यदि \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}-{0}\) तथा (f(x)=\frac{1}{x}) हो तो फलन के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}-{0}\) and (f(x)=\frac{1}{x}), what is the correct conclusion about the function?
#functions
#inverse
#self-inverse
#reciprocal
A यह स्वयं का व्युत्क्रम है / It is its own inverse
B यह फलन नहीं है / It is not a function
C यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
D यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
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Correct Answer
A. यह स्वयं का व्युत्क्रम है / It is its own inverse
Step 1
Concept
\(x\neq0\) होने पर \(\frac{1}{x}\) भी शून्य नहीं होता इसलिए फलन ठीक से परिभाषित है। / If \(x\neq0\), then \(\frac{1}{x}\neq0\), so the function is well-defined.
Step 2
Why this answer is correct
(f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x) मिलता है। / (f(f(x))=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x).
Step 3
Exam Tip
जब \(f\circ f\) सर्वसमिका हो तो फलन स्वयं का व्युत्क्रम होता है। / When \(f\circ f\) is the identity, the function is its own inverse.
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यदि \(f:[2,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=\sqrt{x-2}) हो तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If \(f:[2,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x-2}), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse
#square-root
#domain
A \(x^2+2\)
B \(x^2-2\)
C \(\sqrt{x+2}\)
D \(\frac{1}{x^2+2}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(x^2+2\)
Step 1
Concept
\(y=\sqrt{x-2}\) लिखें। / Write \(y=\sqrt{x-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ओर वर्ग करने पर \(y^2=x-2\) इसलिए \(x=y^2+2\)। / Squaring both sides gives \(y^2=x-2\), so \(x=y^2+2\).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम लिखते समय नए प्रांत और परास भी बदल जाते हैं। / When writing the inverse, the domain and range are interchanged.
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यदि \(f:A\to B\) द्वैकीय है तो \(f^{-1}\circ f\) किसके बराबर होगा?
If \(f:A\to B\) is bijective, what is \(f^{-1}\circ f\) equal to?
#functions
#inverse
#identity
#composition
A \(I_A\)
B \(I_B\)
C (f)
D \(f^{-1}\)
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Correct Answer
A. \(I_A\)
Step 1
Concept
पहले (f) किसी (A) के तत्व को (B) में भेजता है। / First, (f) sends an element of (A) to (B).
Step 2
Why this answer is correct
फिर \(f^{-1}\) उसे वापस उसी मूल तत्व पर ले आता है। / Then \(f^{-1}\) brings it back to the original element.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(f^{-1}\circ f\) प्रांत (A) पर सर्वसमिका फलन है। / Therefore \(f^{-1}\circ f\) is the identity function on (A).
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किसी फलन का व्युत्क्रम फलन होने के लिए कौन सी शर्त आवश्यक और पर्याप्त है?
Which condition is necessary and sufficient for a function to have an inverse function?
#functions
#inverse
#bijection
#theory
A फलन द्वैकीय हो / The function is bijective
B फलन केवल एकैकी हो / The function is only one-one
C फलन केवल आच्छादी हो / The function is only onto
D फलन स्थिर हो / The function is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. फलन द्वैकीय हो / The function is bijective
Step 1
Concept
व्युत्क्रम के लिए हर निर्गत से ठीक एक आगत वापस मिलना चाहिए। / For an inverse function, every output must correspond back to exactly one input.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकीपन एक से अधिक आगतों को रोकता है और आच्छादीपन हर सहप्रांत तत्व को कवर करता है। / One-one prevents multiple inputs, and onto ensures every codomain element is covered.
Step 3
Exam Tip
इसलिए व्युत्क्रम फलन के लिए द्वैकीय होना आवश्यक और पर्याप्त है। / Hence being bijective is necessary and sufficient for an inverse function.
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यदि (f(x)=\frac{3x-1}{2x+5}) हो तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If (f(x)=\frac{3x-1}{2x+5}), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse
#rational-function
A \(\frac{5x+1}{3-2x}\)
B \(\frac{3x+1}{5-2x}\)
C \(\frac{2x+5}{3x-1}\)
D \(\frac{x-5}{2x+3}\)
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Correct Answer
A. \(\frac{5x+1}{3-2x}\)
Step 1
Concept
\(y=\frac{3x-1}{2x+5}\) लिखें। / Write \(y=\frac{3x-1}{2x+5}\).
