time (2+2=4) hours.
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A. 60 किलोमीटर प्रति घंटा (60 kmh)
मूल गति \(x\) किलोमीटर प्रति घंटा मानते हैं। तब मूल समय \(\frac{300}{x}\) घंटे और कम गति पर समय \(\frac{300}{x-10}\) घंटे होगा। अतः \(\frac{300}{x-10}-\frac{300}{x}=1\)। इसे हल करने पर \(x^2-10x-3000=0\), इसलिए \(x=60\) या \(x=-50\) प्राप्त होता है। गति ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए मूल गति \(60\) किलोमीटर प्रति घंटा है। जाँच: \(300/60=5\) घंटे और \(300/50=6\) घंटे, अर्थात समय में ठीक \(1\) घंटे की वृद्धि। परीक्षा-युक्ति: गति के प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें और प्राप्त उत्तर को मूल शर्तों में जाँचें। / Let the original speed be \(x\) km/h. The original travel time is \(\frac{300}{x}\) hours, while the time at the reduced speed is \(\frac{300}{x-10}\) hours. Therefore, \(\frac{300}{x-10}-\frac{300}{x}=1\). On simplifying, \(x^2-10x-3000=0\), giving \(x=60\) or \(x=-50\). Since speed cannot be negative, the original speed is \(60\) km/h. Check: at 60 km/h the time is 5 hours, and at 50 km/h it is 6 hours, an increase of exactly 1 hour. Exam tip: reject physically impossible negative roots and verify the remaining value in the original condition.
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A. 45 kmh
मान लेते हैं कि रेलगाड़ी की मूल गति \(x\) किलोमीटर प्रति घंटा है। तब \(\frac{360}{x}-\frac{360}{x+15}=2\)। सरल करने पर \(x(x+15)=2700\), अर्थात् \(x^2+15x-2700=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-45)(x+60)=0\) है, इसलिए \(x=45\) या \(x=-60\)। गति ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः मूल गति \(45\) किलोमीटर प्रति घंटा है। जाँच: \(360/45=8\) घंटे और \(360/60=6\) घंटे, जिनका अंतर 2 घंटे है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण से प्राप्त ऋणात्मक मूल को गति के प्रश्नों में अस्वीकार करें। / Let the original speed be \(x\) km/h. Then \(\frac{360}{x}-\frac{360}{x+15}=2\). On simplifying, \(x(x+15)=2700\), so \(x^2+15x-2700=0\). Factoring gives \((x-45)(x+60)=0\), hence \(x=45\) or \(x=-60\). Since speed cannot be negative, the original speed is \(45\) km/h. Check: at 45 km/h the time is 8 hours, and at 60 km/h it is 6 hours, a decrease of exactly 2 hours. Exam tip: reject any negative root when the variable represents speed, distance, or time.
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A. 16 m
मान लें कि खेत की चौड़ाई \(x\) मीटर है। तब लंबाई \(x+8\) मीटर होगी। क्षेत्रफल के अनुसार \(x(x+8)=384\), अर्थात् \(x^2+8x-384=0\)। इसका गुणनखंड \((x-16)(x+24)=0\) है, इसलिए \(x=16\) या \(x=-24\)। लंबाई या चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः चौड़ाई 16 मीटर है। विकल्प B (24 m) वास्तव में इस स्थिति में लंबाई है, चौड़ाई नहीं। परीक्षा-टिप: क्षेत्रफल के प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करना न भूलें। / Let the breadth of the field be \(x\) metres. Then its length is \(x+8\) metres. Using the area, \(x(x+8)=384\), so \(x^2+8x-384=0\). Factoring gives \((x-16)(x+24)=0\), hence \(x=16\) or \(x=-24\). Since a length cannot be negative, the breadth is 16 m. Option B (24 m) is the corresponding length, not the breadth. Exam tip: Always reject negative roots when solving geometrical measurement problems.
