When one number exactly divides the other, the smaller number is the HCF.
Step 3
Exam Tip
Identifying a multiple relation saves time in such questions. चरण 1: \(q=p\times17\) है, इसलिए (p), (q) का पूर्ण भाजक है। चरण 2: जब एक संख्या दूसरी संख्या को पूर्ण भाग देती है, तो छोटी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। चरण 3: गुणज संबंध पहचानना ऐसे प्रश्नों में समय बचाता है।
The maximum number of equal parts is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(128=2^7\), \(192=2^6\times3\), and \(320=2^6\times5\), so HCF \(=2^6=64\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal division, take the smallest common power. चरण 1: समान अधिकतम भागों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(128=2^7\), \(192=2^6\times3\), \(320=2^6\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^6=64\) है। चरण 3: समान अधिकतम बाँटने में छोटी समान घात लें।
एक प्रशिक्षण शिविर में (276) विद्यार्थी और (414) अभ्यास पुस्तिकाएँ हैं। अधिकतम समान समूह बनाने हैं ताकि हर समूह में दोनों की संख्या अलग-अलग समान रहे। अधिकतम कितने समूह बनेंगे?
The maximum number of identical groups is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(276=2^2\times3\times23\) and \(414=2\times3^2\times23\), so HCF \(=2\times3\times23=138\).
Step 3
Exam Tip
Use HCF for maximum equal distribution. चरण 1: अधिकतम समान समूहों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(276=2^2\times3\times23\) और \(414=2\times3^2\times23\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times23=138\) है। चरण 3: अधिकतम समान बाँटने में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें।
The smaller power of (2) must be (5), so (a=5) is possible; the smaller power of (3) must be (2), so (b=2) is possible.
Step 3
Exam Tip
Check the condition for each base separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (2) की छोटी घात (5) चाहिए, इसलिए (a=5) संभव है; (3) की छोटी घात (2) चाहिए, इसलिए (b=2) संभव है। चरण 3: अज्ञात घातों में हर आधार की शर्त अलग देखें।
For the same remainder, take the HCF of the differences.
Step 2
Why this answer is correct
The differences are (276), (432), and (708); their HCF is (12).
Step 3
Exam Tip
Use the differences, not the original numbers directly. चरण 1: समान शेष के लिए संख्याओं के अंतरों का महत्तम समापवर्तक लेते हैं। चरण 2: अंतर (1018-742=276), (1450-1018=432) और (1450-742=708) हैं; इनका महत्तम समापवर्तक (12) है। चरण 3: मूल संख्याओं का नहीं, उनके अंतरों का महत्तम समापवर्तक लें।
HCF is \(2^3\times3^2\times5\), and LCM is \(2^6\times3^5\times5^2\times13\).
Step 2
Why this answer is correct
On division, subtract powers to get \(2^3\times3^3\times5\times13\).
Step 3
Exam Tip
In ratios, subtract exponents of the same base. चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3^2\times5\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^6\times3^5\times5^2\times13\) होगा। चरण 2: भाग देने पर घातें घटती हैं, इसलिए \(2^3\times3^3\times5\times13\) मिलता है। चरण 3: अनुपात में समान आधारों की घातें घटाएँ।
The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^3\), \(3^3\), and (5).
Step 3
Exam Tip
Choose the smaller power for each prime base separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड आते हैं। चरण 2: समान अभाज्य (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^3\), \(3^3\) और (5) हैं। चरण 3: हर अभाज्य आधार की छोटी घात अलग-अलग चुनें।
यदि (N) ऐसी सबसे छोटी संख्या है जो \(2^5\times3^2\times7\) और \(2^3\times3^4\times5\) दोनों से विभाजित होती है, तथा (M) इन दोनों संख्याओं का महत्तम समापवर्तक है, तो \(\frac{N}{M}\) क्या होगा?
The smallest divisible number (N) is the LCM, and (M) is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(N=2^5\times3^4\times5\times7\) and \(M=2^3\times3^2\), so \(\frac{N}{M}=2^2\times3^2\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
While dividing, subtract powers of the same base. चरण 1: सबसे छोटी विभाज्य संख्या (N) लघुत्तम समापवर्त्य होगी और (M) महत्तम समापवर्तक होगा। चरण 2: \(N=2^5\times3^4\times5\times7\) और \(M=2^3\times3^2\), इसलिए \(\frac{N}{M}=2^2\times3^2\times5\times7\)। चरण 3: भाग करते समय समान आधारों की घातें घटाएँ।
\(252=2^2\times3^2\times7\), \(315=3^2\times5\times7\), and \(420=2^2\times3\times5\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
\(H=3\times7=21\) and \(L=2^2\times3^2\times5\times7=1260\), so \(L\div H=60\).