Step 2
Why this answer is correct
(2xy+5y=3x-1) से (x(3-2y)=5y+1) मिलता है। / From (2xy+5y=3x-1), we get (x(3-2y)=5y+1).
Step 3
Exam Tip
अतः \(x=\frac{5y+1}{3-2y}\) और (y) की जगह (x) रखने पर व्युत्क्रम मिलता है। / Thus \(x=\frac{5y+1}{3-2y}\), and replacing (y) by (x) gives the inverse.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=x-2 ) हो तो फलन कैसा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=x-2 ), what type of function is it?
#functions
#square-function
#bijective
#inverse
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
Step 1
Concept
\(x\geq0\) पर \(x^2\) बढ़ता है इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। / On \(x\geq0\), \(x^2\) is increasing, so different inputs give different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का हर \(y\geq0\) मान \(x=\sqrt{y}\) से मिल जाता है। / Every \(y\geq0\) is obtained by \(x=\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
प्रांत को \([0,\infty\)) करने से वर्ग फलन व्युत्क्रमणीय बन जाता है। / Restricting the domain to \([0,\infty\)) makes the square function invertible.
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यदि (f(x)=3x+4) हो तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If (f(x)=3x+4), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse
#linear-function
A \(\frac{x-4}{3}\)
B \(\frac{x+4}{3}\)
C (3x-4)
D (4x+3)
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Correct Answer
A. \(\frac{x-4}{3}\)
Step 1
Concept
(y=3x+4) लिखकर (x) को (y) के रूप में निकालें। / Write (y=3x+4) and solve for (x) in terms of (y).
Step 2
Why this answer is correct
(y-4=3x) इसलिए \(x=\frac{y-4}{3}\)। / (y-4=3x), so \(x=\frac{y-4}{3}\).
Step 3
Exam Tip
अंत में (y) की जगह (x) लिखने से (f^{-1}(x)=\frac{x-4}{3}) मिलता है। / Replace (y) by (x) to get (f^{-1}(x)=\frac{x-4}{3}).
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यदि (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), तो \(x\ne1\) के लिए (f^{-1}(x)) क्या है?
If (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), then for \(x\ne1\), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse
#rational function
#expert
A \(\frac{x+3}{x-2}\)
B \(\frac{x-3}{x+2}\)
C \(\frac{x+2}{x-3}\)
D \(\frac{3-x}{2-x}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{x+3}{x-2}\)
Step 1
Concept
\(y=\frac{2x+3}{x-1}\) मानें। / Let \(y=\frac{2x+3}{x-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
(y(x-1)=2x+3) से (x(y-2)=y+3) मिलता है। / From (y(x-1)=2x+3), we get (x(y-2)=y+3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x=\frac{y+3}{y-2}\), अतः (f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2})। / Therefore \(x=\frac{y+3}{y-2}\), so (f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}).
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यदि (f(x)=2x+3) और (f^{-1}(k)=4), तो (k) का मान क्या है?
If (f(x)=2x+3) and (f^{-1}(k)=4), what is the value of (k)?
#functions
#inverse
#linear
#application
A (8)
B (11)
C (5)
D (4)
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Step 1
Concept
(f^{-1}(k)=4) का अर्थ है (f(4)=k)। / (f^{-1}(k)=4) means (f(4)=k).
Step 2
Why this answer is correct
(f(4)=2\cdot4+3=11)। / (f(4)=2\cdot4+3=11).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम वाले प्रश्नों में कथन को मूल फलन की भाषा में बदलें। / In inverse function questions, translate the statement into the original function.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 ), तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 ), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse
#quadratic
#domain restriction
A \(\sqrt{x}\)
B \(-\sqrt{x}\)
C \(\pm\sqrt{x}\)
D \(x^2\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{x}\)
Step 1
Concept
प्रांत \([0,\infty\)) है, इसलिए (x) ऋणात्मक नहीं हो सकता। / The domain is \([0,\infty\)), so (x) cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(y=x^2\) से \(x=\sqrt{y}\) मिलेगा। / From \(y=x^2\), we get \(x=\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
यहाँ \(-\sqrt{y}\) नहीं लिया जाएगा क्योंकि प्रांत में ऋणात्मक संख्या नहीं है। / \(-\sqrt{y}\) is not allowed because the domain has no negative numbers.
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फलन (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x) के बारे में सही कथन कौन सा है?
Which statement is correct for (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x)?