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A. 40
दिया है \(x(70-x)=1200\)। इसे व्यवस्थित करने पर \(x^2-70x+1200=0\) मिलता है। इसका गुणनखंडन \((x-30)(x-40)=0\) है, इसलिए \(x=30\) या \(x=40\)। अतः बड़ा मान 40 है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले आय का समीकरण बनाकर द्विघात समीकरण के दोनों मूल निकालें और माँगा गया मूल चुनें। / We have \(x(70-x)=1200\). Rearranging gives \(x^2-70x+1200=0\), which factors as \((x-30)(x-40)=0\). Thus, \(x=30\) or \(x=40\), and the larger value is 40. Exam tip: In such problems, form the quadratic equation first, find both roots, and then select the one requested.
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A. 11
मान लें कि चौड़ाई \(x\) इकाई है। तब लंबाई \(2x\) इकाई होगी। क्षेत्रफल के आधार पर \(x \times 2x=242\), अर्थात् \(2x^2=242\), इसलिए \(x^2=121\) और \(x=\pm 11\)। लंबाई और चौड़ाई धनात्मक होने के कारण चौड़ाई \(11\) इकाई है। \(22\) आयत की लंबाई होगी, चौड़ाई नहीं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक माप के प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the breadth be \(x\) units. Then the length is \(2x\) units. Using area, \(x\times 2x=242\), so \(2x^2=242\), giving \(x^2=121\) and \(x=\pm 11\). Since length and breadth must be positive, the breadth is \(11\) units. The value \(22\) represents the length, not the breadth. Exam tip: reject the negative root when solving measurement problems.
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A. 18
मान लें कि चौड़ाई \(x\) इकाई है। तब लंबाई \(x+4\) इकाई होगी और क्षेत्रफल के अनुसार \(x(x+4)=360\)। अतः \(x^2+4x-360=0\), जिसे \((x-18)(x+20)=0\) लिखा जा सकता है। इसलिए \(x=18\) या \(x=-20\)। लंबाई और चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकतीं, इसलिए चौड़ाई 18 इकाई है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल के प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को हमेशा अस्वीकार करें। / Let the breadth be \(x\) units. Then the length is \(x+4\) units, so the area gives \(x(x+4)=360\). Thus, \(x^2+4x-360=0\), which factors as \((x-18)(x+20)=0\). Therefore, \(x=18\) or \(x=-20\). Since a length cannot be negative, the breadth is 18 units. Exam tip: Always reject a negative root when solving a geometrical measurement problem.
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A. 9
मान लें कि छोटी भुजा की लंबाई \(x\) है। तब दूसरी भुजा \(x+31\) होगी। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार \(x^2+(x+31)^2=41^2\)। इसे हल करने पर \(x^2+31x-360=0\), अर्थात् \((x-9)(x+40)=0\) मिलता है। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x=9\) है। अतः सही उत्तर 9 है। परीक्षा-टिप: द्विघात समीकरण से प्राप्त ऋणात्मक मूल को भुजा की लंबाई के रूप में स्वीकार न करें। / Let the shorter leg be \(x\). Then the other leg is \(x+31\). By the Pythagorean theorem, \(x^2+(x+31)^2=41^2\), which simplifies to \(x^2+31x-360=0\). Factoring gives \((x-9)(x+40)=0\), so the roots are 9 and −40. Since a length cannot be negative, the shorter leg is 9. Exam tip: always reject a negative root when solving for a physical length.
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A. 24 इकाई24 units
मान लें कि दीवार पर पहुँची ऊँचाई \(x\) इकाई है। तब दीवार से सीढ़ी के पैर की दूरी \(x-17\) इकाई होगी। समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय से \(x^2+(x-17)^2=25^2\)। इसे हल करने पर \(x^2-17x-168=0\), अर्थात् \((x-24)(x+7)=0\)। इसलिए \(x=24\) इकाई, क्योंकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती। ध्यान रखें कि वास्तविक माप के लिए द्विघात समीकरण के ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करना होता है। / Let the height reached on the wall be \(x\) units. Then the distance of the foot of the ladder from the wall is \(x-17\) units. By the Pythagorean theorem, \(x^2+(x-17)^2=25^2\). This gives \(x^2-17x-168=0\), or \((x-24)(x+7)=0\). Thus \(x=24\) units, since a physical length cannot be negative. Exam tip: reject any negative root when solving a word problem involving length or distance.