Step 3
Exam Tip
For three numbers, find HCF and LCM by their separate rules. चरण 1: \(252=2^2\times3^2\times7\), \(315=3^2\times5\times7\), \(420=2^2\times3\times5\times7\) है। चरण 2: \(H=3\times7=21\) और \(L=2^2\times3^2\times5\times7=1260\), इसलिए \(L\div H=60\) है। चरण 3: तीन संख्याओं में महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य अलग-अलग नियमों से निकालें।
In division, subtract exponents of the same base. चरण 1: \(H=2^4\times3^2\times5\) और \(L=2^6\times3^5\times5^2\) होगा। चरण 2: \(\frac{L}{H}=2^{6-4}\times3^{5-2}\times5^{2-1}=2^2\times3^3\times5\) है। चरण 3: भाग में समान आधारों की घातें घटाएँ।
\(99=3^2\times11\), \(165=3\times5\times11\), and \(231=3\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
The common smaller powers are (3) and (11), so HCF (=33).
Step 3
Exam Tip
Choose only primes present in all three numbers. चरण 1: \(99=3^2\times11\), \(165=3\times5\times11\) और \(231=3\times7\times11\) है। चरण 2: समान छोटी घातें (3) और (11) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (33) है। चरण 3: तीनों संख्याओं में मौजूद अभाज्य ही चुनें।
यदि \(2^5\times3^2\times5\) और \(2^2\times3^5\times5^2\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (3) की घात और (H) में (3) की घात क्रमशः क्या होंगी?
LCM takes the higher power of (3), and HCF takes the lower power.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (3) are (2) and (5), so (L) has (5) and (H) has (2).
Step 3
Exam Tip
Remember the higher-power and lower-power rules separately. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (3) की बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है। चरण 2: (3) की घातें (2) और (5) हैं, इसलिए (L) में (5) और (H) में (2) होगी। चरण 3: बड़ी और छोटी घात के नियम अलग-अलग याद रखें।
The powers of (5) are (2) and (1), so the smaller power is (1).
Step 3
Exam Tip
A power of (1) is still an important part of the answer. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (5) की घातें (2) और (1) हैं, इसलिए छोटी घात (1) होगी। चरण 3: घात (1) भी उत्तर का महत्त्वपूर्ण भाग है।
The second number has \(2^5\), so (a=3) makes the smaller power (3).
Step 3
Exam Tip
Apply the minimum-power condition directly in HCF questions. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में (2) की छोटी घात (3) होनी चाहिए। चरण 2: दूसरी संख्या में \(2^5\) है, इसलिए पहली संख्या में (a=3) होने पर छोटी घात (3) बनेगी। चरण 3: अज्ञात घात में छोटी घात की शर्त सीधे लागू करें।
HCF includes only primes common to all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (3) are common, but (5) is absent in the third number; the smallest powers are \(2^2\) and (3).
Step 3
Exam Tip
Do not include a prime that is not present in every number. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में वही अभाज्य आते हैं जो तीनों में समान हों। चरण 2: (2) और (3) तीनों में हैं, पर (5) तीसरी संख्या में नहीं है; छोटी घातें \(2^2\) और (3) हैं। चरण 3: जो अभाज्य सभी संख्याओं में न हो, उसे महत्तम समापवर्तक में शामिल न करें।
When difference is asked, find both values clearly first. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{180\times252}{36}=1260\) है। चरण 2: अंतर (1260-36=1224) होगा। चरण 3: अंतर पूछे जाने पर पहले दोनों मान स्पष्ट निकालें।
\(121=11^2\), \(143=11\times13\), and \(169=13^2\).
Step 2
Why this answer is correct
No prime factor is common to all three numbers, so the HCF is (1).
Step 3
Exam Tip
For three numbers, a common factor must appear in all of them. चरण 1: \(121=11^2\), \(143=11\times13\) और \(169=13^2\) है। चरण 2: कोई भी अभाज्य गुणनखंड तीनों संख्याओं में समान नहीं है, इसलिए महत्तम समापवर्तक (1) है। चरण 3: तीन संख्याओं में समान गुणनखंड सभी में होना चाहिए।
यदि \(2^7\times3^2\times5\) और \(2^4\times3^5\times5^3\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
LCM takes the higher power, while HCF takes the lower power.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (5) are (1) and (3), so (L) has power (3) and (H) has power (1).
Step 3
Exam Tip
Do not interchange the two rules. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है। चरण 2: (5) की घातें (1) और (3) हैं, इसलिए (L) में (3) और (H) में (1) होगी। चरण 3: दोनों नियमों को उल्टा न करें।
\(135=3^3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(225=3^2\times5^2\), so the smallest power is (2).
Step 3
Exam Tip
HCF uses the smallest power. चरण 1: (3) की घातों की तुलना करें। चरण 2: \(135=3^3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(225=3^2\times5^2\), इसलिए सबसे छोटी घात (2) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में छोटी घात ही आती है।
When one number divides the other exactly, the smaller number is the HCF.
Step 3
Exam Tip
Identifying a multiple relation saves time. चरण 1: \(B=A\times11\) है, इसलिए (A), (B) का पूर्ण भाजक है। चरण 2: जब एक संख्या दूसरी को पूर्ण भाग देती है, तो छोटी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। चरण 3: पहले गुणज संबंध पहचानना समय बचाता है।
The maximum number of equal parts is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(96=2^5\times3\), \(160=2^5\times5\), and \(224=2^5\times7\), so HCF \(=2^5=32\).
