Subtract (16) from each number to get (720), (1120), and (1520).
Step 2
Why this answer is correct
The HCF of these three numbers is (80), so the greatest number is (80).
Step 3
Exam Tip
In fixed-remainder questions, subtract the remainder first and then find the HCF. चरण 1: हर संख्या से (16) घटाएँ, ताकि (720), (1120) और (1520) मिलें। चरण 2: इन तीनों का महत्तम समापवर्तक (80) है, इसलिए सबसे बड़ी संख्या (80) होगी। चरण 3: निश्चित शेष वाले प्रश्न में पहले शेष घटाकर महत्तम समापवर्तक निकालें।
\(420=2^2\times3\times5\times7\), \(660=2^2\times3\times5\times11\), and \(924=2^2\times3\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
\(H=2^2\times3=12\) and \(L=2^2\times3\times5\times7\times11=4620\), so \(L\div H=385\).
Step 3
Exam Tip
For three numbers, check common primes first and then all distinct primes. चरण 1: \(420=2^2\times3\times5\times7\), \(660=2^2\times3\times5\times11\), \(924=2^2\times3\times7\times11\) है। चरण 2: \(H=2^2\times3=12\) और \(L=2^2\times3\times5\times7\times11=4620\), इसलिए \(L\div H=385\) है। चरण 3: तीन संख्याओं में पहले साझा और फिर सभी अलग अभाज्य देखें।
In division, subtract powers of the same base. चरण 1: \(H=2^5\times3^3\times5\) और \(L=2^8\times3^7\times5^2\) होगा। चरण 2: \(\frac{L}{H}=2^{8-5}\times3^{7-3}\times5^{2-1}=2^3\times3^4\times5\) है। चरण 3: भाग में समान आधारों की घातें घटाएँ।
\(221=13\times17\), \(323=17\times19\), and \(391=17\times23\).
Step 2
Why this answer is correct
The common prime in all three is (17), so the HCF is (17).
Step 3
Exam Tip
Identify the prime common to all three numbers. चरण 1: \(221=13\times17\), \(323=17\times19\) और \(391=17\times23\) है। चरण 2: तीनों में समान अभाज्य (17) है, इसलिए महत्तम समापवर्तक (17) है। चरण 3: तीनों संख्याओं में उपस्थित साझा अभाज्य को पहचानें।
यदि \(2^4\times3^7\times5\) और \(2^6\times3^3\times5^4\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (3) की घात और (H) में (3) की घात क्रमशः क्या होंगी?
LCM takes the higher power, while HCF takes the lower power.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (3) are (7) and (3), so (L) has (7) and (H) has (3).
Step 3
Exam Tip
Keep the higher-power and lower-power rules separate. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है। चरण 2: (3) की घातें (7) और (3) हैं, इसलिए (L) में (7) और (H) में (3) होगी। चरण 3: बड़ी और छोटी घात के नियम अलग रखें।
The powers of (2) are (8) and (5), so the smaller power is (5).
Step 3
Exam Tip
Do not add the powers; take only the smaller one. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (2) की घातें (8) और (5) हैं, इसलिए छोटी घात (5) होगी। चरण 3: घातों को जोड़ना नहीं है, केवल छोटी घात लेनी है।
The second number has \(2^7\), so (a=5) makes the smaller power (5).
Step 3
Exam Tip
Apply the minimum-power condition in HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में (2) की छोटी घात (5) चाहिए। चरण 2: दूसरी संख्या में \(2^7\) है, इसलिए पहली संख्या में (a=5) होने पर छोटी घात (5) बनेगी। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में न्यूनतम घात की शर्त लगाएँ।
HCF of three numbers includes only primes common to all three.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (3) are common, with smallest powers \(2^3\) and (3).
Step 3
Exam Tip
Do not include a prime that is not present in every number. चरण 1: तीनों के महत्तम समापवर्तक में वही अभाज्य आते हैं जो तीनों में समान हों। चरण 2: (2) और (3) तीनों में हैं, छोटी घातें \(2^3\) और (3) हैं। चरण 3: जो अभाज्य सभी में नहीं है, उसे महत्तम समापवर्तक में न लें।
When difference is asked, first find the LCM correctly. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{264\times396}{132}=792\) है। चरण 2: अंतर (792-132=660) होगा। चरण 3: अंतर पूछे जाने पर पहले लघुत्तम समापवर्त्य सही निकालें।
\(221=13\times17\), \(323=17\times19\), and \(437=19\times23\).
Step 2
Why this answer is correct
No prime factor is common to all three numbers, so the HCF is (1).
