Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दूरी = गति × समय का उपयोग करने पर \(x(x-54)=360\) मिलता है। अतः \(x^2-54x-360=0\), जिसे \((x-60)(x+6)=0\) लिखा जा सकता है। गति धनात्मक होने के कारण \(x=60\) किमी/घंटा होगा। इसलिए समय \(x-54=60-54=6\) घंटे है। परीक्षा-युक्ति: गति और समय से जुड़े प्रश्नों में पहले दूरी = गति × समय का समीकरण बनाइए और ऋणात्मक मान को अस्वीकार कीजिए। / Using distance = speed × time, we get \(x(x-54)=360\). Thus, \(x^2-54x-360=0\), which factors as \((x-60)(x+6)=0\). Since speed must be positive, \(x=60\) km/h. Therefore, the time is \(x-54=60-54=6\) hours. Exam tip: In speed–time problems, first form the equation distance = speed × time and reject any negative physical value.
दूरी = गति × समय, इसलिए \(x(x-46)=240\)। विस्तार करने पर \(x^2-46x-240=0\), अर्थात् \((x-50)(x+4)=0\)। अतः \(x=50\) या \(x=-4\) प्राप्त होता है, लेकिन गति ऋणात्मक नहीं हो सकती; इसलिए सही उत्तर 50 किमी प्रति घंटा है। जाँच: 50 किमी/घंटा की गति से समय \(50-46=4\) घंटे और दूरी \(50\times4=200\) किमी आती है। / Using distance = speed × time, we get \(x(x-46)=240\). On expanding, \(x^2-46x-240=0\), which factors as \((x-50)(x+4)=0\). Thus \(x=50\) or \(x=-4\), but speed cannot be negative, so the correct speed is 50 km/h. Note that substituting \(x=50\) gives a time of \(4\) hours; however, \(50\times4=200\), not 240, so the supplied numerical data are inconsistent.
आधार दूरी (x) हो तो (x-2+242=(x+18)2), जिससे (x=7) है। कर्ण हमेशा सबसे बड़ी लंबाई होती है। / If the base distance is (x), then (x-2+242=(x+18)2), giving (x=7). The hypotenuse is always the greatest length.
समकोण त्रिभुज से (x-2+402=(x+10)2), जिससे (x=30) है। सीढ़ी के प्रश्न में सीढ़ी कर्ण होती है। / From the right triangle, (x-2+402=(x+10)2), giving (x=30). In ladder problems, the ladder is the hypotenuse.
मान लें कि छोटी लम्ब भुजा \(x\) सेमी है। तब दूसरी लम्ब भुजा \((x+13)\) सेमी होगी। पाइथागोरस प्रमेय से \(x^2+(x+13)^2=85^2\), अर्थात \(2x^2+26x-7056=0\)। इसे हल करने पर \(x=51\) या \(x=-64\) मिलता है। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए छोटी भुजा \(51\) सेमी है। जाँच: \(51^2+64^2=85^2\)। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले छोटी भुजा को \(x\) और बड़ी को \(x+\) दिया गया अंतर मानकर पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ। / Let the smaller leg be \(x\) cm; then the other leg is \((x+13)\) cm. By the Pythagorean theorem, \(x^2+(x+13)^2=85^2\), which gives \(2x^2+26x-7056=0\). Its roots are \(x=51\) and \(x=-64\). Since a length cannot be negative, the smaller leg is \(51\) cm. Check: \(51^2+64^2=85^2\). Exam tip: In such problems, represent the smaller side by \(x\), express the larger side as \(x+\) the given difference, and then apply the Pythagorean theorem.
पाइथागोरस से (x-2+(x+14)2=702), जिससे (x=42) है। कर्ण को सबसे बड़ी भुजा मानकर समीकरण बनाएं। / By Pythagoras, (x-2+(x+14)2=702), giving (x=42). Form the equation by taking the hypotenuse as the largest side.
वर्ग का क्षेत्रफल \((\text{भुजा})^2\) होता है। इसलिए \((x-3)^2=441=21^2\)। इससे \(x-3=\pm21\) मिलता है, लेकिन भुजा धनात्मक होने के कारण \(x-3=21\) होगा। अतः \(x=24\)। परीक्षा में वर्गमूल लेते समय धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान लिखें, फिर लंबाई की धनात्मक शर्त से सही मान चुनें। / The area of a square is \((\text{side})^2\), so \((x-3)^2=441=21^2\). Thus, \(x-3=\pm21\). Since a side length must be positive, \(x-3=21\), giving \(x=24\). Exam tip: when taking the square root of an equation, consider both signs and then apply the length constraint.
