Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(a-a=0) सम है, इसलिए परावर्तक गुण है। / Since (a-a=0) is even, the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) सम है तो (b-a) भी सम है और सम अंतरों का जोड़ भी सम रहता है। / If (a-b) is even, then (b-a) is even, and even differences combine transitively.
Step 3
Exam Tip
समान सम-विषम प्रकृति वाला संबंध सामान्य तुल्यता संबंध का उदाहरण है। / Same parity is a standard equivalence relation.
यदि (a) और (b) एक ही कक्षा में हैं तथा (b) और (c) भी एक ही कक्षा में हैं, तो (a) और (c) भी उसी कक्षा में होंगे। / If (a) and (b) are in the same class, and (b) and (c) are also in the same class, then (a) and (c) are in that same class.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) संबंध में आएगा और संक्रमणीयता पूरी होगी। / So ((a,c)) belongs to the relation, and transitivity holds.
Step 3
Exam Tip
समान समूह वाले संबंध अक्सर समतुल्यता संबंध बनते हैं। / Same-group relations often form equivalence relations.
A. (R) अवश्य संक्रमण है/(R) is necessarily transitive
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध में परावर्ती, सममित और संक्रमण तीनों गुण शामिल होते हैं। / An equivalence relation includes reflexive, symmetric, and transitive properties.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ऐसा संबंध संक्रमण अवश्य होगा। / Therefore such a relation must be transitive.
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता सुनते ही तीनों गुण याद करें। / When you hear equivalence relation, remember all three properties.
(a=b) से सभी स्वयुग्म शामिल हैं, इसलिए परावर्तन है। / The condition (a=b) includes all self-pairs, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों संख्याओं के अभाज्य होने की शर्त क्रम बदलने पर नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। / The condition that both numbers are prime is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य तत्व ({2,3,5}) एक बंद वर्ग बनाते हैं और बाकी अकेले रहते हैं, इसलिए संक्रामकता भी है। / Prime elements ({2,3,5}) form one closed class and the others stay single, so transitivity holds.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a=b) से सभी स्वयुग्म मिलते हैं। / The condition (a=b) gives all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम होने का अर्थ है समान सम-विषम प्रकार, जो क्रम बदलने पर भी सही रहता है। / (a+b) being even means same parity, which is unchanged by reversal.
Step 3
Exam Tip
समान सम-विषम प्रकार की शृंखला संक्रामक होती है, इसलिए संबंध तुल्यता है। / A chain of same parity is transitive, so the relation is an equivalence relation.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
हर तत्व अपने ही सम-विषम प्रकार का है, इसलिए परावर्तन है। / Every element has the same parity as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान सम-विषम प्रकार क्रम बदलने पर नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / Same parity is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समान प्रकार की शृंखला उसी प्रकार में रहती है, इसलिए संक्रामकता भी है। / A chain of the same parity remains in the same parity, so transitivity also holds.
तुल्यता संबंधों की संख्या समुच्चय के विभाजनों की संख्या के बराबर होती है। / The number of equivalence relations equals the number of partitions of the set.
Step 2
Why this answer is correct
तीन तत्वों के विभाजन हैं: एक-एक अलग, तीनों साथ, और किसी दो का जोड़ा तथा एक अकेला। / For three elements, partitions are all singletons, all together, and one pair with one singleton.
Step 3
Exam Tip
कुल (1+1+3=5) तुल्यता संबंध बनते हैं। / The total is (1+1+3=5).
(a-a=0) (2) से विभाज्य है, इसलिए परावर्तन है। / (a-a=0) is divisible by (2), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) (2) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (2) से विभाज्य है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is divisible by (2), then (b-a) is also divisible by (2), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
विभाज्य अंतरों का योग भी (2) से विभाज्य है, इसलिए संक्रामकता है। / The sum of divisible differences is again divisible by (2), so transitivity holds.