Step 3
Exam Tip
Only a factor present in all three numbers is taken. चरण 1: \(221=13\times17\), \(323=17\times19\) और \(437=19\times23\) है। चरण 2: कोई भी अभाज्य गुणनखंड तीनों संख्याओं में समान नहीं है, इसलिए महत्तम समापवर्तक (1) है। चरण 3: तीनों संख्याओं में उपस्थित साझा गुणनखंड ही लिया जाता है।
यदि \(2^6\times3^2\times5^4\) और \(2^3\times3^5\times5\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
LCM takes the higher power, and HCF takes the lower power.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (5) are (4) and (1), so (L) has (4) and (H) has (1).
Step 3
Exam Tip
Do not interchange the two rules. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है। चरण 2: (5) की घातें (4) और (1) हैं, इसलिए (L) में (4) और (H) में (1) होगी। चरण 3: दोनों नियमों को उल्टा न करें।
\(216=2^3\times3^3\), \(324=2^2\times3^4\), and \(540=2^2\times3^3\times5\), so the smallest power is (3).
Step 3
Exam Tip
HCF uses the smallest power. चरण 1: (3) की घातों की तुलना करें। चरण 2: \(216=2^3\times3^3\), \(324=2^2\times3^4\), \(540=2^2\times3^3\times5\), इसलिए छोटी घात (3) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में सबसे छोटी घात आती है।
When one number exactly divides the other, the smaller number is the HCF.
Step 3
Exam Tip
Identifying a multiple relation saves time. चरण 1: \(q=p\times19\) है, इसलिए (p), (q) का पूर्ण भाजक है। चरण 2: जब एक संख्या दूसरी को पूर्ण भाग देती है, तो छोटी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। चरण 3: गुणज संबंध पहचानना ऐसे प्रश्नों में समय बचाता है।
The maximum number of equal parts is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(192=2^6\times3\), \(288=2^5\times3^2\), and \(480=2^5\times3\times5\), so HCF \(=2^5\times3=96\).
Step 3
Exam Tip
In maximum equal division, take the smallest common powers. चरण 1: समान अधिकतम भागों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(192=2^6\times3\), \(288=2^5\times3^2\), \(480=2^5\times3\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^5\times3=96\) है। चरण 3: समान अधिकतम बाँटने में छोटी समान घात लें।
एक विद्यालय में (312) उत्तर पुस्तिकाएँ और (468) प्रश्न पत्र हैं। इन्हें अधिकतम समान पैकेटों में रखना है ताकि हर पैकेट में दोनों की संख्या अलग-अलग समान रहे। अधिकतम कितने पैकेट बनेंगे?
The maximum number of identical packets is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(312=2^3\times3\times13\) and \(468=2^2\times3^2\times13\), so HCF \(=2^2\times3\times13=156\).
Step 3
Exam Tip
Use HCF for maximum equal distribution. चरण 1: अधिकतम समान पैकेटों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(312=2^3\times3\times13\) और \(468=2^2\times3^2\times13\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\times13=156\) है। चरण 3: अधिकतम समान बाँटने में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें।
The smaller power of (2) must be (6), so (a=6) is possible; the smaller power of (3) must be (4), so (b=4) is possible.
Step 3
Exam Tip
Check each base condition separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (2) की छोटी घात (6) चाहिए, इसलिए (a=6) संभव है; (3) की छोटी घात (4) चाहिए, इसलिए (b=4) संभव है। चरण 3: अज्ञात घातों में हर आधार की शर्त अलग देखें।
HCF is \(2^4\times3^2\times5\), and LCM is \(2^7\times3^6\times5^3\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
On division, subtract powers to get \(2^3\times3^4\times5^2\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
In ratios, subtract exponents of the same base. चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^4\times3^2\times5\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^7\times3^6\times5^3\times7\times11\) होगा। चरण 2: भाग देने पर घातें घटती हैं, इसलिए \(2^3\times3^4\times5^2\times7\times11\) मिलता है। चरण 3: अनुपात में समान आधारों की घातें घटाएँ।
The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^4\), \(3^2\), and (5).
Step 3
Exam Tip
Choose the smaller power for each prime base separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान अभाज्य (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^4\), \(3^2\) और (5) हैं। चरण 3: हर अभाज्य आधार की छोटी घात अलग-अलग चुनें।
\(330=2\times3\times5\times11\), \(462=2\times3\times7\times11\), and \(770=2\times5\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
\(H=2\times11=22\) and \(L=2\times3\times5\times7\times11=2310\), so \(L\div H=105\).
Step 3
Exam Tip
For three numbers, first check common primes and then all distinct primes. चरण 1: \(330=2\times3\times5\times11\), \(462=2\times3\times7\times11\), \(770=2\times5\times7\times11\) है। चरण 2: \(H=2\times11=22\) और \(L=2\times3\times5\times7\times11=2310\), इसलिए \(L\div H=105\) है। चरण 3: तीन संख्याओं में पहले साझा और फिर सभी भिन्न अभाज्य देखें।
In division, subtract powers of the same base. चरण 1: \(H=2^4\times3^3\times5\) और \(L=2^7\times3^6\times5^2\) होगा। चरण 2: \(\frac{L}{H}=2^{7-4}\times3^{6-3}\times5^{2-1}=2^3\times3^3\times5\) है। चरण 3: भाग में समान आधारों की घातें घटाएँ।
\(143=11\times13\), \(187=11\times17\), and \(253=11\times23\).