#functions
#logarithm
#bijection
#inverse
A यह द्वैक है / It is bijective
B यह केवल एकैकी है / It is only one-one
C यह केवल आच्छादक है / It is only onto
D यह न एकैकी है न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. यह द्वैक है / It is bijective
Step 1
Concept
\(\ln x\) अपने प्रांत (\(0,\infty\)) पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। / \(\ln x\) is strictly increasing on (\(0,\infty\)), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=e^y>0\) मिलता है, इसलिए यह आच्छादक है। / For every real (y), \(x=e^y>0\), so it is onto.
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन घातीय फलन का प्रतिलोम होता है। / The logarithmic function is the inverse of the exponential function.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) को (f(x)=\ln x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) is defined by (f(x)=\ln x), what type of function is (f)?
#logarithmic function
#bijection
#inverse
A द्विआधारी / Bijective
B एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. द्विआधारी / Bijective
Step 1
Concept
\(\ln x\) (\(0,\infty\)) पर सख्ती से बढ़ता है। / \(\ln x\) is strictly increasing on (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=e^y>0\) लेने पर \(\ln x=y\) मिलता है। / For every real (y), choosing \(x=e^y>0\) gives \(\ln x=y\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह (\(0,\infty\)) से \(\mathbb{R}\) पर द्विआधारी है। / Hence it is bijective from (\(0,\infty\)) to \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{-3}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) को (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{-3}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) is given by (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}), which statement about (f) is correct?
#bijection
#rational function
#inverse
A यह द्विआधारी है / It is bijective
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
D यह स्थिर है / It is constant
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Correct Answer
A. यह द्विआधारी है / It is bijective
Step 1
Concept
\(y=\frac{2x-1}{x+3}\) से \(x=\frac{1+3y}{2-y}\) मिलता है। / From \(y=\frac{2x-1}{x+3}\), we get \(x=\frac{1+3y}{2-y}\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\neq2\) के लिए एक अद्वितीय (x) मिलता है और \(x\neq-3\) रहता है। / For every \(y\neq2\), there is a unique (x), and \(x\neq-3\).
Step 3
Exam Tip
जब हर मान का ठीक एक पूर्वप्रतिबिंब हो, फलन द्विआधारी होता है। / A function with exactly one preimage for every codomain value is bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) को (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}) से परिभाषित किया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) is defined by (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse
#rational-function
#hard
A \(\frac{x+3}{x-2}\)
B \(\frac{x-3}{x+2}\)
C \(\frac{2x+3}{x-1}\)
D \(\frac{x+2}{x-3}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{x+3}{x-2}\)
Step 1
Concept
\(y=\frac{2x+3}{x-1}\) मानें। / Let \(y=\frac{2x+3}{x-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
(yx-y=2x+3), इसलिए (x(y-2)=y+3) और \(x=\frac{y+3}{y-2}\)। / Then (yx-y=2x+3), so (x(y-2)=y+3) and \(x=\frac{y+3}{y-2}\).
Step 3
Exam Tip
अब (y) की जगह (x) लिखने पर (f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}) मिलता है। / Replacing (y) by (x), we get (f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}).
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यदि (f(x)=3x-1) और (g(x)=\frac{x+1}{3}), तो \(g\circ f\) कैसा फलन है?
If (f(x)=3x-1) and (g(x)=\frac{x+1}{3}), what kind of function is \(g\circ f\)?
#identity-function
#composition
#inverse
A शून्य फलन / Zero function
B स्थिर फलन / Constant function
C तत्समक फलन / Identity function
D वर्ग फलन / Square function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. तत्समक फलन / Identity function
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(x)=g(3x-1))। / (\(g\circ f\)(x)=g(3x-1)).
Step 2
Why this answer is correct
(g(3x-1)=\frac{3x-1+1}{3}=x)। / (g(3x-1)=\frac{3x-1+1}{3}=x).
Step 3
Exam Tip
जिसका मान हर (x) पर (x) ही हो, वह तत्समक फलन होता है। / A function that gives (x) for every (x) is the identity function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 ) से परिभाषित किया गया है, तो \(f^{-1}\) सामान्य फलन के रूप में क्यों मौजूद नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-2 ), why does \(f^{-1}\) not exist as an ordinary function?