Step 3
Exam Tip
In maximum equal division questions, identify HCF. चरण 1: समान अधिकतम भागों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(96=2^5\times3\), \(160=2^5\times5\), \(224=2^5\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^5=32\) है। चरण 3: समान अधिकतम बाँटने के प्रश्न में महत्तम समापवर्तक पहचानें।
किसी सभा में (198) विद्यार्थी और (330) अतिथि हैं। अधिकतम समान समूह बनाने हैं ताकि हर समूह में विद्यार्थियों और अतिथियों की संख्या अलग-अलग समान रहे। अधिकतम कितने समूह बनेंगे?
The maximum number of identical groups is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(198=2\times3^2\times11\) and \(330=2\times3\times5\times11\), so HCF \(=2\times3\times11=66\).
Step 3
Exam Tip
Use HCF for maximum equal distribution. चरण 1: अधिकतम समान समूहों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(198=2\times3^2\times11\) और \(330=2\times3\times5\times11\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times11=66\) है। चरण 3: समान बाँटने के अधिकतम प्रश्न में महत्तम समापवर्तक लें।
The smaller power of (2) must be (4), so (a=4) is possible; the smaller power of (3) must be (3), so (b=3) is possible.
Step 3
Exam Tip
Check unknown powers separately for each prime base. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (2) की छोटी घात (4) चाहिए, इसलिए (a=4) संभव है; (3) की छोटी घात (3) चाहिए, इसलिए (b=3) संभव है। चरण 3: अज्ञात घातों को हर अभाज्य आधार के लिए अलग जाँचें।
For the same remainder, take the HCF of the differences of the given numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The differences are (165), (255), and (420); their HCF is (15).
Step 3
Exam Tip
In same-remainder divisor questions, work with differences. चरण 1: समान शेष के लिए दी गई संख्याओं के अंतरों का महत्तम समापवर्तक लेते हैं। चरण 2: अंतर (654-489=165), (909-654=255) और (909-489=420) हैं; इनका महत्तम समापवर्तक (15) है। चरण 3: समान शेष वाले बड़े भाजक के प्रश्न में मूल संख्याओं के अंतरों पर काम करें।
HCF is \(2^2\times3^3\times7\), and LCM is \(2^5\times3^5\times5\times7^2\).
Step 2
Why this answer is correct
On division, subtract powers to get \(2^3\times3^2\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
Exponent subtraction is very useful in ratio questions. चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3^3\times7\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^5\times5\times7^2\) होगा। चरण 2: भाग देने पर समान आधारों की घातें घटती हैं, इसलिए \(2^3\times3^2\times5\times7\) मिलता है। चरण 3: अनुपात वाले प्रश्न में अभाज्य घातों का घटाव बहुत उपयोगी है।
The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^4\), \(3^2\), and (5).
Step 3
Exam Tip
In exponent questions, choose the smaller power for each base separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान अभाज्य (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^4\), \(3^2\) और (5) हैं। चरण 3: घातों वाले प्रश्न में हर आधार की छोटी घात अलग-अलग चुनें।
\(120=2^3\times3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(300=2^2\times3\times5^2\), so the smallest power is (2).
Step 3
Exam Tip
HCF uses the smallest power. चरण 1: (2) की घातों की तुलना करें। चरण 2: \(120=2^3\times3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(300=2^2\times3\times5^2\), इसलिए सबसे छोटी घात (2) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है।
\(91=7\times13\), \(143=11\times13\), and \(187=11\times17\).
Step 2
Why this answer is correct
No prime factor is common to all three numbers, so the HCF is (1).
Step 3
Exam Tip
A factor common to only two numbers is not enough for the HCF of all three. चरण 1: \(91=7\times13\), \(143=11\times13\), \(187=11\times17\) है। चरण 2: कोई भी अभाज्य गुणनखंड तीनों संख्याओं में समान नहीं है, इसलिए महत्तम समापवर्तक (1) है। चरण 3: केवल दो संख्याओं में समान गुणनखंड दिखने से वह तीनों का महत्तम समापवर्तक नहीं बनता।
\(91=7\times13\), \(143=11\times13\), and \(187=11\times17\).
Step 2
Why this answer is correct
There is no prime factor common to all three, so the HCF should be (1).
Step 3
Exam Tip
For three numbers, a common factor must be present in every number. चरण 1: \(91=7\times13\), \(143=11\times13\), \(187=11\times17\) है। चरण 2: तीनों में कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए महत्तम समापवर्तक (1) होना चाहिए। चरण 3: तीनों संख्याओं के लिए समान गुणनखंड सभी में होना जरूरी है।
The smaller powers of (2), (3), and (11) are (3), (2), and (1), so HCF \(=2^3\times3^2\times11\).
Step 3
Exam Tip
Compare the powers for each base separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात ली जाती है। चरण 2: (2), (3), (11) की छोटी घातें क्रमशः (3), (2), (1) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3^2\times11\) है। चरण 3: हर आधार की घात अलग-अलग तुलना करें।