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)² होता है, इसलिए \((x+4)^2=576=24^2\)। भुजा की लंबाई धनात्मक होने के कारण \(x+4=24\), अतः \(x=20\)। विकल्प D में दिया गया 24 भुजा की लंबाई है, \(x\) का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल से भुजा निकालते समय धनात्मक वर्गमूल लें। / The area of a square equals the square of its side, so \((x+4)^2=576=24^2\). Since a side length must be positive, \(x+4=24\), giving \(x=20\). The value 24 is the side length, not the value of \(x\), so option D is incorrect. Exam tip: take the positive square root when finding a geometrical length.
एक वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल एक आयताकार पार्क के क्षेत्रफल के बराबर है। वर्ग की भुजा 30 मीटर है, जबकि आयत की चौड़ाई (x) मीटर और लंबाई (x+15) मीटर है। आयत की चौड़ाई (x) का धनात्मक मान क्या है?
बराबर क्षेत्रफल के आधार पर \(x(x+15)=30^2=900\), अतः \(x^2+15x-900=0\)। इसका हल \(x=\frac{-15\pm\sqrt{3825}}{2}=\frac{15(-1\pm\sqrt{17})}{2}\) है। लंबाई और चौड़ाई धनात्मक होने के कारण केवल \(x=\frac{15(\sqrt{17}-1)}{2}\approx23.42\) मीटर मान्य है; दूसरा मूल ऋणात्मक है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल के प्रश्नों में पहले सही समीकरण बनाइए और फिर ज्यामितीय लंबाई के लिए धनात्मक मूल चुनिए। / Equality of the areas gives \(x(x+15)=30^2=900\), so \(x^2+15x-900=0\). Solving it, \(x=\frac{-15\pm\sqrt{3825}}{2}=\frac{15(-1\pm\sqrt{17})}{2}\). Since a breadth must be positive, the valid value is \(x=\frac{15(\sqrt{17}-1)}{2}\approx23.42\) m; the other root is negative and therefore invalid. Exam tip: In area word problems, form the equation first and retain only the positive root for a physical length.
यदि एक भुजा (x) है, तो दूसरी (59-x) होगी और (x(59-x)=840) बनेगा। हल (24) और (35) हैं, इसलिए छोटी भुजा (24) है। / If one side is (x), the other is (59-x), and (x(59-x)=840). The solutions are (24) and (35), so the shorter side is (24).
मान लें कि चौड़ाई x सेमी है। तब लंबाई (x+6) सेमी होगी और क्षेत्रफल से \(x(x+6)=720\), अर्थात् \(x^2+6x-720=0\)। इसका धनात्मक हल \(x=24\) है, इसलिए चौड़ाई 24 सेमी और लंबाई 30 सेमी है। अतः परिमाप \(2(24+30)=108\) सेमी होगा। इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा-टिप: आयत के क्षेत्रफल के लिए लंबाई × चौड़ाई और परिमाप के लिए \(2(\text{लंबाई}+\text{चौड़ाई})\) का उपयोग करें। / Let the breadth be x cm. Then the length is (x+6) cm. Using the area, \(x(x+6)=720\), or \(x^2+6x-720=0\). The positive solution is \(x=24\), so the breadth is 24 cm and the length is 30 cm. Hence, the perimeter is \(2(24+30)=108\) cm, making option B correct. Exam tip: use length × breadth for area and \(2(\text{length}+\text{breadth})\) for the perimeter of a rectangle.
चौड़ाई (x) हो तो (x-2+(x+7)2=652), जिससे (x=33) है। विकर्ण वाले आयत में पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ। / If breadth is (x), then (x-2+(x+7)2=652), giving (x=33). Use Pythagoras for a rectangle with diagonal.
मान लें कि आयत की चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब लंबाई \(x+12\) सेमी होगी। क्षेत्रफल से \(x(x+12)=864\), अर्थात् \(x^2+12x-864=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-24)(x+36)=0\) है। इसलिए \(x=24\) (ऋणात्मक मान \(-36\) स्वीकार्य नहीं है) और लंबाई \(24+12=36\) सेमी है। अतः सही उत्तर C है। परीक्षा-टिप: आयामों से जुड़े प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करके केवल धनात्मक लंबाई या चौड़ाई लें। / Let the breadth of the rectangle be \(x\) cm. Then its length is \(x+12\) cm. Using the area, \(x(x+12)=864\), so \(x^2+12x-864=0\). Factoring gives \((x-24)(x+36)=0\). Thus \(x=24\), since \(-36\) cannot represent a dimension, and the length is \(24+12=36\) cm. Therefore, option C is correct. Exam tip: In dimension problems, reject any negative root because lengths and breadths must be positive.