#functions
#inverse
#one-one
#quadratic
A क्योंकि (f) एकैकी नहीं है / Because (f) is not one-one
B क्योंकि (f) हर जगह परिभाषित नहीं है / Because (f) is not defined everywhere
C क्योंकि (f) का मान हमेशा शून्य है / Because (f) is always zero
D क्योंकि (f) आच्छादी है / Because (f) is onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (f) एकैकी नहीं है / Because (f) is not one-one
Step 1
Concept
(f(2)=4) और (f(-2)=4), इसलिए दो अलग निवेशों का समान प्रतिबिंब है। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), so two different inputs have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
व्युत्क्रम में (4) से (2) और (-2) दोनों मिलेंगे, जिससे एक निर्गत की शर्त टूटेगी। / In the inverse, (4) would point to both (2) and (-2), violating the function rule.
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन के लिए मूल फलन का एकैकी होना जरूरी है। / For an inverse function to exist, the original function must be one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x+3) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (g(x)=\frac{x-3}{2}) से परिभाषित किया गया है, तो सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=2x+3) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) by (g(x)=\frac{x-3}{2}), which statement is correct?
#functions
#inverse
#composition
#linear
A \(g=f^{-1}\)
B (g=f)
C \(f\circ g\) स्थिर है / \(f\circ g\) is constant
D \(g\circ f\) परिभाषित नहीं है / \(g\circ f\) is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(g=f^{-1}\)
Step 1
Concept
(g(f(x))=g(2x+3)=\frac{2x+3-3}{2}=x)। / (g(f(x))=g(2x+3)=\frac{2x+3-3}{2}=x).
Step 2
Why this answer is correct
(f(g(x))=2\cdot\frac{x-3}{2}+3=x)। / (f(g(x))=2\cdot\frac{x-3}{2}+3=x).
Step 3
Exam Tip
दोनों संयोजन पहचान फलन दें, तो दोनों फलन परस्पर व्युत्क्रम होते हैं। / If both compositions give the identity function, the two functions are inverses.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\) को (f(x)=\frac{1}{x}) से परिभाषित किया गया है, तो \(f\circ f\) क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\) is defined by (f(x)=\frac{1}{x}), what is \(f\circ f\)?
#functions
#composition
#inverse
#identity
A पहचान फलन / Identity function
B स्थिर फलन / Constant function
C वर्ग फलन / Square function
D शून्य फलन / Zero function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. पहचान फलन / Identity function
Step 1
Concept
(\(f\circ f\)(x)=f(f(x)))। / (\(f\circ f\)(x)=f(f(x))).
Step 2
Why this answer is correct
(f\left\(\frac{1}{x}\right\)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x)। / (f\left\(\frac{1}{x}\right\)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x).
Step 3
Exam Tip
जब किसी फलन को दो बार लगाने पर वही निवेश मिल जाए, तो वह अपना ही व्युत्क्रम होता है। / If applying a function twice gives the original input, the function is its own inverse.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) को (f(x)=\ln x) से परिभाषित किया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) is defined by (f(x)=\ln x), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#logarithm
#inverse
#exponential
A \(e^x\)
B \(\ln x\)
C \(x^2\)
D \(\frac{1}{x}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(e^x\)
Step 1
Concept
\(y=\ln x\) मानें। / Let \(y=\ln x\).
Step 2
Why this answer is correct
लघुगणक की परिभाषा से \(x=e^y\), इसलिए (f^{-1}(x)=e^x)। / By the definition of logarithm, \(x=e^y\), so (f^{-1}(x)=e^x).
Step 3
Exam Tip
\(\ln x\) और \(e^x\) परस्पर व्युत्क्रम फलन हैं। / \(\ln x\) and \(e^x\) are inverse functions of each other.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{3}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) को (f(x)=\frac{2x+1}{x-3}) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{3}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) is defined by (f(x)=\frac{2x+1}{x-3}), which statement about (f) is correct?
#functions
#rational-function
#bijective
#inverse
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B एकैकी लेकिन आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न तो एकैकी और न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
Step 1
Concept
\(y=\frac{2x+1}{x-3}\) से (yx-3y=2x+1) मिलेगा। / From \(y=\frac{2x+1}{x-3}\), we get (yx-3y=2x+1).
Step 2
Why this answer is correct
(x(y-2)=3y+1), अतः \(x=\frac{3y+1}{y-2}\), जो \(y\neq2\) पर परिभाषित है। / Thus (x(y-2)=3y+1), so \(x=\frac{3y+1}{y-2}\), defined for \(y\neq2\).