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When 17 is subtracted from the square of a number, the result is 127. What is the positive number?
A. 12
मान लें संख्या \(x\) है। तब \(x^2-17=127\), इसलिए \(x^2=144\) और \(x=\pm 12\)। प्रश्न में धनात्मक संख्या पूछी गई है, अतः सही उत्तर 12 है। 10 लेने पर उसका वर्ग 100 और 14 लेने पर 196 होता है, इसलिए वे समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-टिप: वर्गमूल लेते समय धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मानों पर विचार करें, फिर प्रश्न के अनुसार सही मान चुनें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2-17=127\), so \(x^2=144\) and \(x=\pm 12\). Since the question asks for the positive number, the answer is 12. The values 10 and 14 are incorrect because their squares are 100 and 196, respectively. Exam tip: after taking a square root, consider both signs and then select the value required by the question.
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A positive integer multiplied by its next integer gives 552. What is the number?
A. 23
यदि धनात्मक पूर्णांक को \(x\) मानें, तो उसके अगले पूर्णांक के साथ गुणनफल \(x(x+1)=552\) होगा। अतः \(x^2+x-552=0\), जिसका गुणनखंडन \((x-23)(x+24)=0\) है। मूल \(x=23\) या \(x=-24\) मिलते हैं, लेकिन धनात्मक पूर्णांक होने के कारण \(x=23\) सही है। जाँच: \(23\times24=552\)। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में संख्या और उसके अगले पूर्णांक का गुणनफल बनाकर द्विघात समीकरण तैयार करें। / Let the positive integer be \(x\). Its product with the next integer is \(x(x+1)=552\), so \(x^2+x-552=0\). Factoring gives \((x-23)(x+24)=0\), yielding \(x=23\) or \(x=-24\). Since the number is specified as positive, \(x=23\) is correct. Check: \(23\times24=552\). Exam tip: Represent the number and its next integer as \(x\) and \(x+1\) before forming the quadratic equation.
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A. (13)
यदि छोटी संख्या (x) है, तो बड़ी (x+4) है। (x-2+(x+4)2=250) से (x=9), इसलिए बड़ी संख्या (13) है। / If the smaller number is (x), the larger is (x+4). From (x-2+(x+4)2=250), (x=9), so the larger number is (13).
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The difference of two numbers is (8) and their product is (273). What is the larger number?
A. (21)
यदि छोटी संख्या (x) है, तो बड़ी (x+8) होगी। (x(x+8)=273) से (x=13), इसलिए बड़ी संख्या (21) है। / If the smaller number is (x), the larger is (x+8). From (x(x+8)=273), (x=13), so the larger number is (21).
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The sum of two numbers is (29) and their product is (204). What is the larger number?
A. (17)
यदि एक संख्या (x) है, तो दूसरी (29-x) होगी। (x(29-x)=204) से संख्याएँ (17) और (12) मिलती हैं। / If one number is (x), the other is (29-x). From (x(29-x)=204), the numbers are (17) and (12).
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The square of a number is 42 more than 11 times the number. What is the positive number?
