यदि \(2^7\times3^2\times5\) और \(2^5\times3^4\times5^3\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
LCM takes the higher power of (5), and HCF takes the lower power.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (5) are (1) and (3), so (L) has power (3) and (H) has power (1).
Step 3
Exam Tip
Do not interchange the two rules. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (5) की बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आएगी। चरण 2: (5) की घातें (1) और (3) हैं, इसलिए (L) में (3) और (H) में (1) होगी। चरण 3: दोनों नियमों को उल्टा न करें।
(2), (3), and (7) are common, but (5) appears only in the second number.
Step 3
Exam Tip
First identify common primes, then choose their smaller powers. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल वही अभाज्य आते हैं जो दोनों संख्याओं में हों। चरण 2: (2), (3) और (7) दोनों में हैं, पर (5) केवल दूसरी संख्या में है। चरण 3: पहले समान अभाज्य पहचानें, फिर उनकी छोटी घात चुनें।
HCF includes only primes common to all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (3) are common, but (5) is not in the third number; the smallest powers are \(2^2\) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
Do not include a prime that is not present in every number. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में वही अभाज्य आएँगे जो तीनों में समान हों। चरण 2: (2) और (3) तीनों में हैं, पर (5) तीसरी संख्या में नहीं है; छोटी घातें \(2^2\) और \(3^2\) हैं। चरण 3: जो अभाज्य सभी संख्याओं में न हो, उसे महत्तम समापवर्तक में न लें।
The maximum number of equal parts is found using HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(96=2^5\times3\), \(144=2^4\times3^2\), and \(192=2^6\times3\), so HCF \(=2^4\times3=48\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal division, use HCF. चरण 1: बराबर अधिकतम भागों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(96=2^5\times3\), \(144=2^4\times3^2\), \(192=2^6\times3\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^4\times3=48\) है। चरण 3: समान अधिकतम भागों में बाँटने के लिए महत्तम समापवर्तक लें।
When one number exactly divides the other, the smaller number is the HCF.
Step 3
Exam Tip
First check whether one number is a multiple of the other. चरण 1: \(q=p\times7\) है, इसलिए (p), (q) का पूर्ण भाजक है। चरण 2: जब एक संख्या दूसरी संख्या को पूर्ण भाग देती है, तो छोटी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। चरण 3: पहले यह देखें कि कोई संख्या दूसरी का गुणज है या नहीं।
\(80=2^4\times5\) and \(128=2^7\), so HCF \(=2^4=16\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal cutting, use HCF. चरण 1: समान अधिकतम लंबाई के लिए महत्तम समापवर्तक चाहिए। चरण 2: \(80=2^4\times5\) और \(128=2^7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^4=16\) है। चरण 3: काटने के अधिकतम समान प्रश्न में महत्तम समापवर्तक निकालें।
B. इनका महत्तम समापवर्तक (44) है/Their HCF is (44)
Step 1
Concept
\(132=2^2\times3\times11\) and \(308=2^2\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
The common smaller powers are \(2^2\) and (11), so HCF (=44).
Step 3
Exam Tip
Compare prime factors before choosing the statement. चरण 1: \(132=2^2\times3\times11\) और \(308=2^2\times7\times11\) है। चरण 2: समान छोटी घातें \(2^2\) और (11) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (44) है। चरण 3: कथन चुनने से पहले अभाज्य गुणनखंडों की तुलना करें।
LCM \(=2^4\times3\times11=528\), so the sum is (88+528=616).
Step 3
Exam Tip
When sum is asked, find both values separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^3\times11=88\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3\times11=528\) है, इसलिए योग (88+528=616) है। चरण 3: योग पूछे जाने पर दोनों मान अलग-अलग निकालें।
एक पुस्तकालय में (168) गणित की पुस्तकें और (252) विज्ञान की पुस्तकें हैं। इन्हें अधिकतम समान डिब्बों में रखना है ताकि हर डिब्बे में दोनों प्रकार की पुस्तकों की संख्या समान रहे। अधिकतम कितने डिब्बे बनेंगे?
The maximum number of identical boxes is found using HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(168=2^3\times3\times7\) and \(252=2^2\times3^2\times7\), so HCF \(=2^2\times3\times7=84\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal distribution, use HCF. चरण 1: अधिकतम समान डिब्बों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(168=2^3\times3\times7\) और \(252=2^2\times3^2\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\times7=84\) है। चरण 3: अधिकतम समान बाँटने में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें।
The smaller power of (2) must be (5), so (a=5) is possible; the smaller power of (3) must be (3), so (b=3) is possible.