Step 3
Exam Tip
जब हर अनुमत (y) के लिए एक अद्वितीय (x) मिले, तो फलन एकैकी और आच्छादी होता है। / If each allowed (y) gives a unique (x), the function is bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-3 ) से परिभाषित किया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-3 ), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse
#cubic
A \(\sqrt[3]{x}\)
B \(x^2\)
C (3x)
D \(x^3\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt[3]{x}\)
Step 1
Concept
\(y=x^3\) मानें। / Let \(y=x^3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\sqrt[3]{y}\), इसलिए चर बदलने पर (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x})। / Then \(x=\sqrt[3]{y}\), so after interchanging variables (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}).
Step 3
Exam Tip
घन फलन \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर एकैकी और आच्छादी होता है, इसलिए उसका व्युत्क्रम होता है। / The cube function is bijective on \(\mathbb{R}\), so its inverse exists.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x-2}{3}) से परिभाषित किया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=\frac{x-2}{3}), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse
#linear
A (3x+2)
B (3x-2)
C \(\frac{x+2}{3}\)
D \(\frac{x-3}{2}\)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(y=\frac{x-2}{3}\) मान लें। / Let \(y=\frac{x-2}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
(3y=x-2), अतः (x=3y+2)। अब (y) की जगह (x) लिखने पर (f^{-1}(x)=3x+2) मिलेगा। / Then (3y=x-2), so (x=3y+2). Replacing (y) by (x), we get (f^{-1}(x)=3x+2).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम निकालते समय (x) को अकेला करें और अंत में चर बदलें। / To find an inverse, isolate (x) first and then interchange the variables.
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यदि \(f:A\to B\) उभयैक है, तो (f) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If \(f:A\to B\) is bijective, which statement is correct about (f)?
#bijective function
#one one
#onto
#inverse
A यह एक-एकी और आच्छादक दोनों है / It is both one-one and onto
B यह केवल स्थिर है / It is only constant
C यह केवल बहु-एकी है / It is only many-one
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह एक-एकी और आच्छादक दोनों है / It is both one-one and onto
Step 1
Concept
उभयैक फलन का अर्थ दो गुणों का साथ होना है। / A bijective function means two properties hold together.
Step 2
Why this answer is correct
वह एक-एकी भी होता है और आच्छादक भी। / It is both one-one and onto.
Step 3
Exam Tip
ऐसे फलन का प्रतिलोम सामान्यतः अच्छी तरह परिभाषित होता है। / Such a function generally has a well-defined inverse.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) है। \(R\cup R^{-1}\) क्या होगा?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,3)\}\). What is \(R\cup R^{-1}\)?
#symmetric closure
#inverse
#ordered pairs
#class 12
A ({(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)})
B ({(1,2),(2,3)})
C ({(2,1),(3,2)})
D ({(1,1),(2,2),(3,3)})
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Correct Answer
A. ({(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)})
Step 1
Concept
\(R^{-1}\) में ((1,2)) से ((2,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) मिलता है। / \(R^{-1}\) contains ((2,1)) from ((1,2)) and ((3,2)) from ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
संघ में मूल और उल्टे दोनों युग्म रखे जाते हैं। / The union keeps both original and reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
यही (R) का सममित आवरण है। / This is the symmetric closure of (R).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) है। \(R^{-1}\) क्या परावर्ती होगा?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\). Will \(R^{-1}\) be reflexive?
#relations
#functions
#inverse
#reflexive
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल तब जब ((2,1)) न हो / Only if ((2,1)) is absent
D निर्णय नहीं हो सकता / Cannot be decided
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
(R) में सभी अपने-आप वाले युग्म हैं, इसलिए (R) परावर्ती है। / (R) has all self-pairs, so (R) is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
उल्टा लेने पर ((1,1),(2,2),(3,3)) वैसे ही रहते हैं। / On taking inverse, ((1,1),(2,2),(3,3)) remain unchanged.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R^{-1}\) भी परावर्ती रहेगा। / Therefore, \(R^{-1}\) is also reflexive.
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यदि \(R\subseteq S\), तो प्रतिलोम संबंधों के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(R\subseteq S\), which statement about inverse relations is correct?