A. 14
मान लें संख्या \\(x\\) है। तब \\(x^2=11x+42\\), अर्थात \\(x^2-11x-42=0\\)। इसका गुणनखंडन \\((x-14)(x+3)=0\\) है, इसलिए \\(x=14\\) या \\(x=-3\\)। धनात्मक संख्या 14 है। विकल्प 3 सही नहीं है, क्योंकि दूसरा मूल \\(-3\\) है, +3 नहीं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के दोनों मूल निकालकर प्रश्न में दी गई शर्त, जैसे ‘धनात्मक’, के अनुसार सही मूल चुनें। / Let the number be \\(x\\). Then \\(x^2=11x+42\\), so \\(x^2-11x-42=0\\)। Factoring gives \\((x-14)(x+3)=0\\), hence \\(x=14\\) or \\(x=-3\\)। The positive number is 14. Option 3 is incorrect because the other root is \\(-3\\), not +3. Exam tip: Find both roots of a quadratic equation and then apply any condition given in the question, such as ‘positive’.
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A. 12
मान लें कि वर्ग की भुजा x है। तब उसका क्षेत्रफल x² और परिमाप 4x होगा। प्रश्नानुसार, x² = 4x + 96, अर्थात x² − 4x − 96 = 0। इसका गुणनखंडन करने पर (x − 12)(x + 8) = 0 मिलता है। इसलिए x = 12 या −8; भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः सही उत्तर 12 है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करके केवल धनात्मक लंबाई लें। / Let the side of the square be x. Its area is x² and its perimeter is 4x. According to the question, x² = 4x + 96, so x² − 4x − 96 = 0. Factoring gives (x − 12)(x + 8) = 0. Thus x = 12 or −8; a side length cannot be negative, so the correct answer is 12. Exam tip: In measurement problems, retain only the positive root.
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A. 12
मान लें कि चौड़ाई \(x\) इकाई है। तब लंबाई \(x+6\) होगी। क्षेत्रफल के अनुसार \(x(x+6)=216\), अर्थात् \(x^2+6x-216=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-12)(x+18)=0\) है, इसलिए \(x=12\) या \(x=-18\)। लंबाई या चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः चौड़ाई \(12\) इकाई है। परीक्षा-युक्ति: आयत के ऐसे प्रश्नों में पहले छोटी माप को \(x\) मानकर क्षेत्रफल का समीकरण बनाएँ। / Let the breadth be \(x\) units. Then the length is \(x+6\) units. Using the area, \(x(x+6)=216\), so \(x^2+6x-216=0\). Factoring gives \((x-12)(x+18)=0\), leading to \(x=12\) or \(x=-18\). Since a length cannot be negative, the breadth is \(12\) units. Exam tip: In rectangle word problems, assign \(x\) to the smaller dimension and form the area equation first.
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A. 14 सेमी
मान लें कि आयत की भुजाएँ \(x\) सेमी और \(y\) सेमी हैं। परिमाप से \(2(x+y)=46\), इसलिए \(x+y=23\)। क्षेत्रफल के अनुसार \(xy=126\)। अतः \(x(23-x)=126\), जिससे \(x^2-23x+126=0\), अर्थात् \((x-9)(x-14)=0\)। भुजाएँ 9 सेमी और 14 सेमी हैं, इसलिए बड़ी भुजा 14 सेमी है। परीक्षा में परिमाप को 2 से भाग देकर पहले दोनों भुजाओं का योग निकालना उपयोगी होता है। / Let the sides of the rectangle be \(x\) cm and \(y\) cm. From the perimeter, \(2(x+y)=46\), so \(x+y=23\). The area gives \(xy=126\). Therefore, \(x(23-x)=126\), which becomes \(x^2-23x+126=0\), or \((x-9)(x-14)=0\). Thus, the sides are 9 cm and 14 cm, so the larger side is 14 cm. Exam tip: divide the perimeter by 2 first to obtain the sum of the two sides.
