Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह हमेशा तुल्यता संबंध होगा/It is always an equivalence relation
Step 1
Concept
दोनों संबंध परावर्ती हैं, इसलिए उनका प्रतिच्छेद भी परावर्ती रहेगा। / Both relations are reflexive, so their intersection remains reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए साझा युग्मों के उल्टे युग्म भी साझा रहेंगे। / Both are symmetric, so reverse pairs of common pairs remain common.
Step 3
Exam Tip
दोनों संक्रामक हैं, इसलिए प्रतिच्छेद में बनी शृंखला का परिणाम भी प्रतिच्छेद में होगा। / Both are transitive, so the result of a chain in the intersection also lies in the intersection.
C. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए परावर्तन है। / Every number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
शर्त में दोनों दिशाओं की विभाज्यता पहले से शामिल है, इसलिए सममितता है। / The condition already includes divisibility in both directions, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक संख्याओं में दोनों दिशाओं की विभाज्यता समानता देती है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है। / For positive numbers, mutual divisibility means equality, so transitivity also holds.
(|a|=|a|), इसलिए संबंध परावर्ती है। / (|a|=|a|), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(|a|=|b|) होने पर (|b|=|a|), इसलिए सममितता है। / If (|a|=|b|), then (|b|=|a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान निरपेक्ष मान तीसरे तत्व तक भी समान रहता है, इसलिए संक्रामकता है। / Equality of absolute values passes through a third element, so it is transitive.
(a=b) से सभी स्वयुग्म मिलते हैं, इसलिए परावर्तन है। / The condition (a=b) gives all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=5) में क्रम बदलने से शर्त नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। / The condition (a+b=5) is unchanged by reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
संबंध ({1,4}) और ({2,3}) जैसे बंद वर्ग बनाता है, इसलिए संक्रामकता भी है। / The relation forms closed classes ({1,4}) and ({2,3}), so it is also transitive.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) (7) से विभाज्य है, इसलिए परावर्तन है। / (a-a=0) is divisible by (7), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) (7) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (7) से विभाज्य है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is divisible by (7), then (b-a) is also divisible by (7), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
दो (7) से विभाज्य अंतरों का योग भी (7) से विभाज्य होता है, इसलिए संक्रामकता है। / The sum of two differences divisible by (7) is also divisible by (7), so it is transitive.
(a=b) से सभी स्वयुग्म मिलते हैं, इसलिए परावर्तन है। / The condition (a=b) gives all self-pairs, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=5) क्रम बदलने पर भी सत्य रहता है, इसलिए सममितता है। / (a+b=5) remains true after reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
संबंध ({1,4}) और ({2,3}) के बंद वर्ग बनाता है, इसलिए संक्रामकता भी है। / The relation forms closed classes ({1,4}) and ({2,3}), so transitivity also holds.
(a=b) के कारण सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्ती है। / Because (a=b), all self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (2) से बड़ा होना क्रम बदलने पर भी सही रहता है, इसलिए सममितता है। / The condition that both are greater than (2) is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({3,4}) एक बंद वर्ग बनता है और (1,2) अलग-अलग वर्ग हैं, इसलिए संक्रामकता है। / ({3,4}) forms a closed class while (1,2) are singleton classes, so transitivity holds.
A. यह तुल्यता संबंध है और वर्ग ({1,2},{3}) हैं/It is an equivalence relation with classes ({1,2},{3})
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए परावर्तन पूरा है। / All self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) के भीतर सभी जरूरी युग्म हैं और (3) अकेला है, इसलिए संबंध तुल्यता है। / All required pairs inside ({1,2}) are present and (3) is alone, so the relation is an equivalence relation.
तुल्यता संबंध में सममितता हमेशा होती है। / Every equivalence relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
(aRb) होने पर सममितता से (bRa) अनिवार्य रूप से मिलेगा। / If (aRb), symmetry necessarily gives (bRa).
Step 3
Exam Tip
किसी तीसरे तत्व (c) से जुड़ा निष्कर्ष बिना अतिरिक्त सूचना के नहीं निकाला जाता। / No statement involving an arbitrary third element (c) follows without more information.
हर तत्व अपने ही (3) से विभाज्यता प्रकार में आता है, इसलिए परावर्तन है। / Every element belongs to the same divisibility-by-(3) type as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान प्रकार का क्रम बदलने से संबंध नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / The same type condition is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समान प्रकार की श्रृंखला उसी प्रकार में रहती है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है। / A chain within the same type remains in that type, so transitivity holds.
(a=a) होने से हर संख्या अपने आप से संबंधित है, इसलिए परावर्ती है। / Since (a=a), every number is related to itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a=b) या (a=-b), तो उल्टा संबंध भी वही शर्त पूरी करता है, इसलिए सममितता है। / If (a=b) or (a=-b), the reverse relation satisfies the same condition, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यह समान निरपेक्ष मान वाले तत्वों का संबंध है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है। / This is the relation of equal absolute values, so transitivity also holds.
A. सार्वत्रिक संबंध और तुल्यता संबंध/Universal relation and equivalence relation
Step 1
Concept
समुच्चय के सभी तत्व (4) से बड़े नहीं हैं। / Every element of the set is not greater than (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर \(a,b\in A\) के लिए ((a,b)) संबंध में होगा। / Hence every ((a,b)) with \(a,b\in A\) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
जब सभी युग्म मौजूद हों, तो संबंध सार्वत्रिक और साथ ही तुल्यता संबंध होता है। / When all pairs are present, the relation is universal and also an equivalence relation.