#relations
#inverse
#subset
#proof
A \(R^{-1}\subseteq S^{-1}\)
B \(S^{-1}\subseteq R^{-1}\)
C \(R^{-1}=S\)
D \(S^{-1}=\varnothing\)
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Correct Answer
A. \(R^{-1}\subseteq S^{-1}\)
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R^{-1}\), तो \((b,a)\in R\)। / If \((a,b)\in R^{-1}\), then \((b,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
\(R\subseteq S\) होने से \((b,a)\in S\) भी होगा। / Since \(R\subseteq S\), \((b,a)\in S\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \((a,b)\in S^{-1}\), अतः \(R^{-1}\subseteq S^{-1}\)। / Therefore \((a,b)\in S^{-1}\), so \(R^{-1}\subseteq S^{-1}\).
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यदि (R) और (S) संबंध हैं, तो (\(R\cap S\)^{-1}) किसके बराबर होता है?
If (R) and (S) are relations, what is (\(R\cap S\)^{-1}) equal to?
#relations
#inverse
#intersection
#sets
A \(R^{-1}\cup S^{-1}\)
B \(R^{-1}\cap S^{-1}\)
C \(R\cap S^{-1}\)
D \(R^{-1}-S\)
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Correct Answer
B. \(R^{-1}\cap S^{-1}\)
Step 1
Concept
प्रतिच्छेद में युग्म तभी होगा जब वह (R) और (S) दोनों में हो। / A pair is in the intersection only when it belongs to both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
उसका उल्टा तब \(R^{-1}\) और \(S^{-1}\) दोनों में होगा। / Its reverse then belongs to both \(R^{-1}\) and \(S^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (\(R\cap S\)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1}) है। / Therefore (\(R\cap S\)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1}).
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यदि (R) और (S) संबंध हैं, तो (\(R\cup S\)^{-1}) किसके बराबर होता है?
If (R) and (S) are relations, what is (\(R\cup S\)^{-1}) equal to?
#relations
#inverse
#union
#sets
A \(R^{-1}\cup S^{-1}\)
B \(R^{-1}\cap S^{-1}\)
C \(R\cup S^{-1}\)
D \(R^{-1}-S^{-1}\)
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Correct Answer
A. \(R^{-1}\cup S^{-1}\)
Step 1
Concept
संघ में जो युग्म (R) या (S) में होता है, उसका उल्टा प्रतिलोम में आएगा। / A pair in the union comes from (R) or from (S).
Step 2
Why this answer is correct
यदि युग्म (R) से आया है तो उल्टा \(R^{-1}\) में होगा, और यदि (S) से आया है तो \(S^{-1}\) में होगा। / Its reverse will then lie in \(R^{-1}\) or in \(S^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिलोम \(R^{-1}\cup S^{-1}\) है। / Hence (\(R\cup S\)^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}).
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यदि (R) सममित संबंध है, तो \(R\circ R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If (R) is a symmetric relation, which statement about \(R\circ R^{-1}\) is correct?
#relations
#composition
#inverse
#symmetric
A यह \(R\circ R\) के बराबर होगा / it will be equal to \(R\circ R\)
B यह हमेशा रिक्त होगा / it will always be empty
C यह हमेशा पहचान संबंध होगा / it will always be the identity relation
D यह कभी सममित नहीं होगा / it will never be symmetric
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Correct Answer
A. यह \(R\circ R\) के बराबर होगा / it will be equal to \(R\circ R\)
Step 1
Concept
सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। / For a symmetric relation, \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(R\circ R^{-1}\) में \(R^{-1}\) की जगह (R) रख सकते हैं। / So in \(R\circ R^{-1}\), we may replace \(R^{-1}\) by (R).
Step 3
Exam Tip
अतः \(R\circ R^{-1}=R\circ R\)। / Hence \(R\circ R^{-1}=R\circ R\).
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किसी संबंध (R) के लिए \(R\cup R^{-1}\) हमेशा कौन सा गुण रखता है?
For any relation (R), which property does \(R\cup R^{-1}\) always have?
#relations
#inverse
#union
#symmetric
A प्रतिवर्तिता / reflexivity
B सममितता / symmetry
C संक्रामकता / transitivity
D प्रतिसममितता / antisymmetry
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Correct Answer
B. सममितता / symmetry
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), तो यह (R) या \(R^{-1}\) में है। / If \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), it lies in (R) or in \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ही स्थितियों में उल्टा युग्म ((b,a)) दूसरे या उसी भाग से संघ में आ जाएगा। / In either case, the reverse pair ((b,a)) lies in the other or same part of the union.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cup R^{-1}\) हमेशा सममित होता है। / Therefore \(R\cup R^{-1}\) is always symmetric.
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