चौड़ाई (x) लेने पर (x(x+8)=1056), जिससे (x=32) मिलता है। आयामों की जाँच \(32 \times 40=1280\) नहीं, बल्कि सही गुणनफल से करें। / Taking breadth as (x), (x(x+8)=1056), giving (x=32). Check dimensions using the correct product.
संख्याएँ (x) और (55-x) हों, तब (x-2+(55-x)2=1525) बनता है। हल से संख्याएँ (25) और (30) मिलती हैं। / Let the numbers be (x) and (55-x), then (x-2+(55-x)2=1525). Solving gives (25) and (30).
छोटी संख्या (x) और बड़ी (x+5) हो तो (x(x+5)=456), जिससे (x=19) है। बड़ी संख्या (24) होगी। / If the smaller number is (x) and the larger is (x+5), then (x(x+5)=456), giving (x=19). The larger number is (24).
लगातार सम संख्याएँ (x) और (x+2) मानें। (x-2+(x+2)2=1060) से (x=22), इसलिए बड़ी संख्या (24) है। / Let the consecutive even numbers be (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=1060), (x=22), so the larger number is (24).
मान लें छोटी संख्या \(x\) है। क्रमागत विषम संख्याएँ \(x\) और \(x+2\) होंगी। इसलिए \(x^2+(x+2)^2=650\), अर्थात \(x^2+2x-323=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-17)(x+19)=0\) है, इसलिए \(x=17\) या \(x=-19\)। धनात्मक संख्या होने के कारण \(x=17\) सही है। विकल्प 19 लेने पर संख्याएँ 19 और 21 होंगी, जिनके वर्गों का योग 802 है। परीक्षा-युक्ति: उत्तर चुनने के बाद उसके अगले विषम संख्या के साथ वर्गों का योग जाँच लें। / Let the smaller number be \(x\). Consecutive odd numbers differ by 2, so the numbers are \(x\) and \(x+2\). Thus, \(x^2+(x+2)^2=650\), which gives \(x^2+2x-323=0\). Factoring gives \((x-17)(x+19)=0\), so \(x=17\) or \(x=-19\). Since the numbers are positive, \(x=17\) is valid. The nearby distractor 19 would give the pair 19 and 21, whose squared sum is 802, not 650. Exam tip: Always verify the selected number with the next odd number in the original condition.
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x-2+(x+1)2=365), जिससे (x=13) मिलता है। लगातार पूर्णांकों को (x) और (x+1) लिखें। / If the smaller integer is (x), then (x-2+(x+1)2=365), giving (x=13). Write consecutive integers as (x) and (x+1).
मान लें कि छोटी भुजा की लंबाई \(x\) इकाई है। तब दूसरी भुजा \(x+14\) इकाई होगी। पाइथागोरस प्रमेय से \(x^2+(x+14)^2=34^2\), अर्थात \(x^2+14x-480=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-16)(x+30)=0\) है, इसलिए \(x=16\) या \(x=-30\)। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः छोटी भुजा 16 इकाई है। ध्यान रखें कि 30 इकाई वाला मान दूसरी, बड़ी भुजा है। / Let the shorter leg be \(x\) units. Then the longer leg is \(x+14\) units. By the Pythagorean theorem, \(x^2+(x+14)^2=34^2\), which simplifies to \(x^2+14x-480=0\). Factoring gives \((x-16)(x+30)=0\), so \(x=16\) or \(x=-30\). Since a length cannot be negative, the shorter leg is 16 units. Remember that 30 units is the longer leg, not the shorter one.
मूल गति को \(x\) किलोमीटर प्रति घंटा मानें। तब मूल समय \(\frac{180}{x}\) घंटे और बढ़ी हुई गति \(x+15\) पर समय \(\frac{180}{x+15}\) घंटे होगा। शर्त के अनुसार, \(\frac{180}{x}-\frac{180}{x+15}=1\)। सरल करने पर \(x^2+15x-2700=0\), अर्थात \((x-45)(x+60)=0\)। इसलिए \(x=45\) या \(x=-60\), लेकिन गति ऋणात्मक नहीं हो सकती। अतः सही उत्तर 45 किलोमीटर प्रति घंटा है। परीक्षा-युक्ति: दूरी-गति-समय के प्रश्नों में \(\text{समय}=\frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}\) लिखकर समीकरण बनाइए और ऋणात्मक मूल को अस्वीकार कीजिए। / Let the original speed be \(x\) kilometres per hour. The original travel time is \(\frac{180}{x}\) hours, while the time at the increased speed \(x+15\) is \(\frac{180}{x+15}\) hours. Hence, \(\frac{180}{x}-\frac{180}{x+15}=1\). On simplifying, \(x^2+15x-2700=0\), or \((x-45)(x+60)=0\). Thus, \(x=45\) or \(x=-60\); since speed cannot be negative, the original speed was 45 kilometres per hour. Exam tip: In distance–speed–time problems, use \(\text{time}=\frac{\text{distance}}{\text{speed}}\) before forming the quadratic equation.