A. यह तुल्यता संबंध है और वर्ग अकेले-अकेले हैं/It is an equivalence relation with singleton classes
Step 1
Concept
दोनों समान शेषफल वाली शर्तें परावर्ती, सममित और संक्रामक होती हैं। / Both same-remainder conditions are reflexive, symmetric and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (3) दोनों के लिए समान शेषफल होने का अर्थ इस छोटे समुच्चय में समान संख्या होना है। / Having the same remainders modulo (2) and modulo (3) means being the same number in this set.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर तत्व अपना अलग वर्ग बनाता है और संबंध तुल्यता है। / Hence every element forms a singleton class and the relation is an equivalence relation.
स्वयुग्मों से (5) युग्म मिलते हैं। / Self-pairs give (5) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=6) से ((1,5),(5,1),(2,4),(4,2)) अतिरिक्त युग्म मिलते हैं; ((3,3)) पहले से गिना जा चुका है। / The condition (a+b=6) adds ((1,5),(5,1),(2,4),(4,2)); ((3,3)) is already counted.
Step 3
Exam Tip
कुल (5+4=9) युग्म होंगे। / Total pairs are (5+4=9).
B. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
\(\frac{a}{a}=1\) परिमेय है, इसलिए परावर्तन है। / \(\frac{a}{a}=1\) is rational, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\frac{a}{b}\) परिमेय है, तो \(\frac{b}{a}\) भी परिमेय है, इसलिए सममितता है। / If \(\frac{a}{b}\) is rational, then \(\frac{b}{a}\) is rational, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{a}{b}\) और \(\frac{b}{c}\) परिमेय हों तो \(\frac{a}{c}\) भी परिमेय होगा, इसलिए संक्रामकता है। / If \(\frac{a}{b}\) and \(\frac{b}{c}\) are rational, then \(\frac{a}{c}\) is rational, so transitivity holds.
B. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2,3}) के बीच सभी उल्टे युग्म मौजूद हैं और (4) अपने आप से जुड़ा है, इसलिए सममितता है। / Within ({1,2,3}), all reverse pairs are present and (4) is related to itself, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
({1,2,3}) एक पूरा बंद वर्ग है और (4) अकेला वर्ग है, इसलिए संक्रामकता भी है। / ({1,2,3}) is a complete closed class and (4) is a singleton class, so transitivity holds too.
(a=b) से सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तन है। / The condition (a=b) gives all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों विषम होने की शर्त क्रम बदलने पर नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। / The condition that both are odd is unchanged by reversal, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
विषम तत्व ({1,3,5}) एक बंद वर्ग बनाते हैं और सम तत्व अकेले रहते हैं, इसलिए संक्रामकता है। / Odd elements ({1,3,5}) form one closed class and even elements stay single, so it is transitive.
(a-b) सम होने का अर्थ है कि दोनों संख्याएं समान सम-विषम प्रकार की हों। / (a-b) being even means the two numbers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
विषम वर्ग ({1,3}) से \(2^2=4\) और सम वर्ग ({2,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / The odd class ({1,3}) gives \(2^2=4\) pairs, and the even class ({2,4}) gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (4+4=8) होंगे। / Total pairs are (4+4=8).
C. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a=a) होने से हर तत्व स्वयं से संबंधित है। / Since (a=a), every element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
(a=b) या (a=-b) की शर्त उलटने पर भी सही रहती है। / The condition (a=b) or (a=-b) remains true when reversed.
Step 3
Exam Tip
यह समान निरपेक्ष मान का संबंध है, जो संक्रामक भी होता है, इसलिए तुल्यता संबंध है। / This is equality of absolute values, which is also transitive, so it is an equivalence relation.
B. यह हमेशा परावर्ती और सममित होगा पर संक्रामक होना जरूरी नहीं/It is always reflexive and symmetric but need not be transitive
Step 1
Concept
दोनों संबंधों में सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए संघ परावर्ती रहेगा। / Both relations contain all self-pairs, so the union is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए संघ भी सममित रहेगा। / Both are symmetric, so the union is symmetric.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता टूट सकती है, क्योंकि शृंखला का एक युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। / Transitivity may fail because one pair of a chain may come from (R) and the other from (S).
