The legs of a right triangle are (x) cm and (x+14) cm and the hypotenuse is (70) cm. What is the smaller leg?एक समकोण त्रिभुज की लम्ब भुजाएँ (x) सेमी और (x+14) सेमी हैं तथा कर्ण (70) सेमी है। छोटी लम्ब भुजा क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (42) cm(42) सेमी
The direct answer is option A, 42 cm. In a right triangle, the Pythagorean theorem says leg1^2+leg2^2=hypotenuse^2. Here, x^2+(x+14)^2=70^2. Expanding gives 2x^2+28x+196=4900, or x^2+14x-2352=0. Factoring gives (x-42)(x+56)=0. Length cannot be negative, so x=42. The other leg is 56, and 42^2+56^2=70^2, confirming the result. Option A is correct. Option B, 44, gives the other leg 58 and does not satisfy the theorem. Option C, 46, gives 60, whose squares do not total 70^2. Option D, 48, gives 62 and also fails. The hypotenuse must be the longest side, so it is correctly used as 70. Exam cue: write the square of each leg, add them, and equate the result to the square of the hypotenuse; reject any negative algebraic root.सीधा उत्तर विकल्प A, 42 सेमी है। समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, पहली लम्ब भुजा का वर्ग plus दूसरी लम्ब भुजा का वर्ग = कर्ण का वर्ग। इसलिए x^2+(x+14)^2=70^2। फैलाने पर 2x^2+28x+196=4900, अर्थात x^2+14x-2352=0 मिलता है। गुणनखंड करने पर (x-42)(x+56)=0 मिलता है। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए x=42। दूसरी भुजा 56 होगी और जाँचने पर 42^2+56^2=70^2 मिलता है। विकल्प A सही है। विकल्प B, 44 लेने पर दूसरी भुजा 58 होगी और प्रमेय पूरा नहीं होगा। विकल्प C, 46 लेने पर दूसरी भुजा 60 होगी, लेकिन वर्गों का योग 70^2 नहीं होगा। विकल्प D, 48 लेने पर दूसरी भुजा 62 होगी और वह भी गलत है। कर्ण सबसे बड़ी भुजा होता है, इसलिए 70 को कर्ण के रूप में लेना उचित है। परीक्षा संकेत: दोनों लम्ब भुजाओं के वर्ग जोड़कर कर्ण के वर्ग के बराबर करें और ऋणात्मक root को लंबाई के कारण छोड़ दें।
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