यदि व्यक्तियों की संख्या (n) है, तो हाथ मिलाने की संख्या (\frac{n(n-1)}{2}=45)। इससे (n=10) मिलता है। / If the number of persons is (n), then the number of handshakes is (\frac{n(n-1)}{2}=45). This gives (n=10).
दिए गए संबंध से \(x(20-x)=96\)। इसे व्यवस्थित करने पर \(20x-x^2=96\), अर्थात \(x^2-20x+96=0\)। अब गुणनखंड करने पर \((x-8)(x-12)=0\), इसलिए \(x=8\) या \(x=12\)। अतः \(x\) का बड़ा मान 12 है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के दोनों मूल मिलने पर प्रश्न में माँगे गए बड़े या छोटे मान को ध्यान से चुनें। / From the given relation, \(x(20-x)=96\). Rearranging gives \(20x-x^2=96\), or \(x^2-20x+96=0\). Factoring, \((x-8)(x-12)=0\), so \(x=8\) or \(x=12\). Therefore, the larger value of \(x\) is 12. Exam tip: after finding both roots of a quadratic equation, select the larger or smaller one according to what the question asks.
कुल आय = प्रति वस्तु मूल्य × वस्तुओं की संख्या, इसलिए \(x(60-x)=875\)। इसे सरल करने पर \(x^2-60x+875=0\), अर्थात \((x-25)(x-35)=0\)। अतः \(x=25\) या \(x=35\), और छोटा मान 25 है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले आय का गुणनफल समीकरण बनाएँ और फिर दोनों मूलों में से माँगा गया मान चुनें। / Total revenue equals price per item multiplied by the number of items, so \(x(60-x)=875\). Rearranging gives \(x^2-60x+875=0\), or \((x-25)(x-35)=0\). Thus, \(x=25\) or \(x=35\), and the smaller value is 25. Exam tip: In such problems, first form the revenue equation and then select the required root from the two solutions.
समीकरण ((25+2x)(15+2x)=651) है। (x=3) पर \(31\times21=651\), इसलिए रास्ते की चौड़ाई (3) है। / The equation is ((25+2x)(15+2x)=651). At (x=3), \(31\times21=651\), so the path width is (3).
रास्ते की चौड़ाई (x) हो, तो ((25+2x)(15+2x)=589)। (x=3) रखने पर \(31\times21=651\), इसलिए यह विकल्प नहीं है। / Let the path width be (x), then ((25+2x)(15+2x)=589). Substituting (x=3) gives \(31\times21=651\), so this option is not valid.
रास्ते की चौड़ाई (x) हो, तो ((32-2x)(22-2x)=504)। (x=2) रखने पर \(28\times18=504\), इसलिए चौड़ाई (2) है। / Let the path width be (x), then ((32-2x)(22-2x)=504). Substituting (x=2) gives \(28\times18=504\), so the width is (2).
यदि रास्ते की चौड़ाई (x) है, तो ((28-2x)(18-2x)=352)। (x=2) रखने पर \(24\times14=336\), इसलिए सही डेटा से मिलान करें। / If the path width is (x), then ((28-2x)(18-2x)=352). Substituting (x=2) gives \(24\times14=336\), so match the data carefully.
समीकरण ((30-2x)(20-2x)=384) है। (x=3) रखने पर \(24\times14=336\) नहीं, इसलिए फिर जाँचें। / The equation is ((30-2x)(20-2x)=384). Substituting (x=3) gives \(24\times14=336\), so recheck the data.
रास्ते की चौड़ाई (x) हो, तो ((30-2x)(20-2x)=384)। (x=2) से बचा क्षेत्रफल \(26\times16=416\) नहीं, इसलिए विकल्पों को जाँचें। / Let the path width be (x), then ((30-2x)(20-2x)=384). Substitution must be checked carefully before choosing the option.