Step 2
Why this answer is correct
The common prime in all three is (11), so the HCF is (11).
Step 3
Exam Tip
Identify the prime common to all three numbers. चरण 1: \(143=11\times13\), \(187=11\times17\) और \(253=11\times23\) है। चरण 2: तीनों में समान अभाज्य (11) है, इसलिए महत्तम समापवर्तक (11) है। चरण 3: तीनों संख्याओं में उपस्थित साझा अभाज्य को पहचानें।
यदि \(2^6\times3^2\times5\) और \(2^3\times3^6\times5^2\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (3) की घात और (H) में (3) की घात क्रमशः क्या होंगी?
LCM takes the higher power, while HCF takes the lower power.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (3) are (2) and (6), so (L) has (6) and (H) has (2).
Step 3
Exam Tip
Keep the higher-power and lower-power rules separate. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है। चरण 2: (3) की घातें (2) और (6) हैं, इसलिए (L) में (6) और (H) में (2) होगी। चरण 3: बड़ी और छोटी घात के नियम अलग रखें।
The powers of (5) are (3) and (1), so the smaller power is (1).
Step 3
Exam Tip
Recognise power (1) correctly in the answer. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (5) की घातें (3) और (1) हैं, इसलिए छोटी घात (1) होगी। चरण 3: घात (1) को भी सही उत्तर में पहचानें।
The second number has \(2^6\), so (a=4) makes the smaller power (4).
Step 3
Exam Tip
Apply the minimum-power condition in HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में (2) की छोटी घात (4) चाहिए। चरण 2: दूसरी संख्या में \(2^6\) है, इसलिए पहली संख्या में (a=4) होने पर छोटी घात (4) बनेगी। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में न्यूनतम घात की शर्त लगाएँ।
HCF of three numbers includes only primes common to all three.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (3) are common, with smallest powers \(2^2\) and (3).
Step 3
Exam Tip
Do not include a prime that is not present in every number. चरण 1: तीनों के महत्तम समापवर्तक में वही अभाज्य आएँगे जो तीनों में समान हों। चरण 2: (2) और (3) तीनों में हैं, छोटी घातें \(2^2\) और (3) हैं। चरण 3: जो अभाज्य सभी में नहीं है, उसे महत्तम समापवर्तक में न लें।
When difference is asked, find the LCM correctly first. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{224\times336}{112}=672\) है। चरण 2: अंतर (672-112=560) होगा। चरण 3: अंतर पूछे जाने पर पहले लघुत्तम समापवर्त्य सही निकालें।
\(169=13^2\), \(221=13\times17\), and \(299=13\times23\).
Step 2
Why this answer is correct
(13) is common to all three and no larger common factor exists, so HCF is (13).
Step 3
Exam Tip
Do not miss a prime that appears in all three numbers. चरण 1: \(169=13^2\), \(221=13\times17\) और \(299=13\times23\) है। चरण 2: तीनों में (13) समान है और इससे बड़ा कोई समान गुणनखंड नहीं है, इसलिए महत्तम समापवर्तक (13) है। चरण 3: यदि एक अभाज्य तीनों में हो, तो उसे छोड़ें नहीं।
\(169=13^2\), \(221=13\times17\), and \(299=13\times23\).
Step 2
Why this answer is correct
The common prime in all three is (13), so the HCF should be (13).
Step 3
Exam Tip
Carefully identify the factor common to all three numbers. चरण 1: \(169=13^2\), \(221=13\times17\) और \(299=13\times23\) है। चरण 2: तीनों में समान अभाज्य (13) है, इसलिए महत्तम समापवर्तक (13) होना चाहिए। चरण 3: तीनों संख्याओं में उपस्थित साझा गुणनखंड को ध्यान से पहचानें।
यदि \(2^8\times3^2\times5\) और \(2^5\times3^6\times5^4\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
LCM takes the higher power, and HCF takes the lower power.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (5) are (1) and (4), so (L) has (4) and (H) has (1).
Step 3
Exam Tip
Do not interchange the two rules. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है। चरण 2: (5) की घातें (1) और (4) हैं, इसलिए (L) में (4) और (H) में (1) होगी। चरण 3: दोनों नियमों को उल्टा न करें।
\(162=2\times3^4\), \(270=2\times3^3\times5\), and \(378=2\times3^3\times7\), so the smallest power is (3).
Step 3
Exam Tip
HCF uses the smallest power. चरण 1: (3) की घातों की तुलना करें। चरण 2: \(162=2\times3^4\), \(270=2\times3^3\times5\), \(378=2\times3^3\times7\), इसलिए छोटी घात (3) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में सबसे छोटी घात आती है।