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A. 17 इकाई
मान लें कि आयत की चौड़ाई \(x\) इकाई है। तब लंबाई \(x+5\) इकाई होगी। क्षेत्रफल से \(x(x+5)=204\), अर्थात् \(x^2+5x-204=0\)। इसका गुणनखंड \((x-12)(x+17)=0\) है, इसलिए धनात्मक चौड़ाई \(x=12\) इकाई और लंबाई \(12+5=17\) इकाई होगी। 12 इकाई चौड़ाई है, लंबाई नहीं। परीक्षा युक्ति: आयामों के लिए ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the breadth be \(x\) units. Then the length is \(x+5\) units. From the area, \(x(x+5)=204\), so \(x^2+5x-204=0\). Factoring gives \((x-12)(x+17)=0\); hence the positive breadth is \(12\) units and the length is \(12+5=17\) units. Thus, 12 units is the breadth, not the length. Exam tip: reject the negative root because a rectangle’s dimensions must be positive.
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The sum of a number and its reciprocal is \(\frac{10}{3}\). What is the larger number?
A. (3)
मान लें संख्या (x) है, तो \(x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}\)। इससे \(3x^2-10x+3=0\), इसलिए बड़ी संख्या (3) है। / Let the number be (x), so \(x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}\). This gives \(3x^2-10x+3=0\), so the larger number is (3).
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The product of two consecutive positive even integers is 288. What is the larger integer?
A. 18
छोटी सम संख्या को \(x\) मानें। तब अगली सम संख्या \(x+2\) होगी। इसलिए \(x(x+2)=288\), अर्थात् \(x^2+2x-288=0\)। इसका धनात्मक हल \(x=16\) है, इसलिए बड़ी संख्या \(16+2=18\) होगी। परीक्षा-युक्ति: लगातार सम संख्याओं के बीच का अंतर हमेशा 2 होता है, 1 नहीं। / Let the smaller even integer be \(x\). The next consecutive even integer is \(x+2\). Thus, \(x(x+2)=288\), giving \(x^2+2x-288=0\). The positive solution is \(x=16\), so the larger integer is \(16+2=18\). Exam tip: consecutive even integers differ by 2, not 1.
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The product of two consecutive positive odd integers is (399). What is the smaller integer?
A. (19)
यदि छोटा विषम पूर्णांक (x) है, तो (x(x+2)=399)। \(19\times21=399\), इसलिए छोटा पूर्णांक (19) है। / If the smaller odd integer is (x), then (x(x+2)=399). Since \(19\times21=399\), the smaller integer is (19).
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The product of two consecutive positive integers is \(306\). What is the larger integer?
A. 18
मान लें छोटा पूर्णांक \(x\) है। तब बड़ा पूर्णांक \(x+1\) होगा और \(x(x+1)=306\), अर्थात् \(x^2+x-306=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-17)(x+18)=0\) है। धनात्मक मान \(x=17\) लेने पर बड़ा पूर्णांक \(x+1=18\) मिलता है। अतः सही उत्तर 18 है। परीक्षा-युक्ति: लगातार पूर्णांकों के लिए \(x(x+1)\) का समीकरण बनाकर गुणनखंडन करें। / Let the smaller integer be \(x\). Then the larger integer is \(x+1\), so \(x(x+1)=306\), or \(x^2+x-306=0\). Factoring gives \((x-17)(x+18)=0\). Since the integers are positive, \(x=17\), and the larger integer is \(x+1=18\). Therefore, 18 is correct. Exam tip: For consecutive integers, represent them as \(x\) and \(x+1\) before forming the quadratic equation.
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B. 4 m
सीमा बाहरी वर्ग की भुजा के दोनों ओर से \(x\) मीटर घटाती है, इसलिए अंदर के वर्ग की भुजा \(28-2x\) होगी। अतः \(28-2x=20\), जिससे \(2x=8\) और \(x=4\) मीटर प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर B है। परीक्षा में ध्यान रखें कि चारों ओर की सीमा होने पर चौड़ाई केवल एक बार नहीं, दोनों विपरीत दिशाओं में घटती है। / The border reduces the outer side by \(x\) on both opposite sides, so the inner side is \(28-2x\). Thus, \(28-2x=20\), giving \(2x=8\) and \(x=4\) m. Therefore, option B is correct. Exam tip: for a uniform border around a square, subtract twice the border width from the outer side.
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