Step 3
Exam Tip
Check unknown powers separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (2) की छोटी घात (5) चाहिए, इसलिए (a=5) संभव है; (3) की छोटी घात (3) चाहिए, इसलिए (b=3) संभव है। चरण 3: अज्ञात घातों को अलग-अलग जाँचें।
HCF is \(2^2\times3^2\times13\), and LCM is \(2^4\times3^5\times5\times13\).
Step 2
Why this answer is correct
On division, subtract the powers of the same bases, giving \(2^2\times3^3\times5\).
Step 3
Exam Tip
In prime-power division, subtract exponents. चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3^2\times13\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^5\times5\times13\) है। चरण 2: भाग देने पर समान आधारों की घातें घटती हैं, इसलिए अनुपात \(2^2\times3^3\times5\) है। चरण 3: अभाज्य घातों में भाग करते समय घातों का घटाव करें।
\(225=3^2\times5^2\), \(375=3\times5^3\), and \(525=3\times5^2\times7\), so HCF \(=3\times5^2=75\).
Step 3
Exam Tip
Use only the smallest powers common to all numbers. चरण 1: सबसे बड़ी समान भाजक संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। चरण 2: \(225=3^2\times5^2\), \(375=3\times5^3\), \(525=3\times5^2\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(3\times5^2=75\) है। चरण 3: सभी संख्याओं में मौजूद छोटी घातें ही लें।
The common primes are (2) and (3), with smaller powers \(2^5\) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
For HCF, always take the smaller powers. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड आते हैं। चरण 2: समान अभाज्य (2) और (3) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^5\) और \(3^2\) हैं। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में केवल छोटी घातें लेना सबसे सुरक्षित तरीका है।
The smaller powers of (2), (3), and (7) are (3), (1), and (1), so HCF \(=2^3\times3\times7\).
Step 3
Exam Tip
Match each smaller power with the correct base. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात ली जाती है। चरण 2: (2), (3), (7) की छोटी घातें क्रमशः (3), (1), (1) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3\times7\) है। चरण 3: छोटी घातों को आधार के साथ सही मिलाएँ।
यदि \(2^6\times3^2\times5\) और \(2^4\times3^5\times5^2\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (2) की घात और (H) में (2) की घात क्रमशः क्या होंगी?
LCM takes the higher power of (2), and HCF takes the lower power.
Step 2
Why this answer is correct
The powers are (6) and (4), so (L) has power (6) and (H) has power (4).
Step 3
Exam Tip
Do not interchange the power rules of LCM and HCF. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (2) की बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आएगी। चरण 2: (2) की घातें (6) और (4) हैं, इसलिए (L) में (6) और (H) में (4) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक की घातों को उल्टा न करें।
(2), (5), and (7) are common, but (3) appears only in the second number.
Step 3
Exam Tip
Identify common primes before choosing powers. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल वही अभाज्य आते हैं जो दोनों संख्याओं में हों। चरण 2: (2), (5) और (7) दोनों में हैं, पर (3) केवल दूसरी संख्या में है। चरण 3: समान अभाज्य पहचानना घातें चुनने से पहले जरूरी है।
HCF includes only primes common to all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (3) are common, but (5) is not present in the third number; the smallest powers are \(2^2\) and (3).
Step 3
Exam Tip
Do not include a prime that is not in every number. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में वही अभाज्य आते हैं जो तीनों में समान हों। चरण 2: (2) और (3) तीनों में हैं, पर (5) तीसरी संख्या में नहीं है; छोटी घातें \(2^2\) और (3) हैं। चरण 3: जो अभाज्य सभी संख्याओं में न हो, उसे महत्तम समापवर्तक में न लें।
The maximum number of equal parts is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(96=2^5\times3\), \(128=2^7\), and \(160=2^5\times5\), so HCF \(=2^5=32\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal division, use HCF. चरण 1: बराबर अधिकतम भागों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(96=2^5\times3\), \(128=2^7\), \(160=2^5\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^5=32\) है। चरण 3: समान अधिकतम भागों में बाँटने पर महत्तम समापवर्तक निकालें।
When one number exactly divides the other, the smaller number is the HCF.
Step 3
Exam Tip
First identify divisibility between the two numbers. चरण 1: (p), (q) का पूर्ण भाजक है क्योंकि \(q=p\times5\) है। चरण 2: जब एक संख्या दूसरी को पूर्ण भाग देती है, तो छोटी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले भाजक संबंध पहचानें।
\(63=3^2\times7\), \(105=3\times5\times7\), and \(147=3\times7^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The common smaller powers are (3) and (7), so HCF (=21).
Step 3
Exam Tip
For three numbers, include only primes common to all. चरण 1: \(63=3^2\times7\), \(105=3\times5\times7\), \(147=3\times7^2\) है। चरण 2: समान छोटी घातें (3) और (7) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (21) है। चरण 3: तीन संख्याओं में जो अभाज्य सभी में हो, वही लें।
\(54=2\times3^3\), \(90=2\times3^2\times5\), and \(126=2\times3^2\times7\), so HCF \(=2\times3^2=18\).
Step 3
Exam Tip
Take the smallest powers common to all numbers. चरण 1: समान अधिकतम भाजक महत्तम समापवर्तक होता है। चरण 2: \(54=2\times3^3\), \(90=2\times3^2\times5\), \(126=2\times3^2\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3^2=18\) है। चरण 3: सभी संख्याओं में मौजूद छोटी घातें लें।
The powers of (3) are (3) and (1), so the smaller power is (1).
Step 3
Exam Tip
A power of (1) matters even when it is not usually written. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (3) की घातें (3) और (1) हैं, इसलिए छोटी घात (1) होगी। चरण 3: घात (1) भी महत्त्वपूर्ण होती है, भले ही अक्सर लिखी नहीं जाती।
\(72=2^3\times3^2\) and \(120=2^3\times3\times5\), so HCF \(=2^3\times3=24\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal cutting, use HCF. चरण 1: बराबर अधिकतम लंबाई के लिए महत्तम समापवर्तक चाहिए। चरण 2: \(72=2^3\times3^2\) और \(120=2^3\times3\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3=24\) है। चरण 3: काटने के अधिकतम समान प्रश्न में महत्तम समापवर्तक निकालें।
B. इनका महत्तम समापवर्तक (56) है/Their HCF is (56)
Step 1
Concept
\(112=2^4\times7\) and \(168=2^3\times3\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
The common smaller powers are \(2^3\) and (7), so HCF (=56).
Step 3
Exam Tip
Compare prime factors before choosing the statement. चरण 1: \(112=2^4\times7\) और \(168=2^3\times3\times7\) है। चरण 2: समान छोटी घातें \(2^3\) और (7) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (56) है। चरण 3: कथन चुनने से पहले अभाज्य गुणनखंडों की तुलना करें।
The common prime factors are (3) and (11), so HCF (=33).
Step 2
Why this answer is correct
LCM \(=3\times5\times7\times11=1155\), so the sum is (33+1155=1188).
Step 3
Exam Tip
When sum is asked, find both values separately. चरण 1: समान अभाज्य गुणनखंड (3) और (11) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (33) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(3\times5\times7\times11=1155\) है, इसलिए योग (33+1155=1188) है। चरण 3: योग पूछे जाने पर दोनों मान अलग-अलग निकालें।
\(96=2^5\times3\), \(144=2^4\times3^2\), and \(240=2^4\times3\times5\), so the smallest power is (4).
Step 3
Exam Tip
HCF uses the smallest power. चरण 1: पहले (2) की घातों की तुलना करें। चरण 2: \(96=2^5\times3\), \(144=2^4\times3^2\), \(240=2^4\times3\times5\), इसलिए सबसे छोटी घात (4) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है।
For (2), the smaller power must be (4), so (a=4) is possible; for (3), (b=2) is possible.
Step 3
Exam Tip
Check unknown powers separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (2) की छोटी घात (4) चाहिए, इसलिए (a=4) संभव है; (3) की छोटी घात (2) चाहिए, इसलिए (b=2) संभव है। चरण 3: अज्ञात घातों को अलग-अलग जाँचें।
किसी गोदाम में (156) चावल के थैले और (234) गेहूँ के थैले हैं। इन्हें अधिकतम समान समूहों में बाँटना है ताकि हर समूह में दोनों तरह के थैलों की संख्या समान रहे। अधिकतम कितने समूह बनेंगे?
The maximum number of identical groups is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(156=2^2\times3\times13\) and \(234=2\times3^2\times13\), so HCF \(=2\times3\times13=78\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal grouping, use HCF. चरण 1: अधिकतम समान समूहों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(156=2^2\times3\times13\) और \(234=2\times3^2\times13\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times13=78\) है। चरण 3: समान बाँटने के अधिकतम प्रश्न में महत्तम समापवर्तक लें।
HCF is \(2^3\times3^2\times7\), and LCM is \(2^5\times3^4\times5\times7^2\).
Step 2
Why this answer is correct
On division, subtract powers to get \(2^2\times3^2\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
Prime factor form is the fastest method for ratio questions. चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3^2\times7\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^4\times5\times7^2\) है। चरण 2: भाग देने पर घातें घटती हैं, इसलिए अनुपात \(2^2\times3^2\times5\times7\) है। चरण 3: अभाज्य रूप में अनुपात निकालना सबसे तेज होता है।
The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^4\), (3), and (5).
Step 3
Exam Tip
For HCF, always choose the smaller power. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^4\), (3) और (5) हैं। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में हमेशा छोटी घात चुनें।
